Le calculateur numérique pour la commande des processus

R 7 110

4 - 1996

pour la commande des processus

par

Daniel JAUME

Maître de Conférences au Laboratoire d’Automatique du Conservatoire National des Arts et Métiers et

Michel VERGÉ

Professeur des Universités au Laboratoire d’Automatique de l’École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers

a commande des procédés par calculateur numérique est une technique en pleine évolution. commencée il y a une trentaine d’années pour des pro- cessus de fabrication, la commande par calculateur s’applique maintenant à des objets de la vie courante : matériel vidéo, lave-linge, voiture, etc. Cette évolution est due aux progrès technologiques rencontrés dans l’industrie informatique.

1. Constitution d’un calculateur « temps réel »... R 7 110 - 3

1.1 Nécessité d’un environnement temps réel... — 3

1.2 Architecture d’un calculateur temps réel... — 3

1.3 Différentes fonctions d’un calculateur numérique ... — 4

2. Aspects théoriques... — 5

2.1 Échantillonnage ... — 6

2.2 Blocage ... — 6

2.3 Choix de la période d’échantillonnage ... — 7

2.4 Quantification... — 8

3. Transformée en z... — 9

3.1 Définitions ... — 9

3.2 Association de blocs de transfert ... — 9

3.3 Transformation inverse, recherche d’originales ... — 9

3.4 Stabilité des systèmes échantillonnés... — 10

3.5 Implantation d’un correcteur ... — 10

4. Représentation d’état des systèmes échantillonnés... — 11

4.1 Discrétisation des systèmes linéaires continus ... — 11

4.2 Matrice de transfert en z ... — 12

5. Transformée en delta... — 12

5.1 Définition ... — 12

5.2 Mise sous forme d’état... — 13

6. Exemple d’application... — 14

6.1 Présentation du procédé à commander ... — 14

6.2 Modélisation ... — 14

6.3 Correction... — 14

6.4 Commande par calculateur numérique ... — 15

6.5 Détermination du correcteur ... — 15

6.6 Résultats ... — 16

7. Conclusions... — 16 Pour en savoir plus... Doc. R 7 110

L

Avant que l’informatique ne pénètre le milieu industriel, les procédés de fabrica- tion (sidérurgie, chimie, agroalimentaire...) étaient commandés par des régula- teurs continus PID en technologie électrique ou pneumatique à la satisfaction des utilisateurs, tant la loi de commande de type PID était robuste, c’est-à-dire peu sensible à des erreurs de modélisation et à des variations lentes du processus.

Dans un premier temps, les calculateurs numériques ont été utilisés comme

générateurs de points de consigne pour les régulateurs analogiques ; ainsi, en

cas de défaillance de l’informatique, le procédé restait régulé autour de la der- nière valeur de consigne émise par le calculateur. Dans cette situation, la techno- logie numérique ne remplaçait pas la technologie analogique, mais permettait une observation de son comportement, notamment au plan de la fiabilité.

Les calculateurs numériques, à cette époque, étaient volumineux, consom- mateurs d’énergie et peu performants ; ils se trouvaient dans une salle spécia- lement équipée. L’unité centrale était constituée d’opérateurs logiques câblés ; la mémoire centrale utilisait des tores ferromagnétiques.

Les vols habités vers la Lune, à la fin des années 60, ont validé les techniques de commande optimale d’une part et la commande par calculateur numérique d’autre part. Les années 70 ont connu une pénétration des calculateurs dans la

commande des procédés, notamment à cause du premier choc pétrolier qui a

imposé une minimisation des coûts énergétiques. Si quelques désillusions sont apparues, dues au manque de fiabilité des matériels informatiques, on peut dire qu’à partir de 1975 la commande des procédés par calculateur numérique est devenue opérationnelle en milieu industriel. Les unités centrales micropro- grammées, les mémoires à semiconducteur sont autant d’éléments qui ont rendu les calculateurs plus rapides, plus fiables et plus performants.

Les premiers microprocesseurs apparaissent à la fin des années 70 et per- mettent, avec d’autres composants associés, l’émergence d’architectures informatiques industrielles de faibles dimensions. L’année 1981 voit apparaître le premier Personal computer (PC) d’IBM qui entraîne une modification de l’image du calculateur numérique : celui-ci devient une machine de bureau d’un coût modeste. La baisse des coûts de ces calculateurs numériques a provoqué un changement de la structure de commande. Au calculateur unique et puissant se substitue une structure informatique où un calculateur de gestion pilote un ensemble de calculateurs situés auprès des systèmes à commander et reçoit des comptes rendus de fonctionnement. C’est la commande hiérarchisée qui permet une gestion optimisée des ressources de production et une reconfiguration de l’atelier de production en cas de défaillance d’un outil de production.

Le progrès technologique ayant permis une intégration plus importante des composants, des calculateurs complets avec leur unité d’échange sont intégrés dans un seul composant « monochip » ; ils sont connus sous le terme de

microcontrôleur et assurent toutes les fonctions d’un microprocesseur et son

environnement d’entrées-sorties. Cette dernière génération de calculateurs numériques, d’un coût très faible, ouvre des perspectives nouvelles pour les applications dites grand public ou d’autres applications où l’encombrement constitue une contrainte.

L’utilisation d’un calculateur numérique pour la commande d’un procédé fait appel à plusieurs compétences ; l’exploitant du procédé doit dialoguer avec plusieurs équipes :

—

au niveau du procédé : il faut déterminer les mesures qui doivent être

effectuées par le calculateur, leur période de scrutation, les actionneurs à pilo- ter par le calculateur et les lois de commande à programmer pour satisfaire un cahier de charges ; ces compétences sont généralement apportées par les automaticiens ;

—

au niveau informatique : une architecture doit être définie pour satisfaire

les objectifs de la conduite ; des sécurités doivent être prévues en cas de dys-

fonctionnement. Enfin, toutes les interfaces entre le calculateur et le procédé

doivent être choisies ; de plus, des dispositifs de communication entre l’opéra-

teur et le calculateur doivent être déterminés. Ces compétences sont apportées

par les informaticiens.

