Répondre sur le questionnaire et ne dégraffer que les brouillons

Faculté des

Sciences Appliquées NOM :

PRENOM : Mécanique Rationnelle

2e candidature

Examen de mécanique rationnelle

1

^ère

session 07/06/2005 (8h-12h)

Année académique 2004-2005

Répondre sur le questionnaire et ne dégraffer que les brouillons

( )

( )

( )

'

2

Cinématique :

Inertie :

2 2

A B

A B

i i système

ij i j

xy

y x

O G

v v BA

a a BA BA

I x x x x dm

I I

tg P

I I

I I m a a a

αβ αβ α β

λµ λ µ

αβ αβ αβ α β

ω

ε ω ω

δ α α θ

δ

= + ×

= + × + × ×

= −

=

= −

= + −

∫ ( )

,

2

1

1

Cinétique :

.

. 1 . . .

2 2

Lagrange :

G e

A B A

e A G A

A A A

A N

A A h h

h

p

i j i

i i j j

R mv dR F dt

M M AB R d M

m mv v M I mAG v dt

mv dT

T mv AG I F v

dt

d T T

dt q q Q q

ω

ω ω ω

λ φ

=

=

= => =

= + ×  => = + ×

= + × 

= + × + => =

∂ −∂ = + ∂

∂ ∂ ∂

∑

∑

Question 1 : Rotation d’une barre (3 points)

Une barre uniforme de longueur L et de masse m, est soudée à un axe. Cet axe est en rotation dans les support A et B avec une vitesse angulaire constante ω. Rem : on suppose que B ne supporte pas de force suivant l’axe.

Rem : le poids de la tige est négligeable.

Déterminer l’expression de la force supportée par l’appui en B en fonction de θ.

,

' '

2

1( ' ' ') lié à la barre avec ' suivant la barre : avec

1 1 ; 1 ; 1

2 2

1 car tous les produits d'inertie contenant du sont nuls 3

O

O P

e O

x z y z

P z

R x y z x d M m M M OP R

dt

L dOG L

OG b R m m OP b

dt

M mL z

θ θ

= = + ×

 

= −  = = = −

 

=

( )

( )

( )

2 2

' '

2 2

, '

2 2 2

1 1 1 1 1

3 2 3 2

: 1 1 1 cos 1 sin 1 1 1

2 2

cos et sin cos 1 sin 1 ave

2 2 2

O P z z y z x

O

e O y Bx y By x y x Bx y By x

Bx By B x y

mL L mL L

M M OP R m b m mb

d M bL bL

m m cR cR m cR cR

dt

bL bL bL

R m R m R m

c c c

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

= + × = + − × = +

=> = = − => − = −

=> = = => = +

c ²

B 2 R mbL

cθ

=

Question 2 : Panneaux en rotation (4 points)

Un ensemble de panneaux attaché à un système d’axe xyz tourne avec une vitesse angulaire Ω autour de l’axe vertical z. Simultanément, les panneaux tournes autour de l’axe x dans des sens opposés avec une vitesse angulaire constante ω.

1. Déterminer l’accélération angulaire de la plaque A.

N

1/ 0

2 2 2 2 / 1 0 2 / 0 0

1/ 0 0

1 0

1( ) repère lié à l'axe : 1

2( ) repère lié au panneau A : 1 1 1

1

R R z

R R x R R z x

R R y

R

R xyz R x y z

d dt

ω

ω ω ω ω

ε ω ω ω ω

=

= Ω

= => = Ω +

=> = + × = Ω

2. Déterminer la vitesse du point P

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

1/ 0 1

2 / 0 0 2 2 0

( ,0,0) 2 0

0 0

( ,0,0) 1

1

1 1 1

1 cos 1 cos 1 sin 1

cos 1 sin 1 cos 1

avec 1

1 cos 1 sin 1

R R z

R R z x y

P Q a b y x z y

P x y z

Q a b O y

y y z

v v QP a b c c

v c a b c c

v v OQ a b

QP c c

ω ω

ω ω ω ε ω

ω β ω β β

β ω β ω β

ω

β β

+

+

= Ω =

= Ω + = => = Ω

= + × = Ω + + Ω − + −

=> = −Ω + Ω + − +

 = + × = Ω +



= = +



3. Déterminer l’accélération du point P quand β = 90°

( )

