Q1 — Le centre du cercle circonscrit, ainsi que le centre A' de (BCG), sont sur la médiatrice de BC. Il suffit de prouver que celle-ci est une médiane de A'B'C', c'est-à-dire qu'elle passe par le milieu de B'C'.
Dans le triangle BCG les trois côtés et la médiane issue de G (qui n'est autre que AG) constituent les directions d'un faisceau harmonique. Il en va donc de même des perpendicu- laires à ces directions, qui ne sont autres que A'C', A'B', B'C' et la médiatrice de BC. Donc cette médiatrice est bien une médiane de A'B'C'…
Q2 — Le centre de la sphère S et le côté A'B' de A'B'C'D' appartiennent au plan médiateur de DC. Il suffit de montrer que ce plan passe par le milieu de D'C' : de façon analogue, le centre appartiendra aussi au plan contenant D'C' et passant par le milieu de A'B', donc à la droite joignant ces milieux, etc.
Le plan A'B'D' et le plan A'B'C' sont respectivement les plans médiateurs de CG et de DG. Ces deux droites, l'arête CD et la médiane issue de G dans le triangle CDG forment les directions d'un faisceau harmonique de droites dans le plan DCG. Les (directions) des plans perpendiculaires à ces droites forment un faisceau harmonique de plans ayant la droite A'B' en commun.
Comme D'C' est perpendiculaire au plan ABC (qui contient la médiane), il suffit dès lors de considérer la projection (orthogonale) de la figure sur le plan DCG pour obtenir l'analogue de la figure précédente et conclure que le plan médiateur de DC passe bien par le milieu de D'C'…