1. Constitution d’un calculateur

« temps réel »

1.1 Nécessité d’un environnement temps réel

Pour les procédés continus commandés par des régulateurs continus, dès qu’une perturbation apparaît, elle est prise en compte par le système de commande. Le remplacement d’un régulateur continu par un calculateur numérique pose deux problèmes fonda- mentaux.

■Le calculateur numérique exécute des instructions séquentielle- ment, dans l’ordre où elles ont été placées dans la mémoire pro- gramme (hormis les instructions de rupture de séquence). Pour commander un procédé, il faut exécuter une séquence d’instruc- tions significative. Pendant le temps d’exécution de cette séquence, le calculateur ne pourra pas prendre en compte un évé- nement (perturbation ou sollicitation) survenant sur le procédé. Le calculateur numérique est un système de commande discontinu.

On peut objecter que la rapidité d’exécution d’un calculateur est très grande, de telle sorte qu’il pourrait être considéré comme un système continu ; fondamentalement, le calculateur numérique reste un système discontinu.

■Pour commander les procédés de façon efficace, l’automaticien a besoin d’un modèle mathématique. Le procédé étant continu, il se représente en général par un modèle continu du type équations dif- férentielles, fonction de transfert ou représentation d’état continue [14] [15]. Pour étudier le comportement global du procédé et du sys- tème de commande, il est nécessaire de disposer des modèles de même nature. Celui du calculateur étant discontinu, il faut transfor- mer le modèle continu du procédé en modèle discontinu. La discontinuité du modèle du procédé sera liée à celle du modèle du calculateur numérique ; c’est

-

à

-

dire à la fréquence de scrutation du calculateur. Le choix d’une cadence de scrutation est le premier pro- blème à résoudre dans la commande des procédés par calculateur.

Ce point est explicité au paragraphe 2.3.

Ainsi, le mode de commande d’un procédé par calculateur numé- rique fait apparaître l’exécution, à des instants réguliers, d’une tâche qui réalise l’acquisition des mesures, un traitement spécifique et la commande des actionneurs. Cette tâche est réactivée par un signal d’horloge de façon périodique dans le temps. Pour cela, le calcula- teur possède des signaux particuliers appelés interruptions qui agissent sur le déroulement du programme. C’est la présence d’un système d’interruptions qui confère à un calculateur numérique le label calculateur temps réel. Pratiquement tous les calculateurs actuels sont dotés d’un système d’interruptions. La gestion du temps est obtenue en raccordant un signal électronique à fréquence fixe à l’une des entrées interruptions. Le plus souvent, un compo- sant particulier, généralement nommé timer, assure cette fonction.

1.2 Architecture d’un calculateur temps réel

La disponibilité de structures informatiques de faible coût avec des performances élevées conduit à élaborer une commande dis- tribuée. L’idée générale est d’affecter un microcalculateur (micro- contrôleur) à chaque tâche élémentaire. Ainsi, un microcontrôleur sera affecté à la commande d’un actionneur à partir d’une mesure fournie par un capteur et d’une consigne programmée. Cette tâche étant simple, elle pourra être exécutée à l’aide d’un nombre réduit d’instructions, donc rapidement. Une structure de commande de niveau supérieur supervise et synchronise les tâches effectuées par les microcalculateurs élémentaires. Généralement, le microcontrô-

La mémoire de programme est la zone de stockage des codes des instructions à exécuter ; elle se trouve physiquement dans une partie de la puce du microcontrôleur et peut être étendue, au besoin, dans un composant externe du type EPROM*. Cette mémoire est écrite à l’aide d’un programmateur de mémoire et effacée aux rayons ultraviolets.

*EPROM : Erasable PROM (Programmable Read Only Memory).

La mémoire de données peut être lue et écrite par l’unité centrale du microcontrôleur. Elle est de type volatile, c’est

-

à

-

dire que les données sont perdues à la disparition de l’alimentation électrique.

On trouve quelquefois des mémoires de données du type EEPROM*

qui conservent des données malgré une rupture d’alimentation.

*EEPROM : Electrically Erasable Programmable Read Only Memory.

Le chien de garde est un dispositif qui alarme l’unité centrale si un transfert ne se termine pas dans un délai acceptable après son initialisation.

Lorsqu’une mémoire unique contient le programme et les don- nées, la structure est dite de Von Neuman ; quand elles sont sépa- rées, cela correspond à une architecture interne dite Harvard. Dans une architecture de Von Neuman, l’unité centrale doit d’abord lire le code à l’aide du bus de données et ensuite l’exécuter, c’est

-

à

-

dire acquérir un opérande (par le bus de données) et éventuellement écrire un résultat dans une mémoire par le bus de données. Pour améliorer la rapidité d’exécution, certains microcontrôleurs utilisent une structure dans laquelle les instructions et les données sont dif- férenciées et circulent sur des bus différents (figure 2).

Figure 1 – Architecture générale d’un microcontrôleur

Figure 2 – Structure à deux bus ou à quatre bus

Les performances des microcontrôleurs ont connu un accroisse- ment considérable dû à une conception en architecture RISC (Reduced Instruction Set Computer : circuit à jeu d’instructions réduit). En fait, l’avantage de cette structure est de permettre l’exé- cution d’une instruction simultanément avec la recherche de l’ins- truction suivante, grâce à une structure dite pipeline. Le principe du pipeline permet d’accroître la vitesse d’exécution par rapport aux microprocesseurs classiques, renommés par opposition de type CISC (Complex Instruction Set Computer). Si le jeu d’instruc- tions d’une architecture RISC est réduit, toutes les instructions doi- vent avoir le même temps d’exécution, c’est

-

à

-

dire un cycle d’horloge instruction. Il résulte de tout cela des performances pou- vant atteindre 5 MIPS (millions d’instructions par seconde). Des procédés très rapides (guidage d’engins balistiques, par exemple) peuvent maintenant être pilotés par calculateurs numériques.

