VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

Master Ingénierie Mécanique et Acoustique – Cours AC05 UNIVERSITE DU MAINE

2007-2008

0907

M M V V 2 2

VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

Jean-Claude Pascal

Φ2

SOMMAIRE

1 – INTRODUCTION

2 – PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

2.1 – Ondes de flexion dans la plaque

2.2 – Ondes acoustique dans l'espace semi-infini 2.3 – Couplage vibroacoustique

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

3.1 – Problème de rayonnement de plaque

3.2 – de la transparence acoustique de la plaque infinie 3.3 – Plaque infinie excitée localement

4. PLAQUE FINIE COUPLEE

4.1 – Equation du problème 4.2 – Solution générale

4.3 – Solution pour la pression en champ lointain

4.4 – Distribution de pression sur la surface de la plaque 4.5 – Réponse vibratoire couplée de la plaque

5. PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

5.1 – Puissance rayonnée par une plaque finie

5.2 – Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire 5.3 – Facteur de rayonnement approché pour une plaque

6. EXEMPLES

ANNEXE A

Transparence acoustique : cas de deux fluide identique

ANNEXE B

Impédance de la plaque infinie

ANNEXE C

Calcul couplé utilisant la base modale

AVERTISSEMENT

La convention j est utilisée dans cette partie, ce qui correspond à une dépendance temporelle en e^jωt. Les relations suivantes ¹

−1

−

=

−

= i

j , j² =i² =−1

doivent donc être utilisée pour retrouver les résultats obtenus avec la convention i et e^−iωt.

Conséquences : e^−jα propagation vers α croissants

Fonctions de Hankel H₀^{( )1}

( )

α =J₀

( )

α − jN₀

( )

α

( )²

( )

α ₀

( )

α ₀

( )

α

0 J jN

H = +

( )¹

( )

^{( 4)}

0

2 _{α π}

α → πα e^{−j −}

H quand α→∞

( )

π ^{( )}

(

α

)

α j H j

K₀ =− ₀¹ − 2

( )

^α

α α → π e⁻

K⁰ 2 quand α→∞

1 P.M. Morse, K.U. Ingard, Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, 1968. p.12

Bibliographie

M. Bruneau, Manuel d'acoustique fondamentale, Hermès, 1998.

F.J. Fahy, Sound and Structural Vibration, Academic Press, 1985.

(nouvelle édition 2007)

M.C. Junger, D. Feit, Sound, Structures, and their Interaction (2^nd ed.), MIT press, 1986. (réédition : Acoustical Society of America, 1993).

A.D. Pierce, Acoustics : an introduction to its physical principles and applications, McGraw-Hill, 1981.

E.G. Williams, Fourier Acoustics, Sound Radiation and Nearfield Acoustical Holography, Academic Press, 1999.

Acoustique générale (P. Filippi, Ed.), Les Editions de Physique, 1994.

J.L. Guyader, C. Lesueur, Transparence et rayonnement acoustiques des plaques minces (Ch. 8)

Rayonnement acoustique des structures (C. Lesueur, Ed.), Eyrolles, 1988.

C. Lesueur, J.L. Guyader, Rayonnement acoustique des plaques et des coques cylindriques (Ch. 4)

J.L. Guyader, C. Lesueur, Comportement vibroacoustique des plaques minces (Ch. 5)

1 – INTRODUCTION

Les structures couplées à un fluide ne vont pas avoir le même comportement vibratoire que dans le vide comme il est généralement considéré dans les cours de vibrations. Cependant il pourra souvent être fait une distinction entre fluides légers comme l'air ou fluides lourds comme l'eau. Dans tous les cas il y aura un échange d'énergie entre le fluide et les vibrations de la structure.

L'objectif de cette partie de cours est de mettre en évidence dans le cas des structures simples comme les plaques, les lois essentielles qui régissent ces transferts vibroacoustiques.

L’étude des plaques infinies a mis en évidence des comportements vibroacoustiques qui peuvent se généraliser à des structures plus complexes. Cependant une caractéristique des structures finies est la présence de modes de vibration qui doivent être pris en compte pour une estimation plus fine du rayonnement.

Il est bien connu qu'en raidissant une structure on réduit le niveau vibratoire mais qu'il n'est pas accompagné par une réduction sensible de la puissance rayonnée. Du point de vue des vibrations, il est facile d'apporter des modifications mécaniques qui se traduiront par une réduction de la contribution d'un mode de structure. Il sera plus difficile de réduire le rayonnement à une fréquence donnée car il peut être du à des modes éloignés des fréquences d'intérêt.

Les différents modèles de prédiction peuvent être divisés en quatre catégories :

1) Les formulations non-modales qui permettent d'identifier les principales tendances.

Elles sont généralement représentées par des courbes de puissances rayonnées moyennées sur des modes dont on suppose qu'ils sont également excités par des excitations mécaniques large bande (Ver et Holmer, 1971; Müller et al, 1982).

