Uniformisation des surfaces de Riemann

Uniformisation des surfaces de Riemann

par Monique Vitter

Mythe

(qui fut)

contemporain

d’apr`es une id´ee originale de

—

J.-P.-A. Douaillˆy Jr.

1

Classification de l’A.M.S. : 30-00, 30F10, 30C20, 57N05.

Classification de la librairie du congr`es : Mythologie profane.

Invertissement analytico-alg`ebrique.

Divertissement holomorphe.

Exercice de style g´eom´etrique.

R´esum´e

De moulte lemmes, corollaires, cocorollaires^∗, defemmes, decofaires^∗∗ subreptissement sorit´es dans les appendices, les l`evres humides et l’esprit clarifi´e, l’uniformisation, d´elaissant la savante analyse, sa Th´eorie du potentiel et ses Equations aux d´eriv´ees partielles, c`ede aux charmes^hh´el´ementairesⁱⁱde la na¨ıve, mais efficace, r`egle des signes :

Pourmetn entiers (−1)^m(−1)ⁿ = (−1)^m+n

E´ennodrooque, H´et´erolution, ainsi que la plupart des termes du glossaire sont des barbarismes d´epos´es dont l’emploi est soumis `a l’obtention d’une licence.

En attendant que les conditions d’abonnement et les cer- tificats correspondants soient disponibles dans les bureaux de tabac, une tol´erance est accord´ee pour usage exclusif de compliment et/ou quolibet de cour de r´ecr´eation.

Pour tout autre usage, public ou priv´e, mˆeme licencieux ou domestique, les demandes d’abonnement s’obtiennaient

(jusqu’au Mon, 1 Mar 2004 19:06:59 +0100) par courier ´electronique `a :

”Annales de l’Institut Fourier (Monique Vitter et Nathalie Catrain)”

[email protected]

∗ c.a.d.corollaire d’un corollaire.

∗∗ c.a.d.´ennonc´es int´egrant lemme ou corollaire `a une d´efinition le n´ecessitant.

2

Aper¸cu sur quatre paragraphes et autant d’appendices

r´eduisant

le th´eor`eme de Koebe `a celui de Riemann dans le plan

Une surface de Riemann S, i.e. vari´et´e holomorphe s´epar´ee de dimension complexe 1, est simplement connexe si tous ses revˆetements sont triviaux.

Plan complexe, disque unit´e et sph`ere de Riemann sont des surfaces de Riemann connexes et simplement connexes. Le th´eor`eme d’uniformisation affirme :

A isomorphisme, i.e. hom´eomorphisme holomorphe, pr`es ce sont les seules.

Ce r´esultat ´enonc´e par Riemann au §XXI de sa dissertation de 1851, mais avec une d´emonstration qui n’a ´et´e pleinement justifi´ee par Hilbert qu’en 1909, est usuellement attribu´e ind´ependamment `a Poincar´e et `a Koebe dans deux ar- ticles de 1907 et a fait couler beaucoup d’encre⁰. Sans pr´etendre, comme le dit Hermann Weyl de Koebe, avoir, la vie enti`ere <sup>hh</sup>darauf verwendet, das Problem der Uniformisierung nach allen Richtungen und mit den verschiedensten Meth- oden durchzudenken<sup>ii1</sup> le pr´esent texte d´eduit le th´eor`eme d’uniformisation du

hhth´eor`eme de Riemann dans le plan<sup>ii</sup> de tous les manuels d’analyse complexe<sup>2</sup> : Th´eor`eme 0. — Un ouvert connexe strict du plan complexe, sur lequel toute fonction holomorphe ne prenant pas la valeur z´ero a une racine carr´ee holomorphe, est isomorphe au disque unit´e.

Un ´enonc´e de Jordan³ caract´erise donc lesdomaines de Jordan, i.e.int´erieurs de sous-vari´et´e topologique du plan de bord connexe non vide :

Corollaire 0. — Un domaine de Jordan est isomorphe au disque unit´e.

La r´eduction ici propos´ee est ^hh´el´ementaireⁱⁱ, en le sens que d’une part elle ne n´ecessite pas d’outil homologique, ni de triangulation (elle donne en particulier la paracompacit´e⁴ des surfaces de Riemann) et d’autre part, contrairement aux diff´erents trait´es modernes sur les surfaces de Riemann⁵, la seule analyse qu’elle utilise sont les r´esultats de base sur les fonctions holomorphes.

i

ii Uniformisation des surfaces de Riemann

La preuve et ses sept ´enonc´es Le cas compact

Le §1 ´etablit une premi`ere caract´erisation de la sph`ere de Riemann :

Lemme A. — Une surface de Riemann compacte S union de deux ouverts isomorphes au disque unit´e est isomorphe `a la sph`ere de Riemann.

Ici la seule hypoth`ese de nature topologique sur la surface de Riemann S est la compacit´e et il n’y a pas d’hypoth`ese de r´egularit´e de la fronti`ere. Il n’en sera pas de mˆeme pour caract`eriser dans les surfaces de Riemann les ouverts isomorphes au disque, ici d´enomm´es´el´ementaires, ou ceux, dits standards, dont les composantes connexes sont isomorphes au disque ou `a la sph`ere de Riemann :

Un cycle analytique (ou ω-cycle) de Sest un ferm´e Γ deS, union localement finie d’une famille (βλ)λ∈Λ d’arcs analytiques r´eels tel que tout point p ∈ Γ est extr´emit´e d’un nombre pair desβλ. Unpolygone analytique (ouvert) (ouω-polyone (ouvert)) est un ouvert deS, int´erieur de sa fermeture, et de fronti`ere un ω-cycle.

Une surface de Riemann est planaire si tout ω-cycle compact la s´epare.

La construction, dans l’appendice 1, du revˆetement double associ´e `a un ω- cycle ´etablit qu’une surface de Riemann simplement connexe est planaire.