Les microcontrôleurs sont performants en terme de rapidité dans la mesure où les traitements demandés peuvent s’effectuer sur des nombres entiers, car une opération (addition, multiplica- tion...) est généralement réalisée par une seule instruction. Il en va autrement lorsque le traitement nécessite des opérations sur des nombres réels (sinus, logarithme...). Il est possible de programmer toutes ces opérations mais, dans ce cas, les temps d’exécution deviennent importants. La solution consiste à utiliser un composant dédié au traitement scientifique appelé DSP (Digital Signal Processor).

Le DSP ou processeur possède l’architecture d’un micro- processeur classique, le plus souvent selon une structure Harvard et une architecture RISC. Par contre, son unité d’échange ne lui permet pas toujours d’être utilisé seul pour une application temps réel. Son domaine d’utilisation majeur est d’effectuer un traitement scientifique important de façon très rapide pour le compte d’un microcontrôleur ou d’un microprocesseur à vocation temps réel.

Les échanges entre les deux composants s’effectuent le plus sou- vent par une liaison série synchrone à cadence d’échange élevée.

La figure 3 présente une application type.

Les échanges entre le microcontrôleur et le procédé à comman- der s’effectuent à l’aide des voies numériques parallèles et des voies analogiques ; entre le microcontrôleur et le processeur, les échanges se feront par une liaison série synchrone. Le système d’interruptions du microcontrôleur gère ces échanges.

1.3 Différentes fonctions

d’un calculateur numérique

Les calculateurs numériques assurent des fonctions diverses pour la commande des procédés au sens large : de la conception du pro- cédé, avant qu’il n’existe (§ 1.3.3), aux tâches de bilan lorsque le procédé est en fonctionnement.

1.3.1 Tâche de régulation

C’est la tâche essentielle en commande des procédés. Elle est acti- vée avec une périodicité constante dépendant de la dynamique du phénomène physique. Il peut arriver qu’un procédé fasse apparaître des parties rapides (débit, pression) et des parties plus lentes (niveau, température). Dans ce cas, le calculateur utilisera plusieurs fréquences de scrutation. La tâche de régulation est affectée d’une priorité élevée lorsque plusieurs tâches sont programmées ; elle est déclenchée par une interruption activée par l’horloge temps réel.

La tâche de régulation comprend plusieurs sous-tâches qui s’enchaînent séquentiellement.

■Acquisition

Il s’agit de prélever une ou plusieurs informations délivrées par des capteurs. La conversion analogique-numérique peut être effec- tuée directement dans le capteur ou dans un convertisseur multi- plexé situé à proximité du calculateur. La première solution est préférable si le capteur est éloigné du calculateur : un signal numé- rique s’altère moins qu’un signal analogique dans un environne- ment parasité.

■Filtrage

Les phénomènes observés sont entachés d’erreurs provenant du bruit de processus : par exemple, la mesure de niveau d’un liquide en ébullition. L’acquisition étant ponctuelle, elle risque de s’effec- tuer sur une valeur de pic de la mesure, alors que l’on souhaite une acquisition de la valeur moyenne du signal à mesurer. Le filtrage assure cette fonction.

Le filtrage est généralement effectué de façon analogique avant la numérisation, par un filtre passe-bas électronique qui atténue les oscillations haute fréquence extérieures au spectre naturel du phénomène physique. Il peut être complété de façon numérique en utilisant les valeurs acquises aux instants d’échantillonnage précé- dents. Le filtre programmé peut être du type passe-bas transposé d’un filtre continu (filtre de Butterworth, par exemple). Il se pro- gramme toujours par une équation récurrente faisant intervenir l’acquisition à l’instant k et les valeurs filtrées passées.

■Calcul de la commande

À partir d’une mesure de la grandeur à régler (et des valeurs pas- sées) et à partir d’une consigne à respecter, il faut calculer la valeur du signal qui, appliqué à l’entrée du procédé, amènera la grandeur à régler à sa valeur de consigne en respectant un cahier des charges (rapidité, précision, amortissement). L’automatique traite ce pro- blème. Dans le cas de systèmes monovariables, la commande agit sur un actionneur. Lorsque le système est multivariable, il présente plusieurs grandeurs de sortie, chacune d’entre elles dépend de plu- sieurs grandeurs d’entrées. La figure 4 présente la structure de commande d’un système multivariable.

Figure 3 – Utilisation d’un processeur dans la commande d’un procédé

Figure 4 – Structure fonctionnelle de commande de procédé par calculateur numérique

Dans le cas des systèmes multivariables, la loi de commande est plus complexe à établir ; chaque commande u_i est à calculer en fonction des mesures y_j. On peut plus affecter un microcontrôleur à chaque grandeur mesurée, à cause de l’interactivité entre les grandeurs de sortie.

■Commande d’actionneurs

Les valeurs calculées sont envoyées sur des convertisseurs numériques-analogiques (CNA) et dirigées vers les actionneurs.

Certains actionneurs sont conçus pour accepter des signaux numé- riques. Le convertisseur numérique-analogique assure la fonction mémorisation de la dernière valeur envoyée par le calculateur jusqu’à la période d’échantillonnage suivante.

■Déroulement des sous-tâches

La tâche de régulation doit s’effectuer en respectant une contrainte de durée représentée à la figure 5.

Les sous-tâches présentées s’exécutent séquentiellement ; la durée d’exécution est représentée par t. Cette tâche est réactivée à l’instant T (période d’échantillonnage). On doit respecter la relation :

Pour la plupart des procédés et compte tenu de la rapidité des calculateurs, il est facile de respecter cette relation. Lorsqu’on cherche à commander des procédés ayant une dynamique rapide (impliquant une période d’échantillonnage inférieure à une milli- seconde), la relation précédente devient une contrainte.

