Paramètres statistiques

Paramètres statistiques

I- Paramètres de position

1) La moyenne Exemple 1 :

On considère une série de notes, obtenues par une classe lors d’un devoir (série A) :

notesx_i 3 5 6 7 8 9 13 14 18 20 total

effectifsn_i 1 1 2 2 4 2 2 3 1 1 19

Calculer la moyenne de la série A :

Définition :

On considère une série statistique à caractère quantitatif, dont lesp valeurs sont données par x₁, x₂, . . ., x_p d’effectifs associésn₁,n₂, . . .,n_p avecn₁+n₂+...+n_p= N (effectif total).

Lamoyenne pondéréede cette série est le nombre notéxqui vaut :

Remarque :

On peut aussi calculer une moyenne à partir des fréquences :

2) La médiane

On divise la série en deux groupes de même effectif.

Définition :

Soit une série statistique ordonnée dont les N valeurs sontx₁6x₂6x₃6· · ·6x_N.

Lamédianeest un nombre noté M_ed qui permet de diviser cette série en deux sous-groupes de même effectif.

➤ Si N estimpair, M_ed est la valeur de cette série qui est située au milieu.

➤ Si N estpair, M_ed est la moyenne des deux nombres situés « au milieu » de la série.

Exemple 2 :

Une autre classe a obtenu, lors du même devoir, les notes suivantes (série B) :

notesx_i 1 2 3 4 13 14 18 19 20 total

effectifsn_i 3 2 2 4 1 2 4 2 2 22

Déterminer les médianes des sériesAetB.

Comparer les moyennes et médianes de ces deux classes. Peut-on dire qu’elles ont le même profil ? 3) Quartiles

On divise la série en quatre groupes d’effectifs égaux (ou presque).

Définition :

Lepremier quartiled’une série statistique est la plus petite valeur Q₁telle qu’au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à Q₁.

Le troisième quartiled’une série statistique est la plus petite valeur Q₃ telle qu’au moins trois quarts des valeurs sont inférieures ou égales à Q₃.

Propriété :

Au moins 50% des observations ont une valeur du caractère comprise entre Q₁et Q₃.

Théorème (Calcul des quartiles) :

Pour déterminer le premier quartile d’une série de N valeurs ordonnées, on calcule ^N₄ puis on détermine le premier entierpsupérieur ou égal à ^N₄ ; cet entierpest le rang de Q1.

Pour Q3, on fait de même en remplaçant ^N₄ par ^3N₄ .

Exemple 3 :

Déterminer les quartiles des sériesAetB.

4) Les déciles

Il s’agit de partager la série en dix sous-séries d’effectifs sensiblement égaux.

Définition (déciles) :

Lepremier déciled’une série statistique est la plus petite valeur D₁ telle qu’au moins 10 % des valeurs sont inférieures ou égales à D₁.

Leneuvième déciled’une série statistique est la plus petite valeur D₉telle qu’au moins 90 % des valeurs sont inférieures ou égales à D₉.

Propriété :

Au moins 80% des observations ont une valeur du caractère comprise entre D₁et D₉.

Exemple 4 :

Déterminer les 1^eret 9^edéciles des sériesAetB.

II- Paramètres de dispersion

Les paramètres de positions sont insuffisants pour étudier correctement une série statistique : deux séries ayant

1) L’étendue

Définition :

L’étendued’une série statistique est la différence entre les deux valeurs extrêmes de cette série.

Exemple 5 :

Dans l’exemple précédent, l’étendue de la sérieAvaut et l’étendue de la sérieBdu groupe 2 vaut

2) Intervalle inter-quartiles

Définition :

On appelleintervalle inter-quartilesl’intervalle [ Q₁; Q₃].

L’amplitude de cet intervalle est appeléeécart inter-quartiles.

l’écart interquartileest égal à Q₃−Q₁.

3) Les diagrammes en boîtes

La représentation graphique de la dispersion d’une série statistique se fait à l’aide de graphiques appelés dia- grammes en boites, oùboites à moustaches, dont voici deux types de représentation :

Diagramme en boite sans les déciles

b

Xmin

b

Xmax

b

Q₁

b

Q₃

b

M_e

Diagramme en boite avec les déciles

b b b b b

b

Xmin

b

D₁

b

Q₁

b

Q₃

b

M_e

b

D₉

b

Xmax Les valeurs non comprises entre D₁et D₉sont représentées

par des points.

Exemple 6 :

Représenter ci-dessous les deux diagrammes en boite, avec déciles, des séries de notesAetB :

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Quelle remarque peut-on faire sur la dispersion des notes dans ces deux classes ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 7 8.0 14 20

Figure1 – Notes de la série A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 3 8.5 18 20

Figure2 – Notes de la série B

4) Variance et écart-type

La dispersion peut également se mesurer autour de la moyenne. Considérons une série statistique quelconque :

Valeursx_i 0 1 2 3 4 7

Effectifsn_i 1 2 1 4 3 3

Figure3 – Série statistique quelconque

À partir de ces données, calculez la moyenne x puis remplissez le tableau suivant proposant deux façons de

« mesurer » pour chaque valeur « l’éloignement » par rapport àx.

x_i−x¯ (x_i−x)¯²

Figure4 – Essais de mesures de dispersion par rapport à la moyenne

Calculez dans chacun des cas l’éloignement moyen, c’est-à-dire la moyenne des écarts...

