Modéliser l’évolution temporelle d’une transformation nucléaire 3

(1)

La radioactivité est due à l’instabilité des noyaux de certains isotopes. La loi de décroissance exponentielle est l’occasion de s’initier à l’étude d’une équation diﬀ érentielle. C’est surtout une propriété qui permet des datations précises. Certes la radioactivité est très dangereuse pour la santé mais paradoxalement, elle possède des applications très importantes en médecine en particulier dans le domaine de l’imagerie médicale.

■ Un scientiﬁ que

Le physicien français Henri Becquerel (1852-1908) étudie à l’École polytechni- que et à celle des Ponts et Chaussées. Son diplôme d’ingénieur en poche, il préfère s’orienter vers la recherche. Ses premiers travaux concernent la phospho rescence et la spectroscopie infrarouge. Pourtant, sa célébrité lui vient de la découverte, par hasard, de la radioactivité en 1896 et c’est dans ce domaine qu’il poursuit ses recherches, suivi par les époux Curie qui feront de spectaculaires découvertes. Les trois savants se partageront le prix Nobel de physique en 1903.

LE SAVIEZ-VOUS ?

En cas d’alerte d’accident nucléaire, les populations proches sont encouragées à absorber un comprimé d’iodure de potassium. Ceci permet de saturer la glande thyroïde et d’empêcher qu’elle absorbe diﬀ érents isotopes d’iode radioactif. Cett e prise ne doit se faire que sur injonction de la cellule de crise.

Chapitre 3

Modéliser l’évolution temporelle d’une transformation

nucléaire

(2)

Objectifs

Les notions que je dois maîtriser

Connaître les facteurs responsables de la stabilité ou de l’instabilité d’un noyau Connaître, en fonction de sa position dans le diagramme (N, Z), la nature de la transformation nucléaire subie par le noyau radioactif

Connaître la loi de décroissance radioactive qui régit une population de noyaux radioactifs ainsi que la notion de temps de demi-vie

Savoir ce que l’on entend par radioactivité naturelle et son application dans le domaine de la datation, savoir ce qu’est la radioactivité artificielle et ses applications en médecine

Les compétences que je dois acquérir

Savoir écrire une transformation nucléaire en respectant les règles de conservation de Soddy et savoir identifier un type de radioactivité

Savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants pour retrouver la loi de décroissance radioactive

Savoir exploiter une courbe de décroissance radioactive à des fins de datation ou dans le cadre d’une application médicale

(3)

MODELISER L’EVOLUTION TEMPORELLE D’UNE TRANSFORMATION NUCLEAIRE 3

Résumé de cours

Les différents types de radioactivité

Composition du noyau et stabilité

Le noyau d’un atome de symbole ^A_ZX est constitué de A nucléons dont Z protons de charge (+e) et N=A−Z neutrons de charge nulle. Le nombre A est aussi appelé nombre de masse car la masse de l’électron étant négligeable devant la masse d’un nucléon, toute la masse de l’atome est concentrée dans son noyau. Le nombre de protons ou numéro atomique Z caractérise l’élément chimique et deux noyaux appartenant au même élément chimique qui différent par leur nombre de neutrons sont dits isotopes. La cohésion du noyau est un équilibre physique délicat entre l’interaction nucléaire forte, attractive et de faible portée (environ la taille du noyau soit 10⁻¹⁵m) entre les nucléons et la répulsion électrostatique (portée infinie mais qui varie en 1

r² ) entre les protons. Un excès de l’un des deux types de particule provoque l’instabilité du noyau, ce qui conduit celui-ci à se transformer en un noyau plus stable.

Le diagramme (N, Z) et les différents types de radioactivité

Le diagramme (N, Z) permet de prévoir la stabilité ou l’instabilité des noyaux en fonction de leur position dans le diagramme ainsi que leur mode de radioactivité. Les noyaux présents sur la

« vallée de stabilité », zone correspondant sensiblement à la première bissectrice N=Z du diagramme, sont les noyaux ₂⁴He, ¹⁶₈O, ₂₀⁴⁰Ca, ⁵⁶₂₈Fe… Les noyaux possédant un excès de protons sont instables et subissent une désintégration β⁺ correspondant à la transformation, au sein du noyau, de l’un des protons en excès en un neutron avec émission d’un positron ₁⁰e, l’antiparticule de l’électron. Les noyaux possédant un excès de neutrons sont instables et subissent une désintégration β⁻ correspondant à la transformation, au sein du noyau, de l’un des neutrons en excès en un proton avec émission d’un électron ₋₁⁰e. La désintégration α concerne les noyaux lourds et s’accompagne de l’émission d’un noyau d’hélium ₂⁴He. Enfin la désintégration γ est l’émission d’un rayonnement ou photon gamma très énergétique car de très basse longueur d’onde par un noyau excité sans modification de sa composition.

Méthode 3.1. Comment écrire l’équation d’une transformation nucléaire ?

L’évolution temporelle d’une population de noyaux

Loi de décroissance radioactive

Il n’est pas possible de prévoir à quel moment un noyau instable va se désintégrer, car son devenir est indépendant de son âge ou de son environnement, on parle du caractère aléatoire de

MODÉLISER L’ÉVOLUTION TEMPORELLE D’UNE TRANSFORMATION NUCLÉAIRE 79nn

(4)

4 CHAPITRE 3

la désintégration radioactive. Cependant, si on étudie une population contenant un grand nombre N de noyaux radioactifs, on observe que l’activité de cet échantillon, correspondant au nombre de désintégrations par seconde et définie par A=−dN

dt , exprimée en becquerel Bq, est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs N soit A=k⋅N donc dN

dt +k⋅N=0.