1.3.2 Tâches liées à la conduite des procédés C’est entre les temps t et T, à chaque période d’échantillonnage, que le calculateur pourra exécuter d’autres tâches. Nous en citons quelques-unes, mais cette liste n’est pas exhaustive et dépend de la nature du procédé à commander.

■Acquisition des paramètres de conduite

Certains systèmes de commande sont fermés, c’est-à-dire que le système de commande a été déterminé complètement, et l’utilisa- teur n’a pas la possibilité de changer les réglages ; c’est, par exemple, le cas du calculateur assurant la commande de l’injection électronique sur un véhicule. Dans d’autres cas, le système est ouvert, et à l’aide d’un clavier et d’une console, l’utilisateur peut définir certains points de consigne ou des coefficients du correcteur numérique.

■Visualisation des variables contrôlées

Le calculateur joue le rôle assuré jadis par les enregistreurs papier en visualisant l’évolution temporelle d’une ou plusieurs variables sur un horizon donné. Ceci permet à l’opérateur de conduite de véri- fier visuellement le bon fonctionnement de l’installation.

■Mémorisation des variables importantes

C’est le journal de bord ; il constitue une trace du fonctionnement du procédé. Le fichier constitué pourra être exploité en temps différé pour établir des statistiques sur le fonctionnement global du pro- cédé (rendement, incidents de fonctionnement...).

■Détection de défauts

Un procédé en fonctionnement peut se trouver en situation de défaut ou de dysfonctionnement. Ces défauts peuvent avoir un caractère soudain (fuite d’un fluide) ou évolutif (encrassement de tuyau, usure). Il est intéressant pour l’exploitant de détecter, puis de localiser les défauts sur l’installation. Le calculateur de commande est tout à fait capable d’assurer cette fonction, dans la mesure où il est disponible dans la tranche de temps entre t et T (figure 5).

Tout d’abord, un défaut peut être considéré comme une modifi- cation des relations entre les entrées et les sorties du système. Plu- sieurs outils permettent de reconnaître cette modification. On peut distinguer deux classes de systèmes, selon que l’on dispose d’un modèle mathématique du procédé ou non. Dans le premier cas, on pourra utiliser l’identification ou l’estimation en temps réel des para- mètres du modèle mathématique à l’aide d’algorithmes appropriés, et ensuite, par une procédure de test statistique, une modification significative d’un ou plusieurs paramètres conduira à la décision

« processus en état de défaut ». Dans le second cas, les technique de reconnaissance des formes, par analyse des données mesurées sur le procédé, permettent de distinguer l’état normal de l’état défaut. L’absence du modèle est compensée par une phase d’apprentissage où l’on collecte des données pour chaque état pos- sible du procédé. Ces méthodes sont développées dans les ouvrages de Brunet et de Dubuisson [2] [3].

1.3.3 Simulation du fonctionnement du procédé Lors de la phase de conception du procédé, il faut prévoir la loi de commande qui permettra la conduite sous les contraintes du cahier des charges. La loi de commande peut être testée sur un simulateur du procédé, c’est-à-dire un calculateur numérique programmé pour élaborer des signaux qui ont le même comportement dynamique que les variables du procédé. Ceci permet un gain de temps et d’effi- cacité lors du démarrage de l’installation. Pour construire un simu- lateur, il faut disposer d’un modèle mathématique du procédé, et d’algorithmes de résolution numérique d’équations différentielles linéaires et non-linéaires à l’aide de méthodes d’intégration numé- rique explicites (Euler, Runge-Kutta) ou implicites (Adams, Gear).

Des logiciels spécifiques assurent cette fonction (MatrixX, Matlab, Basile, Acsyde, Control-C...) implémentables sur des calculateurs de bureau ou des stations de travail. Les simulateurs peuvent être uti- lisés pour la formation des opérateurs.

2. Aspects théoriques

Dans le cas d’un système à commander ayant une entrée, une sortie, il est possible de représenter la boucle de commande par la figure 6.

Dans cette figure, les interrupteurs associés au symbole T, repré- sentent des opérations complexes que l’on ne peut pas toujours séparer des convertisseurs notés CNA ou CAN.

Nous désignons par échantillonnage, la transformation d’une fonction continue du temps en une suite d’unités d’informations sur cette fonction arrivant à des instants discrets du temps. Nous représentons symboliquement l’opérateur d’échantillonnage par un interrupteur généralement associé à la valeur de la période d’échantillonnage T.

Figure 5 – Récurrence de la tâche de régulation

t T

La fonction f*(t) dénote le résultat de l’échantillonnage de la fonction continue f(t). Les largeurs des impulsions d’échantillon- nage sont habituellement négligées par rapport à T. Par exemple, à la figure 6, u (t), y(t), n (t) sont des signaux continus et le signal n*(t) résulte de l’échantillonnage de n(t).

D’autre part, la conversion d’un signal continu en un signal numé- rique est désignée par quantification.

Les aspects pratiques concernent le choix des matériels et plus spécialement le choix de la période d’échantillonnage, ainsi que celui des convertisseurs.

2.1 Échantillonnage

L’opération d’échantillonnage est une modulation d’amplitude. Le lecteur pourra consulter les articles [15] et [17] pour une plus ample information. La fonction échantillonnée f*(t) s’écrit :

où δ(t) représente l’impulsion de Dirac.

Illustrons ceci par la figure 7, où l’on admet que les impulsions de f*(t) sont de largeur infiniment petite.

