G20065. Jeux de combinaisons a) Parmi les entiers de 1 à

G20065. Jeux de combinaisons

a) Parmi les entiers de 1 àn, j’en choisisp à qui je donne la couleur rouge.

Aux n−p autres je donne la couleur jaune. Pour k = 1 à n je définis la fonction f(k) = rang de k parmi les entiers de même couleur (rangés en ordre croissant). Montrez la relation entre coefficients binômiaux

1 +

n

X

k=1

C_k−1^f(k)=C_n^p

b) Imaginez un procédé pour mettre en correspondance les C_n^p façons de constituer l’ensemble rouge du a) et les entiers de 1 à C_n^p.

Solution

a) La relation est vraie pourn= 1, que 1 soit rouge ou jaune, carf(1) = 1, C₁⁰ =C₁¹ = 1, C₀¹ = 0. Supposant la relation vraie pour n < m, je vais la prouver pour n=m.

Sim est rouge, f(m) =p et il y a p−1 rouges parmi 1 à m−1, la somme du premier membre estC_m−1^p−1 +C_m−1^p =C_m^p, comme annoncé.

Simest jaune,f(m) =m−p et il y aprouges parmi 1 àm−1, la somme du premier membre estC_m−1^p +C_m−1^m−p =C_m^p, comme annoncé.

b) Parmi les C_n^p ensembles rouges, ceux où n est rouge sont en nombre C_n−1^p−1 =C_n^p−C_n−1^p . Je leur affecte les rangsC_n−1^p + 1 àC_n^p. Notantk₁, . . . , kp

les éléments rouges, si k_p = n le rang sera C_k^p

p−1+ le rang de l’ensemble k1, . . . , kp−1 parmi les ensembles de p−1 entiers< kp. Poursuivant en pre- nant les éléments par ordre décroissant, on voit qu’à tout ensemble on peut affecter le rang 1 +

p

X

i=1

C_kⁱ_i−1.

Inversement, si le rang r est donné, kp est le plus petit entier n tel que r≤C_n^p, et on poursuit en comparantr−C_k^p

p−1 àC_n^p−1, etc.