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DEVOIR COMMUN Session janvier
2017
Série : S
Épreuve : Mathématiques Durée de l'épreuve : 3 heures
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 5 pages numérotées 1/5 à 5/5
2/5 Exercice 1 : ( 6 points )
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons S1 , S2 , . . . , Sn. Au départ, le sac S1 contient deux jetons noirs et un jeton blanc, et chacun des autres sacs contient un jeton noir et un jeton blanc.
On se propose d’étudier l’évolution des tirages successifs d’un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :
• Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.
• Deuxième étape : on place ce jeton dans S2 et on tire, au hasard, un jeton de S2.
• Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2 , on tire, au hasard, un jeton de S3
. . . et ainsi de suite . . .
Pour tout entier naturel k tel que
1 £ k £ n
, on note Ek l’événement « le jeton sorti de Sk est blanc », etE
k son contraire.1)
a) Déterminer la probabilité de
E
1notéeP ( ) E
1 , et les probabilités conditionnellesP
E1( ) E
2et
P
E( ) E
21 .
b) En déduire la probabilité de
E
2, notéeP ( E
2)
(on pourra s’aider d’un arbre de probabilité)c) Dans la suite, pour tout entier naturel k tel que
1 £ k £ n
, la probabilité deE
kest notéep
k. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous :E
k+1p
kE
kE
k+1E
kd) Justifier la relation de récurrence suivante :
3 1 3 1
1
= +
+ k
k
p
p
3/5 2) Etude d’une suite (uk) : On note (uk) la suite définie par
3 1
1
=
u
et , pour tout entier k supérieur ou égal à 1,3 1 3 1
1
= +
+ k
k
u
u
a) On considère la suite
( ) v
k définie, pour tout entier k au moins égal à 1, par :2 - 1
=
kk
u
v
Démontrer que
( ) v
k est une suite géométrique.b) En déduire l’expression de
u
k en fonction de k. Montrer que la suite( ) u
k est convergente et préciser sa limite.3) On dispose de 1000 sacs. Estimer la probabilité d’obtenir un jeton blanc du dernier sac.
Exercice 2 : (6 points)
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On rappelle que si ! est un nombre complexe, ! désigne le conjugué de !.
Proposition 1
La partie réelle du produit de deux complexes, est égale au produit de leurs parties réelles.
Autrement dit : "zÎ C , ℜ# !×!% = ℜ#(!)×ℜ#(!%).
Proposition 2
On considère dans C l’équation E : !, !-+ 5 = 1.
Si le nombre complexe z est solution de (E) alors −! est solution de (E).
Proposition 3
Pour tout nombre complexe !, le nombre complexe !! + ! + ! est un réel.
Proposition 4 L’inverse de
i i - + 3
1
est 1 − 23.Proposition 5
L’équation ! + 2! = (1 − 3)² a pour unique solution 23.
Proposition 6
L’équation (E) :
z z = - 1
1
n’a pas de solution dans C.Exercice 3 : (8 points)
Partie A
Voici deux courbesC1etC2qui donnent pour deux personnesP1etP2de corpulences différentes la concentration Cd’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du tempstaprès ingestion de la même quantité d’alcool.
L’instantt=0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
Cest exprimée en gramme par litre etten heure.
Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps
0 0,5 1,0 1,5
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 C1
C2
t C
1. La fonctionCest définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on noteC′sa fonction dérivée. À un instanttpositif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée parC′(t).
À quel instant cette vitesse est-elle maximale?
2. On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentrationCd’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par
f(t)=Ate−t
oùAest une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
a. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf. Déterminerf′(0).
b. L’affirmation suivante est-elle vraie?
« À quantité d’alcool absorbée égale, plusAest grand, plus la personne est corpulente. »
Partie B - Un cas particulier
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration Cd’alcool dans son sang est modélisée en fonction du tempst, exprimé en heure, par la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par
f(t)=2te−t. 1. Étudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ;+∞[.
2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale? Quelle est alors sa valeur?
Arrondir à 10−2près.
3. Rappeler la limite deet
t lorsquettend vers+∞et en déduire celle def(t) en+∞. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0,2 g.L−1pour un jeune conducteur.
a. Démontrer que l’équationf(t)=0,2 a exactement deux solutionst1ett2sur [0;+∞[.
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Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5×10−3g.L−1.
a. Justifier qu’il existe un instantTà partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détec- table.
b. On donne l’algorithme suivant oùf est la fonction définie parf(t)=2te−t. Initialisation: tprend la valeur 3,5
pprend la valeur 0,25 Cprend la valeur 0,21 Traitement: Tant queC>5×10−3faire :
tprend la valeurt+p Cprend la valeurf(t) Fin Tant que
Sortie: Affichert
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
Arrondir les valeurs à 10−2.
Initialisation Étape 1 Étape 2
p 0,25
t 3,5
C 0,21
Que représente la valeur affichée par cet algorithme?
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