2 3 2
3
0 1
1
x y
ln(a+1) I(a) I(a)
2 3
2 3
0 1
1
x y
A A'
an 06. p 38. La Réunion.
On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[, par : f(x) = ln(x + 1) et g(x) = ex − 1.
On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal (O, i→ ; j→).
Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera jointe à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat.
1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0).
Préciser la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente.
2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
3. Soit a un nombre réel strictement positif.
On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre I(a) =
⌡ ⌠
0
a ln(x + 1) dx.
a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que : I(a) = a ln(a+1) −
⌡ ⌠
0
ln(a+1) (ex − 1)dx.
b. En déduire la valeur de I(a).
c. Retrouver la valeur de I(a) en faisant une intégration par parties.
On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[, par : f(x) = ln(x + 1) et g(x) = ex − 1.
On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal (O, i→ ; j→).
1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0).
Préciser la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente.
Composées de fonctions dérivables sur [0 ;+ ∞[, f et g sont dérivables sur cet intervalle.
f ’(x) = 1
x+1 donc f’(0) = 1 et g’(x) = ex donc g’(0) = 1 = f’(0)
la tangente à Cf au point O(0 ; 0) a pour équation y = f’(0)(x – 0) + f(0) la tangente a Cg au point O(0 ; 0) a pour équation y = g’(0)(x – 0) + f(0)
or f’(0) = g’(0) = 1 et f(0) = g(0) = 0 donc en O(0 ; 0), Cf et Cg ont la même tangente (T) d’équation y = x.
La position de Cf par rapport à (T) est donnée par le signe de f(x) – x.
On pose h(x) = f(x) – x = ln(x +1) – x
h est dérivable dans [0 ; +∞[ et h’(x) = 1
x + 1 - 1 = -x x + 1
dans [0 ; ∞[, h’(x) ≤ 0 donc h décroît et comme h(0) = 0, h(x) ≤ 0 ce qui prouve que f(x) ≤ x.
on sait alors que Cf est « en dessous » de (T).
2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
f : x → f(x) = ln(x + 1) avec x ∈ [0 ; +∞[ et y ∈ [0 ; +∞[ car : x ≥ 0 donc x + 1 ≥ 1 donc ln(x + 1) ≥ 0 Or y = f(x) ⇔ y = ln(x + 1) ⇔ ey = x + 1 ⇔ ey – 1 = x ⇔ x = g(y)
Ceci prouve que les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre et donc leurs courbes représentatives sont symétriques
par rapport à la droite d’équation y = x
(la tangente commune aux deux courbes).
3. Soit a un nombre réel strictement positif.
On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre I(a) =
⌡ ⌠
0
a ln(x + 1) dx.
a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que : I(a) = a ln(a+1) −−−−
⌡ ⌠
0
ln(a+1) (ex−−−− 1)dx.
I(a) est l’aire du domaine limité par Cf, l’axe des abscisses et la droite d’équation x = a.
et puisque Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x :
I(a) est aussi l’aire du domaine limité par Cg, l’axe des ordonnées et la droite d’équation y = a
or le point de Cg d’ordonnée a, a pour abscisse ln(a+1) (puisque le point de Cf d’abscisse a, a pour ordonnée ln(a+1)) donc I(a) est l’aire du rectangle de côtés a et ln(a+1) privée de l’aire, sous la courbe Cg, entre 0 et ln(a+1)
c’est à dire I(a) = a ln(a+1) −
⌡ ⌠
0
ln(a+1) g(x)dx. = a ln(a+1) −
⌡ ⌠
0
ln(a+1) (ex− 1)dx.
b. En déduire la valeur de I(a).
⌡ ⌠
0
ln(a+1) (ex − 1)dx = [ex − x]ln(a+1)0
= a+1 − ln(a+1) − 1 = a − ln(a+1) donc I(a) = aln(a+1) − a + ln(a+1) = (a+1)ln(a+1) − a = I(a)
c. Retrouver la valeur de I(a) en faisant une intégration par parties.
I(a) =
⌡ ⌠
0
a ln(x + 1) dx avec u(x) = ln(x+1) v'(x) = 1 on a
u'(x) = 1x+1 v'(x) = x + 1 I(a) = [(x+1)ln(x+1)]a0 −
⌡ ⌠
0
a 1 dx = [(x+1)ln(x+1)]0a − [x]a0 = (a+1)ln(a+1) − 1ln1 − a = (a+1)ln(a+1) − a comme au b. …