2.2 Blocage

L’opération de blocage est la transformation d’une fonction s*(t), définie à des instants discrets du temps nommés instants d’échan- tillonnage, en une fonction continue du tempsu(t). Il existe plu- sieurs types de bloqueurs : dans le cas du bloqueur d’ordre zéro, la transformation est donnée par :

∀k, u(kT) = s*(kT)

et ⇒ u (t) = s* (kT)

Considérons la figure 8 présentant l’allure des signaux s*(t) et u(t).

Le blocage est une opération associée à une fonction de trans- fert. Nous notons B₀ (p) cette fonction de transfert où p désigne l’opérateur de Laplace.

Dans le cas le plus simple, nous reconstituons le signal f(t) entre deux instants d’échantillonnage par :

f(kT + τ) = f(kT) avec k nombre entier positif

et

L’extrapolateur obtenu, nommé « bloqueur d’ordre zéro » pos- sède une mémoire limitée à un seul coefficient. Il maintient constant le dernier échantillon entre deux instants d’échantillonnage.

La fonction de transfert B₀ (p) est donnée par :

Figure 6 – Schéma d’une boucle de régulation

Figure 7 – Symbolisation des opérations d’échantillonnage

f∗( )t f kT( )⋅δ(t–kT)

k=0

∑

∞

=

Figure 8 – Blocage : exemple du bloqueur d’ordre zéro

kT t < k( +1)T

0 T

B₀( )p 1–exp(– Tp) ---p

=

Ainsi, un bloqueur d’ordre zéro introduit un gain et un déphasage du signal d’origine. Examinons les courbes de Bode associées à B₀ (p). Posons a = ωT/2 et p = jω :

Le module de l’exponentielle étant égal à 1, il vient :

Sur la figure 9, nous avons tracé, en fonction de ω, le module de B₀ (jω) ainsi que celui de l’extrapolateur idéal.

Remarque : dans le but d’obtenir une reconstitution plus complète de la fonction f(t), il est possible d’effectuer une meilleure approximation en considérant deux termes de la série :

f(kT+τ) = f(kT) +τ[f(kT) – f(k – 1)T]/T

L’extrapolateur obtenu, nommé bloqueur d’ordre un, effectue dans ce cas, à l’aide de deux valeurs consécutives d’échantillonnage, des évaluations de la dérivée première de f(t) et ses performances peuvent être analysées comme dans le cas précédent.

Toutefois, ces bloqueurs d’ordre un sont assez peu utilisés dans les systèmes indus- triels. Nous renvoyons le lecteur à l’ouvrage de P. Borne [7].

2.3 Choix de la période d’échantillonnage

Le choix de la période d’échantillonnage T est un élément parti- culièrement décisif pour le choix d’un système informatique. En effet, si la période d’échantillonnage retenue est excessivement faible, le calculateur devra effectuer le traitement très rapidement et les problèmes de stockage d’information se produiront très cer- tainement (vitesse, volume). Par ailleurs, l’échantillonnage à une cadence trop rapide pose de nombreux problèmes numériques. Par conséquent, la période d’échantillonnage doit être choisie en tenant compte de la dynamique du système à commander.

Ce choix est basé sur l’hypothèse d’un spectre F(jω) de la fonc- tion f(t) limité en fréquence, comme le montre la figure 10, et sur le théorème de Shannon qui s’énonce ainsi :

En pratique, la période d’échantillonnage T est choisie telle que :

soit encore, si l’on désigne par f_c la fréquence de coupure du pro- cessus à commander, et par f la fréquence d’échantillonnage, on doit respecter :

5 f_c < f < 10 f_c

En prenant les transformées de Laplace des deux membres de la relation :

on obtient :

L’échantillonnage étant une modulation d’amplitude, F(p) est une fonction périodique de période ωe = 2π/T, où ωe est la pulsation d’échantillonnage. Le spectre de F* (jω) reproduit le spectre de F(jω) si la fréquence d’échantillonnage est correcte, comme le montre la figure 11 où le spectre de F(jω) est limité.

Il faut remarquer qu’en pratique les mesures sont bruitées, quel- quefois les phénomènes observés sont également bruites, de sorte que la bande passante du système à commander est plus faible que celle des signaux observés. Cela provoque, par repliement de spectre, des distorsions sur le spectre du signal. Pour limiter ces distorsions, il est indispensable de placer des filtres analogiques passe-bas sur le signal continu. Ces filtres continus sont générale- ment constitués de plusieurs filtres passe-bas du second ordre (du type de Butterworth ou de Tchebychef) et sont désignés par filtres antirepliement.

Par exemple, un système du premier ordre possède une constante de temps τ (en secondes). Une règle classique est de choisir la période d’échantillonnage T comprise entre le cinquième et le dixième de la constante de temps. Dans l’espace fréquentiel, la bande passante du premier ordre est caractérisée par la pulsa- tion ω = 1/τ (rad/s) ou la fréquence f = 1/2 π τ (Hz). Si l’on choisit T = τ/5, la fréquence d’échantillonnage est f_e = 1/T = 5/τ. Le rapport f_e/f est égal à 10 π, donc la condition de Shannon est largement respectée.

L’analyse à partir du temps de réponse (T_r = 3 τ) du système du premier ordre montre que le rapport T_r/T = 3 τ/(τ/5) = 15. De façon classique, on choisit souvent la période d’échantillonnage T entre T_r/30 et T_r/50.