On peut visualiser les écarts sur le schéma suivant :

x₁ x₂

x3

x₅ x₆

x₄

5 – Visualisation de l’écart par rapport à la moyenne

On peut prouver (à titre d’exercice...) que la moyenne des écarts correspondant à la première ligne du ta- bleau4 page précédente est toujours nul. On préfère donc utiliser la moyenne des écarts de la deuxième ligne qu’on appellevariance.

Définition (variance et écart type) :

La varianceest la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. C’est un nombre positif.

V =n₁(x₁−x)²+· · ·+n_p(x_p−x)²

N =

Xp i=1

n_i(x_i−x)² N Il existe une autre expression de la variance :

V = n₁x²₁+· · ·+n_px_p²

N −x²=

Xp

i=1

n_ix²_i

N −x²

L’écart typeσd’une série statistique est égal à la racine carrée de la variance :σ=√ V

Remarque :

L’écart type permet de mesurer la dispersion d’une série statistique ; à moyenne égale, plus il est important, plus les valeurs observées sont dispersées

Son avantage par rapport à la variance est qu’il est exprimé dans la même unité que les valeurs de la série.

Exemple 7 :

Reprenez les séries des exemples1et2page1et calculez les moyennes et écarts-type.

N = 19 x= 10.0 Σx= 190.0 Σx²= 4886.0

V(x) = 19.5789473684 σ_x= 4.42481043305 Min(x) = 3.0 Q₁(x) = 7.0 Med(x) = 8.0 Q₃(x) = 14.0 Max(x) = 20.0

N = 22 x= 10.0 Σx= 220.0 Σx²= 9498.0

V(x) = 57.8181818182 σ_x= 7.60382678776 Min(x) = 1.0 Q₁(x) = 3.0 Med(x) = 8.5 Q₃(x) = 18.0 Max(x) = 20.0 Exemple 8 :

On a mesuré la quantité enµg/L (microgramme par litre), d’une certaine molécule M dans le sang d’un groupe 50 personnes :

Quantité (µg/L) 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190

Effectifs 2 3 3 5 3 4 5 5 5 6 3 2 4

1) a. Calculer la moyennexet de l’écart-typeσde cette série. On pourra utiliser la calculatrice.

Arrondir les résultats à 0,1 près.

b. Les personnes dont la quantité de molécule M dans le sang n’appartient pas à l’intervalle [x−σ;x+σ]seront convoquées pour réaliser une deuxième prise de sang.

Quelle est la part, en pourcentage, de personnes à convoquer ?

2) a. Déterminer la médiane, les quartiles les 1er et 9ème déciles de cette série statistique.

b. Tracer le diagramme en boîtes, avec les déciles, de cette série.

III- Utilisation de la calculatrice

Voici le détail des manipulations à effectuer pour obtenir les paramètres statistiques et la boite à moustaches d’une série statistique à une variablex; chaquex_i ayant un effectifn_i.

Pour cela, on entre les données dans une liste statistique et les effectifs ou les fréquences (s’il y en a) dans une autre, puis on lance les calculs statistiques à une variable en précisant à la machine dans quelle liste sont les données et dans quelle liste sont les effectifs. La machine affiche alors simultanément tous les paramètres statis- tiques.

Attention :Les quartiles donnés par la calculatrice ne correspondent pas exactement à ceux du cours.

Pour les « casio GRAPH 35+ »

Entrée de la série : Sélectionner le menu (2) STAT et en- trer dans la colonne LIST1les valeurs de la série, puis dans la colonneLIST2les effectifs correspondants.

Obtention des paramètres :

• Appuyer surF2(CALC), puis surF6(SET) (ouF4 sur la graph25).

• Sur la ligne1VAR XLIST, indiquerLIST1avec les touches de fonctions ; sur la ligne1VAR FREQ, indiquerLIST2. Ter- miner en appuyant surEXIT.

• En appuyant sur la touche de fonction correspondant à 1VAR, (F1) on obtient les paramètres de la série : x (moyenne),x_σn(écart type), Q₁, Med, Q₃etc . . ..

Tracé de la boite à moustaches :

• Dans le menu(2) STAT, selectionner le menuGRPH (F1).

• Sélectionner le menuSET(toucheF6ouF4deux fois sur la graph25).

• Sur la ligne Graph Type, choisir l’option BOX (en ap- puyant éventuellement surF6).

• Sur la ligne XLIST, indiquer LIST1 avec les touches de fonctions ; sur la ligneFrequency, indiquerLIST2 (F2).

Terminer en appuyant surEXIT.

• Appuyer sur(F1) GRPH1 pour obtenir la boite à mous- taches. En appuyant sur1Varon peut retrouver les para- mètres de la série.