Le §2 d´emontre l’analogue du Lemme A pour les ω-polygones planaires : lemme C. — Un polygone analytique relativement compact Ωdans une surface de Riemann planaire P, de fermetureΩrecouverte par deux ouverts standards U1

et U₂, et d’int´erieur du compl´ementaire P\Ω connexe, est standard.

qui, au §4, implique une seconde caract´erisation de la sph`ere de Riemann :

Th´eor`eme 1. — Une surface de Riemann compacte connexe planaire P est isomorphe `a la sph`ere de Riemann.

d’o`u le cas compact du th´eor`eme d’uniformisation.

Aper¸cu sur quatre paragraphes et autant d’appendices iii Arrondissement des brisures du bord et le cas g´en´eral

Le §2 utilise l’extension, aux ω-polygones, du double de Klein d’une surface de Riemann `a bord R, une surface de Riemann DR ⊃ R la contenant et munie d’uneh´et´erolution,i.e.involution conforme nulle part holomorphe,σR d’ensemble des points fixes FixσR =∂R le bord deRet ayant R pour domaine fondamental.

Le cas usuel rappel´e dans l’appendice 2, cette extension occupe l’appendice 3 : Un bord β d’un ω-polygoneU est une courbe param´etr´ee β :B →FrU de sa fronti`ere, dont tout param`etre s∈B a un voisinage d’image parβ l’union de deux arcs non s´epar´ees pr`es deβ(s) par le compl´ementaire deU et analytique injective hors de β⁻¹(∆U), sescoins, pr´eimage du discret ensemble ∆U dessommets de U. Il y a un bord d’image FrU, le bord ∂U de U, et pour tout bordβ de U, une surface de Riemann D_βU, le double de l’ω-plolygone U sur le bord β, munie de σβ et iβ :Uβ →U^aβ, h´et´erolution et hom´eomorphisme, holomorphe sur U, de

Uβ = (U ∪(β(B)\∆U))∐B/{β(s)∼s si s∈B et β(s)∈/ ∆U}

sur une sous-surface de Riemann `a bord U^aβ de DβU, dite arrondie de U sur β, et dont (DβU,U^aβ, σβ) est double de Klein usuel.

Le double d’un ω-polygone ´el´ementaire sur un arc non dense de sa fronti`ere

´etant ´el´ementaire, le Lemme A donne une caract´erisation du disque unit´e, le Lemme B, d’´enonc´e utilisant le vocabulaire ouvrant le §2, et dont l’application r´ecurrente ´etablira le Lemme C et, au§3, la structure des composantes compactes de bord permettant de ^hhboucherⁱⁱles surfaces de Riemann compactes `a bord : Lemme D. — Une composante compacte X du bord ∂R d’une surface de Riemann `a bordR a un voisinage dansR isomorphe `a un voisinage dans le disque unit´e ferm´e, de son bord, le cercle unit´e.

Corollaire D. — Une surface de Riemann `a bord compacteR est isomorphe

`a une sous-surface S d’une surface de Riemann compacte Savec S\S standard.

Tout compact d’une surface de Riemann Q, ´etant inclus dans unω-polygone relativement compact, a donc un voisinage isomorphe `a un ouvertU d’une surface de Riemann compacte S, planaire si Ql’est. Au §4 le crit`ere de Montel, expos´e `a l’appendice 4 (et utilis´e aussi aux §1 et 3), justifiera la terminologie <sup>hh</sup>planaire<sup>ii</sup>: Th´eor`eme 2. — Une surface de Riemann connexe planaire Q est isomorphe `a un ouvert de la sph`ere de Riemann.

qui ram`ene le th´eor`eme d’uniformisation au th´eor`eme de Riemann dans le plan.

♣ ♦ ♥ ♠

Les appendices soritteront alors vers commentaires, r´ef´erences, notes, index, table des mati`eres et g´en´erique de fin : ´epilogue d’une histoire dont, avant de la plus habiller, il convient de pr´esenter les personnages :

iv Uniformisation des surfaces de Riemann

Objets et morphismes usuels dans le plan et la sph`ere

Les mod`eles et quelques morphismes et isomorphismes tant alg´ebriques que conformes.

N_, Z_,Entiers naturels etrelatifs, (mo-, an-)neau des deux premi`eres op´erations + et ×.

F_{2={0,1}, Corps `a deux ´el´ements} isomorphe auCorpsZ_/2Zdes entiers modulo 2.

C<sub>={x+i y; xetyr`eels},</sub>Plan complexe, un corps ´etendant celui des r´eels o`ui²=−1.

R_{={x+i0 ;xr´eel} ⊂}C_{, Axe r´eel}, un sous-corps deC_.

C^∗₌C_\{0},Plan complexe ´epoint´e, groupe multiplicatif du corpsC_. R^∗₌R_{\{0},Axe r´eel ´epoint´}e, groupe multiplicatif du sous-corps R_deC_.

µ₂={±}={±1} ⊂R^∗_⊂C^∗_,Doublon des signes, sous-groupe des racines carr´ees de l’unit´e.

R_{ǫ={x+i0 ; ǫ x≥0}, pourǫ∈µ2,} Demi-axes positif siǫ= +, n´egatif siǫ=−. conj,Conjugaison complexe : isomorphisme de corps z=ℜz+iℑz7→z¯=ℜz−iℑz o`u : ℜ,ℑ:C<sub>→</sub>R<sub>,Parties r´eelle etimaginaire</sub> associant `az=x+i y, ℜz=xetℑz=y.

| |:C_→R_{+,Module,z7→}^√_zz¯=p

(ℜz)²+ (ℑz)², il est multiplicatif :|z z^′|=|z| |z^′|. D={z∈C_;|z|<1},Disque (unit´e (centr´e en l’origine 0), ou central).

D^∗=D\{0},Disque (unit´e) ´epoint´e.

D+ ={z∈C_{;|z|<1, ℑz≥0},}Demi-disque (Nord unit´e), de bord l’intervalle ]−1, 1[.

