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Notion de loi à densité
I. Loi à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et un univers associéΩ, muni d’une probabilité.
(A) Variable aléatoire continue Définition 1
Une variable aléatoirecontinueX est une fonction qui à chaque issue deΩassocie un nombre réel d’un intervalle I deR.
Exemple
La variable aléatoire égale à la durée de bon fonctionnement d’un équipement produit en grande série est une variable aléatoire continue.
(B) Loi de probabilité à densité Définition 2
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I etf est une fonction continue, positive sur I telle que
l
Z b
a
f(t)d t =1 si I=[a;b] l lim
x→+∞
Z x
a
f(t)d t=1 si I=[a;+∞[
Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que pour tout intervalle J inclus dans I, la probabilité P(X∈J) est égale à l’aire du domaine {M(x;y) ;x∈J et 0≤y≤f(x)}.
Propriété 1
(1) Pour tout nombre réelcde I,P(X=c)=0.
(2)P(c≤X≤d)=P(c≤X<d)=P(c<X≤d)=P(c<X<d).
On note (c;d) un intervalle de bornescetd. (3) Si J=(c;d), alorsP(x∈J)=
Z d
c
f(t)d t.
(4) Si I=]a;+∞[ et si c est un nombre réel tel quec>a:P(X>c)=1−P(a<X<c)=1− Z c
a
f(t)d t.
Démonstration
(1) En effet, P(X=c)=P(c≤X≤c)= Zc
c f(t)d t.
(2) Se déduit de (1).
(3) On sait que l’aire du domaine {M(x;y) ;x∈J et 0≤y≤f(x)} est égale, en unités d’aire, à Zd
c f(t)d t.
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II. Loi uniforme sur(a;b]
(A) Définition et propriétés Définition 3
aetbdésignent deux nombres réels distincts aveca<b.
Dire qu’une variable aléatoire X suit uneloi uniforme sur l’intervalle[a;b]signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur [a;b].
Propriété 2
La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a;b] est la fonctionf définie sur [a;b] par f(x)= 1
b−a.
Démonstration
f est une fonction constante sur [a;b] définie parf(x)=λ.
On doit avoir Zb
a λd t=1 c’est-à-dire [λt]ba=1.
Soitλb−λa=1. D’oùλ= 1 b−a.
Propriété 3
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b] :
P(c≤X≤d)=d−c b−a.
Démonstration P(c≤X≤d)=
Z d c
1
b−ad t=h 1 b−atid
c= 1
b−ad− 1
b−ac=d−c b−a.
Remarques
lPar convention, choisir un nombre au hasard dans un intervalle [a;b], c’est le choisir selon la loi uniforme sur [a;b].
Un instant d’arrivée au hasard dans un intervalle de temps [a;b] suit une loi uniforme.
lEn particulier, pour la loi uniforme sur [0; 1] et pour tout nombres réelscetdde [0; 1], P(c≤X≤d)=d−c
1−0=d−c.
Donc la probabilité de choisir un nombre au hasard entrecetdest égale à la longueur de [c;d].
(B) Espérance Définition 4
L’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a;b] est le nombre réel :E(X)=
Z b
a
t f(t)d t. Propriété 4
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Son espérance estE(X)=a+b 2 .
DémonstrationE(X)=
Zb a
1
b−at d t=h1 2
1 b−at2ib
a=1 2
b2−a2 b−a =b+a
2 .
Exercices no5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 p 417 - 418
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III. Lois exponentielles
(A) Définition et propriétés Définition 5
λdésigne un nombre réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètreλsur [0;+∞[ signifie que sa densité de probabilité est définie sur [0;+∞[ par f(x)=λe−λx.
Remarque :La loi exponentielle se retrouve dans le contexte de la durée de vie d’un système non sujet à l’usure du temps (fonctionnement de composants électroniques), du temps d’attente d’un événement accidentel (tremblements de terre, désintégration d’un noyau radioactif...).
Propriété 5
X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètreλ. Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [0;+∞[ :
(1)P(c≤X≤d)=e−λc−e−λd (2)P(X≥c)=e−λc
Démonstration (1) P(c≤X≤d)=
Z d
c λe−λtd t=£
−e−λt¤d
c= −e−λd+e−λc=e−λc−e−λd. (2) P(X≥c)=1−P(0≤X≤c)
=1−(e−0λ−e−λc) d’après (1)
=1−(1−e−λc)=e−λc.
(B) Espérance Propriété 6
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètreλestE(X)=1 λ.
Démonstration ROC E(x)= lim
x→+∞
Z x
0 t×λe−λtd t= lim x→+∞
Zx
0 λt e−λtd t
Cherchons d’abord une primitiveGsur [0;+∞[ de la fonctiong(t)=λt e−λt.
On cherche cette primitive sous la formeG(t)=(at+b)e−λtoùaetbsont des nombres réels à préciser.
OrGest dérivable sur [0;+∞[ et pour tout nombre réelt≥0, on a : G0(t)=ae−λt+(at+b)(−λ)e−λt=(−aλt+a−λb)e−λt. Ainsi,G0(t)=λe−λtsi, et seulement si,
½ −a = 1
a−λb = 0 c’est-à-dire
( a = −1
b = −1
λ On a doncG(t)=³
−t−1 λ
´e−λt. Donc
Zx
0 t×λe−λtd t=h³
−t−1 λ
´ e−λtix
0=³
−x−1 λ
´ e−λx+1
λ. Or lim
x→+∞e−λx=0 et lim
x→+∞xe−λx=0 donc E(X)= lim x→+∞
Zx
0 t×λe−λtd t=1 λ.
Exercices no13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 p 418 - 419
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