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Sur les cas généraux d’impossibilité de l’équation <span class="mathjax-formula">$x^3+y^3=Az^3$</span>

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

É DOUARD L UCAS

Sur les cas généraux d’impossibilité de l’équation x

3

+ y

3

= Az

3

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 19 (1880), p. 206-211

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1880_2_19__206_1>

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(2)

SUR LES CAS GÉNÉRAUX D'IMPOSSIBILITÉ DE L'ÉQUATION

PAR M. EDOUARD LUCAS.

Nous avons démontré (1), d'après M. Sylvester, que, si Ton désigne par p et q deux nombres premiers des formes i 8 « -H 5 et i 8 « -+-11, l'équation

est impossible pour les six valeurs générales de A qui suivent :

P> *P, 4P% 9a» 272> 4<7-

A ces valeurs on doit ajouter les six valeurs générales P2> 1> 9A 9/>2> 97' 992>

qui ont été indiquées par le P. Pépin. Nous allons faire voir que la méthode de Fermât, par la décomposition en facteurs, permet encore de démontrer l'impossibilité pour les six valeurs de A ; mais, pour abréger, nous ren- verrons le lecteur à l'article que nous venons de mention-

( ' ) Nouvelles Annales, 2e série, t. XVII, p. 5c; et suiv.

(3)

ner pour les notations et l'ensemble des démonstrations.

Posons A — 3*B-, X sera égal à 2 ou à o, et B divisé par 9 donnera pour reste l'un des nombres ± 2 , dz 4«

Nous aurons alors quatre cas à considérer dans la dé- composition

I. x -f- y divisible par 6 ;

IL x-hy divisible par 3, et non par 1 \ III. x -hy divisible par 2, et non par 3 *, IV. x -h y non divisible par 2 et par 3.

Les deux derniers cas ne se présentent que pour ^ = 0;

d'ailleurs, x 4 - y sera nécessairement divisible par B [loc. cû., p. 510, ligne 7).

PREMIER CAS : x -f-y divisible par 6. — Alors on a

z= lab ;

par conséquent, l'identification donne

0

c'est-à-dire

Pour X = o, a est divisible par 3, et, en posant on a

d'où l'on lire ou bien

(4)

Ces deux décompositions donnent

ou

par conséquent, on ramène l'équation proposée à une autre semblable, en moindres nombres, dans laquelle z pair contient un facteur 3 en moins, ce qui conduit au troisième cas, ou dans laquelle z est impair, ce qui con- duit au deuxième cas.

De même, pour X = 2, on ramène l'équation à une autre en moindres nombres ou à l'équation

qui est impossible suivant le module 9.

DEUXIÈME CAS : x ~\- y divisible par 3, et non par 2.

— Alors on a

z •= ab;

par conséquent, l'identification donne

ou bien

ƒ ( ƒ > - 9£') db

Mais g(f* — g2) est nécessairement divisible par 3, puisque ƒ ne peut l'être 5 donc l'équation précédente est toujours impossible suivant le module 9.

L'impossibilité se trouve donc démontrée pour les quatre valeurs

9P> 9/'2' 9?> 9<72-

TROISIÈME CAS : x -f- y divisible par 2, et non pari. — Alors on a

/ - , y \ 2 / y. I y \ 2

31 - ) -i- — — ) ~b?, z—2.ab;

\

2

/ V

2

/

(5)

( 2 O9 ) par conséquent, l'identification donne

ou bien

On est ainsi ramené aux deux équations de même forme p3H -7 3= B ( 2 a )3 et Bp3-h7 3— (2a)3.

La première est une équation en moindres nombres qui correspond au troisième cas ; la seconde est une équation dans laquelle z est impair et non divisible par 3, ce qui correspond au quatrième cas.

QUATRIÈME CAS : x-\-y non divisible ni par 2 ni par 3. — L'identification donne

Fzp3G = Ba\

ou bien

ƒ ( ƒ » - 9s2) ±9g(f2- g') = Ba'j celte équation est impossible suivant le module g.