2) Des formulations modales négligeant les termes de couplage croisés (Maidanik, 1962; Fahy, 1985). Ces approches sont utilisables quand le couplage est négligeable, c.a.d. pour certaines conditions d'excitation (localisées), en présence de conditions aux limites homogènes, quand la fréquence d'excitation n'est pas entre deux modes résonants et pour des structures non raidies.

3) Les models analytiques prenant en compte le couplage intermodal (Davies, 1971;

Keltie et Peng, 1987; Berry et al, 1990). Ces modèles utilisent une approche de champ proche basée sur une transformation dans le domaine des nombres d'onde (Davies, 1971), une évaluation numérique de l'intégrale de Rayleigh (Sandman, 1975) ou une approche de champ lointain utilisant une double transformée de Fourier spatiale (Berry et al, 1990). Les deux dernières approches sont plus générales et précises mais demandent toutefois des temps de calcul plus longs. Les approches de champ proche sont principalement utilisées pour prendre en compte la charge du fluide (ajout de masse et couplage intermodal) alors que les approches de champ lointain est employé dans le cas du couplage intermodal seul.

4) Les approches numériques qui comprennent essentiellement les méthodes par éléments finis (basées sur la discrétisation de l'équation d'onde) et la méthode des

éléments de frontières (basée sur la discrétisation de l'intégrale de Kirchhoff) ont donné naissance à des codes commerciaux (Sysnoise, Rayon, Bemap, …) . Ces méthodes sont très coûteuses en temps de calcul, principalement en hautes fréquences.

On s'intéressera dans un premier temps à la troisième catégorie qui représente l'approche analytique la plus complète dans le cas des plaques. Les autres méthodes, approchées ou numériques, seront examinées comparativement à cette méthode.

2 – PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE 2.1 – Ondes de flexion dans la plaque

Le comportement dynamique des plaques minces est décrit à partir des hypothèses de Kirchhoff-Love :

l’influence du cisaillement transversal (déformation des sections) est négligeable,

l’influence de l’inertie de rotation est négligeable.

On considère que le déplacement transversal est harmonique de pulsation ω = f 2π et la notation complexe est employée

(

x y t

)

w

(

x y

)

e^{j t} w , , = , ^ω ,

ce qui aura pour conséquence directe d’exprimer l’accélération par

(

x y t

)

w

(

x y t

)

t w

(

x y

)

e^{j t}

w&& , , =∂² , , ∂ ² =−ω² , ^ω

En général, le terme e^jωt est omis dans les équations du mouvement suivantes. L'équation des vibrations de flexion des plaques minces isotropes est

(2.1.1) avec ρ masse volumique de la plaque et h son épaisseur. La constante

(

²

)

3 121−υ

=Eh

D correspond à la rigidité de flexion (E module de Young et υ coefficient de Poisson) et l’opérateur ∇⁴ est le double Laplacien. Dans le cas d’un champ en deux dimensions (∂ ∂z≡0), le double Laplacien (aussi noté ∆²) s’obtient par :

( )

^{2 2 2}₂ ²₂ ^{2 4}_{4 2}⁴ ₂ ⁴₄ ²

4 2  ≡ ∆









∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

= ∂









∂ + ∂

∂

= ∂

∇

=

∇ x y x x y y

L’équation du mouvement (2.1.1) prend la forme

avec

D k_f ρh

ω²

4 = (2.1.2) en exprimant le nombre d’onde des ondes de flexion

e

^−iωt de la plaque dans le vide. Si on considère que

(

^{∇4 −k4}f

)

^w

⁽

^x,y

⁾

⁼

(

^{∇2 +k2}f

)(

^{∇2 −k2}f

)

^w

⁽

^x,y

⁾

⁼⁰

peut se séparer en deux équations

(

^{∇2 +k2}f

)

^w+

⁽

^x,y

⁾

⁼⁰ et

(

^{∇2 −k2}f

)

^w−

⁽

^x,y

⁾

⁼⁰

la solution générale recherchée sera la somme w

(

x,y

)

=w⁺

(

x,y

)

+w⁻

(

x,y

)

des solutions des deux équations :

Ondes propagatives

(

^{∇2 +k2}f

)

^w+

⁽

^x,y

⁾

⁼⁰ ⇒ w⁺

(

x,y

)

=W⁺ e^{−j(kxx+kyy)}

(

,

)

⁴

(

,

)

0

4 − =

∇ w x y k_fw x y

(

,

)

²

(

,

)

0

4 − =

∇ w x y hw x y

D ω ρ

Ondes évanescentes

(

^{∇2 −k2}f

)

^w−

⁽

^x,y

⁾

⁼⁰ ⇒ w⁻

(

x,y

)

=W⁻e^−(kxx+kyy) Les composantes du vecteur d'onde doivent satisfaire la relation de dispersion