Le nombre de noyaux N radioactifs obéit ainsi à une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants et second membre nul. Il en découle une évolution exponentielle décroissante : N(t)=N₀⋅exp(−t

τ) où τ désigne une constante de temps caractéristique du noyau considéré. En pratique, on définit pour un noyau donné un temps de demi-vie t^1/2, durée au bout de laquelle le nombre de noyaux de la population est divisé par deux, durée reliée à la constante de temps par : t_1/2= ln 2

τ .

Méthode 3.2. Comment résoudre une équation différentielle du premier ordre ?

Applications

Radioactivité naturelle et datation

Le fait qu’une population de noyaux radioactifs suive une loi de décroissance radioactive caractéristique de la nature de ce noyau peut être utilisé afin de déterminer l’âge de différents objets. Un exemple familier est la datation au carbone 14 des matériaux organiques. Le carbone est essentiellement présent sous la forme stable de l’isotope 12 mais les êtres vivants contiennent une faible quantité constante de l’isotope 14. Cet isotope, dont la demi-vie est égale à 5730 ans, est produit en permanence par les collisions des rayons cosmiques dans l’atmosphère. Il est absorbé par les plantes via la photosynthèse et ingéré par les animaux qui mangent ces plantes. Dès que l’organisme meurt, l’absorption de carbone 14 s’arrête, le carbone 12 reste inchangé mais le carbone 14 se désintègre progressivement et n’est pas remplacé. Ainsi, grâce à la mesure du rapport des quantités de carbone 14 et de carbone 12, on peut mesurer la durée écoulée depuis la mort de l’organisme.

Radioactivité artificielle et médecine

De nombreuses techniques médicales de diagnostique et de traitement utilisent des isotopes radioactifs. Par exemple le technétium absorbé par les os se concentre dans les régions de croissance anormale tel que les articulations arthritiques, cet isotope artificiel de demi-vie de 6 heures se désintègre suivant le mode γ ; le temps de demi-vie est suffisamment long pour obtenir une bonne image avec une caméra et suffisamment court pour ne pas produire des irradiations indésirables. D’autres noyaux tels que le fluor 18, de demi-vie 110 minutes, se désintègrent suivant le mode β⁺ en produisant des positons qui s’annihilent avec les électrons de l’environnement local engendrant des rayons gamma utilisés dans l’imagerie médicale.

Par ailleurs, des faisceaux énergétiques de rayonnements γ émis par des substances radioactives telles que le thallium-201 ou l’iode 131 sont utilisés dans le traitement du cancer grâce à leur action très localisée sur les cellules malades.

nn 80 CHAPITRE 3

(5)

Mé th o d e s

Méthodes

Méthode 3.1. Comment écrire l’équation d’une transformation nucléaire ?

L’équation d’une transformation nucléaire doit être équilibrée en respectant les règles de conservation de Soddy, c’est-à-dire :

- conservation du nombre de charge Z, - conservation du nombre de masse A.

On rappelle les différents modes de radioactivité :

- radioactivité α : émission d’un noyau d’hélium ou particule alpha,

- radioactivité β⁻et radioactivité β⁺: émission d’un électron ou émission de son antiparticule le positon,

- radioactivité γ : émission d’un photon, ou émission d’une onde électromagnétique de très courte longueur d’onde donc très énergétique.

Exercices 3.1 et 3.2

Désintégration alpha de l’uranium 238 (92 protons, 146 neutrons) en thorium 234 (90 protons, 144 neutrons) : ²³⁸₉₂U→ ²³⁴₉₀Th+₂⁴He ; l’uranium 238 est le plus lourd noyau naturel connu à ce jour avec une demi-vie de 4,5 milliard d’années, c’est en mesurant la quantité d’hélium enfermé dans le minerai d’uranium produit par cette transformation qu’Ernest Rutherford proposa la première estimation de l’âge de la Terre.

Désintégration β⁺ du zirconium 89 (40 protons, 49 neutrons) en yttrium 89 (39 protons, 50 neutrons) : ₄₀⁸⁹Zr→⁸⁹₃₉Y+₁⁰e ; cette transformation nucléaire est utilisée en imagerie médicale car les positons émis, antiparticules des électrons, et les électrons de la matière s’annihilent en produisant des rayons gamma détectables au moyen d’une caméra sensible à ces rayonnements ; elle est utilisée en tomographie à émission de positons pour le dépistage de cancers.

Désintégration β⁻ du strontium 89 (38 protons, 51 neutrons) en yttrium 89 (39 protons, 50 neutrons) : ⁸⁹₃₈Sr→⁸⁹₃₉Y+₋₁⁰e ; cette transformation nucléaire est utilisée en thérapie pour détruire les cellules cancéreuses d’une tumeur maligne au niveau des os.

Désintégration γ : le nombre de protons ou de neutrons du noyau ne change pas, ce qui change c’est la façon dont les nucléons du noyau s’organisent les uns autour des autres. Quand un arrangement réduit l’énergie du noyau, l’excès d’énergie est libéré sous la forme d’un photon.

