COURS PREMIÈRE S LES VECTEURS
A. Définition et propriétés
Les définitions et propriétés suivantes sont communes aux vecteurs du plan et aux vecteurs de l’espace.
1. Définition : Un vecteur est défini par une direction, un sens et une longueur (norme) : le vecteur ⃗u a la direction de la droite (AB), le sens de A vers B, et la longueur (ou norme du vecteur) est celle de AB.
La somme des vecteurs ⃗u et ⃗v est le vecteur ⃗u + ⃗v tel que , A, B, C, D sont les points définis par ⃗u = ⃗AB , ⃗v = ⃗AC et
⃗AD= ⃗u + ⃗v , alors ABDC est un parallélogramme.
2. Propriétés : a) ⃗AB = ⃗CD est équivalent à ABDC est un parallélogramme.
b) ⃗AA = ⃗0 qui est le vecteur nul.
c) Relation de Chasles : pour tous points A, B, C, on a ⃗AB+ ⃗BC = ⃗AC
d) Vecteur opposé : ⃗BAest le vecteur opposé au vecteur ⃗AB; on a ⃗BA + ⃗AB = ⃗0.
e) Pour k, nombre réel, on définit le vecteur k ⃗u par le vecteur de même direction que ⃗u, de norme |k| fois celle de ⃗u et de même sens que ⃗u si k > 0 et de sens opposé si k < 0.
e) Vecteurs colinéaires : deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction ; deux vecteurs ⃗u et ⃗vsont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que ⃗v = k⃗u .
Conséquences : ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires équivaut à : les points A, B et C sont alignés.
⃗AB et ⃗CD sont colinéaires équivaut à : les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
f) Points particuliers : Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) I milieu du segment [AB] ; 2) ⃗IA+ ⃗IB = ⃗0; 3) ⃗AI= ½ ⃗AB ; 4) pour tout point M , on a ⃗MA+⃗MB = 2⃗MI .
Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1) G est le centre de gravité du triangle ABC ; 2) ⃗GA+ ⃗GB +⃗GC = ⃗0 ;
3) pour tout point M, on a ⃗MA+ ⃗MB + ⃗MC = 3⃗MG .
g) Caractérisation d’une droite : Soit A un point de l’espace et ⃗u un vecteur ; l’ensemble des points M tel que ⃗AM = k⃗u où k est un réel, est la droite passant par A et de vecteur directeur ⃗u (le vecteur directeur indique la direction de la droite).
B. Les vecteurs dans une base :
1. Repère du plan : Deux vecteurs non colinéaires du plan forment une base de l’ensemble des vecteurs du plan.
Tout vecteur du plan s’écrit en fonction des vecteurs de la base : soit (⃗i , ⃗j ) une base du plan ; tout vecteur ⃗u peut s’écrire ⃗u = a⃗i + b⃗j ; les nombres réels a et b sont les coordonnées du vecteur ⃗u dans la base (⃗i , ⃗j ), noté (a ; b ) .
Si O est un point du plan, et (⃗i , ⃗j ) une base du plan, alors (O; ⃗i , ⃗j ) forme un repère du plan. La base est orthogonale si les vecteurs sont orthogonaux ; et la base est orthonormale si elle est orthogonale et si les vecteurs sont de norme 1.
Pour tout point M du plan, il existe deux réels x, y tels que ⃗OM = x⃗i + y ⃗j .
x, y sont les coordonnées du vecteur ⃗OM et les coordonnées du point M dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
Notations : ⃗OM(x ; y) ou ⃗OM
(
xy)
.2. Calculs dans un repère :
⃗AB(xB – xA ; yB – yA ) ;
I milieu du segment [AB] : I ( xA+xB
2 ; yA+yB 2 ) .
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : dans le plan, ⃗u(a ; b ) et ⃗v(a’ ; b’) sont colinéaires si et seulement si ab’ – ba ’ = 0 .
C. Les configurations
configuration aspect vectoriel aspect analytique
ABCD est un parallélogramme
⃗AB = ⃗DC xB – xA = xC – xD
yB – yA = yC – yD
I est le milieu du segment [AB]
pour tout point M,
⃗MA +⃗MB = 2⃗MI .
xI = (xA + xB)/2 yI= (yA + yB)/2 G centre de gravité du
triangle ABC
⃗GA + ⃗GB + ⃗GC = ⃗0; pour tout point M,
⃗MA + ⃗MB + ⃗MC = 3⃗MG
xG = ( xA + xB + xC )/3 yG = ( yA + yB + yC )/3
Droites (AB) et (CD) parallèles
⃗AB et ⃗CD sont colinéaires ssi il existe k tel que ⃗AB = k ⃗CD
⃗
u (x , y) et ⃗v (x’, y’) sont colinéaires ssi xy’ – x’y = 0 Alignement de trois
points A, B et C
⃗AB et ⃗AC sont colinéaires ssi il existe k tel que ⃗AB = k ⃗AC
Dans le plan, ⃗u (x , y) et ⃗v (x’, y’) sont colinéaires ssi xy’ – x’y = 0 Si le repère est orthonormé :
Distance de A à B Norme du vecteur ⃗AB :
||⃗AB|| = AB
AB =
√
(xB−xA)2+(yB−yA)2D. Équation cartésienne d'une droite
Soient A et B deux points distincts du plan. Soit M un point de la droite (AB).
Alors les vecteurs ⃗AB et ⃗AM ont colinéaires.
Dans un repère du plan, si A(xA ; yA), B(xB ; yB) et M(x ; y) , alors ⃗AB(xB – xA ; yB – yA) et ⃗AM(x – xA ; y – yA) ; les vecteurs sont colinéaires, donc (xB – xA)(y – yA) – (yB – yA)(x – xA) = 0 ; on développe et on simplifie
l'expression, on trouve une équation de la forme ax + by + c = 0, appelée équation cartésienne de la droite (AB).
Le vecteur ⃗u(a ; b) est un vecteur directeur de la droite (AB).
Exemple 1 : A(2 ; – 1) et B(– 3 ; 5) ; on trouve ⃗AB(– 5 ; 6) et ⃗AM(x – 2; y + 1) ; la colinéarité des vecteurs donne – 5(y + 1) – 6(x – 2) = 0;
on développe : – 5y – 5 – 6x + 12 = 0 ;
on simplifie : – 6x – 5y + 7 = 0 qui est une équation cartésienne de la droite (AB).
Remarque : 6x + 5y – 7 = 0 est aussi une équation cartésienne de la droite (AB).
Le vecteur ⃗u(6 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (AB).
Exemple 2 : ⃗u(2 ; 1) et A(– 3 ; 1) ; une équation cartésienne de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur
⃗
u a pour équation 2x + y + c = 0 ; pour trouver la valeur de c, on remplace x et y par les coordonnées du point A : 2×(– 3) + 1 + c = 0 ; on résout l'équation : c = 5 ; donc une équation cartésienne de la droite (d) est 2x + y + 5 = 0.
Exemple 3 : A(2 ; 1), B(3 ; – 5) et C(– 3 ; 7) ; une équation cartésienne de la droite (d) parallèle à (AB) et passant par C a pour vecteur directeur le vecteur ⃗AB(1 ; – 6) ; donc son équation est x – 6y + c = 0 ; pour trouver la valeur de c, on remplace x et y par les coordonnées du point C : – 3 – 6×7 + c = 0 ; on résout l'équation : c = 45 ; donc une équation cartésienne de la droite (d) est x – 6y + 45 = 0.