2 2 2

y x

f k k

D

k = ρh = +

ω (2.1.3) Remarques

1) L'équation des ondes peut également s'écrire sous la forme de variables séparées (par exemple pour l'onde propagative)

( ) ( ) (

y ^{jk y}

)

y jk y x jk x x jk x

y x y

x B e A e B e

e A y x

w⁺ , = ⁻ + ⁻ + , avec k_x ≥0 et k_y ≥0.

ou encore en considérant un angle ϕ pour la direction de propagation de l'onde flexion plane, tel que k_x =k_f cosϕ et k_y =k_f sinϕ

(

x,y

)

W e ^{j(kfxcosϕ kfysinϕ)}

w⁺ = ^{+ − +}

Il est alors possible de définir un plan des nombres d'onde

(

kx,ky

)

où l'on se propageant dans la direction ϕ sera représentée par un point.

Figure 2.1 – Représentation dans le plan (k_x,k_y) d'une onde de flexion plane se propageant dans la direction ϕ

2) L'excitation de la plaque se représentera par un second membre

(

x y

)

hw

(

x y

)

N

(

x y

)

w

D∇⁴ , −ω²ρ , = , ou

( ) ( ) ( )

D y x y N

x w k y x

w _f ,

,

, ⁴

4 − =

∇ (2.1.4)

où N

(

x,y

)

est la densité de force répartie sur la surface de la plaque (en N/m², donc une pression).

3) Le rapport ∇⁴w w=k⁴_f , quelque soit le type d'onde : propagatives (w⁺), évanescentes (w⁻) ou la somme des deux (w). Quand la plaque sera chargée par un fluide lourd, les mêmes fonctions représentant les ondes de flexion seront présentent avec un nombre d'onde modifié γ . Ce nombre d'onde effectif γ de la plaque pourra être obtenu en considérant l'équation (2.1.4) sous la forme

( ) ( )

D y x N D

y x y N

x w k y x

w _f ^p( , ) ^f( , )

,

, ⁴

4 − = +

∇

kx

ky

kf





=

=

ϕ ϕ sin cos

f y

f x

k k

k k

ϕ

où N_p(x,y) est la densité de force due à la fluctuation dynamique du fluide (par exemple la différence de pression pariétale de part et d'autre de la plaque) et N_f(x,y) est la densité des forces mécaniques extérieures appliquées à la plaque (par exemple Fδ(x−x₀,y−y₀) pour une force ponctuelle appliquée en (x₀,y₀)). En mettant cette équation sous la forme équivalente

( ) ( )

D y x y N

x w y

x

w ^f( , )

,

, ⁴

4 − =

∇ γ ,

il est possible de définir le nombre d'onde effectif, en dehors des zones d'excitation par les forces extérieures où la pseudo-équation homogène ∇⁴w

(

x^,y

)

−γ⁴w

(

x^,y

)

=⁰ est vérifiée

( )

(

x y

)

w y x w

,

4 ,

4 ∇

γ = . (2.1.5)

2.2 – Ondes acoustiques dans l’espace semi-infini

Les ondes acoustiques harmoniques dans le milieu semi-infini ‘au-dessus’ de la plaque sont les solutions de l’équation de Helmholtz

(

^{, ,}

)

²

(

^{, ,}

)

⁰

2 + =

∇ p x y z k p x y z (2.2.1) avec le nombre d’onde k =ω c, et dont la forme générale est une onde plane élémentaire (2.2.2) Pour vérifier l’équation (2.2.1), les composantes

(

kx,ky,kz

)

du vecteur d'onde doivent aussi satisfaire la relation de dispersion

(2.2.3) La solution (2.2.2) peut aussi s'écrire sous la forme équivalente (variables séparées)

( ) ( ) ( ) ⁽

z ^{jk z}

⁾

z jk z y jk y y jk y x jk x x jk

x ^{z z}

y x y

x B e A e B e A e B e

e A z y x

p , , = ⁻ + ⁻ + ⁻ + (2.2.4)

Si la pression dans le demi-espace z≥0 est due au rayonnement de la plaque située dans le plan z=0, le terme e^jkzz qui correspond à une onde plane se propageant vers la plaque ne correspond pas à une réalité physique. La pression peut donc être décrite par

(

x y z

)

p

(

x y

)

e ^jkzz

p , , = , ⁻ , z≥0 (2.2.5) en représentant par p

(

x,y

)

la pression dans le plan

(

x,y

)

en z=0.

Si les variables k_x et k_ysont imposées par la pression p

(

x,y

)

sur le plan z=0, la relation de dispersion (2.2.3) montre que la variable k_z n'est pas indépendante

2 2 2 2 2

z y

x k k

c k

k  = + +



 



=ω

(

x y z

)

Pe ^{j(kxx kyy kzz)} p , , = ^{− + +}

2 2 2 2

y x

z k k k

k = − − .