Cette transition est généralement immédiate, sauf dans des cas exceptionnels tels que le technétium 99, qui peut subsister dans son état excité pendant plusieurs heures, ce qui laisse le temps de l’injecter à un patient comme marqueur radioactif pour une scintigraphie osseuse :

43

99Tc^*→⁹⁹₄₃Tc+γ .

Mé th o d e s

(6)

6 CHAPITRE 3

Méthode 3.2. Comment résoudre une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants ?

Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants constitue une capacité mathématique à atteindre. Il s’agit d’une équation vérifiée par une grandeur X(t) dépendante du temps qui fait intervenir la dérivée première dX

dt de cette grandeur par rapport au temps sous la forme : a⋅dX

dt +b⋅X =c. On préférera l’écrire en physique sous une forme homogène faisant apparaître les dimensions des grandeurs : dX

dt + X τ =C

τ où τ désigne une constante de temps caractéristique de l’évolution du système.

Nous rencontrerons ce type d’équation différentielle à différentes reprises dans le programme :

- loi de vitesse d’ordre 1 suivie par la concentration C(t) d’un réactif en chimie, - loi de décroissance suivie par le nombre N(t) d’une population de noyaux radioactifs,

- loi d’évolution de la vitesse v(t) d’un corps qui chute en étant soumis à une force de frottement,

- modélisation de l’évolution T(t) de la température d’un système qui échange un flux de chaleur par conduction et convection avec un fluide en mouvement,

- évolution de la tension u(t) aux bornes d’un condensateur lors de la charge ou de la décharge de celui-ci à travers une résistance.

Exercice 3.2.

On admet que la solution de l’équation différentielle dX dt + X

τ =C

τ est d’un point de vue mathématique la somme de deux termes : une solution particulière et une solution générale de l’équation différentielle sans second membre.

D’un point de vue physique, le premier terme correspond au régime dit permanent ou stationnaire, c’est-à-dire ce qui se passe quand le système n’évolue plus dans le temps, tandis que le second terme correspond au régime dit transitoire, c’est-à-dire à ce qui se passe au cours de l’évolution temporelle de la grandeur.

La solution particulière est X =C car si X =C alors dX

dt =0 et l’équation est bien vérifiée.

Une solution générale de l’équation différentielle sans second membre vérifie : dX dt + X

τ =0, ce qui s’écrit en mathématiques en posant X = f(t) : f'(t)+ f(t)

τ =0 soit f'(t) f(t) =−1

τ , soit, en

Exercice 3.2

nn 82 CHAPITRE 3

(7)

Mé th o d e s

prenant la primitive des deux membres de l’équation : ln

( )

f(t) ⁼⁻_τ^t ⁺^a^d’où X(t)= f(t)=exp(−t

τ +a)=exp(a)⋅exp(−t

τ)=A⋅exp(−t τ).

Ainsi, en ajoutant les deux termes, la solution de l’équation différentielle dX dt + X

τ =C

τ sera de la forme : X(t)=C+A⋅exp(−t

τ) ; c’est la valeur initiale de X à t=0 que l’on notera X⁰ qui va nous permettre de déterminer la valeur de la constante A ; en effet, en faisant t=0 dans l'expression de la solution on obtient : X₀=C+A donc A=X₀−C.

Deux cas de figure seront rencontrés dans notre programme :

Premier cas : C=0 ; le second membre de l’équation différentielle du premier ordre est nul, alors A= X₀ donc X(t)= X₀⋅exp(−t

τ) ; X(t) décroît de façon exponentielle au cours du temps en partant de la valeur initiale X₀.

Ci-dessous, l’exemple déjà rencontré de la concentration d’un réactif qui suit une loi de vitesse d’ordre 1 ; le graphe a été obtenu dans l’exercice 2.4.

Il est intéressant d’observer qu’à t=τ, X(τ)= X₀⋅exp(−1)=0,37×X₀.

En d’autres termes, à t=τ , X n’est plus égal qu’à 37% de sa valeur initiale X₀.

De plus, on peut considérer que X(5τ)= X₀⋅exp(−5)=0,0067×X₀0 donc au bout de 5τ , X n’est plus égal qu’à 0,67 % de sa valeur initiale X⁰, c’est-à-dire quasiment 0.

Mé th o d e s

(8)

8 CHAPITRE 3

Par ailleurs, on peut montrer que la tangente à la courbe à t=0 intercepte l’axe horizontal correspondant à l’asymptote de la courbe à t=τ ; ce qui donne une autre méthode permettant de déterminer rapidement la valeur de τ .

Enfin, une autre méthode consiste à tracer le graphe ln(X)= f(t) ; puisque X(t)= X₀⋅exp(−t

τ), on a : ln(X)=ln(X₀)+ln exp(−t τ)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =ln(X₀)− t

τ ; ln(X) apparaît ainsi comme une fonction affine du temps de coefficient directeur −1

τ . Le tracé du graphe ln(X)= f(t) puis sa modélisation mathématique permet ainsi de déterminer la constante de temps τ .

Ci-dessous, l’exemple de la concentration d’un réactif qui suit une loi de vitesse d’ordre 1 ; le graphe est celui qui a été obtenu dans l’exercice 2.4.

Deuxième cas : C≠0 ; le second membre de l’équation différentielle du premier ordre est non nul et généralement on se place dans la situation où X₀=0, donc A=−C et

X(t)=C−C⋅exp(−t

τ)=C⋅ 1−exp(−t τ)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

Cette fois X(t) est une fonction exponentielle croissante du temps partant de X⁰=0 et qui tend asymptotiquement vers la limite C.

nn 84 CHAPITRE 3

(9)

Mé th o d e s

C’est le cas par exemple de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge à travers une résistance, ce que l’on étudiera ultérieurement au chapitre 12.

