Lycée Marsa Raidh Devoir de contrôle n°3 M.Zribi
Classes : M.Messaoudia Durée : 2h
Exercice 1 ( 6pts )
, , est un repère orthonormé du plan.
est l’ellipse (Figure I) de foyers √2, 0 , √2, 0 et de sommets principaux 2,0 et 2,0 1- Donner l’équation réduite de et son excentricité .
Soit , \, , la tangente à en coupe respectivement les droites d’équations ! 2 et ! 2 en " et "
2- a- Déterminer les coordonnées des points " et "# en fonction de et
b- Montrer que "$$$$."#$$$$$$ est constant.
Soit % la conique de foyers et et d’excentricité ! 2
3- a- Vérifier que % est une hyperbole dont on donnera l’équation réduite.
b- Déterminer les asymptotes et les sommets de % c- Tracer % ( Figure I)
Soit &', ( un point de l’intersection de et %
4- Montrer que les tangentes à et à % en & sont perpendiculaires.
Exercice 2 ( 6pts )
Soit ) la fonction définie sur *+ par ) ! 1-. 1
/0 désigne la courbe représentative de ) dans un repère orthonormé , , 1- a- Etudier les variations de )
b- Préciser la position de /0 et de la droite 1: ! c- Etudier les branches infinies de /0
d- Tracer /0
Soit 3 la restriction de ) sur 40, .∞4 et /6 sa courbe représentative
2- a- Vérifier que 3 est une bijection de 40, .∞4 dans un intervalle * que l’on précisera.
b- Tracer /6
c- Calculer & l’aire de la partie du plan comprise entre /0 et /6
3-a- Montrer que l’équation : - 1 ! 0 admet une solution unique ' 789, 1:
b- En déduire que la droite ;: ! . 2 ' <8 est une tangente à /6 parallèle à 1: !
Exercice 3 ( 4 pts )
Soit l’équation différentielle : = 2 ! - 1- Résoudre l’équation différentielle : : 2 ! 0
Soit > la fonction définie sur *+ par : > ! ? . @- où ? et @ sont deux réels 2- Déterminer ? et @ pour que > soit une solution de
3- a- Montrer qu’une fonction 3 est une solution de si et seulement si 3 > est une solution de b- En déduire l’ensemble des solutions de
Exercice 4 ( 4 pts )
Pour tout entier naturel A B 2 on pose *C ! D88G-EF H I 1- a- Montrer que pour tout A B 2 on a : 8
CJ8K1 9HLM8 N O *C OCJ8E K1 9HLM8 N 2-En déduire que la suite *C est convergente et calculer sa limite.
3- a- Montrer que : *C A*CG8 ! 9EH 1
b- En déduire alors la limite de la suite A*C
Nom :………Prénom :……….
Figure I
Figure exercice 2