S¹={z∈C_{; |z|= 1},}Cercle unit´e. Sous- groupe compact deC^∗, y ayant pour voisinage : Ar ={z∈C_{;r <|z|< r}−1}, o`u 0< r <1,Anneau invariant (de rayon int´erieur r).

D={z∈C_{;|z| ≤1}, (D}^∗_{=D\ {0}),}Disque unit´e ferm´e (´epoint´e), de bordS¹. H={z∈C_{; ℑz >0},}Demi-plan de Poincar´e.

Dz, r =z+r D, pourz∈C_{, r >0,}Disque de centrez et rayon r, sans centreDr =D0, r. Dz, r =z+rD, pourz∈C_{, r >0,}Disque ferm´e de centrez et rayonr,Dr =D0, r.

Sz, r =z+r S¹, pourz∈C_{, r >0,}Cercle de centre z et rayon r, sans centreSr =S_{0, r}. P₁(C_{) =} C<sub>∪ {∞}, Sph`</sub>ere de Riemann, contenant les espaces pr´ec´edents et o`u, selon la coutume [si u ∈ C_{, v ∈} C^∗ _{alors ∞+u = ∞, v∞ = ∞v = ∞,} ^v

0 = ∞, ^v

∞ = 0,∞ = ∞], agissenthomo z7→ ^{a z+b}_{c z+d} eth´et´eroz7→ ^a_cz+d^z+b_¯^¯ graphies[a, b, c, d∈C_{, a d−b c6}= 0]. Une graphie commutte `a conj si et seulement si elle est r´eelle,i.e.a un repr´esentant aveca, b, c, d∈R_.

Lǫ = {z ∈ C_{;ǫℜz > 0}, ǫ ∈ µ2,} Demi-plan lat´eraux. Sym´etrie polaire ı : z 7→ −z⁻¹ (centr´ee auxpˆoles {±i}) ´echange demi-planEst L₊ etOuest L₋, chacun isomorphe au disque centralDpar l’ǫ-r´etrograde en ǫ iquart de tour polaire,ϑǫ:Lǫ→D, ϑǫ(z) = (^z−1_z+1)^ǫ.

I= [0,1]⊂R_⊂C_,Intervalle unit´e, d’int´erieur formelI˘=I\{0,1}ayant pour voisinages P_{N, h}={z∈C_{;h|ℑz|<(ℜz− |z|}²₎^N+1_{}, pourh >0 et N pair,Perle} (N, h)-fine surI.

exp :C_→C^∗_{, z7→}P^∞

n=0 xⁿ

n!, Exponentielle, morphisme 2π i-p´eriodiqueC_\R_{−-scind`e par :}

log :C_\R_{− → {z∈}C_{;|ℑz|< π}}, isomorphismeD´etermination principale du logarithme. ǫ:Z_{→µ2,Parisigne}, morphismen7→(−1)ⁿ, induit l’isomorphismeǫ: (F_{2, +)→µ2.}

Pr´elude Notations de quatres paragraphes et autant d’appendices v

D’autres homo (et h´et´ero) graphies utiles.

Id,Identit´e z7→z deP1(C_).

ı_λ, pourλ∈C^∗, est l’involution holomorphez7→ −^λ_z, doncı₁=ı estSym´etrie polaire.

σt, pourt∈R^∗_{, est l’h´et´erolutionσt= conj◦ı−t}, libre si et seulement sit <0, pamis elles : σ₋₁, Antipode.

σ_r2,Inversion fixant (le cercle)Sr, sans pr´eciser,Inversion estσ1. ϕα:D→D, pourα∈D, estz7→ _1−¯^z−_{α z}^α , elle est inversible d’inverseϕ₋α. h_λ, Similitude de rapport complexe λ∈C^∗ _{estz7→λ z.}

ht,Homoth´etie de rapport tsit∈R^∗_.

τv,Translation de vecteur v ∈C_estz7→z+v.

Et les triviales

c_k, Applications constantes surP₁(C) d’image le singleton{k}.

Op´erations et invariants topologiques

X∐Y,Espace somme (disjointe) des espaces topologiquesX etY.

λ∈Λ∐ Xλ={(x, λ)∈X×Λ;x∈Xλ}somme disjointe d’une famille de sous-espaces deX.

A,Fermeture d’une partieA⊂X d’un espace topologiqueX.

IntA=A,^◦ Int´erieur d’une partieA⊂X d’un espace topologiqueX.

Int_Y A=A^◦ ∩Y,Int´erieur relatif dans un sous-espaceY d’une partieA de l’espaceX.

C(X, Y),Ensemble des applications continues d’un espaceX dans un espaceY. incl^X_A (ouA ֒→X)∈ C(A, X),Inclusion du sous-espaceA dans l’espaceX.

c X= cardcX,Connexit´e deX, cardinal descomposantes connexes, sous-espace dense de

¯cX=XA(X), Compact des caract`eres deA(X),c.a.d.morphismes d’anneau surF<sub>2o`u</sub>

A(X) =C(X,F<sub>2),Alg`ebre des</sub>F<sub>2</sub>-constantes localesdeX, de groupe additif isomorphe `a

EX=C(X, µ2), Groupe des signes locaux, fini si et seulement sic Xl’est, en ce cas c X= dimF₂EX

Lemmes A `a D, Th´eor`emes 0 `a 2, Corollaires 0 et D, d´ej`a `evoqu`es, sont d´esormais ainsi d´enomm´es, mais le m^i`eme ´enonc´e de l’appendice n sera cit´e,

´eventuellement pr´ec´ed´e d’un^hhnom d’auteurⁱⁱ, par n.m en caract`eres gras.