Pour illustrer cette condition simplement, on considère un champ pour lequel k_y =0(c'est à dire ϕ=0), soit p

(

x,y

)

=Ae^−jkxx. Ecrire k_z = k² −k_x² revient à définir l'orientation de l'onde plane par rapport à l'axe z sous la forme d'un angle θ . Le vecteur d'onde de module k =ω c se projette selon les composantes

θ sin k

k_x = et k_z =kcosθ (2.2.6) comme le montre la Figure 2.2. Dans le domaine spatial la répartition de la pression sur les axes x et z est représentée par les composantes des longueurs d'onde

θ λ λ

=sin

x et

θ λ λ

=cos

z

où k

c f

c π

πω

λ= =2 =² .

Figure 2.2 – Représentation des composantes du vecteur d'onde (gauche : domaine des nombres d'onde) et des composantes de la longueur d'onde (domaine spatial).

La trace de l’onde plane (2.2.2) sur un plan à z=0 peut se représenter dans le domaine des nombres d’onde, par un spectre dans un plan

(

kx,ky

)

. L’onde plane de l’exemple précédent se représente par un point en

(

kx ⁼k^sinθ^,ky ⁼⁰

)

du domaine des nombres d’onde. La Figure 2.3 représente l’onde plane dans l’espace

(

^x,y,z

)

et dans le domaine

(

kx,ky

)

pour

a) le cas général de l’onde dans une direction θ , b) l’onde dans la direction normale : θ =0 et k_x =0, c) l’onde dans la direction rasante : θ =π 2 et k_x =k.

λ

λx

λz

kx

θ

θ kz

k

z

x front d'onde

(a) (b) (c) Figure 2.3 – Représentation de l’onde plane dans l’espace (x,y,z) et dans le domaine des nombres d’onde.

Pour onde plane dont la direction de propagation projetée sur le plan

(

x,y

)

présente un angle ϕ par rapport à la direction x, son spectre de nombre d’onde est représenté par un point en

(

^kx =^{ksinθcosϕ, k}y =^ksinθsinϕ

)

.

Remarques

1) Si le demi-espace z ≤0 est considéré, alors c'est le terme e^−jkzz qui correspond à une onde plane se propageant vers la plaque et qui est supprimé. La pression dans ce demi- espace est donc

(

x y z

)

p

(

x y

)

e^jkzz

p , , = , , z≤0 (2.2.7) 2) voir condition de Sommerfeld

3) La somme de solutions élémentaires (2.2.2) (ondes planes) permet de représenter n'importe quel champ en coordonnées cartésiennes, par exemple² celui d'une source monopolaire décrit en coordonnées sphériques par e^−jkR R

∫∫∫ ( )

= −

•

−

−

3 2

2 2π

K K

r

K d

k e R

e ^{jkR j}

avec r=

(

x,y,z

)

, K=

(

kx,ky,kz

)

et R= r .

2 P.M. Morse, K.U. Ingard, Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, 1968. p.364

kx

ky

k 0 , sinθ k

kx

ky

k 0 , 0

kx

ky

k

0 , k

2.3 – Couplage vibroacoustique

Le couplage vibroacoustique, qu'il soit du à une vibration de la plaque qui va rayonner dans le fluide environnant ou à une onde acoustique incidente qui vient exciter la paroi (la plaque), se caractérise par deux aspects

- la relation de continuité des vitesses vibratoire et acoustique, - l'influence de la pression pariétale sur la dynamique de la plaque.

2.3.1 – Continuité des vitesses sur la paroi

En chaque point de l'interface de la plaque et du fluide, il y a égalité entre les composantes normales à la surface de la plaque de la vitesse vibratoire et de la vitesse particulaire de l'onde acoustique dans le fluide (non-visqueux : théorie linéaire de l'acoustique)

(2.3.1) La vitesse vibratoire s'obtient à partir du déplacement (en dérivant la fonction temporelle

t

ej^ω )

(

x y

)

j w

(

x y

)

v , = ω ,

La relation d’Euler (conservation de la quantité de mouvement de l’acoustique linéaire)

0 +∇ =0

∂

∂ p

t

ρ u ou jωρ₀u+∇p=0 (2.3.2)

permet de remplacer la vitesse par le gradient de pression :

z p ck j z p u_z j

∂

= ∂

∂

= ∂

0

0 ρ

ωρ (2.3.4) Avec la relation (2.3.1) (ici u_n =u_z)

( )

w

(

x y

)

z z y x p

z

, , ,

0 2 0

ρ ω

∂ =

∂

=

. (2.3.5) L'impédance de rayonnement peut également être définie par

normale

re particulai

vitesse

pariétale

pression

r = Z

(2.3.6)

Figure 2.2 – Impédance de rayonnement de la plaque (faces 1 et 2)

(

, ,0

)

) ,

(x y u x y

v = _n

z

ˆ1

n ˆ2

n

w j p u

p u

Z p

w j

p u

p u

Z p

z n

r

z n

r

ω ω

= −

=−

=

=

=

=

1 1

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

2.3.2 – Couplage dynamique

Sans tenir compte de la force d'excitation mécanique qui a produit les ondes de flexion dans la plaque, son équation d'équilibre dynamique comporte maintenant des termes de la pression pariétale au second membre qui vont modifier le champ vibratoire