( )

( )

( )

2 2

1/ 0 0 0 0 0

1

2 2 2 2

0 0 0

2 2 2

2 2

0

sin 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1

2 sin 1 cos cos 1 sin 1

ou

1 sin 1

P P R R P x y z y x

R

P x y z

P Q

P x x

a dv v c c c c a b c

dt

a c a b c c c

a a QP QP

a a b c c

ω βω ω β ω β β ω β

βω ω β β ω β

ε ω ω

ω β

 

= + × = Ω − − − ΩΩ − Ω Ω + −

   

=> = Ω − Ω +  − + Ω  −

= + × + × ×

   

= −Ω + + Ω + −Ω

( ( ) ( ) )

( )

( )

( )

2

0 0 0 0

2 2 2 2

0 0 0

2

1 1 1 1

2 2

0 0

90

cos 1 sin 1 sin 1 cos 1

2 sin 1 cos cos 1 sin 1

avec = 1 où 0

2 1 1

y x z y

P x y z

Q O x O

P x z

c c c

a c a b c c c

a a OQ OQ a b a

a _β c a b c

β ω β ω ω β ω β

ω β β ω β ω β

ε ω ω ε

ω ω

= °

 + Ω + − − 

 

     

=> = Ω − Ω +  − Ω +  − 

= + × + × × − Ω + = =

 

=> = Ω − Ω +  −

Question 3 : (3 points)

Le moteur électrique a une masse totale de 10 kg et est supporté par deux appuis en A et B attachés au disque en rotation. (a=120mm, b=180mm)

L’armature du moteur a une masse de 2,5 kg et un rayon de giration de 35 mm. Ce moteur tourne avec une vitesse de 1725 tours par minute dans le sens précisé sur le dessin. Le disque sur lequel le moteur est fixé tourne avec une vitesse constante de 48 tours par minute dans la direction montrée.

Déterminer la composante verticale des forces de réaction sur les appuis A et B.

Rem : Simplifier au maximum l’expression.

( )

,

2 2 2

2 2

et constant : 0

1725.2. 48.2.

avec avec 2,5 ; 0,035 ; ;

1. 60 60

1725.2. 48.2. 230

2,5 . 0,035 . . .35 .

60 60 1000

0

2. 0

G

e G g

g g

g

A B g

A B

z

d M m C

dt

C m kg r m

C kg mm

aR aR mr

dR R R Mg

dt ω

π π

ω ω

π π π

ω

 Ω = = +



 = ΓΩ × = = Ω = =



 = =



=> = − + Ω



 = = + −



( )

²

2 2 2 2

2 2 2 2

0

35 . 23 49.23.

5.9,81 . 5.9,81

2 2 1000 24 40.24

35 . 23 49.23.

5.9,81 . 5.9,81

2 2 1000 24 40.24

B B g

g B

g A

a Mg R aR mr Mg mr

R a

Mg mr

R a

ω

ω π π

ω π π



=> − − + Ω =

 Ω

= + = + = +

=> 

 = − Ω = − = −



Question 4 : Système bielle-manivelle + disque soumis à la gravité (4 points)

Le système comporte deux barres AB et BC homogènes identiques de masse m et longueur L et un disque homogène de masse m et de rayon r. Les barres sont articulées en A, B et C grâce à des liaisons rotoïdes parfaites. Le coefficient de frottement entre le sol horizontal et le disque est supposé suffisant pour éviter tout glissement. θ représente l'angle que fait la direction verticale avec la barre AB. α est l’angle caractérisant la rotation du disque.

