Comparaisons de fonctions

Comparaisons de fonctions

Cours de É. Bouchet ECS1 12 avril 2019

Table des matières

1 Fonctions équivalentes 2

1.1 Dénition et première caractérisation . . . 2 1.2 Propriétés . . . 2 1.3 Équivalents usuels . . . 3

2 Fonction négligeable devant une autre fonction 4

2.1 Dénition et première caractérisation . . . 4 2.2 Propriétés . . . 5 2.3 Négligeabilités classiques . . . 6

Dans tout le chapitre, on noteraR l'ensemble constitué de R,+∞et−∞.

1 Fonctions équivalentes

1.1 Dénition et première caractérisation

Soitx₀∈R, et f etgdeux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 dex₀. On dit quef et gsont équivalentes au voisinage dex0 lorsqu'il existe une fonctionϕdénie surVx0 telle que∀x∈Vx0, f(x) =g(x)ϕ(x) et lim

x→x₀ϕ(x) = 1. On note alorsf(x)∼_x0 g(x). Dénition (Fonctions équivalentes au voisinage d'un point).

Soitx0∈R, et f etg deux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinageVx0 dex0. Sig ne s'annule pas surVx0, alors :

f(x)∼_x0 g(x)⇐⇒ lim

x→x₀

f(x) g(x) = 1.

Proposition.

Démonstration. (démonstration à connaître) Soit V_x0 tel que ∀x∈V_x0,g(x)6= 0.

Si f(x) ∼_x0 g(x), alors il existe ϕ telle que limx→x₀ϕ(x) = 1 et un voisinage V_x⁰₀ de x0 tels que ∀x ∈ V_x⁰₀, f(x) =g(x)ϕ(x). Donc pour tout x∈Vx0 ∩V_x⁰₀, ^f(x)_g(x) =ϕ(x), ce qui donne :

x→xlim₀ f(x)

g(x) = lim

x→x₀ϕ(x) = 1.

Réciproquement, on suppose quelimx→x0

f(x)

g(x) = 1. Soitϕla fonction dénie surV_x0 par∀x∈V_x0,ϕ(x) = ^f(x)_g(x). Par construction, ∀x∈Vx0,f(x) =g(x)ϕ(x), et

x→xlim₀ϕ(x) = lim

x→x₀

f(x) g(x) = 1.

Donc f(x)∼_x0 g(x).

1.2 Propriétés

L'ensemble des résultats qui suivent se montrent en revenant à la dénition, de même que dans le cas des suites.

Soitx0∈R, etf,gethtrois fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinageVx0 dex0. Sif(x)∼_x0 g(x) etg(x)∼_x0 h(x) alorsf(x)∼_x0 h(x).

Proposition (Transitivité des équivalents).

Soit x0 ∈R, etf etgdeux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage Vx0 de x0. Si lim

x→x₀f(x) =`∈R<sup>∗</sup>, alors f(x)∼<sub>x0</sub> `. Sif(x)∼_x0 g(x) et si lim

x→x₀g(x) existe, alors lim

x→x₀f(x)existe et ces deux limites sont égales.

Proposition (Équivalents et limites).

Soit x₀ ∈R, etf etgdeux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 de x₀. Sif(x)∼_x0 g(x) et sif ne s'annule pas au voisinage de x0 alorsg non plus.

Sif(x)∼_x0 g(x) et sif est positive au voisinage de x0, alors g l'est également.

Proposition (Équivalents et signe de la fonction).

Soit x₀ ∈ R, et f₁, f₂, g₁, g₂ des fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 de x₀. Si f1(x)∼_x0 g1(x) et sif2(x)∼_x0 g2(x) alors(f1f2)(x)∼_x0 (g1g2)(x).

Si de plusg2 ne s'annule pas au voisinage dex0, alors f1

f2

(x)∼_x0 g1

g2

(x). Proposition (Produit et quotient d'équivalents).

Soitx₀ ∈R, etf etgdeux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinageV_x0 dex₀. Sif(x)∼_x0 g(x) alors|f(x)| ∼_x0 |g(x)|.

Proposition (Équivalents et passage à la valeur absolue).

Soit x₀ ∈R, etf etg deux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 de x₀. Soit α ∈R. Si f(x)∼_x0 g(x) alorsf^α(x)∼_x0 g^α(x)dès que les puissances sont bien dénies.

Proposition (Équivalents et passage à la puissance).

Remarque. ATTENTION ! Toute autre opération est interdite, notamment la composition d'un équivalent par une fonction et la somme d'équivalents.

1.3 Équivalents usuels

Soit α∈R^∗ xé,

ln(1 +x)∼₀ x, e^x−1∼₀ x, sinx∼₀ x, cosx−1∼₀ −1

x², (1 +x)^α−1∼₀αx.

Formule (Équivalents usuels au voisinage de zéro).

Exemple 1. Soitf la fonction dénie surR^∗ par∀x∈R^∗,f(x) = ^sin(2x)_x2 . Déterminer un équivalent def au voisinage de0.

Comme lim

x→02x = 0, les équivalents précédents donnent sin(2x) ∼₀ 2x. En divisant par x² qui ne s'annule pas au voisinage de0, on trouve

sin(2x) x² ∼₀ 2

x.