( ) ( ) ( ) ( )

D

y x p y x y p

x w k y x

w _f , ,

,

, ^{4 1 2}

4 −

=

−

∇ (2.3.7)

Une nouvelle équation de dispersion qui met en relation le nombre d'onde effectif (γ⁴ =∇⁴w w) et le nombre d'onde de flexion naturel k⁴_f dans le vide est obtenue en divisant cette équation par ^w

(

^x,y

)

( ) ( )

(

x y

)

w D

y x p y x k_f p

, ,

, ₂

1 4

4 −

+ γ =

et en notant D=ω²ρh k⁴_f

( ) ( )

( )

^







 −

+

= h w x y

y x p y x k_f p

, , 1 ,

2 2 1

4 4

ω γ ρ

En introduisant la notion d'impédance de rayonnement (2.3.6), la relation de dispersion prend la forme







 +

−

= ρ ω

γ h

Z jZ

k⁴_f ^{r1 r2}

4 1 (2.3.8) Quand Z_r ωρh peut être négligée (comme c'est le cas pour l'air) le nombre d'onde effectif

γ vaut le nombre d'onde naturel de flexion k_f . On parle alors de problème découplé.

Dans le cas contraire, le nombre d'onde effectif γ diffère de k_f mais le déplacement de la plaque est aussi modifié. On parle de problème couplé.

Figure 2.3 – Problème découplé (gauche) et problème couplé (droite)

2.4 – Quantification du couplage vibroacoustique

L'impédance de rayonnement permet de quantifier le rayonnement acoustique. Des grandeurs énergétiques comme l'intensité acoustique rayonnée sont souvent employées

continuité des vitesses

équation dynamique de la structure force mécanique

2 1,p p

v

continuité des vitesses

équation dynamique de la structure force mécanique

2 1,p p

v

2

1 p

p p_a = −

champ acoustique rayonné

réponse vibratoire

{ }

_n ⁿ

{ }

_r

n u Z

u p

I Re

Re 2 2 ˆ 1

2

=

=

=

⋅n ^∗

I (2.4.1)

En utilisant la relation de continuité (2.14) u_n = jωw, l'intensité rayonnée par une face supérieure de la plaque devient

{ }

²

2

2 Re Z w

I_n ω _r

= (2.4.2) et la puissance acoustique correspondante

{ }

Z w dS dS

W

S r S

∫

∫

^{⋅ =}

= ²

2

2 Re

ˆ ω

n

I (2.4.3) Le facteur de rayonnement normalise la puissance acoustique par ^12ω2

∫

_S^{ρ0c w2dS, c'est}

à dire par la puissance acoustique rayonnée si l'impédance de rayonnement vaut l'impédance caractéristique ρ₀c du fluide

{ }

∫

=

∫

S

S r

dS w

dS w c Z

2 2

Re ρ0

σ (2.4.4)

3 – ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

Les relations précédentes ont une portée générale. les champs vibratoires et acoustiques devront en général être représenté en repère cartésien par une infinité d'ondes élémentaires.

Toutefois, dans le cas d'une plaque infinie à une pulsation ω , il est possible de considérer le cas d'un champ vibratoire comportant une seule onde de flexion plane. Son rayonnement correspondra aussi à une onde de flexion plane.

3.1 – Problème du rayonnement de la plaque

Une plaque mince infinie située dans le plan z=0 sépare deux milieux fluides semi- infinis. Les vibrations de la plaque vont produire un rayonnement acoustique dans les milieux 1 et 2. Les équations des ondes dans les trois domaines sont connues. Des équations de couplage à l’interface des domaines vont permettre de résoudre le problème.

Dans notre cas, les équations de couplage sont les relations de continuité des vitesses mécaniques et acoustiques sur les faces de la plaque.

Figure 3.1 – Géométrie du problème

Les équations qui décrivent le problème sont : Milieu 1 (z<0) : ondes acoustiques

(

, ,

)

₁² ₁

(

, ,

)

0

1

2 + =

∇ p x y z k p x y z avec k₁ =ω c₁ (3.1.1) Interface milieu 1 / plaque (z=0) : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

( )

w

(

x y

)

z z y x p

z

, , ,

1 2 0

1 =ω ρ

∂

∂

=

(3.1.2) Plaque : déplacement du aux ondes de flexion

(

^,

)

²

(

^,

)

₁

(

^{, ,0}

)

₂

(

^{, ,0}

)

4w x y hw x y p x y p x y

D∇ −ω ρ = − (3.1.3)

Interface plaque / milieu 2 (z=0) : continuité des vitesses vibratoires et acoustiques

( )

w

(

x y

)

z z y x p

z

, , ,

2 2 0

2 =ω ρ

∂

∂

=

(3.1.4) Milieu 2 (z>0) : ondes acoustiques

(

^{, ,}

)

₂² ₂

(

^{, ,}

)

⁰

2

2 + =

∇ p x y z k p x y z avec k₂ =ω c₂ (3.1.5) z

Milieu 1 p₁

(

x,y,z

)

Milieu 2

(

x y z

)

p₂ , ,

Plaque mince w

(

x,y

)

On doit également ajouter aux équations des ondes acoustiques des milieux 1 et 2 les conditions de Sommerfeld à l’infini. Dans les équations qui précèdent, les deux milieux sont différents et caractérisés par les masses volumiques ρ₁,ρ₂ et les célérités des ondes

c1,c₂.