Le chiffre arabe n en exposant d’un motⁿ, comme les ⁰ `a <sup>5</sup> apparus page i, indique au lecteur que le fait ou l’argument ´evoqu´e par ce mot est justifi´e par une Blitzbeweis, ou une r´ef´erence, dans lan<sup>i`eme</sup>des notes, en bout de texte, p. II `a IV.

vi Uniformisation des surfaces de Riemann

Planche a

D´eroulement de la preuve

1 D´emonstration du Lemme A. — Soient U et V les deux ouverts ´el´emen- taires qui recouvrent S et ϕ : D → U un isomorphisme. Puisque U n’est pas compact, mais S l’est, il y a un point z₀ hors de U.

Pourr ∈]0,1[, commeSest s´epar´ee,Drcompact etϕcontinue, le compl´emen- taire S_r =S\ϕ(D_r) de ϕ(D_r) est ouvert dans S.

SoitR l’ensemble desr∈]0,1[ tels qu’il y a un isomorphisme ψr deS_r surD.

Si r ∈ R l’isomorphismeζ_r =ϕ_ψr(z0)◦ψ_r :S_r →D v´erifie ζ_r(z₀) = 0.

i) R est non vide. — En effet le compact S\V de U = ϕ(D) est inclus dans ϕ(Dr) pour r assez proche de 1. En ce cas, ϕ ´etant⁶ ouverte,S_r = S\ϕ(Dr) est une sous-vari´et`e compacte de V d’int´erieur Sr et de bord, ´egal `a sa fronti`ere FrS<sub>r</sub> = Frϕ(Dr) = ϕ(Sr), connexe. Ainsi l’ω-polygone S<sub>r</sub> ⊂ V ≃ D ⊂ C, isomorphe `a un domaine de Jordan, est ´el´ementaire par le Corollaire 0. ⊔⊓ ii) R est stable par r7→r². — L’isomorphisme ζr : S_r →D a, par le principe de sym´etrie^7,7′ de Schwarz, une extension holomorphe injective ξ :S_r² →C.

Son image ξ(S_r²) est⁶ ouverte, distincte du plan complexeC puisque, sinon, le th´eor`eme<sup>8,8′</sup> des singularit´es inexistantes ´etendrait `a la sph`ere de Riemann P<sub>1</sub>(C) =C∪{∞}l’inverseξ<sup>−1</sup> :C→S<sub>r</sub><sup>2</sup> ⊂Sdeξen une application holomorphe, qui n’´etant pas constante est d’image dans S `a la fois compacte et⁶ ouverte, contredisant queS_r² =S\ϕ(D_r²) n’est pas ouvert.

L’ouvert ξ(Sr²), union de ξ(Sr²\S_r) =ξ◦ϕ(Dr\Dr²), homom´eomorphe `a un anneau semi-ferm´e, et du disque ferm´eD=ξ(Sr), satisfait aussi<sup>9</sup> `a la derni`ere hypoth`ese du Th´eor`eme 0, ainsiξ(Sr<sup>2</sup>) est isomorphe `a D et r² est dans R. ⊔⊓

Le crit`ere de Montel 4.1 donne, si r est dans R, un isomorphisme ψ:S\ϕ⁻¹(0) = ^∞∪

n=1S_r2n →W ⊂C

de S\ϕ⁻¹(0) sur un ouvert W de C qui, d’apr`es le th´eor`eme^8,8” des singularit´es inexistantes, s’´etend en Ψ :S→P₁(C) holomorphe injective, donc isomorphisme puisque S est compacte et la sph`ere de Riemann P1(C) est s´epar´ee et connexe.

⊔

⊓

1

2 Uniformisation des surfaces de Riemann

Planche b

2 Le Lemme B et d´emonstration du Lemme C. — Un ω-polygone ferm´e F est la fermeture F =U =U ∪FrU d’un ω-polygone ouvert U (son int´erieur).

Lebord ∂F d’unω-polygone ferm´eF est∂F =∂IntF, celui de son int´erieur.

Unω-polygone (ouvert ou ferm´e)X estr´egulier (resp.simple)si son bord est injectif (resp. et d’image connexe). Le bord∂X s’identifie alors `a son image FrX.

Une cellule est un ω-polygone compact simple d’int´erieur ´el´ementaire.

Une cellule E ⊂F estp´eriph´erique dans unω-polygone ferm´eF la contenant si l’intersection des images de leurs bords est un arc ferm´e non r´eduit `a un point.

Lemme B. — Un polygone analytique compact et simpleK union des int´erieurs relatifs de deux de ses cellules p´eriph´eriques E₁ et E₂ est une cellule.

D´emonstration. — Soit U = IntK et βi =∂Ei\U ∩∂Ei. La surface de Riemann S = D_∂UU double de U sur ∂U (voir l’appendice 3) est compacte et recouverte par les doubles D_βi(IntEi) des int´erieurs des cellules Ei sur les arcs βi, deux disques par 3.6. Ainsi S est, d’apr`es le Lemme A, isomorphe `a P₁(C).

Toute h´et´erolution non libre de P1(C) ´etant¹⁰ conjugu´ee `a l’inversion σ1, l’int´erieurU du polygone analytique compactK, isomorphe `a une des composantes du compl´ementaire D_∂UU\Fixσ∂U, est ´el´ementaire, donc K est une cellule.

D´emonstration du Lemme C. — L’union du connexe P\Ω et des composantes non ferm´ees de Ω, sauf au plus une, ´etant connexe `a compl´ementaire connexe dans la composante de P\Ω dans P, la preuve pour Ω connexe suffit. En ce cas : Affirmation 1. — Le polygone analytique relativement compact Ωest simple.

D´emonstration. — Sinon sa fronti`ere contiendrait strictement une courbe simple ferm´ee γ de compl´ementaireP\γ = (Ω∪(Fr Ω\γ))∪((Fr Ω\γ)∪(P\Ω)) connexe, car union de deux connexes non disjoints, contredisant la planarit´e de P.