À nouveau la constante τ est un temps qui permet de caractériser l’évolution dans le temps de la grandeur.

X(t=τ)=C⋅

(

1−exp(−1)

)

⁼^C^×^0,63^et^X^(t⁼⁵^τ⁾⁼^C^⋅

(

¹⁻^exp(−5)

)

⁼^C^×^0,99^C^.

Ainsi, à t=τ, la grandeur X(t) a atteint 63% de sa valeur définitive en régime permanent et on peut considérer que le régime permanent est atteint au bout d’une durée de 5τ.

Enfin, on observe à nouveau le fait que la tangente à la courbe à t=0 intercepte l’asymptote horizontale de la courbe à _t₌τ , ce qui permet de retrouver rapidement la valeur de τ graphiquement.

Remarque : si X⁰≠0 alors X(t)=C+(X₀−C)⋅exp(−t

τ) ; c’est le même type d’évolution mais qui commence à partir de X⁰ non nul.

Mé th o d e s

(10)

10 CHAPITRE 3

Vrai/Faux

Vrai Faux 1. Les noyaux légers qui ont un nombre de masse A double de leur

numéro atomique Z sont stables.

2. La radioactivité alpha s’accompagne de l’émission d’un atome

d’hélium.

3. Avec le temps un noyau radioactif est de plus en plus susceptible de se

désintégrer.

4. Lors de sa désintégration radioactive, un noyau instable se transforme toujours en un noyau fils plus stable en émettant une particule qui transporte la différence d’énergie sous la forme d’énergie cinétique de la particule.

5. La loi de décroissance radioactive suivie par une population N de noyaux radioactifs est : N=N₀⋅exp(λ ⋅t) où λ désigne une

constante de temps positive.

6. La demi-vie est la moitié de la durée au bout de laquelle un noyau

radioactif se désintègre.

7. La datation au carbone 14 utilise l’augmentation de la fraction

(carbone 12 / carbone 14) dans l’être à partir de sa mort.

8. Les rayonnements ionisants sont une forme d’énergie qui se propage

par le biais d’ondes électromagnétiques (rayons gamma ou rayons X).

9. La demi-vie d’un nucléide peut varier d’une simple fraction de

seconde à des millions d’années.

10. Le nombre de photons absorbés par une épaisseur dx de matériau étant proportionnel au nombre de photons incidents et à l’épaisseur dx de matériau, un écran de plomb quatre fois plus épais absorbe quatre fois plus de rayonnement qu’une simple épaisseur de plomb.

nn 86 CHAPITRE 3

(11)

Énoncé des exercices

Exercice 3.1. La radioactivité au service de l’archéologie

Isotope radioactif du carbone, le « carbone 14 » noté ¹⁴C est formé continuellement dans la haute atmosphère. Il est très réactif et donne rapidement du « gaz carbonique » (dioxyde de carbone) qui, en quelques mois, se mélange avec l'ensemble du gaz carbonique de notre atmosphère. Il sera donc assimilé par les plantes au même titre que le gaz carbonique produit avec du carbone stable (les isotopes ¹²C et ¹³C). On le retrouvera donc comme constituant de la matière organique des animaux herbivores et carnivores. [...]

Vers 1950, le chimiste américain Libby, prix Nobel de chimie en 1960 pour ses travaux sur la datation par le carbone 14, a démontré [...] que tous les êtres vivants sont caractérisés par le même rapport du nombre de noyaux de ¹⁴C au nombre de noyaux de ¹²C : N(¹⁴C)

N(¹²C). En conséquence, un gramme de carbone pur extrait d'un être vivant présente une activité due au

14C, voisine de 13,6 désintégrations par minute, ce qui correspond à « un âge zéro ». Dans un animal ou un végétal mort (tronc d'arbre, coquille fossile, os... trouvé dans une caverne), le ¹⁴C

« assimilé » par l'animal ou la plante quand il était vivant, décroît exponentiellement en fonction du temps du fait de sa radioactivité à partir de l'instant de sa mort. La comparaison* de cette activité résiduelle aux 13,6 désintégrations par minute fournit directement l'âge de l'échantillon fossile [...]. Au bout de 40 millénaires, il reste moins de 1% du ¹⁴C que contenait initialement un échantillon fossile ; cette teneur résiduelle devient trop faible pour être déterminée avec précision.

J.C.Duplessy et C. Laj ; d'après une publication du CEA Clefs CEA n°14 automne 1989

* On suppose que la valeur de 13,6 désintégrations par minute, pour un organisme vivant, est restée constante au cours des derniers millénaires.

1. Désintégration du « carbone 14 »

On donne les numéros atomiques suivants: Z = 6 pour le carbone C et Z = 7 pour l'azote N.

1.1. Pourquoi les noyaux de symboles ¹²₆C et ¹⁴₆C sont-ils appelés isotopes ? Donner la composition de ces noyaux.

1.2. Le « carbone 14» se désintègre «en azote 14 ». Écrire l'équation de désintégration du

« carbone 14 » en supposant que le noyau fils n'est pas obtenu dans un état excité. S'agit-il d'une radioactivité α, β⁺ ou β⁻ ? Peut-on justifier cette radioactivité ?

