M1 Physique et Chimie, Corrigé des TD de Phys. Stat., 06–07 6
3 Paramagnétisme, Corrigé
3.1 Modèle microcanonique
1. Si on aispins vers le haut,N−ien bas, l’énergie est−µB(2i−N)qui varie donc de−N µB à+N µBpar pas de2µB.
2. C’est un problème classique de combinaisons,Ω =CNi =N!/[i!(N −i)!].
3. Voir cours. On a sucessivementS(E) =kln Ω,T−1=∂S/∂E, soit
kT = 2µB[d(ln(i!) + ln(N−i)!)/di]−1, D’après les premières considérations sur la formule de Stirling,
ln 1 + ln 2 +· · ·lnn= lnn!∼ Z n
0
lnxdx ,
soitdlnn!/dn∼lnnet donckT ∼ −2µB/ln[N−i)/i]. On peut remarquer que l’approximation est meilleure pour la différence des deux logarithmes que pour chacun individuellement.
On peut inverser cette relation en (β = 1/(kT)),i=N/(1 + exp(−2βµB)), et donc
E =µBN 1−exp(−2βµB)
1 + exp(−2βµB) =−µBNth[βµB].
4. SiT →0, les spins sont alignés etE → −µN B. SiT → ∞, le désordre l’emporte etE→0.
3.2 Modèle canonique, spin 1/2
Les probabilités sont p+ = exp(−α)/Z et p− = exp(+α)/Z, avec α = βµB. On a donc Z = exp(+α) + exp(−α) = 2 chα. L’énergie moyenne d’une particule est
¯
=−µBp+µBp−=−µBthα .
3.3 Modèle canonique, spin quelconque
La projection du spin sont m = −J,−J + 1, . . . , J −1, J. L’énergie de chaque état est =
−mµB/J ≡ −mb, avec des probabilités pm = exp(−ma)/Z, aveca = βb = µB/(J kT). Pour garantir la normalisation, la fonction de partition est
Z =
m=+J
X
m=−J
exp(−ma) = exp(−J a)
m0=2J+1
X
m0=0
exp(m0a) = exp(−J a)1−exp[(2J+ 1)a]
1−exp(a) = sh[(J + 1/2)a]
sh(a/2) . L’énergie moyenne d’une particule est
¯ = 1
Z
m=+J
X
m=−J
(−mb) exp(−ma) = b Z
∂Z
∂a ,
avec une dérivée logarithmique qui est la différence de celle du numérateursh[(J+ 1/2)a]et de celle du dénominateur, soit
¯ = b
2coth(a/2)−b(1 + 2J)
2 coth(a(J + 1/2)),
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3.4 Modèle canonique, spin classique
L’énergie est maintenant−M Bu, avec une probabilitép(u) = exp(βM Bu)/Z, dont la normali- sation requiert
Z = Z +1
−1
exp(βM Bu)du= 2
βM B sh(βM B). L’énergie moyenne d’une particule est
=−M B Z
Z +1
−1
exp(βM Bu)du= 1 Z
∂Z
∂β =−1
β +M Bcoth(βM B) qui est bien la limiteJ → ∞du résultat précédent.