Si l’une des composantes de l’un des ouverts U_k rencontre Ω et est compacte, elle serait composante connexe isomorphe `a P₁(C) de P contenant leω-polygone simple Ω. Ce dernier serait donc, par le Corollaire 0, standard. ⊔⊓

Sinon chaque composante des Uk est ´el´ementaire, et :

Affirmation 2. — Il y a des cellulesEk,h, k= 1, 2, h= 1, . . . , nk telles que : (i) Les int´erieursUk, h des cellules Ek, h recouvrent Ω.

(ii) A` k fix´e les cellules Ek, h sont deux `a deux disjointes.

(iii) Les composantes de ∂Ek,h∩Ω sont αk, l, l= 1, . . . , mk, en nombre fini, et leurs fermetures βk, l =αk, l sont deux `a deux disjointes.

(iv) Aucune sous-famille stricte desEk,h n’a les propri´et´es (i), (ii) et (iii).

3

4 Uniformisation des surfaces de Riemann

Planche c

§2 Le Lemme B et d´emonstration du Lemme C 5 D´emonstration. — Le compact Ω est inclus dans l’union d’une famille finie, dont aucune sous-famille ne le recouvre, de composantes Uk,h des Uk munies d’isomorphismes ϕk,h : D → Uk,h. Pour r < 1 assez proche de 1, les ϕk,h(Dr) recouvrent Ω et leurs bord ϕk,h(Sr) ne passent par aucun sommet de Ω et sont transverses aux arcs analytiques dont Fr Ω est l’union.

Les cellules Ek, h =ϕk,h(Dr) satisfont donc `a (i), (ii) et (iv), les αk,l sont en nombre fini et, `a k fix´e, leur fronti`eres dans ∂Ek, h=∂Uk, h ainsi que lesβk, l sont disjoints. Ainsi (iii) est aussi v´erifi´ee, car βk, l ⊂Ω, pour k = 1, 2 et toutl mais

β1, l1∩β2, l2 ⊂∂E1,h1 ∩∂E2,h2 ⊂P\ ∪ϕ_k,h(Dr)⊂P\Ω

Si αk, l est simple ferm´ee, donc bord αk, l = ∂Ek,h d’une des cellules, elle est incluse dans unUk^′, h^′ (o`uk<sup>′</sup>= 3−k). Or, par(iv),Uk, h6⊂Uk<sup>′</sup>, h<sup>′</sup>, etUk, h rencontre, donc contient, la fronti`ere FrUk^′, h^′. Ainsi Ω, de fronti`ere connexe, est inclus dans la composante compacte deP, union des deux ouverts ´el´ementairesU<sub>k, h</sub> etU<sub>k</sub><sup>′</sup><sub>, h</sub><sup>′</sup>. Par Lemme A et Corollaire 0, le ω-polygone simple Ω est donc standard. ⊔⊓ Sinon chaque β<sub>k, l</sub> joint deux points du bord ∂Ω de Ω. Une induction sur le cardinal m de la famille B={β<sub>j</sub>; j = 1, . . . , m} de ces arcs conclura, grˆace `a l’

Affirmation 3. — Soitθ^(η)_j , pour η ∈µ₂, les deux arcs joignant les extr`emit´es de β_j dans le bord∂Ω. Chaqueα_j s´epare Ωen deux ω-polygones connexeΩ^(η)_j de bord les ω-courbes simples ferm´ees δ_j^(η) union de l’arcβ_j et de θ_j^(η).

D´emonstration. — Selon 1.3(ii), la ω-courbe simple ferm´ee δ^(η)_j, disjointe du connexe X^(η)= (P\Ω)∪θ˘^(−η)_j, s´epare le planaire Pen deuxω-polygones connexes :

L’un Ω^′(η)_j ⊃X^(η) contient X^(η) et l’autre Ω^(η)_j ⊂Ω est inclus dans Ω.

Ainsi Ω^(η)_j ⊂ Ω^′(−η)_j et l’union Ω⁽⁻⁾_j ∪αj ∪Ω⁽⁺⁾_j, disjointe, ferm´ee dans Ω et, contenant un voisinage deα_j, aussi ouverte donc ´egale `a Ω car Ω est connexe.

Induction finale. — Si m ≤ 1 l’arc ´eventuel βj de B est inclus dans un Uk, h

rencontrant Ω, mais ∂Uk, h est disjoint de Ω. L’ouvert simple Ω est donc inclus dans Uk h donc, par le Corollaire 0, ´el´ementaire. ⊔⊓ Sinon B a deux arcs distincts βj, j = 1, 2. Soit Ω^(j) la composante de Ω\β_j de fermeture F^(j)= Ω^(j) contenantβ3−j et Ω^′(j) l’autre composante.

Comme P\Ω^(j) = (P\Ω∪(∂Ω\∂Ω^(j)))∪((∂Ω\∂Ω^(j))∪Ω^′(j)) est connexe, et (i) `a (iv) de l’Affirmation 2 pour Ω^(j) sont satisfaites par une partie de la famille des Ek, h avec un nombre d’arcs m^(j)< m inf´erieur, F^(j) est une cellule.

Les int´erieurs relatifs de deux cellulesF^(j)recouvrant le compact r´egulier Ω et y ´etant p´eriph´eriques, Ω est, par leLemme B, une cellule. Ainsi Ω est ´el´ementaire.

⊔

⊓

6 Uniformisation des surfaces de Riemann

Planche d

3 D´emonstration des Lemme D et Corollaire D. — La composante com- pacteX de∂Rest recouverte par les int´erieurs Uk deNcellules Ek du doubleDR, invariantes par σ^R, avec de plus : (1)N −1 des Uk ne recouvrent pasX.

En les prenant suffisamment petites, on a en outre N >2 et :

(2) Si deux de ces cellules s’intersectent, elles sont incluses dans une carte.