(12)

12 CHAPITRE 3

2. Propriétés des désintégrations radioactives

2.1. Donner les caractéristiques des transformations radioactives en complétant les phrases ci- dessous à l'aide des mots ou expressions proposés.

2.1.1. La transformation radioactive d’un noyau possède un caractère …………..…..

Mots proposés : • prévisible • aléatoire • périodique

2.1.2. La désintégration d’un noyau ………..…..celle d’un noyau voisin.

Expressions proposées : • n’affecte pas • modifie • est perturbée par

2.1.3. Un noyau « âgé » a ……….…….. de se désintégrer qu’un noyau « jeune ».

Expressions proposées : • plus de chances • moins de chances • autant de chances

2.1.4. L’évolution d’une population d’un grand nombre de noyaux radioactifs possède un caractère ………..

Mots proposés : • prévisible • aléatoire • périodique

2.2. On propose trois expressions mathématiques pour représenter l'évolution du nombre N de noyaux de « carbone 14 » restant dans l'échantillon à la date t, λ étant la constante radioactive relative à la désintégration étudiée (λ > 0) :

(a) N=N₀⋅e^−λ⋅t (b) N=N₀−λ ⋅t (c) N=N₀⋅e^λ⋅t 2.2.1. Dans chacune des trois expressions ci-dessus : - Que vaut N à t = 0 ?

- Quelle est la limite de N quand t tend vers l'infini ?

En déduire l'expression à retenir parmi les propositions (a), (b) et (c), en justifiant.

2.2.2. L'activité A=−dN

dt à l'instant de date t est donnée par la relation A= A₀⋅e⁻^λ⋅t. Que représente A⁰ ?

2.2.3. En s'aidant du texte, donner pour un échantillon de 1,0 g de carbone pur, extrait d'un être vivant, la valeur de A⁰.

2.2.4. À quel événement correspond « l'âge zéro » cité dans le texte ? 3. Datation au « carbone 14 »

Le temps de demi-vie de l'isotope ¹⁴₆C est t^1/2 =5,73⋅10³ans.

3.1. Qu'appelle-t-on temps de demi-vie t^1/2 d'un échantillon radioactif ?

3.2. Montrer que λ ⋅t_1/2=ln 2 à partir des réponses données aux questions 2.2.1. et 3.1.

3.3. Calculer la valeur de λ dans le cas du « carbone 14 », en gardant t^1/2 en années.

nn 88 CHAPITRE 3

(13)

MODELISER L’EVOLUTION TEMPORELLE D’UNE TRANSFORMATION NUCLEAIRE 13 3.4. Plusieurs articles scientifiques parus en 2004 relatent les informations apportées par la découverte d'Ötzi, un homme naturellement momifié par la glace et découvert, par des randonneurs, en septembre 1991 dans les Alpes italiennes.

Pour dater le corps momifié, on a mesuré l'activité d'un échantillon de la momie. On a trouvé une activité égale à 7,16 désintégrations par minute pour une masse équivalente à 1,0 g de carbone pur. Donner l'expression littérale de la durée écoulée entre la mort d'Ötzi et la mesure de l'activité de l'échantillon.

Calculer cette durée.

3.5. À Obock (en République de Djibouti), des chercheurs ont étudié un corail vieux de 1,2⋅10⁵ans (soit cent vingt mille ans).

D'après le texte, ce corail a-t-il pu être daté par la méthode utilisant le « carbone 14 » ? Justifier la réponse.

4. Choix du radioélément

4.1. Pour dater des roches très anciennes, on utilise parfois la méthode potassium-argon.

Le « potassium 40 », de demi-vie 1,3⋅10⁹ans, se transforme en « argon 40 ».

Quel pourcentage de noyaux de « potassium 40 » reste-t-il dans une roche au bout de 4 fois le temps de demi-vie ?

4.2. Comme il est indiqué dans le texte pour le « carbone 14 », on suppose que la teneur résiduelle minimale permettant d'effectuer une datation avec le « potassium 40 » est également de 1 % de la teneur initiale.

En comparant l'âge de la Terre, qui est de 4,5⋅10⁹ans, à la demi-vie du « potassium 40 », préciser si la méthode de datation par le « potassium 40 » permet de mesurer l'âge de la Terre.

Justifier la réponse.

Source : d’après Bac Métropole, 2006 Exercice 3.2. Les applications technologiques de la radioactivité

« Au cours du XX^e siècle, d'énormes progrès ont été réalisés en médecine grâce à la radioactivité. La technique consiste à introduire dans l'organisme des substances radioactives appelées traceurs pour diagnostiquer (identifier la maladie) et soigner. Par exemple, on sait que les phosphonates entrent dans le métabolisme^* osseux; si on injecte du phosphonate radiomarqué au "technétium 99", celui-ci se comporte comme un traceur. Il participe au métabolisme de la même façon que le phosphonate naturel auquel il est mélangé et se répartit sur le squelette. Le rayonnement gamma émis traverse les tissus et peut donc être détecté à l'extérieur de l'organisme par une gamma caméra. Cette caméra permet d'obtenir des informations sous forme d'une image appelée la scintigraphie. Celle-ci pourra apporter des renseignements fonctionnels comme, par exemple, le degré de consolidation d'une fracture.

D'autres traceurs sont utilisés; citons : l' « iode 131 », le « carbone 11 », l' « azote 13 », l' « oxygène 15 ». Ils sont choisis parce que leur activité décroît rapidement.

