Probabilités : conditionnement et dépendance 1. Probabilités conditionnelles
a) Exemple
En 2018, au bac S, on avait les résultats suivants
Admis Refusés Total
Filles 89195 7441 96636
Garçons 98434 9668 108102
Total 187629 17109 204 738
On choisit un élève de TS de 2018 au hasard
On nomme , , , les événements « C’est une fille », « C’est un garçon », « Il a été admis », « Il a été refusé »
Déterminer ( ), ( ), ( ), ( ), ( ∩ )
On cherche à vérifier l’affirmation : « Les filles réussissent moins le bac S que les garçons » On nomme ( ) la probabilité qu’une fille soit admise. Comment la calculer ?
Calculer de même ( ) Que peut-on conclure ?
Quelle est la probabilité qu’un élève soit un garçon sachant qu’il est admis ?
b) Définition
Si , sont deux événements d’un même univers Ω et que ( ) ≠ 0, on appelle probabilité conditionnelle de sachant la probabilité que l’événement ait lieu, sachant que s’est réalisé.
Autrement dit, on n’est plus dans Ω mais dans (puisque est réalisé). Et les éléments cherchés ne sont plus ceux de tout entier, mais ceux de ∩
C’est pour cette raison qu’on a ( ) = ( ∩ )( ) Que vaut ( ) ? Et ( ) ?
En fait, est une probabilité sur l’univers
c) Probabilités conditionnelles et arbres Un exemple :
S’il pleut, la probabilité que Toto arrive en retard à l’école est de 0,4 et s’il fait beau elle est de 0,1. Pour demain, la météo annonce de la pluie avec une probabilité de 0,7.
Quelle est la probabilité que Toto soit en retard demain ?
Si on appelle , , , les événements « Toto est à l’heure », « Toto est en retard », « Il fera beau demain », « Il fera mauvais demain », les données de l’énoncé sont :
0,7 est la probabilité qu’il fasse mauvais : ( ) = 0,7 ; ( ) = 0,3
0,4 et 0,1 sont deux probabilités qu’il soit en retard, mais aucune n’est ( ). En effet, 0,4 est la probabilité qu’il soit en retard quand il fait mauvais, c’est donc ( ), et de même 0,1 = ( ) On peut donc représenter un arbre pondéré :
La formule des probabilités conditionnelles peut aussi se lire ( ∩ ) = ( ) × ( ).
On a donc ( ∩ ) = 0,4 × 0,7 = 0,28 et ( ∩ ) = 0,1 × 0,3 = 0,03 L’événement ∩ se lit « Demain il fera mauvais et Toto sera en retard »
Finalement, est la réunion disjointe des événements ∩ , ∩ , donc ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) = 0,28 + 0,03 = 0,31
Finalement, Toto est arrivé en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait plu ? On cherche cette fois ( ), et d’après la formule, ( ) = ( ∩ )
( ) = ,
, soit un peu plus de 0,9
d) Quelques remarques
On s’aperçoit sur l’exemple qu’il ne faut pas toujours utiliser la formule pour calculer des probabilités conditionnelles. Certaines sont données dans l’énoncé, et servent à calculer des probabilités d’intersection, d’autres sont à calculer avec la formule.
Comme toujours, il est important de lire et de comprendre l’énoncé.
Les probabilités conditionnelles se mettent sur les branches des arbres. Je vous recommande d’ailleurs de l’écrire au moins pour une d’elles.
La manière de trouver la probabilité de la cause (il a plu) à l’aide de la probabilité de sa conséquence (Toto a été en retard) s’appelle méthode Bayésienne (du nom de son inventeur, le révérend Bayes)
e) La loi des probabilités totales
Si est un événement de probabilité différente de 0 et 1, et un événement du même univers, alors est la réunion disjointe des événements ∩ , ∩ ̅
Ainsi ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ̅) = ( ) × ( ) + ( ̅) × ̅( ) On a une forme plus générale
Si , , … sont des événements deux à deux disjoints, chacun de probabilité non nulle, et de réunion Ω, on dit qu’ils forment une partition de Ω ou un système complet d’événements.
Dans ce cas, pour tout événement , on a :
( ) = ( ) × ( ) + ( ) × ( ) + ⋯ + ( ) × ( )
Un exemple de système complet d'événements : dans un lycée on choisit un élève au hasard. Les événements « Il est en seconde », « Il est en première », « Il est en terminale » forment un système complet.