Pour k = 1, . . . , N soit ψk : (D, D, D₊; conj) −→ (Ek, Uk, Uk ∩R; σR|), isomorphimes de triple conjuguant conj aux restrictions de σ^R, et ψN+1 = ψ1. Quitte `a remplacer Ek parψk(Dr) [et ψk parψk◦hr], pourr <1 assez proche de 1, (3) Lesψkont des extensions holomorphes injectives d´efinies sur des voisinages deDet les intervallesIk=Ek∩X=ψk([−1,1]) sont, pourk ≤N de bords disjoints.

Alors, X ´etant connexe, 2.1 renum´erote lesIk de sorte qu’orient´es par les ψk

et avecIN+1 =IN, les intersectionsIk∩I_k+1 sont, pourk ≤N, des sous-intervalles ferm´es stricts deIk et deIk+1, de bord l’extr´emit´e finale deIk et l’origine deIk+1, les autres intersections Ik∩Il=∅ ´etant vides.

La celluleCh =τ−1◦h2(P0, h) ={z ∈D; |z+η i h|² ≤1+h²pour η∈µ2}, est un voisinage de ]−1, 1[ de bord deux arcs lisses et transverses `a R, mais tendant vers [−1, 1] dans la topologie C¹ quand la finesse h tend vers l’infini.

Par r´ecurrence sur k = 1, . . . , N, il y a hk >0, tels que, si t ≥1, k ≤N, les cellules F_k^t =ψk(Ct hk) et F_N^t ₊₁ =F₁^t v´erifient :

(i) L’intersection ∂F_k^t∩∂F_k+1^t est transverse et r´eduite `a deux points.

(ii) Si 1<|k−l|< N −1, les cellulesF_k^t et F_l^t sont disjointes.

L’unionG =G₁∪· · ·∪GN, o`uGk = IntF_k¹ est un ouvert,σ- (i.e.invariant par σ =σ^R_|G)-voisinage deX dans deDR. Notant ¯nle repr´esentant dans{1, . . . , N} de la classe de l’entier n∈Z modulo N, soit dans G×Z l’ouvert

U ={(x, n)∈G×Z; x∈Gn¯}

et τU, σU :U →U les restrictions `a U de (x, n)7→(x, n+N) et σ×Id^Z. Sur U est d´efinie l’´equivalence ∼ par (x, n)∼(y, m) si et seulement si

x=y et |n−m| ≤1

La restrictionP `aU de pr₁ :G×Z→Gse factoriseP =p◦πenπ, application quotient de U sur l’espace quotientG =U/_∼, et la projection p.

L’espaceG est, car¹² N ≥3, s´epar´e. La relation ∼´etant ouverte et la compo- sante Un = Gn_¯ × {n} de P⁻¹(Gn_¯) hom´eomorphe par P `a Gn_¯, les ouverts Un de U sont hom´eomorphes, par la restriction de π, aux ouverts G_n =π(Un) de G.

En d´ecr´etant p holomorphe, cette surface s´epar´ee G devient, une surface de Riemann G, munie de l’h´et´erolution σG quotient de σU et de l’action holomorphe propre libre et d’orbites les pr´eimages dep, du groupe cyclique infini engendr´e par l’isomorphisme τG induit par τU. Ainsi p descend en p : G/<τG> → G, isomor- phisme ´equivariant de la surface de Riemann quotient sur un σ-voisinage deX.

7

8 Uniformisation des surfaces de Riemann

Planche e

§3 D´emonstration des Lemme D et Corollaire D 9 Soitqn l’inverse de l’isomorphisme de G_n∪G_n+1 sur Gn¯∪G_n+1 que pinduit.

Pour t > 1 l’union K_k^t = F_k^t ∪F_k+1^t , ω-polygone (3.1(iv)) compact simple de G, est par (2) et Corollaire 0, une cellule, d’image par qn not´ee B_n^t =qn(K_n¯^t).

Sit >1, la suiteH₂^t_m = ^m∪

j=−mB_j^t, H₂^t_m+1 =^m+1∪

j=−mB_j^t, deω-polygones (3.1(iv)) compacts, d´ebute par la cellule H₀^t, puisH_p+1^t est union des int´erieurs relatifs, de H_p^t coupant ∂H_p+1^t en un arc, et de la cellule p´eriph´eriqueB_q^t o`uq = (−1)^p[^p+2₂ ].

ParLemme B, lesH_p^t sont de proche en proche des cellules. L’union de leurs int´erieurs G^t, est σ-invariante, et ´el´ementaire par Montel4.1 et Liouville^11′.

L’image G^t = p(G^t), voisinage σR-invariant de X dans DR, est alors

´equivariament^13′ isomorphe au quotient deD par une¹³ homographie r´eelleθ libre de D, ´equivariament^13′′ conjugu´e `a une l’homoth´etie ht de rapport t >1 de L₊.

Il suffit de remarquer que, si r = e^{− π}

2

logt, le quotient (L₊/_ht, conj) est, par exp◦h^{2π i}

logt ◦log, ´equivariament isomorphe `a l’anneau invariant (Ar, σ₁) de rayon int´erieur r, un voisinage invariant de S¹ dans (P₁(C), conj) ≃(DD, σ_D).

D´emonstration du Corollaire D. — Soit Xi, pour i dans un ensemble fini I, les composantes de∂R. LeLemme Ddonne, sur des voisinagesVi dansDR, deux

`

a deux disjoints desXi, des isomorphismeφi :Vi →Ari, avecφi(Vi∩R) =Ari∩D et ´equivariants. Soit V =∪_i∈IVi, alorsR a W =V ∪R pour voisinage dansDR.

Dans I×P₁(C), soit l’ouvert SI ={(i, z)∈I ×P₁(C) ;|z|> ri}.

L’application quotient de l’´equivalence ∼ sur S =W ∐SI d´efinie par : W ⊃Vi ∋p∼(i, φi(p))∈ {i} ×Ari ⊂SI

est not´eeπ :S → S. Comme∼est triviale surW et surSI, et lesφi holomorphes, le quotient est une vari´et´e holomorphe. Elle est s´epar´ee car un point de π(W) et un point de π(SI), non tous deux dans l’un de ces deux ouverts s´epar´es, sont respectivement dans π(R\∂R) et π(I×(P₁(C)\D)), deux ouverts disjoints.

