Enoncé H151 (Diophante) Entartages à la chaîne
2015 personnes sont sur un immense champ de foire de sorte que les dis- tances séparant deux quelconques d’entre elles sont toutes distinctes. Cha- cune lance une tarte à la crème en direction de son voisin le plus proche.
Parmi les quatre affirmations suivantes, distinguez les vraies des fausses en justifiant vos réponses.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Affirmation 1)
Deux tartes à la crème se rencontrent si et seulement si deux personnes cherchent à s’entarter réciproquement.
VRAIE
A entarte C, B entarte D et on suppose que les segments AC et BD se croisent.
Les médiatrices de AC et de AD se coupent en O (centre du cercle circons- crit au triangle ACD) et divisent le plan en quatre parties ; B appartient à la même partie que D, sinon il serait plus proche de A ou de C que de D, et ne viserait pas D.
Si le segment BD coupe le segment AC, il en est de même du segment DO. Alors l’angle ADC est obtus, et AC est le plus grand côté du triangle ACD, en particulier plus grand que AD ; A devrait viser D et non C, contradiction.
Affirmation 2) Le réseau constitué par les trajectoires des tartes contient un ou plusieurs polygones fermés.
FAUSSE
Dans un polygone fermé, aux côtés inégaux, il y a un plus grand côté AB.
Ce n’est pas une trajectoire de tarte, car A comme B ont des voisins plus proches (soit dans le polygone, soit en dehors).
Affirmation 3) Il y a au moins une personne qui n’a pas été entartée.
VRAIE
. . .du fait que 2015 est impair.
Chaque personne est caractérisée par une longueur, sa plus petite distance aux autres personnes, qui est aussi la distance à laquelle elle doit lancer sa tarte. Considérons la personne A ayant la plus grande de ces distances, et qui entarte B.
Cas 1. Elle ne reçoit pas de tarte et donne raison à l’affirmation.
Cas 2. Elle reçoit néanmoins une tarte ; c’est qu’elle est le plus proche voisin de B, qui n’a pas d’autre voisin plus proche. Dans le graphe des trajectoires de tartes, les arcs AB et BA forment une composante connexe réduite à ces deux sommets. L’affirmation est à vérifier sur le graphe amputé de ces deux sommets, qui n’envoient pas de tartes aux autres.
Le graphe n’a pas de sommet isolé : toute persnne a un voisin plus proche et envoie une tarte. Quitte à poursuivre les amputations, quand le nombre total est impair, on finit par arriver à une composante connexe ayant un nombre impair de sommets et entrant dans le cas 1.
Chaque composante connexe de plus de deux sommets comporte une per- sonne non entartée.
Affirmation 4) Il y a une personne qui a été entartée six fois.
FAUSSE
Soit A une personne entartée plusieurs fois, et B, C, D, . . ., ses entarteurs dans l’ordre où se succèrdent les trajectoires autour de A.
C entartant A plutôt que B, C est dans le demi-plan côté A de la médiatrice de AB. B entartant A plutôt que C, C est extérieur au cercle de centre B et de rayon BA. Le domaine possible pour C est tel que l’angle BAC est
> π/3.
Le tour complet autour de A (2π) étant la somme des angles successifs tels que BAC, le nombre de ces angles est strictement inférieur à 6.