3.1.1 – Solution générale du problème

La solution générale de l’équation de Helmholtz ∇²p+k²p=0 dans un système de coordonnées cartésiennes est représentée par la relation (2.2.4). En z=0, l’expression

( ) ( ) ( ) ⁽

z z

⁾

y jk y y jk y x jk x x jk x z z

B A e

B e

A e B e

A z jk

z y x

p _{x x y y}

− +

+

−

∂ =

∂ − −

=0

,

, (3.1.6)

montre que pour que la relation de continuité (2.3.1) soit satisfaite il faut que les fonctions en x et y soient identiques pour p₁, p₂ et w. Cela implique les conditions suivantes sur les composantes x et y des nombres d’onde acoustique k₁dans le milieu 1, k₂dans le milieu 2 et le nombre d’onde de flexion dans la plaque γ :

(3.1.7) Les ondes de flexion se propageant dans l’espace bidimensionnel de la plaque nous avons également la relation (le nombre d'onde effectif γ est différent de la constante k_f de l’équation 2.1.3)

ϕ γ γ ϕ

γ

γx = cos et y = sin (3.1.8) (propagation d’une onde de flexion de nombre d’onde γ dans une direction formant un angle ϕ par rapport à l’axe x).

Puisque les milieux 1 et 2 sont semi-infinis, le rayonnement de la plaque va être représenté par une fonction ^exp

(

− ^jk_2z^z

)

dans le milieu 2 (propagation vers les z croissants) et une fonction ^exp

(

+ ^jk_1z^z

)

dans le milieu 1 (propagation vers les z décroissants). Ainsi, les champs de pression et de déplacement sont :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

p_y ^{jk y}

)

y jk py x jk px x jk px

z z

y jk y y jk y x jk x x jk x

z z

y jk y y jk y x jk x x jk x

y x y

x

y x y

x

y x y

x

e B e

A e B e

A y x w

z jk A

e B e

A e B e

A z y x p

z jk B

e B e

A e B e

A z y x p

+ +

=

− +

+

=

+ +

=

− −

− −

− −

,

exp ,

,

exp ,

,

2 2

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1 1

1

(3.1.9)

Dans ces conditions, les relations de continuité s’écrivent

( ) ( )

(

x y

)

w

(

x y

)

p jk

y x w y

x p jk

z z

, 0

, ,

, 0

, ,

2 2 2

2

1 2 1

1

ρ ω

ρ ω

=

−

= (3.1.10)

Les équations (3.1.9) peuvent s’écrire sous la forme ^p1

(

^x,^y,^z

)

= ^p1

(

^x,^y,0

)

exp

(

^jk1z^z

)

et

(

^{x y z}

)

^p

(

^{x y}

) (

^{jk z}

)

p₂ , , = ₂ , ,0 exp− _2z . Les relations de continuité (3.1.10) permettent de

y y y

x y x x

x k k k k k

k₁ = ₂ =γ = et ₁ = ₂ =γ =

remplacer la pression en z=0 par une fonction de w

(

x,y

)

et en utilisant la relation (3.1.9) les pressions dans les deux fluides s’écrivent

( ) ( )

( ) ( )

^{j k z}

z k j

e y x w k

j z y x p

e y x w k

j z y x p

2 2 2

2 2 1

, ,

,

, ,

,

2 2 2

2 2 2

2 2 1

2 1 1

γ γ

γ ω ρ

γ ω ρ

−

−

−

−

=

−

−

=

(3.1.11)

avec k_1z = k₁² −γ ² et k_2z = k₂² −γ ² (relation de dispersion).

D’après (2.2.4), le facteur de rayonnement dans les deux cas est (pour W₁ le vecteur unitaire nˆ₁ est pointé vers les z négatifs)













−

=





= 

2

Re 2

Re σ γ

i i iz

i

i k

k k

k avec i=

{ }

1,2 (3.1.12)

3.1.2 – Solution de l'équation de dispersion

Pour avoir une solution complète de notre problème il faut connaître le nombre d'onde effectif de flexion γ qui peut être sensiblement différent de k_f pour un fluide lourd. Pour cela la relation de dispersion (2.3.8) est utilisée en évaluant les impédances de rayonnement dans le cas de la plaque infinie, qui d’après la relation (2.3.4) peuvent s’écrire : Z_r1 =ρ₁ω k_1z et Z_r2 =ρ₂ω k_2z .