Désignons par ω0 la pulsation de coupure (à – 3 dB) d’un sys- tème à commander. Nous savons qu’il existe une relation entre la pente de la courbe de gain et l’ordre du système analysé : pour un Figure 9 – Comparaison des modules des bloqueurs

« Toute fonction du temps f ( t ) possédant un spectre de fré- quence limitée à ± 1/T_c peut être transformée par échantillon- nage périodique, de période T inférieure ou égale à T_c/2, sans aucune perte d’information. »

B₀( )jω 1–exp(– T j ω) jω

--- T

2---exp(– j a)expja–exp(–ja) ja ---

= =

T exp(– j a)sina ---a

=

B₀(jω) T sin a ---a T ωT

---2

 

  2 ωT ---

= =

Figure 10 – Spectre du signal à échantillonner

T_c

--- 5 T T_c 10---

> >

f∗( )t f

k=0

∑

∞ ^{(kT)δ(t–kT)}

=

F∗( )p 1

T --- F

k=–∞

∑

∞ ^p+^{jk 2}--- ^πT

=

système d’ordre n la pente est de – 20 n décibels par décade. Sup- posons que la courbe de Bode d’un système présente une pente de – m décibels par décade, image de l’ordre de ce système. L’abaque de la figure 12 donne l’erreur d’échantillonnage en fonction du rapport ωe/ω0 avec ωe = 2 π/T.

2.4 Quantification

La quantification est l’opération qui traduit une grandeur continue en une représentation binaire. C’est donc une correspondance entre un nombre infini de valeurs possibles du signal d’entrée et un nombre fini de valeurs du signal de sortie. Cette opération introduit des erreurs qui dépendent directement du format du convertisseur analogique-numérique (CAN), c’est-à-dire du nombre de bits carac- térisant ce convertisseur.

Notons le pas de quantification d’un CAN : par exemple, si le convertisseur numérise le signal exprimé en volts sur r = 12 bits, q représente la différence des tensions d’entrée provoquant deux codes de sortie différents : q^–1 = 2¹² = 1 024. Dans ce cas, la loi de quantification est dite uniforme. Le choix du nombre de bits r dépend du compromis entre la rapidité de conversion et la précision souhaitée. Cependant, si le signal est bruité, il n’est pas indispen- sable de faire appel à un convertisseur de plus de 12 bits.

Notons x(t) le signal continu à numériser et d(t) le signal obtenu après numérisation. La différence n = d(t) – x(t) représente l’erreur de discrétisation et est nommée bruit de quantification. Il est commode de considérer le signal quantifié (figure 13) comme la somme de x(t) et d’un bruit aléatoire n(t).

Dans le cas de la quantification à loi uniforme, le pas de quanti- fication q est constant ; on représente à la figure 14 les signaux d(t) et x(t).

Dans ce cas, la variance du bruit de quantification est donnée par :

Figure 11 – Repliement de spectre

Figure 12 – Erreur d’échantillonnage selon l’ordre du système à discrétiser

Figure 13 – Modélisation du signal quantifié

Figure 14 – Représentation des signaux d et n σ_n² q²

12---

=

Cette formule est obtenue en supposant que le bruit de quantifi- cation est décrit par une loi de densité de probabilité uniforme entre – q /2 et + q /2 ce qui constitue une hypothèse acceptable. Par conséquent, le rapport signal sur bruit est donné par :

En considérant que q = 2^–r, cette formule montre que le rapport signal sur bruit de quantification, mesuré en décibels, varie linéai- rement en fonction du nombre r de bits du convertisseur.

Cependant, on montre que la quantification, même grossière, d’un signal ne modifie pas ses propriétés statistiques, si le signal est gaussien.

À partir du calcul de variance du bruit de quantification, on peut prédéterminer la propagation de la variance dans toute équation récurrente simulant un filtre linéaire (ou un correcteur). Le lecteur intéressé peut consulter l’ouvrage de Kunt [8].

3. Transformée en z

La transformée en z joue, vis-à-vis des systèmes linéaires échan- tillonnés, le même rôle que la transformée de Laplace vis-à-vis des systèmes linéaires continus : la variable z est liée à la variable de Laplace p par la relation :

z = exp (T p ) où T représente la période d’échantillonnage.

Les définitions et propriétés essentielles sont rappelées. Elles sont établies dans la référence [14].

3.1 Définitions

Soit f *(t ) la suite des échantillons correspondant à l’échantillon- nage idéal de la fonction f (t ), alors :

avec opérateur de transformée de Laplace [16]

En posant z = exp (Tp ), nous associons à la fonction temporelle f (t ) la fonction F (z ) par :

Si cette série converge, F (z ) est appelée transformée en z de f (t ) ; elle est notée : ou F (z ).

Nota : le lecteur pourra consulter l’article [14] pour des exemples et les propriétés de cette transformation.

3.2 Association de blocs de transfert

3.2.1 Théorème fondamental

Considérons la fonction de transfert H (z ) (figure 15).

Nous avons, avec les notations classiques : Y (z ) = H (z ) · X(z )

3.2.2 Système bouclé

Dans le cas du système bouclé monovariable représenté à la figure 16, le capteur G (p ) est relié directement à la sortie y (t ) d’un système continu représenté par H (p ).

On a :

Y (z ) = H (z ) · U (z ) = H (z ) · C (z ) · ε(z )

Ces relations montrent qu’il est possible de calculer le transfert en z reliant Y (z ) à X (z ). On notera que le dénominateur des expres- sions ε(z ) et de Y (z ) est nommé polynôme caractéristique en z.

3.3 Transformation inverse, recherche d’originales

Connaissant H (z ), la transformation inverse consiste à déterminer la suite d’échantillons h (kT ) tels que :

Plusieurs méthodes sont utilisables : nous limitons cette présen- tation à la méthode basée sur l’équation récurrente. Illustrons ceci par l’exemple suivant.

σ_x² σ_n²

--- 12σ_x² q² ---

≈

[f∗( )t ] f

k=0

∑

∞ ^{(kT)exp (– k Tp) F∗( )p}

= =

F z( ) f kT( )

k=0

∑

∞ ^z–k

=

[f t( )]

Figure 15 – Hypothèse : fonction de transfert unique

Figure 16 – Régulation numérique d’un système continu

Exemple : donner l’inverse de .

Cette méthode consiste à associer une équation récurrente corres- pondant à la fonction de transfert H(z) que l’on écrit : où y(k) est la sortie et v(k) est une impulsion discrète.

