CHAP G5
Géométrie dans l’espace : les solides pointus
I. Représentation en perspective cavalière et patron d’une pyramide et d’un cône de révolution
Définition : Une pyramide est un solide dont :
La base est un polygone
Les faces latérales sont des triangles qui ont un point commun.
Ce point commun est appelé le sommet principal de la pyramide.
Définition : La hauteur de la pyramide est la droite qui passe par le sommet de la pyramide et qui est perpendiculaire à la base.
Représentation en perspective cavalière d’une
pyramide dont la base est un carré : Patron d’une pyramide dont la base est un carré :
Remarque :
Une pyramide dont la base est un triangle s’appelle un tétraèdre.
Définition : Un cône de révolution est un solide dont :
la base est un disque
la surface conique est engendrée par une génératrice.
Définition : La hauteur du cône est la droite qui passe par le centre de sa base et par le sommet du cône.
Représentation en perspective cavalière d’un cône :
Patron d’un cône :
Remarque : Pour tracer le patron d’un cône, il est nécessaire de calculer l’angle au sommet de la surface latérale. Pour cela, il faut suivre les étapes suivantes :
1. Calculer le périmètre de la base du cône (car la surface latérale vient s’enrouler autour) : Ici : 𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 × 𝜋 = 6 × 𝜋 ≈ 18,8 𝑐𝑚
2. Calculer le périmètre du cercle entier dont la génératrice du cône est un rayon : Ici : 𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 = 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 × 𝜋 = 10 × 𝜋 ≈ 31,4 𝑐𝑚
3. Grâce à la proportionnalité et donc à l’aide d’une produit en croix, calculer l’angle au sommet :
Mesure de l’angle 360° 216°
Longueur de l’arc de cercle
31,4 cm 18,8 cm Alors 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑎𝑢 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡 = 360 × 18,8 ÷ 31,4 ≈ 216°
II. Aires et volume d’une pyramide et d’un cône de révolution
Propriété : Pour calculer l’aire ou le volume d’un solide pointu, on utilise les formules suivantes :
Aire totale volume
Pyramide Somme des aires de toutes les faces
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 =
𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 × 𝒉𝒂𝒖𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒖 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆 Cône de 𝟑
révolution
Somme de l’aire de la base (disque) et de l’aire de la surface conique
Rappels : aire des figures planes :
Carré : 𝑐ô𝑡é × 𝑐ô𝑡é
Rectangle : 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 × 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟
Disque : 𝜋 × 𝑅 × 𝑅 (et périmètre du cercle : 2 × 𝜋 × 𝑅)