Considérer maintenant que les deux fluides sont identiques (ρ₁ =ρ₂ =ρ₀ et k₁ =k₂ =k) permet de simplifier les notations, à commencer par la relation de dispersion qui devient

[ ]

⁰

2 _{4 4}

4

0 − − _f =

z f

k k j h kρ ρ γ

(3.1.13) avec

2 2 2

2

2 − − = −γ

= k k k k

k_{z x y}

En posant

jkz

k =−

−

= γ ^{2 2}

κ , donc γ² =κ² +k² (3.1.14) les pressions (3.1.11) s’expriment par

( ) ( )

^z

( )

c kw

(

x y

)

e ^z

z y x p e

y x k w z c

y x

p ^{κ κ}

κ ω ρ κ

ω

ρ , et , , ,

,

, ⁰ ₂ ⁰

1 =− ⁻ = (3.1.15)

et l’éq. (3.1.13) peut s’écrire

( )

⁰

2 2 2 2 ₄

4

0 ^f + +k − k_f =

h

k κ κ κ

ρ ρ

ou encore sous la forme d’une équation du 5^ème degré

[ ]

^{2 0}

2

4 4 0

4 3 2

5 + + − + =

h k k

k

k _f ^f

ρ κ ρ κ

κ (3.1.16)

dont la solution comporte 5 racines. Les formes admissibles de κ vont permettre de définir kz et γ , et de connaître les différents types d’ondes dans le fluide et dans la plaque qui sont compatibles avec le problème posé. Avant d’examiner la forme de la solution complète, nous allons étudier le cas du fluide léger qui autorise des simplifications et permet une interprétation plus aisée des phénomènes.

3.1.3 – Solutions pour les fluides légers

L’hypothèse des fluides légers consiste à considérer que le terme 2ρ0k⁴_f ρh peut être négligé dans l’équation (3.1.16) qui devient alors une équation du second degré en κ² (en écartant la solution triviale κ =0⁾

[ ]

⁰

2 ^{2 2 4 4}

4 + k κ + k −k_f =

κ Ses solutions sont :

( )

2 ^{2 2}

2 2 2

2

2 2 2

2 1

2 2 2 1

f f

f f

f

k k j k

k

k k j k k k

k

+

±

⇒ = +

−

=

−

=

−

±

⇒ =

−

=

κ κ

κ

κ ^m

a) premier type de solution κ² =k²_f −k²

Des deux solutions, la condition de Sommerfeld n’autorise que κ =−jk_z =−j k² −k²_f qui correspond à une onde rayonnée par la plaque qui se propage vers les z décroissants pour p₁ et les z croissants pour p ₂

( ) ( ) ( ) ( )

^{j k k z}

f z

k k j

f

f

f w x y e

k k

k c z j

y x p e

y x w k k

k c z j

y x p

2 2 2

2

, ,

, et

, ,

, 2 2

0 2 2

2 0 1

−

−

−

−

= −

−

= ωρ ωρ

(3.1.17) La relation (3.1.13) conduit au nombre d’onde dans la plaque γ = κ² +k² =±k_f . C’est le nombre d’onde naturel de flexion définit par l’équation (1.5). En plaçant cette solution dans l’expression (3.1.9) (k_x =γ cosϕ, k_y =γ sinϕ), le déplacement w

(

x,y

)

de la plaque est décrit comme un ensemble d’ondes de flexion dont la propagation n’est pas influencée par le chargement de la plaque par le fluide.

L’examen des équations (3.1.17) montre que le nombre d’onde de flexion k_f , qui est proportionnel à la racine carrée de la fréquence, peut devenir plus grand que le nombre d’onde acoustique k et conduire à des valeurs imaginaires de k_z.

Quand k =k_f, la longueur d’onde acoustique correspond à la longueur d’onde de flexion.

La pulsation correspondante est nommée pulsation critique. D’après (2.1.2)

(3.1.18)

( )

2 2 2

2 12 1

h E D c

c h

c

υ ρ

ω = ρ = ⁻

Remarque : d’après (2.1.2) et (3.1.18), k²f k² =ωc ω.

Figure 3.2 – Relation entre le nombre d’onde acoustique et le nombre d’onde de flexion dans la plaque.

Quand k >k_f (ω >ω_c), l’onde rayonnée est une onde plane dont l’angle θ par rapport à l’axe z est, d’après les équations (2.2.6)

k_z =kcosθ = k² −k²_f d’où

ω

θ ^f ω^c

k

k = −

−

=arccos 1 ₂ arccos 1

2

L’amplitude de la pression dépend de la vitesse vibratoire jωw

(

x,y

)

et de l’impédance de rayonnement ρ₀c 1−k²_f k² . Le facteur de rayonnement vaut

(3.1.19)

A la pulsation critique k =k_f, l’onde plane est rasante et son amplitude tend vers l’infini, comme le facteur de rayonnement ! Quand la pulsation devient grande devant ω_c, k_z →k, θ →0, l’impédance de rayonnement tend vers ρ₀c et σ →1.