Pour obtenir une récurrence, nous remplaçons z^–1 par un retard temporel :

Y(z)[1 – 3z^–1 + 2z^–2] = V(z) z^–2 Y(z) – 3 Y(z)z^–1 + 2Y(z) z^–2 = V(z) z^–2

ε( )z X z( )

1+C z( )⋅[G p( )⋅H p( )] ---

=

Y z( ) H z( )⋅C z( ) 1+C z( )⋅[G p( )⋅H p( )] ---

= ⋅X z( )

h kT( )

k=0

∑

∞ ^{⋅z–k = H z( )}

H z( ) N z( ) D z( )

--- 1

z²–3z+2 ---

= =

H z( ) Y z( ) V z( ) ---

=

H z( ) Y z( ) V z( )

--- 1

z²–3z+2

--- z^–2 1–3z^–1+2z^–2 ---

= = =

3.4 Stabilité des systèmes échantillonnés

En matière de commande des procédés, la stabilité est une pré- occupation majeure. Le système est asymptotiquement stable si les racines du polynôme caractéristique ou si les pôles de la fonction de transfert ont leur module strictement inférieur à 1 (figure 17).

Il est possible d’éviter le calcul des pôles de la matrice de trans- fert en utilisant, par exemple, la transformation conforme dite de Möbius :

qui transforme le disque de rayon unitaire du plan complexe z en demi-plan de gauche de la variable complexe w, puis en appli- quant le critère de Routh Hurwitz [14] au polynôme en w obtenu à partir du polynôme caractéristique en z par le changement de variable : . Cette transformation a reçu le nom de trans- formation bilinéaire, (figure 18).

3.5 Implantation d’un correcteur

Ce problème se pose lorsque l’on désire remplacer une correcteur continu par un correcteur numérique « approximativement » équi- valent. En effet, de nombreuses lois de commande s’élaborent en continu. L’utilisation d’un calculateur numérique suppose l’exis- tence de méthodes simples de transposition de correcteurs continus vers une version échantillonnée.

Une équation différentielle linéaire, à coefficients constants peut se résoudre en utilisant la transformée de Laplace : il lui correspond une fonction de transfert en p. De même une équation récurrente linéaire, à coefficients constants correspond à une fonction de trans- fert en z.

Or, il existe des méthodes informatisées (techniques numériques) pour résoudre une équation différentielle : il y a donc une autre correspondance entre le continu et le discret.

Considérons par exemple la fonction de transfert C(p) du premier ordre :

Cette transmittance est équivalente à l’équation différentielle :

ou, sous forme intégrale :

Nous nous intéressons aux instants multiples de la période d’échantillonnage T :

v[(k + 1)T] = v(kT) + S où S est la surface hachurée sur la figure 19. Utilisons le théorème du retard :

Le théorème du retard, avec , donne : y(k) – 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = v(k – 2)

qui constitue l’équation récurrente associée à H(z) dont on recherche l’originale.

Or v(k) est une impulsion discrète, v(0) = 1 et v(k) = 0 ∀k non nul, et y(t) étant nul pour t négatif, on en déduit :

y(kT) = 0 pour k < 0.

L’équation récurrente fournit donc : y(0) = 3y(– T) – 2y(– 2T) + v(– 2T) = 0 y(T) = 3y(0) – 2y(– T) + v(– T) = 0 y(2T) = 3y(T) – 2y(0) + v(0) = 1 y(3T) = 3y(2T) – 2y(T) + v(T) = 3

y(4T) = 3y(3T) – 2y(2T) + v(2T) = 9 – 2 = 7 Nous obtenons les valeurs suivantes :

k 0 1 2 3 4 5 6 ...

h(k) 0 0 1 3 7 15 31 ...

Figure 17 – Zone de stabilité (plan des z) [f t( –kT)]= z^–kF z( )

k 0

w z+1 z–1 ---

=

z w+1 w–1 ---

=

Figure 18 – Transformation de Mobius et correspondance entre zones de stabilité des plans complexes

On retiendra que lorsque l’on transpose une commande continue à une commande par calculateur numérique, l’échan- tillonnage dégrade la stabilité, d’autant plus que la période d’échantillonnage augmente.

V p( ) ε( )p

--- C p( ) b₀

p+a₁ ---

= =

dv t( )

---dt = b₀ε( ) t a– ₁ v t ( )

v t( )

0 t

b₀ε( ) –a₁v( )

[ ]d

=

v[(k+1)T]

0 kT

b₀ε( ) –a₁v( )

[ ]d

=

+

_kT^{(k+1)T[b0ε( ) –a1v( ) ]d}

L’approximation de la surface élémentaire S par un rectangle ou un trapèze fournit une équation aux différences reliant v[(k + 1)T] et v(kT).

■Considérons l’approximation par les rectangles inférieurs S = T w(k) = T[b₀ε(k) – a₁v(k)]

v(k + 1) = (1 – a₁ T)v(k) + T b₀ ε(k)

En prenant les transformées en z, nous obtenons l’approximation d’Euler :

■Approximation par les rectangles supérieurs S = T w(k + 1) d’où :

v(k + 1) = v (k ) + T [b₀ε(k + 1) – a₁v (k + 1)]

En prenant les transformées en z, nous obtenons :

■Approximation trapézoïdale

v [(k + 1)T ] = v (kT ) + [b₀ ε(k + 1) – a₁ v (k + 1)] T/2

+ [b₀ ε(k ) – a₁ v (k )]T/2 En prenant les transformées en z nous obtenons l’approximation de Tustin :

L’examen des trois approximations données par les transmit- tances H(z ) et de la transmittance C (p ) montre que la transposition du correcteur peut s’effectuer, dans les transformées de Laplace, par les substitutions suivantes :

Ces substitutions correspondent naturellement à des approxima- tions qu’il est parfois utile de corriger par un examen comparatif des courbes de Bode de la fonction C (p) et de sa transmittance H(z ) associée dans l’approximation retenue.