Cette surface de RiemannScontient,S=π(R), sous-surface de Riemann iso- morphe, parπ `aR. L’ouvert compl´ementaireS\Sest standard car ses composantes sont isomorphes `a D, par les (π◦(ci×ı))⁻¹ :Ti =π({i} ×P1(C)\D)→D.

Cocorollaire D. — Si la surface de Riemann compacte `a bord R est d’int´erieur U = R\∂R planaire alors la surface de Riemann compacte S con- struite par le Corollaire Dest planaire.

D´emonstration. — SoitTi, i∈Iles composantes deS\S. Pour tout choix de voisi- nagesω_idans (S\S)∪V de pointsp_i ∈T_iil y a un hom´eomorphismeH analytique par morceaux¹⁴ de S `a support dans (S\S)∪V avec H(S\(∪ωi))⊂S\∂S.

Ainsi tout ω-cycle compact γ de S s´epare S, puisque, en choisissant les ω_i disjoints de γ, le ω-cycle compact β =H(γ) s´epare l’ouvert planaire U.

4 D´emonstration des th´eor`emes

D´emonstration du Th´eor`eme 1. — La surface de Riemann P ´etant compacte, un nombre fini d’isomorphismes ψi : D → Ui, i = 0, . . . , N de D sont d’images recouvrant P. Soitr <1 tel que les Vi =ψi(Dr) couvrent encoreP.

Comme P est connexe les Vi se renum´erotent dans I = {1, . . . , N} de sorte que si 0< i≤N l’intersection Vi∩(∪j<iVj)6=∅ est non vide.

Soit rn = ^r+n_1+n, alors si i ∈I et n entier, la cellule E_iⁿ =ψi(Drn) contientVi. Ainsi, d’apr`es 3.1(iv) pour p ≤ N, l’union Fp = ∪<sub>i<N−p</sub>E<sub>i</sub><sup>p</sup> est un ω-polygone ferm´e d’int´erieur connexe et la fermeture Ωp de l’ω-polygone compl´ementaire Ωp=P\Fp est incluse dans l’union deV<sub>N−p</sub> et Ω<sub>p−1</sub> (o`u par convention Ω₋₁=VN).

LesVi ´etant standards, une application inductive duLemme Cr´ev`ele comme standards tous les Ωp. En particulier la surface de RiemannP= ΩN est standard,

´etant connexe et compacte, elle est isomorphe `a P1(C).

D´emonstration du Th´eor`eme 2. — Tout compact de Q se couvre de l’int´erieur d’une union finie de cellules, un ω-polygone (par 3.1(iv)) relativement compact.

Ainsi la famille URC = (Ui)i∈I des ω-polygones relativement compacts de Q est filtrante et recouvre Q.

Chaque Ui de URC est planaire¹⁵, isomorphe `a l’int´erieur de son arrondie, il est, d’apr`es le Cocorollaire D isomorphe `a un ouvert Vi d’une surface de Riemann compacte planaire S<sub>i</sub> dont chaque composante S<sub>i, j</sub> de S<sub>i</sub> est, d’apr`es le Th´eor`eme 1, isomorphe `a P₁(C).

Si Q est compact leTh´eor`eme 1 conclut.

Sinon aucune desS_{i, j}, j = 1, . . . , ni n’est incluse dans l’ouvert Vi.

Isomorphe `a une union disjointe de ni ouverts de disques, compl´ementaires dansS<sub>i, j</sub> ≃P<sub>1</sub>(C) d’un disque ferm´e disjoint de l’ouvert Vi, chaque ouvertUi est donc une carte deQ. Ainsi, d’apr`es le crit`ere de Montel4.1, la surface de Riemann connexe Q est isomorphe `a un ouvert de P₁(C).

10

Appendices

1 Arcs analytiques, duplicatas et s´eparation par les ω-graphes

Une carte (en un point p ∈ S) d’une surface de Riemann S est un ouvert C⊂S isomorphe parζ :C →V, dit coordonn´ee (en p, centr´ee si ζ(p) = 0) de C,

`

a un ouvertV deC. L’inverseγ =ζ⁻¹ deζ est l’e´ennodrooque (enp associ`ee `a ζ).

Un arc analytique [ou ω-arc] (dansS)param´etr`e par γ, d’extr´emit´es, initiale ou origine p et finale q), est l’image β de l’intervalle I = [0, 1] par une e´enno- drooque γ :V →C d´efinie sur un voisinage V de I (avec γ(0) =p etγ(1) =q).

L’int´erieur (formel)et lebord de l’ω-arcβ =γ(I) sont ˘β =γ( ˘I) et∂β=β\β.˘ Un ω-graphe de S est une famille B = (βλ)_λ∈Λ localement finie, de ω-arcs dans S, ses arˆetes, avec, pour λ6=µ, βλ∩β_µ vide ou une extr´emit´e commune.

La valence de p∈S dans B est v_B(p) = card{λ ∈Λ; p extr´emit´e de βλ}.

L’union des arˆetes βλ de B, son support ΓB, est partition´e par les int´erieurs d’arˆetes ˘βλ et son, discret, ensemble ∆_B ={p∈Γ_B; vp 6= 0} de sommets.

Uneω-chaˆıne (resp. unω-cycle) deSest une union localement finie, deω-arcs dans S, (resp. o`u tout point est extr´emit´e d’un nombre pair de ces arcs). Ainsi

L’union de deux ω-chaˆınes (resp. cycles) est une ω-chaˆıne (resp. un ω-cycle).

Un ω-graphe est ferm´e si tout p∈S est de valence v_B(p) paire, Γ_B est alors un cycle et (trivialement si Γ =∅, par¹⁶ sinon) r´eciproquement :

Une chaˆıne Γ est support d’un graphe, qui est ferm´e si Γ est un cycle.

