epenses publicitaires et chiffre d’affaires e:15mn
Une grande entreprise fait de la publicit´e et un ´etude `a montr´e que le lien entre la somme d´epens´ee en publicit´e et le chiffre d’affaires de cette entreprise est donn´e par la fonctionf(x) =−0,001x2+12,5x+15000 o`u xcorrespond `a la somme investie en euros etf(x) au chiffre d’affaires, en euros, correspondant.
On investit au maximum 10 000 euros.
1. Dresser le tableau de variations de la fonctionf et en d´eduire que l’entreprise n’a pas int´erˆet `a d´epenser plus d’une certaines somme dans la publicit´e en pr´ecisant cette somme.
* Solution:
α= −b
2a = −12,5
−0,002 = 6250
β=f(α) =f(6250) =−0,001×62502+ 12,5×6250 + 15000 = 54062,5 Le coefficientade x2 esta=−0,001 donc n´egatif. On a donc :
Le maximum def est atteint pourx= 6250 donc on constate que lorsque l’entreprise investi plus de 6250 euros, son budget publicitaire augmente mais son chiffre d’affaires diminue.
L’entreprise ne doit pas d´epenser plus de 6250 euros en publicit´e pour son investissement soit rentable.
2. L’entreprise veut r´ealiser un chiffre d’affaire minimal de 45000 euros.
Quelle somme, arrondie `a l’euro pr`es, doit-elle d´epenser pour que son chiffre d’affaire soit au moins de 45 000 euros ?
* Solution:
On veut quef(x) soit sup´erieur `a 45000 euros donc il faut r´esoudre l’in´equation f(x)≥45000.
f(x)≥45000⇐⇒ −0,001x2+ 12,5x+ 15000≥45000
⇐⇒ −0,001x2+ 12,5x+ 15000−45000≥0
⇐⇒ −0,001x2+ 12,5x−30000≥0
EXERCICE 8 temps estim´
d´
Recherche des racines de−0,001x2+ 12,5x+−30000 :
∆ =b2−4ac= 12,52−4×(−0.001)×(−30000) = 36,25
∆>0 donc il y a deux racines : x1 = −b−√
∆
2a = −12,5−√ 36,25
−0,002 ≈9260,4 et
x2 = −b+√
∆
2a = −12,5 +√ 36,25
−0,002 ≈3239,6
l’ensemble de solution de cette in´equation est doncS = [x2;x1]
donc en arrondissant `a l’euro pr`es, l’entreprise doit d´epenser entre 3240 et 9260 euros en publicit´e pour avoir un chiffre d’affaires minimum de 45000 euros.
L’entreprise doit d´epenser entre 3240 et 9260 euros en publicit´e
penser `a v´erifier les racines obtenues avec la calculatrice (MENU EQUA)