MODÉLISER L’ÉVOLUTION TEMPORELLE D’UNE TRANSFORMATION NUCLÉAIRE 89 nn

(14)

La radioactivité est utilisée dans le traitement des tumeurs et des cancers : c'est la radiothérapie.

Le principe consiste à bombarder une tumeur avec le rayonnement β⁻ émis par le « cobalt 60 ».

Dans certains cas, il faut une source radioactive plus ionisante: on utilise un rayonnement de type alpha, plus massif que les autres.

La découverte de la radioactivité a donné aux sciences, à la médecine et à l'industrie un élan qui, après un siècle, ne s'est pas ralenti. »

* Le métabolisme représente l'ensemble des transformations physiques et chimiques dans les tissus vivants.

D'après des textes d'un site internet 1. L' « oxygène 15 » est radioactif β⁺. Écrire l'équation de la désintégration correspondante.

On supposera que le noyau fils n'est pas émis dans un état excité.

Extrait de la classification périodique:

6C ₇N ₈O ₉F ₁₀Ne ₁₁Na

2. À propos du texte

2.1. Dans le texte on parle de traceurs, quelle propriété commune présentent-ils ?

2.2. Le texte donne une particularité des radioéléments utilisables en scintigraphie, laquelle ? 2.3. Quelques types de rayonnement

2.3.1. Dans le texte, il est question de radioactivité β⁻ et α ; donner le nom et le symbole

Z

AX de chacune de ces particules émises.

2.3.2. Justifier à partir de la question précédente la phrase « un rayonnement de type alpha plus massif que les autres ».

3. Scintigraphie

On injecte à un patient un échantillon d' « iode 131 » de temps de demi-vie égal à 8 jours environ.

3.1. Donner la définition du temps de demi-vie.

3.2. En vous aidant du tableau ci-dessous, justifier le choix de l' « iode 131 » en scintigraphie.

Activité A⁰ en Bq au moment de l'injection

Activité A⁴⁰⁰ en Bq 400 jours après l'injection traceur de demi-vie égale

à 8 jours (Iode 131) 2⋅10⁵ 6⋅10⁻³

traceur de demi-vie égale

à 80 jours 2⋅10⁵ 6255

D'après des textes d'un site internet

nn 90 CHAPITRE 3

(15)

MODELISER L’EVOLUTION TEMPORELLE D’UNE TRANSFORMATION NUCLEAIRE 15 Le cobalt ₂₇⁶⁰Co est émetteur β⁻ de constante radioactive λ=4⋅10⁻⁹s⁻¹.

4.1. Écrire l'équation de désintégration du « cobalt 60 ». On supposera que le noyau fils est produit dans un état excité.

Données:

Extrait de la classification périodique:

25Mn ₂₆Fe ₂₇Co ₂₈Ni ₂₉Cu

Constante d'Avogadro: N^A=6,02⋅10²³mol⁻¹ Masse molaire atomique du cobalt 60 : 60 g⋅mol⁻¹

4.2. Un centre hospitalier reçoit un échantillon de « cobalt 60 ».

4.2.1. Déterminer le nombre N⁰ de noyaux contenus dans l'échantillon de 1μ^g à l'instant de sa réception dans l'établissement hospitalier.

4.2.2. Donner l'expression, pour une durée Δt relativement courte, liant ΔN, Δt, λ et N dans laquelle N représente le nombre de noyaux encore présents dans l'échantillon à l'instant de date t.

4.2.3. Rappeler l’équation différentielle du premier ordre à laquelle obéit N(t) et donner l’expression de la solution N(t) en fonction de λ, N⁰ et t.

4.2.4. En déduire l'expression de ΔN en fonction de Δt, λ, N⁰ et t.

Le technicien du laboratoire est chargé de contrôler cette source, tous les ans. À l'aide d'un compteur, il détermine le nombre de désintégrations ΔN obtenues pendant une courte durée notée Δt= 1 s.

Ce nombre est appelé activité A définie par A=−dN

dt . L'activité peut se mettre sous la forme A= A₀⋅e⁻^λ⋅t.

4.2.5. Que vaut littéralement A⁰ ?

4.2.6. On trace à l'aide d'un logiciel approprié le graphe du logarithme de l'activité A en fonction du temps :lnA= f(t).

Rappel: ln(a⋅b)=ln(a)+ln(b)

Exprimer lnA en fonction de t, λ et A⁰, activité initiale de l'échantillon à l'instant de sa réception.

4. Radiothérapie

(16)

16 CHAPITRE 3

4.2.7. Montrer que la forme de la courbe ci-dessus constitue une vérification expérimentale de l'expression trouvée précédemment.

4.2.8. Déterminer graphiquement la valeur de la constante de désintégration radioactive λ en an⁻¹.

4.2.9. Établir la relation entre t_1/2 et λ.

4.2.10. Calculer t_1/2 en années. Dans les tables on trouve t^1/2=1,68⋅10⁸s pour le radioélément « cobalt 60 ». Commenter.

Source : d’après Bac Asie, 2003

nn 92 CHAPITRE 3

(17)

Co rrigé

Corrigé des vrai/faux

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Vrai Faux Faux Faux Faux Faux Vrai Faux Vrai Faux

1. Dans le diagramme (N, Z), les noyaux légers stables sont sur la première bissectrice avec égalité du nombre de protons et du nombre de neutrons donc le nombre de masse A est le double du nombre de charge Z.

