SYSTÈME DE DISTRIBUTION D’UN MOTEUR 4 TEMPS.

Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DE DISTRIBUTION D’UN MOTEUR 4 TEMPS.

Première chose à effectuer : LA FIGURE PLANE de changement de bases.

1/0 .z

  

Étude géométrique

Question 1 :

Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe ( , )O z .

Par conséquent, la trajectoire du point T_I1/0 est un arc de cercle d’axe ( , )O z , de centre O et de rayon [OI].

Le mouvement de 2/0 est une translation rectiligne de direction y₀.

Par conséquent, la trajectoire T_I2/0 est un segment de droite porté par ( ,I y₀).

Question 2 :

- dans R A x y z₂( , ₂, ₂, ₂) : O I₂ AIe.cos .x₀ (NB : B2=B0 car 2/0 est un mouvement de translation) La trajectoire du point I dans le repère R2 est le segment [QR] avec Q e( ;0)₂ et R e( ;0)₂.

- dans R O x y z₁( , ₁, _{1 1}, ) : O I₁ OI e x. ₁R y. ₀ e x. ₁R.cos .y₁R.sin .x₁

La trajectoire du point I dans le repère R1 est le cercle de centre C e( ;0)₁ et de rayon R.

- dans R O x y z₀( , ₀, ₀, ₀) : O I₀ OIe x. ₁R y. ₀ e.cos .x₀e.sin .y₀R y. ₀

La trajectoire du point I dans le repère R0 est le cercle de centre D(0; )R ₀ et de rayon e.

y1

x1

z





x0

y0

Étude cinématique graphique

Question 3 :

2/1

VI_ : Il se détermine graphiquement par la composition des vecteurs vitesse en I : V_I2/1V_I2/0V_I0/1

Étude cinématique analytique

Question 4 :

1^ère méthode :

2/1 /1 /2

I I I

V_ V V

1 0 0

/1 1 0/1 0 0 0

1 1 1 1

( . . ) .

. . . .

I

d e x R y d y

dO I dOI

V R R y R z y R x

dt dt dt dt

   

    

                 

 

       

     

0

/2 2 0

2 2 2

( .cos . )

. .sin . I

d e x

dO I d AI

V e x

dt dt dt

 

    

         

 

     

   

Donc V_I2/1 R. .x₀ e. .sin .x₀

2^ème méthode :

Ne jamais déterminer une vitesse de glissement par :

- la dérivation vectorielle V_I2/1V_I/1 "I 2" car on ne sait pas traduire "I2",

- le relation du champ des vecteurs vitesses V_I2/1V_{? 2/1} I? _2/1 car on ne connaît pas la vitesse d'un autre point de 2/1.

2/1 2/0 1/0

I I I

V_ V_ V_

0 0

2/0 2/0 /0 /0 0

0

0 0

[ . ]

" 2" .

I A A A

dO A dOA d y

V V V A V y

dt dt dt

 

      

            

 

     

   

1/0 1/0 1/0 ( . 0 . )1 . . . 0 . . 1

I O

V_ V _ IO   R y e x     z R x  e y Donc V_I2/1 .y₀ R. .x₀ e y. . ₁

(ce qui paraît étonnant car la vitesse de glissement doit être dans le plan tangent, donc suivant x₀ !!!!) Mais si on remplace   e sin R (relation issue de la géométrie du mécanisme), on obtient :

cos

   e 

Et si on projette y₁ dans la base 0 : y₁cos .y₀sin .x₀

2/1 . 0 . . 0 . . 1

VI_  y  R x  e y

2/1 . .cos . 0 . . 0 . .(cos . 0 sin . 0) VI_  e y  R x  e y  x

2/1 . . 0 . .sin . 0

VI_  R x  e x

Question 5 :

2/1 2/0

    _0/1 .z

La composante de pivotement en I est : p_2/1^I 0 La composante de roulement en I est : r_2/1^I  .z

De même, ne pas déterminer la vitesse de translation par 2/0 /0 " 2"

I I

V_ V  I car là aussi on ne sait pas traduire "I2".

Corrigé Exercice 2 : GUIDAGE LINAIRE DE SYSTÈMES MÉDICAUX.

Question 1 :

Il est dit que les billes ne glissent pas, donc les vitesses de glissement sont nulles :

2/0 2/0 2/1 2/1 3/1 3/1 3/0 0

A B C D E F G

V _ V _ V _ V _ V _ V _ V _ 

Ainsi (AB), (CD) et (EF) sont les axes instantanés de rotation, respectifs de 2/0, de 2/1 et de 3/1.

NB: Par définition _2/0 a même direction que l’axe instantané de rotation de 2/0…

Question 2 :

Déterminer V_C2/0 en fonction de ₂₀, puis V_E3/0 en fonction de ₃₀. En déduire une relation entre ₂₀ et v, puis une relation entre ₃₀ et v.

2/0 2/1 1/0 1/0 .

C C C C

V _ V _ V _ V _ v x

3/0 3/1 1/0 1/0 .