On demande :

1. de déterminer sur le dessin le CIR de la barre BC.

2. d'établir l'(les) équation(s) du mouvement (en fonction des paramètres de l’énoncé) par le théorème de Lagrange en prenant comme coordonnées généralisées α et θ.

( )

1

( )

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

relation entre et AC 2 sin : 2 cos 2 cos 0

3 sin 1 cos 1

2 2

1 9 1 1

cos sin

2 3 2 4 4 2 12 2 2 2

1 2 3

x y

x r

x L x r L L r

L L

OG

mL m L L mL m mr

T x

T mL

α

θ α θ α θθ λ θδθ δα

θ θ

θ θθ θθ θ α

θ

=

= = = = => − =

= +

 

     

= +  + + + + 

       

 

=  

 

^{2 2 2 2 2 2 2 2 2}

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

1 1 1

1 3

2 cos

2 2 4 2 12 4

1 8 3

2 12 cos 4

1 8 3

2. cos cos cos

2 2 12 4

3 3 3

2 2 2

m m L mL mr

L

mL mr

T mL

L mL mr

V mg L mL mgL

d L L

mr r mr m

dt

α

θθ θ θ α

θ θθ α

θ θ θθ α θ

λ φ α λ λ α

α α α

 

+ + + +

 

= + +

 

= −   => = + + +

∂

∂ −∂ = => = − => = − = − −

∂ ∂ ∂

( )

( )

2

2

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

2

2 sin 2 cos

8 2 cos 4 cos sin 2 sin cos sin 2 cos

12

2 2cos sin 2 sin 3sin 2 6cos

3

2 8cos 4si

3

L L

d L L mL

mL mL mL mgL L

dt

g L

θ

θθ θθ

λ φ θ θθ θ θθ θ θθ θ λ θ

θ θ

θ

θ θ θθ θ θθ θθ

θ θ

 +

 ∂ ∂ ∂

 − = => + − + + =

 ∂ ∂ ∂



 

=> +  − + = −

 

=>  +  −

n 2 ² gsin 0

θθ + L θ =

Question 5 : Essieu (3 points)

On considère le système matériel constitué d’une tige rigide horizontale, de longueur 2L et de masse m, à répartition de masse uniforme, équipée, à chacune de ses extrémités (et orthogonal à la tige), d’une roue cylindrique verticale, de masse M et de rayon R, libre de tourner autour de son axe coïncidant avec la tige (voir la figure). Les roues sont modélisées comme des disques, c.-à-d. des figures planes.

Les roues parcourent une circonférence de rayon 2L, ce qui signifie que le point milieu de la tige est fixe ; de plus, les 2 roues roulent sans glisser sur le sol. On exerce sur la tige un couple pur de valeur C(t), d’axe vertical. La fonction C(t) est donc supposée connue.

Choisissez les coordonnées généralisées. Y a-t-il une relation liant ces coordonnées et leur dérivée ? Déduisez-en le nombre de degrés de liberté du système.

Angle caractérisant la rotation de la tige Angle caractérisant la rotation des roues

Vitesse de C1 (centre du cercle )

( ) ( )

1 tige 1

2 1

1 roue 2

1 1

C C

v L L

v R R

θ θ

ω θ ω ω

ω ϕ

∈

∈

=  => =

= 

=> 1 ddl.

Déterminer la (ou les) équation(s) différentielle(s) décrivant l’évolution du système.