2. La radioactivité alpha est l’émission d’un noyau d’hélium (formé de deux protons et de deux neutrons) et non l’émission d’un atome d’hélium (formé également de deux électrons).

3. La désintégration radioactive est un phénomène aléatoire indépendant de l’âge du noyau.

4. La désintégration radioactive ne s’accompagne pas nécessairement de l’émission d’une particule, aussi dans le cas de la radioactivité gamma, la transition énergétique subie par le noyau s’accompagne de l’émission d’un photon ou onde électromagnétique de très basse longueur d’onde.

5. La loi de décroissance radioactive est N =N₀⋅exp(−λ ⋅t) ; λ étant positif, le signe moins est nécessaire pour traduire la décroissance dans le temps de la population de noyaux radioactifs.

6. La demi-vie est une grandeur temporelle caractéristique qui se rapporte à une population importante de noyaux ; on ne peut pas prévoir le moment de la désintégration pour un noyau en particulier.

7. À partir de la mort, le carbone 14 n’est plus renouvelé dans l’être vivant aussi la fraction carbone 12 / carbone 14 augmente et c’est le suivi de l’augmentation de cette fraction qui permet, connaissant la loi de décroissance radioactive du carbone 14, de dater la mort de l’être.

8. Les rayonnements ionisants sont aussi une forme d’énergie qui se propage par le biais de particules (particules béta ou alpha).

9. La période peut varier considérablement d'un nucléide à l'autre, depuis une minuscule fraction de seconde jusqu’à des milliards d'années. La plus courte demi-vie jamais observée est celle de l'hydrogène 7,

(

2,3 ± 0,6

)

^⋅10⁻²⁷^s et la plus longue celle du xénon 124,

1,8 ± 0,6

( )

^×¹⁰²²^ans^.

10. On peut écrire, si N désigne le nombre de photons incidents : dN =−μ⋅N⋅dx ou dN

dx +μ⋅N =0. La solution de cette équation différentielle est : N=N₀⋅exp(−μ⋅x). Le nombre de photons absorbés n’est pas une fonction linéaire de l’épaisseur de matériau mais l’absorption augmente de façon exponentielle avec l’épaisseur. Par ailleurs, l’absorption dépend aussi de la nature du matériau à travers le coefficient d’atténuation linéique μ qui augmente avec le numéro atomique du matériau : μ(₈₂Pb)=0,937 cm⁻¹ et μ(₁₃Al)=0,182 cm⁻¹.

Cor rig é

(18)

18 CHAPITRE 3

Corrigé des exercices

_________ Exercice 3.1 _______________________________

1.1. Les noyaux de symboles ¹²₆C et ¹⁴₆C sont des isotopes ; ils possèdent le même numéro atomique Z donc le même nombre de proton à savoir 6 protons (ils appartiennent ainsi au même élément chimique) mais ils différent par leur nombre de neutron N=A−Z : 6 neutrons pour le noyau de l’isotope 12 et 8 neutrons pour le noyau de l’isotope 14.

1.2. ¹⁴₆C→¹⁴₇N+₋₁⁰e ; il s’agit d’une radioactivité β⁻ avec émission d’un électron. En effet le carbone 14 possède un excès de neutrons par rapport au carbone 12 qui est stable, c’est ce qui est à l’origine de son instabilité. Au cours de sa désintégration radioactive, un neutron du noyau de carbone 14 se transforme en un proton avec émission d’un électron selon : ₀¹n→₁¹p+₋₁⁰e.

Méthode 3.1 2.1.1. La transformation radioactive d’un noyau possède un caractère aléatoire.

2.1.2. La désintégration d’un noyau n’affecte pas celle d’un noyau voisin.

2.1.3. Un noyau « âgé » a autant de chance de se désintégrer qu’un noyau « jeune ».

2.1.4. L’évolution d’une population d’un grand nombre de noyaux radioactifs possède un caractère prévisible. Elle obéit en effet à la loi de décroissance radioactive.

2.2.1.

(a) N=N₀⋅e⁻^λ⋅t ; N=N₀ à t=0 et N=0 à t=∞. (b) N=N₀−λ ⋅t ; N=N₀ à t=0 et N=−∞ à t=∞. (c) N=N₀⋅e^λ⋅t ; N=N₀ à t=0 et N= +∞ à t=∞.

Seule l’expression (a) est cohérente physiquement et correspond à la loi de décroissance radioactive.

2.2.2. A⁰ représente l’activité initiale ; c’est la valeur de l’activité à t=0.

2.2.3. D’après le texte, « un gramme de carbone pur extrait d'un être vivant présente une activité due au ¹⁴C, voisine de 13,6 désintégrations par minute ». L’activité initiale en becquerel est le nombre de désintégrations par seconde et vaut donc A₀=13,6

60 =0,227 Bq.

2.2.4. « L’âge zéro » correspond à la mort de l’être vivant. C’est le moment où le carbone 14 n’est plus renouvelé.

3.1. Le temps de demi-vie t^1/2 est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs de l’échantillon est divisé par deux.