Soit ζ une coordonn´ee centr´ee au sommet s∈∆B et, par locale finitude de B, un voisinage Ur de s ne rencontrant que les arˆetes βk, k = 1, . . . , v_B(s) dont une extr´emit´e est en s, n’en contenant aucune et avecζ(Ur) =Dr.

Le semi-arc αk=ζ(β_k^′) image de la composante β_k^′ des dansUr∩βk est para- m´etr´e par fk : [0,1[→ αk avec fk(0) = 0 et f_k^′ (0) 6= 0. Ainsi, pour ǫ > 0 petit, l’intersection Sǫ∩ζ(βk∩Ur) est transverse, r´eduite `a un unique pointzk∈Imfk : 1.0 D´efemme. — Soit Γ une ω-chaˆıne d’une surface de Riemann S.

Alors tout s ∈ S est centre d’une e´ennodrooque γ dite Γ-normale, c.a.d.

d´efinie pr`es deD avec, pourβ_γ,k^′ des arcs initiaux des arˆetesβγ,k issues de s d’un graphe B dont Γ est support, γ(D)∩Γ =SvB(p)

k=1 β_γ,k^′ (en particulierγ(D)∩Γ =∅ si v_B(s) = 0) et card (βγ,k∩γ(Sρ)) = 1 pour toutρ∈]0, 1] et1≤k ≤v_B(p).

Si B = (βλ)_λ∈Λ est un ω-graphe il y a hλ > 0 et Nλ entier pair tel qu’une param´etrisation γλ de βλ est d´efinie sur la perle Pλ = PNλ, hλ et les images p_λ=γλ(Pλ) sont deux `a deux disjointes¹⁷ et couvrent un voisinage P de Γ_B\∆_B.

11

12 Uniformisation des surfaces de Riemann

Planche f

Appendice 1 Arcs analytiques, duplicatas et s´eparation par lesω^-graphes 13 Un collier [param´etr´e] de la chaˆıne ΓB deB (resp. -e perle [-e] sur l’arˆeteβλ) est un tel voisinage P[γP=∐γλ|Pλ{(λ, z)∈Λ×C; z∈Pλ} →P] (resp. p_λ [γλ|Cλ]).

L’application (incl^S_p ∐incl^S_S\Γ)◦pr₂ induit, de W_B =µ₂×(p∐S\Γ_B), sur ΩB =WB/{(η, z)∼(η η^′, z^′) siincl^S_p (z) = incl^S_S\ΓB(z^′) etη^′ℑpr₂(γ_p⁻¹(z))>0}

en un duplicata, c.a.d. revˆetement double, π_B : Ω_B →S\∆_B, trivial sur S\Γ_B. 1.1 D´efemme. — L’ensemble bord ∂Γ ={s ∈ ΓB; vB(s) ≡ 1 mod 2} des som- mets pr`es desquels π_B est non trivial, ne d´epend que de Γ = Γ_B et π_B est ´etendu par le duplicata (ramifi´e sur ∂Γ si ∂Γ est non vide) πΓ:S_Γ →S de S sur Γ.

D´emonstration. — Soitγ =ζ⁻¹ une e´ennodrooque Γ-normaleγcentr´ee ens∈S.

Qui d´ecrit S¹ va vB(s) fois, par ζ(p_λ) d’une composante d’un ζ(p_λ\β_λ)) `a l’autre et ζ◦π_B induit un duplicata trivial de S¹ seulement si v_B(s) est paire.

En ce cas (ζ◦π_B)⁻¹(D^∗) se recolle avec µ2×(P1(C)\D) en un duplicata de P₁(C)\ {0} ≃ C. Ce dernier trivial, π_B l’est pr`es de s, d’o`u puisque, ensemble des s ayant dans Γ une base de voisinages (Un)n∈N avec c(Un) ≡ c(U_n^∗) mod 2 (ou U_n^∗ =Un\{s}), le bord de ∂Γ d´epend que de Γ, la premi`ere partie.

La seconde suit de la classification¹⁹ des duplicatas deD^∗

Une section de πΓ|S\Γ correspond `a un η ∈E(S\Γ<sub>B</sub>) etπΓ est isomorphe au duplicataπ<sub>Γ</sub><sup>η</sup> sur leω-cycle Γ<sup>η</sup> du signeη, union desβλ avecη constant surcλ\βλ. Un tel Γ<sup>ηm</sup> est minimal pour la co¨ınclusion si et seulement si il ne s´epare aucune composante connexe deS. La co¨ınclusion `etant bon ordre sur les ω-cycles de signe, ΓB contient unω-cycle de signe minimal et ce d’une fa¸con relative : 1.2 D´ecofaire. — (i) SoitΓU⊂U∩Γ_B le support d’un sous-graphe deBinclus dans la fermeture d’un ω-polygone U de S avec πΓB trivial surU\Γ_U. Alors πΓB

est isomorphe `aπ_Γ^ηm

U o`u le(U, ΓU)-support r´eduit Γ^η_U^m deΓ_B est minimal et v´erifie Γ_B ⊃Γ^η_U^m ⊃Γ^η_U^m∩U ⊂ΓU ∩U

la derni`ere inclusion ´etant une ´egalit´e si U\Γ_U est connexe.

(ii) Un (et tout) tel Γ^η_U^m =∅est vide et seulement si π_Γ est trivial.

Une courbe simple (ferm´ee) est le support d’un ω-graphe connexe (compact) de sommets de valence 2, un cycle ne contenenant pas de sous-cycle strict.

Tout cycle d’une surface de Riemann S contient une courbe simple, d’o`u le 1.3 Corollaire. — (i) Une surface de Riemann connexe mais sans duplicata connexe est s´epar´ee par toute courbe simple en deux composantes connexes.

(ii) Une surface de Riemann S est planaire connexe si et seulement toute courbe simple ferm´ee γ de S a son compl´ementaire de connexit´ec(S\γ) = 2.