Ainsi, en résumé, les équations

x3 -f- y3 = A z3 et xy ( x -f- y ) = A z3

sont impossibles à résoudre en nombres entiers pour les douze valeurs de A :

Pt P\ <h 7% $p> 9P^ 99> 97% V» 4/^% 27% 4?- Les théorèmes précédents ne concernent que l'impos- sibilité pour les facteurs p ou q de la forme 6 « - 4 - 5 ; mais il existe un grand nombre d'autres théorèmes gé- néraux d'impossibilité pour les nombres /*, s, t des formes respectives i8/2-H 1, 18n 4 - i 3 , 18/2 -f- 17. Ces nombres appartiennent à la forme linéaire 6n 4 - 1 et à la forme quadratique L2-h 3M2. On a, par exemple, les théorèmes suivants, dont nous nous réservons la démons-

Ann. de Mathcmat.y 3e série, t. XIX. (Mai 1880.) l 4

(6)

tration et qui concernent les nombres /', s, t, pour les- quels le nombre M correspondant de la forme quadra- tique n'est pas un multiple de 3. Ces nombres sont compris dans le Tableau suivant:

Nombres Forme

premiers. lineaire. Forme quadratique.

r ou ;2 18// -f 1 (9h "h /[ )2 -f-

( 9/' ^ = 4 )2- T -

.v ou P 18/2 -f- 7 (g/< ± 1)- -f-

(9//±2 2-r-

(g/j rz: 2 )' -t- 3 ' 9 / zh t ou. s2 ] 8/* -h ] 3 ( 9 h r z 1 )? -

( 9 * = '% 1- Cela posé, on a le théorème suivant :

THÉORÈME. — Les équations x* + j6 = A-2;3 ^^

. r / ( x -hj)") = A^3 50/zA impossibles à résoudre en nombres entiers pour les huit valeurs suivantes de A :

On peut assez facilement trouver des séries indéfinies de théorèmes analogues conduisant à Y impossibilité.

On peut aussi obtenir des séries indéfinies de théo- rèmes conduisant à la résolution complète ; mais, dans ce but, il faut employer les résultats dus à M. Sylvester dans son importante théorie de la résiduation. On a, par exemple, le théorème suivant :

THÉORÈME. — On peut résoudre complètement les équations x* -hyz — Ai;3 et xy (x -h y) = A23 par la combinaison des formules

r, ^ <tf Jf <tf

djt fh'i dzx

(7)

et des formules

f{x,y, z) z=z o,

qui donnent une nouvelle solution au moyeu d'une ou de deux premières solutions, pour les valeurs suivantes de A :

i° Lorsque A est un nombre premier iSn -f- i3 ou le carre d'un nombre premier 18 n -f- 7 •

20 Lorsque A es/ /<? double d'un nombre premier i8/i -f- i3 OM /e double du carré d'un nombre premier I8M -h 7, à /a condition que, dans la forme quadratique correspondante L2 -f- 3 M2, le nombre M ne soit pas di- visible par 3 ;

3° Lorsque A est le quadruple d'un nombre premier I8AJ -f- 7, OM Ze quadruple du carré d'un nombre pre- mier \§n -j- i 3 , flt^c /a même condition que précédem- ment.

On a d'ailleurs, pour les nombres de la forme L* -h 3 M% les identités suivantes :

(3M -f L'3 -f- 3IM — L)3 = a*3it(La-f-3M2)«\

avec M r z z ? / - ^ -2^ ;

,?.L)3+ iL + SM^^S'^L'-i-SM2)/*1, avec L - h M = 3^~2a3;

(L-f- M)8-!- (L— M)3 = î>/(L5-f- 3fA*)a\

avec L = 2/ - 1a3 5

avec L -+- 3M = a3.

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