3.2. On sait que N=N₀⋅e^−λ⋅t et N(t=t_1/2)= N₀

2 =N₀⋅e⁻^λ⋅t^1/2 d’où l’équation e⁻^λ⋅t^1/2= 1 2, ce qui se résout en prenant le logarithme népérien de chaque membre pour aboutir à : λ ⋅t_1/2=ln 2.

nn 94 CHAPITRE 3

(19)

Co rrigé

3.3. λ=ln 2

t_1/2 = ln 2

5,73⋅10³=1,21⋅10⁻⁴an⁻¹. 3.4. A=A₀⋅e^−λ⋅t ou e^λ⋅t= A₀

A donc, en prenant le logarithme népérien de chacun des membres

de l’équation, t= 1 λ⋅ln A₀

A

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ or λ= ln 2

t_1/2 donc t=t_1/2⋅ ln A₀

A

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ln 2 ; on vérifie la cohérence de l’expression du point de vue dimensionnel.

Soit : t=5,73⋅10³×

ln 13,6 7,16

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ln 2 =5303 ans.

3.5. D’après le texte, « Au bout de 40 millénaires (40 mille ans), il reste moins de 1% du ¹⁴C que contenait initialement un échantillon fossile ; cette teneur résiduelle devient trop faible pour être déterminée avec précision » ; aussi au bout de cent vingt mille ans, le triple de quarante mille ans, la teneur en carbone 14 ne permet pas la datation.

4.1. Au bout d’une demi-vie, le nombre de noyaux radioactifs est divisé par 2 donc au bout de 4 demi-vies, le nombre de noyaux est divisé par 2⁴=16 soit : N

N₀ = 1

16=0,0625=6,25 %. 4.2. L’âge de la Terre de 4,5⋅10⁹ans représente 4,5⋅10⁹

1,3⋅10⁹ =3,46 demi-vie du « potassium 40 » ; après une demi-vie le nombre de noyaux radioactifs est divisé par 2, donc au bout de 3,46 demi-vies, on a : N

N₀ =0,5^3,46=0,091=9,1%. La teneur supérieure à 1% permet de mesurer l’âge de la Terre avec le « potassium 40 ».

_________ Exercice 3.2 _______________________________

1. La radioactivité β⁺ est l’émission d’un positon : ¹⁵₈O→₁⁰e+¹⁵₇NLes règles de Soddy sont bien vérifiées.

2.1. Les traceurs émettent des rayonnements gamma.

2.2. Les radioéléments utilisables en scintigraphie ont une activité qui décroît rapidement c’est-à-dire une durée de vie courte.

2.3.1. La radioactivité β⁻ est l’émission d’un électron ₋₁⁰e et la radioactivité α est l’émission d’un noyau d’hélium ₂⁴He.

2.3.2. Les particules alpha sont des noyaux d’hélium, constitués de deux protons et de deux neutrons ; elles sont plus massives que les positons ou les électrons. En effet, la masse d’un proton est voisine de la masse d’un neutron et elle est 1836 fois plus grande que la masse de l’électron ou du positon.

3.1. Le temps de demi-vie est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs d’une population est divisé par deux.

Cor rig é

(20)

20 CHAPITRE 3

3.2. Dans le cas de l’iode 131 son activité au bout de 400 jours après l’injection devient presque négligeable ; il n’est donc pas nocif pour la santé du patient.

4.1. ₂₇⁶⁰Co→₋₁⁰e+₂₈⁶⁰Ni^* : désintégration β⁻puis ₂₈⁶⁰Ni^*→₂₈⁶⁰Ni + γ : désintégration γ .

4.2.1. On calcule d’abord le nombre de mole puis on multiplie ce nombre par le nombre d’Avogadro pour en déduire le nombre d’entités :

N₀= m

M⋅N_A=10⁻⁶

60 ×6,02⋅10²³=10¹⁶noyaux 4.2.2. On sait que : A=−dN

dt =λ ⋅N donc pour une durée relativement courte : ΔN

Δt =−λ ⋅Net donc ΔN=−λ ⋅N⋅ Δt. 4.2.3. L’équation A=−dN

dt =λ ⋅N est une équation différentielle du premier ordre à second membre nul : dN

dt +λ ⋅N =0 dont la solution s’écrit : N(t)=N₀⋅e^−λ⋅t.

Méthode 3.2 4.2.4. ΔN=−λ ⋅N⋅ Δt et N(t)= N₀⋅e⁻^λ⋅t donc ΔN =−λ ⋅N₀⋅e^−λ⋅t⋅ Δt.

4.2.5. A=− ΔN

Δt =λ ⋅N₀⋅e⁻^λ⋅t=A₀⋅e^−λ⋅t avec A⁰=λ ⋅N₀. 4.2.6. ln(A)=ln(A₀)−λ ⋅t.

4.2.7. L’expression de ln(A) montre qu’il s’agit d’une fonction affine du temps de la forme : ln(A)=a⋅t+b. Elle est en accord avec l’expression de la question précédente.

4.2.8. La valeur de la constante de désintégration radioactive λcorrespond à l’opposé du coefficient directeur du modèle affine soit λ=−a.

On choisit les points M (3,0 ;17,1)et N (7,0 ;16,6)pour calculer le coefficient directeur.

a=lnA_M −lnA_N

t_M −t_N =17,1−16,6

3,0−7,0 =−0,125donc λ=0,125 an⁻¹. 4.2.9. À t=t_1/2, N(t)= N₀

2 donc N₀⋅e^−λ⋅t^1/2 = N₀

2 et t_1/2 =ln 2 λ . 4.2.10. t_1/2=ln 2

λ = ln 2

0,125=5,54an=5,54×365×24×3600=1,7⋅10⁸s; ce résultat est en accord avec la valeur donnée dans les tables.

nn 96 CHAPITRE 3