Quand k<k_f (ω <ω_c), alors k_z =−j k²_f −k² (avec la convention j=−i=− −1)

La fonction de z dans l’expression de la pression ne correspond plus à un terme propagatif :

(

^jkz^z

) (

^kf ^{k z}

)

2

exp 2

exp ± = ± − . Les pressions s’écrivent

( ) ( ) ( ) ( )

^{k k z}

f z

k k f

f

f w x y e

k k

k z c

y x p e

y x w k k

k z c

y x p

2 2 2

2

, ,

, et

, ,

,

2 2

0 2 2

2 0 1

−

−

−

−

=

−

= −ωρ ωρ

(3.1.20) ω

σ ω

f c

k

k −

=

−

=

1 1 1

1

2 2 c ω ω

ω

f ∝ k k ωc

=

Les pressions décroissent en s’éloignant de la plaque sans rotation de phase : ces ondes sont nommées des ondes évanescentes. Leur impédance de rayonnement est imaginaire et le facteur de rayonnement est nul :

(3.1.21) La Figure 3.3 représente les deux formes d’ondes acoustiques que peut prendre le premier type de solution de l’équation de dispersion pour les fluides légers. Ces deux formes correspondent à des ondes de flexion propagatives dans la plaque.

Figure 3.3 – Ondes acoustiques propagatives et évanescentes selon que la pulsation est au-dessus ou au-dessous de la pulsation critique.

b) deuxième type de solution κ² =−

(

k² +k²f

)

La solution admissible κ =−jk_z =−j k² +k²_f correspond à des ondes rayonnées qui se propagent vers le champ lointain. Le nombre d’onde dans la plaque est donné par la relation (3.1.14) : γ = κ² +k² =±jk_f . Imaginaire, il correspond à des ondes de flexion évanescentes en ^exp

(

±^kf^xcosϕ ±^kf^ysinϕ

)

qui existent dans le champ proche des excitations mécaniques ou à proximité de discontinuités. D’après (3.1.12), le facteur de rayonnement est

(3.1.22)

=0 σ

ω σ ω

f c z

k k k

k

+

= +

=





= 

1 1 1

Re 1

2 2

kx

ky

k





=

=

ϕ θ ϕ

ϕ θ ϕ

sin sin sin

cos sin cos

k k

k k

f f

ϕ

c

kf

k> ω >ω

k

kx

ky

ϕ





>

>

ϕ ϕ

ϕ ϕ

sin sin

cos cos

k k

k k

f f

c

kf

k< ω<ω

Ainsi, une onde de flexion évanescente produit une puissance acoustique qui augmente avec la fréquence. Ainsi, en dessous de la pulsation critique, un rayonnement peut apparaître dans les zones d’excitation ou de discontinuité.

La Figure 3.4 représente le facteur de rayonnement pour les deux types d’onde de flexion : propagatives et évanescentes.

Figure 3.4 – Facteur de rayonnement pour les ondes de flexion propagatives (en haut, premier type de solution) et les ondes évanescentes (en bas, deuxième type de solution).

3.1.3 – Solutions générales et approchées pour les fluides lourds

Pour un fluide lourd, il est nécessaire de déterminer les 5 racines de l’équation de dispersion complète (3.1.16) qui comporte :

- une racine réelle négative κ =−α₀, (positive avec la convention i)

- deux racines complexes κ =α₁ ± jβ₁, (peuvent se transformer en deux racines réelles positives quand ω<ω_c).

- deux racines complexes κ =−α₂ ± jβ₂, α₀,α₁,β₁,α₂,β₂ >0 Puisqu’il n’est pas possible d’obtenir des solutions analytiques exactes, nous examinons ici la forme des solutions admissibles pour en donner quelques interprétations physiques à la lueur des résultats obtenus pour les fluides légers. A partir de la définition (3.1.14) de κ et de l’expression (3.1.11) des pressions rayonnées, la condition du rayonnement en espace infini conduit à rejeter les termes comportant des parties réelles ou imaginaires positives. Il ne reste donc que les solutions κ =−α₀ et κ =−α₂ − jβ₂.

racine κ =−jk_z =−α₀

Les ondes acoustiques en e^κz =e^−α0z sont des ondes dont l’amplitude décroît sans propagation (pas de rotation de phase en fonction de z). Le nombre d’onde

2 2 0 +k

±

= α

γ correspond à des ondes de flexion dont la longueur d’onde est plus faible que la longueur d’onde acoustique.

racine κ =−jk_z =−α₂ − jβ₂ σ

σ

1 1

ωc

ωc

ω ω kf

± γ =

jkf

± γ =

0 0