Interrogation écrite du jeudi 25 mars 2021

T spécialité

Interrogation écrite du jeudi 25 mars 2021

Durée : 30 minutes - Fiche autorisée - Calculatrice

Numéro : ….. Prénom et nom :……….……….

Note : ….. / 20

I. (4 points : 1°) 1 point ; 2°) 3 points)

Soit A et B deux points de l’espace

E

^{tels que AB4}. On note I le milieu de

 

^{AB .}

1°) Compléter l’égalité suivante :  M

E

MA MB ... 



2°) On noteF l’ensemble des points M de

E

tels que MA MB 16

 .

Soit M un point quelconque de

E

. MF Û MA MB 16



MF Û ………

MF Û ………

MF Û ………

L’ensembleF est ……….……….………

II. (2 points)

On munit l’ensemble des vecteurs de l’espace d’une base orthonormée



^{  i j k, ,}



^.

Déterminer la (les) valeur(s) dem telle(s) que les vecteurs ^{u m}



^{;2 ; 1}



^{et v m}



^{ 1; m; 2}



soient orthogonaux.

……….. (répondre sans égalités)

III. (2 points)

On considère la fonctionf :x ^{1 ln}₂ ^x x

 .

Compléter l’égalité : _x^lim_{  } ^{f x}

 

^... . Justifier cette limite sur les lignes ci-dessous.

………..

………..

………..

IV. (7 points : 1°) 2 points ; 2°) 3 points ; 3°) 2 points)

On considère la fonctionf :x 4 ex ^1x. Les deux questions sont indépendantes.

1°) Compléter l’égalité : _x^lim_{  }^{f x}

 

^... . Justifier cette limite sur les deux lignes ci-dessous.

………..

………..

2°) On admet quef est strictement croissante sur l’intervalle ^{I   }



^{; 1}



et strictement décroissante sur l’intervalle



^{1 ;}



J    . Démontrer qu’il existe un unique réel dansI dont l’image parf est égale à 3.

………..

………..

………..

………..

………..

………..

3°) Dans chaque cas, compléter en écrivant une seule réponse, sans égalité, sur les pointillés à droite de la question.

· Quel est l’ensemble des réels qui admettent exactement deux antécédents parf dans ? ………

· Quel est l’ensemble des réels qui n’admettent aucun antécédent parf dans ? ………

V. (5 points : 1 point + 1 point + 3 points)

Compléter les phrases suivantes, sans justifier, en écrivant une seule égalité à chaque fois.

Une primitive de la fonctionf définie par ^{f x}

 

^{2x5e3x sur} est la fonction F définie par Une primitive de la fonctiong définie par ^{g x}

 

^{1 2x}₂

x x

 

 sur

 

^{0 ; 1} est la fonction G définie par La primitive de la fonctionh définie par

 

^{3 1}

2 h x  x x

 sur

 

^{0 ; 2} qui s’annule en 1 est la fonction H définie par

Corrigé de l’interrogation écrite du 25-3-2021

I.

Soit A et B deux points de l’espace

E

tels que AB4. On note I le milieu de

 

^{AB .}

1°) Compléter l’égalité suivante :  M

E

MA MB MI²4



On applique la formule du cours :  M

E

2

2 AB

MA MB MI

  4

 

 .

2°) On noteF l’ensemble des points M de

E

^{tels que} MA MB 16

 .

Soit M un point quelconque de

E

^.

MF Û MA MB 16



MF Û MI² 4 16 MF Û MI² 20 MF Û MI2 5 L’ensembleF est la sphère de centre I et de rayon 2 5 .

II.

On munit l’ensemble des vecteurs de l’espace d’une base orthonormée



^{  i j k, ,}



^.

Déterminer la (les) valeur(s) dem telle(s) que les vecteurs ^{u m}



^{;2 ; 1}



^{et v m}



^{ 1; m; 2}



soient orthogonaux.

– 2 ; – 1 (répondre sans égalités) On commence par calculer le produit scalaire de u

et v .



¹



²

 

^{1 2}

u v  m m   m  



2 m 2 2

v m m

u    



2 3 2

m m

u v   



u

^ v

Û u v 0

 u

^ et v

Û m²3m 2 0 u

^ v

Û m 1 ou m 2 (racines de l’équation précédente)

III.

On considère la fonctionf :x ^{1 ln}₂ ^x x

 .

Compléter l’égalité : _x^lim_{  } ^{f x}

 

^... . Justifier cette limite sur les lignes ci-dessous.

 

2

lim 1 ln lim

x

x

x x

  

  



   



    donc, en + ∞, on rencontre une forme indéterminée du type « ^

 ».

On effectue une réécriture  x ^*_ ^{f x}

 

¹₂ ^ln₂^x

x x

  .

2

2

lim 1 0

lim ln 0 (limite de référence)

x

x

x x x

  

  

 



 

donc, par limite d’une différence, ^lim

 

⁰

x f x

    .

On vérifie le résultat de cette limite en traçant la courbe représentative def sur l’écran de la calculatrice.

IV.

On considère la fonctionf :x 4 ex ^1x. Les deux questions sont indépendantes.

1°) Compléter l’égalité : _x^lim_{  }^{f x}

 

^{  }. Justifier cette limite sur les deux lignes ci-dessous.

 

1

lim 4

lim e (limite d'une composée assez simple)

x

x x

   x



  

   

    donc, par limite d’un produit, ^lim

 

x f x

     .

On vérifie le résultat de cette limite en traçant la courbe représentative def sur l’écran de la calculatrice.

2°) On admet quef est strictement croissante sur l’intervalle ^{I   }



^{; 1}



et strictement décroissante sur l’intervalle



^{1 ;}



J    . Démontrer qu’il existe un unique réel dansI dont l’image parf est égale à 3.

C :1 f est continue sur comme produit de deux fonctions continue. Elle est donc continue surI par restriction.

C :2 f est strictement croissante surI par indication de l’énoncé.

C : 3 appartient à l’intervalle défini par la limite de3 f en – ∞ et l’image de 1 parf c’est-à-dire



^{ ; 4}



^.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires dans sa version généralisée, il existe un unique réel dansI dont l’image parf est égale à 3.

3°) Dans chaque cas, compléter en écrivant une seule réponse, sans égalité, sur les pointillés à droite de la question.

· Quel est l’ensemble des réels qui admettent exactement deux antécédents parf dans ?

 

^{0 ; 4}

· Quel est l’ensemble des réels qui n’admettent aucun antécédent parf dans ?



^{4 ; }



Pour répondre à cette question, on peut utiliser la courbe représentative ou le tableau de variations.

O

C

4

V.

Compléter les phrases suivantes, sans justifier, en écrivant une seule égalité à chaque fois.

Une primitive de la fonctionf définie par ^{f x}

 

^{2x5e3x sur} est la fonction F définie par ^F

 

^{x x215e3x.}

Une primitive de la fonctiong définie par ^{g x}

 

^{1 2x}₂

x x

 

 sur

 

^{0 ; 1} est la fonction G définie par ^G

 

^{x 2 xx2 .}

La primitive de la fonctionh définie par

 

^{3 1}

h x 2

x x

   sur

 

^{0 ; 2} qui s’annule en 1 est la fonction H définie par

 

H x 3lnx2 2 x 2.