( )

1 tige 1 roue

1/ 0 1

2/ 0 2

3/ 0 3

2 2

1 1

1 lié à l'axe avec z vertical. => 1

2 lié à la roue 1 => 1 1

3 lié à la roue 2 => 1 1

1 2

2 12

C C

R R z

R R z x

R R z x

a

v L L

v R R R

R R T m L

θ θ

θ ϕ θ

ϕ

ω ω θ

ω ω θ ϕ

ω ω θ ϕ

θ

∈

∈

=  => =

= 

 = =

 = = +

 = = −



 

=  

 

 

^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

1

2

2 2

1 1

2 3

2 2 2 4 2 3 2

0 (potentiel constant)

: 3 ( )

3 2

roue L

xe R

ML MR MR m MR

L ML

V L T

d T T m MR

Q L ML C t

dt

ϕ θ

θ

θ ϕ θ θ

θ θ θ

 = 

 

 

    

+  +  +  =  + + 

   

 

=

=

 

∂ ∂

− =  + +  =

∂ ∂  

Question 6 : Bateau (3 points)

Un bateau est modélisé sur la figure ci-contre.

En supposant que chaque solide S_i est caractérisé par sa masse m_i, la position de son centre de masse G_i ainsi que d’une matrice d’inertie

Gi

I , déterminer tout ce que vous pouvez déduire du système sans faire de calculs pour identifier les éléments d’inertie.

( )

1 2

2 2 4

1 1 1 2 2 2

( 1) 1 1 1 ( 2) 2 2 2

1 1 1 2 2 2

3 3 3 4 4 4

( 3) 3 3 3 ( ) 4 4 4

3 3 3 4 4 4

, ,

;

;

i i i i

G S G S

G S G S

OG a b c

A D E A D E

I D B F I D B F

E F C E F C

A D E A D E

I D B F I D B F

E F C E F C

=

− − − −

   

   

= − −  = − − 

− −  − − 

   

− − − −

   

   

= − −  = − − 

− −  − − 

    (mat=tige ; voiles=triangles)

1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

1: grâce à la symétrie du domaine d'intégration suivant l'axe y : 0

2 : le mat est suivant le domaine d'intégration unidimensionnel est suivant cet axe (0,0, ) 0 ;

S3: Le doma

S D F

S z z

C D E F A B

= =

=>

=> = = = = =

3

3 3 3 3 3

3

4 4 4 4 4

ine d'intégration est nul suivant l'axe (pas d'épaisseur)

Pb en 2D ; 0

4 : Le domaine d'intégration est nul suivant l'axe (pas d'épaisseur)

Pb en 2D ; 0

y

B A C D F

S y

B A C D F

=> = + = =

=> = + = =

Déterminer chacun des éléments de la matrice d’inertie du système complet évalué en G1.

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 1 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1( 2) 2 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

3 2 2 3 2 3 3 1 1 3

2

2 3 2 3

3 3

( 3) 3 3 3

3 3

,0, 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

,0, et 0,0,

0 0

0 0

0

G S

G S

G G a a c c

c c a a c c

A

I A m a a c c

a a c c a a

G G a a c c G G c c

c c a a

A E

I A C m

E C

= − −

 − − − − 

   

   

= + − − − − + − − 

= − − = −

− − −

 − 

 

= + −

− 

 

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ( ) ( ) ) ^{( )} ( ^{( ) ( )} )

1 3

2 3

2 2

2 3 2 3

2

2 3 2 3 2 3

2

1 3

2

( 3) ( 3) 3 1 3

2 2 2

1 2 2 1 2 3 3 3 2 3 3 1

2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 3 3 3 2 3 2 3 3

0 0

0

0 0

0 0

0 0 0

G S G S

c c

a a c c

a a c c a a

c c

I I m c c

A A A m c c A m c c m c c

B B A m a a c c A C m a a c c m

 − 

 

 − + − 

 

− − − − 

 

 − 

 

 

=> = + −

 

 

 

   

= + + −  + − − + − 

 

= + + − + − + + − − + − +

=>

( )

[ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( )( ) ( )( )

[ ] [ ] [ ]

2

1 3

2 2

1 2 1 2 3 3 2 3

1 2 1 2 1 2 3 3 2 3 2 3

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

c c

C C m a a C m a a

D

E E m a a c c E m a a c c

F



  − 

  

 = + + −  + − − 

    

 = + + + + =

 = +  + − −  +   − − − 

 = + + + + =



BROUILLON

BROUILLON