Exemple 2. Soit g la fonction dénie sur R^∗₊ par ∀x ∈ R^∗₊, g(x) = ln 1 +¹_x

. Déterminer un équivalent de g au voisinage de+∞.

Comme lim

x→+∞

1

x = 0, les équivalents précédents donnent directementg(x)∼+∞ 1 x.

2 Fonction négligeable devant une autre fonction

2.1 Dénition et première caractérisation

Soit x₀ ∈R, etf,g deux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 de x₀. On dit que f est négligeable devantg au voisinage dex0 lorsqu'il existe une fonctionεdénie surVx0 telle que∀x∈Vx0, f(x) =g(x)ε(x)et que lim

x→x₀ε(x) = 0. On note alors f(x) =x0 o(g(x)) Dénition (Fonction négligeable devant une autre fonction).

Soit x₀ ∈R, et f,g deux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 de x₀. Si g ne s'annule pas surVx0, alors

f(x) =x0 o(g(x))⇐⇒ lim

x→x0

f(x) g(x) = 0.

Proposition.

Démonstration. (démonstration à connaître) Soit V_x0 tel que ∀x∈V_x0,g(x)6= 0.

Sif(x) =_x0 o(g(x)), alors il existe une fonction εtelle que limx→x₀ε(x) = 0 et un voisinageV_x⁰₀ de x₀ tels que

∀x∈V_x⁰₀,f(x) =g(x)ε(x). Donc pour x∈Vx0 ∩V_x⁰₀, ^f(x)_g(x) =ε(x), ce qui donne :

x→xlim0

f(x)

g(x) = lim

x→x0

ε(x) = 0.

Réciproquement, on suppose quelimx→x0

f(x)

g(x) = 0. Soit εla fonction dénie pour toutx∈V_x0 parε(x) = ^f(x)_g(x). Par construction, ∀x∈Vx0,f(x) =g(x)ε(x), et

x→xlim₀ε(x) = lim

x→x₀

f(x) g(x) = 0.

Donc f(x) =x0 o(g(x)).

2.2 Propriétés

Les résultats qui suivent se montrent en revenant à la dénition, de même que dans le cas des suites.

Soit x0 ∈R etf,gdeux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage Vx0 de x0. Alors : f(x)∼_x0 g(x)⇐⇒(f−g)(x) =_x0 o(g(x)).

Sif(x) =_x0 o(g(x))et si g(x)∼_x0 h(x) alorsf(x) =_x0 o(h(x)). Théorème (Relation entre équivalence et négligeabilité).

Soit x0 ∈R etf,geth trois fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage Vx0 de x0. Sif(x) =_x0 o(g(x)) et sig(x) =_x0 o(h(x))alorsf(x) =_x0 o(h(x)).

Proposition (Transitivité des fonctions négligeables).

Soit x0 ∈R et f une fonction à valeurs réelles, dénie sur un voisinage Vx0 de x0. Sif(x) =x0 o(1)alors

x→xlim₀f(x) = 0.

Proposition (Fonction négligeable devant1).

Soit x₀ ∈R etf₁,f₂,g₁,g₂ des fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage V_x0 de x₀. Sif₁(x) =_x0 o(g₁(x))et sif₂(x) =_x0 o(g₁(x))alors(f₁+f₂)(x) =_x0 o(g₁(x)).

Sif₁(x) =_x0 o(g₁(x))et sif₂(x) =_x0 o(g₂(x))alorsf₁f₂(x) =_x0 o(g₁g₂(x)). Proposition (Somme et produit de fonctions négligeables).

Soit x0 ∈R etf etgdeux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinage Vx0 de x0. On suppose que f(x) =_x0 o(g(x)). Alors|f|(x) =_x0 o(|g|(x)).

Proposition (Fonctions négligeables et passage à la valeur absolue).

Soit x0 ∈R et f etg deux fonctions à valeurs réelles, dénies sur un voisinageVx0 dex0. Soitα ∈R^∗₊. Si f(x) =x0 o(g(x)) alorsf^α(x) =x0 o(g^α(x)) (à condition que les puissances soient bien dénies).

Proposition (Fonctions négligeables et passage à la puissance).

2.3 Négligeabilités classiques

x^α =+∞ o(x^β) lorsque α < β, x^β =₀ o(x^α) lorsque α < β,

(lnx)^β =+∞ o(x^α) lorsque α >0 etβ >0, (ln|x|)^β =₀ o(_x¹α) lorsque α >0 etβ >0, x^α =+∞ o(a^x) lorsque α >0 eta >1,

a^x =+∞ o(b^x) lorsque |a|<|b|. Formule (Négligeabilités classiques).

Exemple 3. Pourα réel etβ >0,

x→+∞lim e^βx

x^α =+∞ par croissances comparées. Exemple 4. Pourα >0 etβ >0,

x→+∞lim (lnx)^β

x^α =0 par croissances comparées. Exemple 5. Pourα >0 etβ réel,

lim

x→0⁺x^α(lnx)^β =0.

C'est également une croissance comparée, un peu déguisée. En eet,

x→0lim⁺x^α(lnx)^{β y=}

1

=x lim

y→+∞

(−ln(y))^β y^α = 0.