E E E E

V _ V _ V _ V _ v x

2/0 2/0 2/0 2 2 2/0 2/0 2/0

( 2 3).

2 3

( ) . (?. . ?. . ) . .

2 2 2

C A

R

R R

V _ V _ CA CO O A y y z y z y   x

              

3/0 3/0 3/0 ( 3 3 ) 3/0. (?. .sin . . ) 3/0. .(sin 1). 3/0.

E G

V _ V _ EG   EO O G   y yr  z r z   y r    x

Ainsi ( 2 3). ^2/0 _3/0

.(sin 1).

2

R   v r

    

Question 3 :

Donc _2/0 2.

.( 2 3)

v R

 

 et _3/0

.(sin 1) v

  r

 

 

A 0

v y

R

 

  

  

 

 

V

 

G 0

v y

r

 

   

  

 

 

V

Question 4 :

3/0 .

.(sin 1)

v y

  r

 

donc la composante de pivotement en G est : p_3/0^G 0

la composante de roulement en G est : _3/0 . .(sin 1)

G v

r y

 r

 

2/0

2. .

.( 2 3)

v y

 R



donc la composante de pivotement en B est : _2/0 2.

.cos 60

.( 2 3) .( 2 3)

B v v

p R R

   

 

la composante de roulement en B est : _2/0 2. . 3

.sin 60

.( 2 3) .( 2 3)

B v v

r R R

   

 

Question 5 :

2 2/0 2/0 2 2/0 2/0 2/0

3 . 3. . 3

( ?. . ) . . .

2 2 2 3

O A

R R v

V _ V _ O A y z y  x x

          



3 3/0 3/0 3 3/0 . 3/0. . 3/0. .

sin 1

O G

V _ V _ O G   r z  y r x v x

 

Question 6 :

. 3

sin 1

2 3

v  v

  

2 3

sin 1

3

     2

sin 3

     54,7

Corrigé Exercice 3 : BANC DE TESTS DE PNEUMATIQUES.

Première chose à effectuer : LES FIGURES PLANES de changement de bases.

   

  y1

x1

zz1w

  x

y v

u x2

  z2

y2

u x2

  v

w  z z1

1/0 .z

   _3/0  .z _2/3 .u

Question 1 :

Pour maintenir le contact entre 2 et 1 au point I, V_I2/1 doit appartenir au plan tangent au contact, donc V_I2/1 z 0

Question 2 :

2/1 2/3 3/1 0

H H H

V _ V _ V _ 

car le mouvement de 2/3 est une rotation d’axe (HC) et le mouvement de 3/1 une rotation d’axe (OH).

Question 3 :

Pour calculer une vitesse de glissement, 2 possibilités :

 V_I2/1V_I/1V_I/2 : décomposition, puis calcul de V_I/1 et V_{I/ 2} par la dérivation vectorielle ;

 V_I2/1V_I2/3V_I3/0V_I0/1 : composition des vitesses (car les mvts de 2/3, 3/0 et 1/0 sont définis), suivie de la relation du champ des vecteurs vitesses des points appartenant à un solide.

1^ère méthode :

2/1 /1 /2

I I I

V_ V V

/1 3/1 3/0 0/1

1 1

( . )

. .( ) .( . . ) ( ).

I

dOI d d u

V d u d u d z z u d d v

dt dt

                  

/2 3/2

2 2

( . )

. .( . ) .

I

dCI d r z

V r z r u z r v

dt dt

             

Donc V_I2/1V_I/1V_I/2     (d d r ).v

2 méthode :

2/1 2/3 3/0 0/1

I I I I

V_ V_ V_ V_ : V_I2/3V_C2/3IC _2/3

2/3 2/3 2/3

I C

V_ V _ IC 

2/3 0 . .

VI_  r z u

2/3 .

VI_  r v

3/0 3/0 3/0

I O

V_ V _ IO 

3/0 0 . .

VI_  d u z

3/0 .

VI_  d v

1/0 1/0 1/0

I O

V_ V _ IO 

1/0 0 . .

VI_  d u z

1/0 .

VI_  d v Donc V_I2/1V_I2/3V_I3/0V_I0/1     (r d d ).v

Question 4 :

2/1 0 ( ). 0

VI_       d d r v  d     d r

Question 5 :

Les deux points I et H sont tels que : V_I2/10 et V_H2/10.

Par conséquent, l’axe instantané de rotation du mouvement de 2 par rapport à 1 est la droite (IH).

NB: Par définition _2/1 a même direction que l’axe instantané de rotation ().

Question 6 :

2/1 2/3 3/0 0/1 .u ( ).z

            

La composante de pivotement en I est : p_2/1^I    ( ).z La composante de roulement en I est : r_2/1^I  .u

Corrigé Exercice 4 : VITESSE D’UN VÉHICULE.

Question 1 :

/ . / / / / / / . ( / . ) . / .

C S I C S I C R I R S I C R A C R C R R C R C

v xV_ V_ V_ V_ V _ IA  r y  z   r x

/ . /

C S R C

v  r Mouvement

de translation

Roulement sans glissement