Pour les « TI »

Entrée de la série : Appuyer sur la touche STAT, puis sur1 :EDIT. Dans la colonneL1, saisir les valeurs de la série et dans la colonne L2 les effectifs correspondants.

Appuyer à nouveau surSTAT.

Obtention des paramètres :

• Sélectionner l’onglet CALC (avec la flèche droite) et ap- puyer sur la touche 1 :1-VarStats. Appuyer sur 2ND puis1pour afficherL1, puis,2ND 2pour afficherL2(ne pas oublier la «,» entreL1etL2)

• Appuyer sur ENTER pour obtenir les paramètres : x (moyenne),σ_x(écart-type), Q₁, Med, Q₃etc . . ..

Tracé de la boite à moustaches :

• Sélectionner le menuSTATPLOT en appuyant sur 2NDet f(x) =.

• Appuyer sur1et sélectionner l’optionON.

• Sur la ligneType, sélectionner la boite à moustaches .

• Sur la ligneXList, choisirL1(en appuyant sur2NDpuis 1).

• Sur la ligneFreq, choisirL2

• Dans le menuFenêtre, indiquer commeXminun nombre inférieur à la plus petite valeur de la série, et commeXmax, un nombre supérieur à la valeur maximale de la série.

• Appuyer sur la toucheGRAPH.

• A la fin de la manipulation il faut fermer les graphes sta- tistiques pour revenir au modèle de graphique « des fonc- tions » en utilisantPlotsoffdu menuSTAT PLOT. Exemple 9 :

Déterminez, à l’aide de la calculatrice, la moyenne,l’écart type, l’effectif total, l’étendue, la médiane et les quartiles de chacune des séries statistiques suivantes :

1) 18 ; 25 ; 7 ; 9 ; 4 ; 13 ; 12 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18 ; 19 ; 7 ; 9 ; 54

2) données 5 7 9 10 11 12 13

effectifs 1 3 2 4 2 6 2

3) Modalité [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[

Effectif 17 25 9 2

N = 15 x= 15.6 Σx= 234.0 Σx²= 5654.0

V(x) = 133.573333333 σ_x= 11.5573930163 Min(x) = 4.0 Q (x) = 9.0

N = 20 x= 10.2 Σx= 204.0 Σx²= 8734.0 V(x) = 4.86

σ_x= 2.2045407685 Min(x) = 5.0 Q (x) = 9.0

N = 53 x= 2.84905660377 Σx= 151.0

Σx²= 8135.0

V(x) = 2.54325382698 σ_x= 1.59475823465 Min(x) = 1.0 Q (x) = 1.0

IV- Syntaxe de Xcas

1) Création des listes

On pourra créer 2 listes que l’on placera entre des crochets de la manière suivante : a) Cas d’un caractère quantitatif discret

données 5 7 9 10 11 12 13

effectifs 1 3 2 4 2 6 2

L1 :=[5,7,9,10,11,12,13]

[5,7,9,10,11,12,13]

L2 :=[1,3,2,4,2,6,2]

[1,3,2,4,2,6,2]

b) Cas d’un caractère quantitatif continu Modalité [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[

Effectif 17 25 9 2

intervalles :=[0..2,2..4,4..6,6..8]

[0..2,2..4,4..6,6..8]

eff :=[17,25,9,2]

[17,25,9,2]

2) Obtention des paramètres statistiques

moyenne(L1,L2)

51 5 puis une valeur décimale avec :

evalf(moyenne(L1,L2)) 10.200000

De même pourla deuxième série : evalf(moyenne(intervalles,eff))

2.849057

mediane(L1,L2)

10

quartile1(L1,L2)

9

quartile3(L1,L2)

12 1^erdécile :

quantile(L1,L2,0.1) 7

9^edécile :

quantile(L1,L2,0.9) 12

On obient directement dans une liste les éléments : x_min, Q1, Med, Q3 etx_maxavec l’instruction

quartiles(L1,L2)

[5,9,10,12,13]

variance(L1,L2)

243 50

ecart_type(L1,L2)

45√ 6 50

evalf(ecart_type(L1,L2))

2.204541

3) Représentations graphiques a) Nuage de points

Le nuage de points de la 1^resérie :

affichage(epaisseur_point_4) ;nuage_points(L1, L2)

5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

2 3 4 5 6

b) Boîte à moustache

La boîte à moustache de la 1^resérie : moustache(L1,L2)

x

6 8 10 12 14

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

c) Histogramme

Histogramme de la 2^esérie :

histogram([[0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2]])

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.05 0.1 0.15 0.2

d) Camembert

camembert(["[0 ;2[",17],["[2,4[",25],["[4 ;6[",9],["[6 ;8[",2])

[0;2[:32.08%

[2,4[:47.17%

[4;6[:16.98%

[6;8[:3.774%

x y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.5 0 0.5 1

e) Polygone des fréquences cumulées croissantes

cumulated_frequencies([0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2])

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

f) Approximation de la médiane par interpolation linéaire

P :=cumulated_frequencies([0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2]) ;D :=droite(y=0.5) ;A :=inter(P,D)

P

D A

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

abscisse(A)

group[2.760000]