Cependant, la synthèse d’un correcteur s’effectue de façon plus précise en utilisant des méthodes spécifiques et non en transfor- mant un correcteur continu : par exemple, l’utilisation de la repré- sentation d’état conduit à une implantation des correcteurs sans avoir à faire des approximations.

4. Représentation d’état des systèmes

échantillonnés

4.1 Discrétisation

des systèmes linéaires continus

La représentation d’état est un outil puissant permettant (entre autres) :

— d’étudier des systèmes possédant plusieurs entrées ou sorties ;

— de simuler le comportement d’un système linéaire continu ;

— de réaliser la synthèse de correcteurs performants.

La représentation d’état des systèmes continus est présentée dans [15].

4.1.1 Représentation d’état des systèmes échantillonnés

L’utilisation d’un échantillonneur bloqueur placé à l’entrée d’un système dynamique défini par la représentation d’état implique une entrée u (t ) où chaque composante est formée d’une succession de paliers, comme à la figure 20 :

vecteur d’entrée de dimension r, 1 ; vecteur d’état de dimension n, 1 ; vecteur de sortie de dimension m, 1.

Tout système échantillonné peut être représenté sous la forme suivante appelée représentation d’état discrète :

avec F = exp (AT ) (T période d’échantillonnage), G

F est la matrice d’état discrète de dimension n, n G est la matrice de commande discrète de dimension n, r C est la matrice d’observation de dimension m, n D est la matrice de liaison directe de dimension m, r.

Figure 19 – Surface élémentaire

Formule d’Euler : Rectangle supérieur : Formule de Tustin :

V z( ) ε( )z

--- Tb₀

z–(1–a₁T)

--- b₀ z–1 ---T +a₁ ---

= =

V z( ) ε( )z

--- Tb₀z

z 1( +a₁T)–1 --- b₀

z–1 ---Tz +a₁ ---

= =

S w k( +1)+w k( ) ---2 ⋅T

=

V z( ) ε( )z

--- Tb₀(z+1)

2+a₁⋅T

( )z+a₁T–z

--- b₀ 2 z( –1) T z( +1) ---+a₁ ---

= =

p z–1 ---T

= p z–1

---Tz

= p 2 z( –1)

T z( +1) ---

=

Figure 20 – Représentation d’état d’un système continu et de ses échantillonneurs bloqueurs

u x y

x k( +1)=Fx k( )+Gu k( ) équation d′état y k( )=C x k( )+Du k( ) équation de sortie

0 T

Aα

( )

exp ⋅dα⋅B

=

L’argument k de la représentation d’état est une notation qui doit s’interpréter comme la valeur de la variable à l’instant kT, où T désigne la période d’échantillonnage. Ainsi, ont la même signification. Les notations seront adoptées indifféremment dans toute la suite de ce chapitre.

Nous supposerons que les matrices F, G, C, D sont des matrices constantes, indépendantes du temps ; le système est dit station- naire ou invariant.

L’équation d’état est une équation récurrente linéaire vectorielle du premier ordre. Lorsqu’un système est décrit par une équation récurrente linéaire, à coefficients constants, d’ordre n, il est possible de la remplacer par une équation d’état vectorielle où le vecteur d’état est la dimension n.

4.1.2 Réponse d’un système échantillonné

Les conditions initiales connues sont résumées par le vecteur . La réponse du système aux instants d’échantillonnage et soumis à l’entrée u est donnée par :

et :

La réponse entre les instants d’échantillonnage kT et ( k + 1)T est donnée, pour par :

4.2 Matrice de transfert en z

Soit une représentation d’état d’un système discret. La matrice de transfert (de dimension m, r ) établit le lien entre la transformée en z du vecteur de sortie et la transformée en z du vecteur d’entrée pour des conditions initiales nulles :

avec H (z ) = C [zI – F ]^–1 G + D, I matrice identité

5. Transformée en delta

5.1 Définition

L’opérateur delta est défini à partir de l’opérateur z par :

Si l’on désigne par x (k ) la valeur de x à l’instant kT, nous aurons :

La relation entre z et δ étant linéaire, les transformations en z et en δ possèdent des propriétés très voisines.

Si la période d’échantillonnage T tend vers 0, alors δ(x ) tend vers la dérivée dx /dt.

La définition de l’opérateur δ conduit à la relation : z = 1 + Tδ

■Définition de la transformée

À partir de cette relation, on définit la transformée en delta d’un signal f (t ) échantillonné (pour t > 0) par :

Noter que cette définition est similaire à la définition de la trans- formée en z ; cependant le terme T supplémentaire peut être considéré comme un facteur d’échelle temporelle.

●Conséquence

La définition de la transformée en delta conduit immédiatement à la relation :

H (δ) = TH (z ) |z = 1 + T · δ

Cette relation montre que l’on peut utiliser les tables de trans- formées en z et remplacer z par z = 1 + Tδ, puis multiplier le résultat par la période d’échantillonnage T.

●Notations

Plusieurs notations sont couramment utilisées :

F (δ) désigne la transformée de f (t ) où f (t ) n’est définie que pour t = kT.

Les notations ∆[f (t )] et ∆[F (z )] sont également possibles.

La transformation en delta possède de nombreuses propriétés que le lecteur trouvera dans l’ouvrage de Middleton [11].

Il est possible de construire une table de correspondance entre les diverses transformées. Donnons quelques cas classiques dans le tableau 1.

Pratiquement, la transformée en z conduit à des équations récurrentes qui sont parfois mal conditionnées, c’est-à-dire pour lesquelles une petite variation de l’entrée ne provoque pas une petite variation de la sortie : se pose alors le problème d’une implantation numérique plus robuste.Lorsque la période d’échantillonnage T est très faible vis-à-vis d’une des constantes de temps (par exemple le centième), la transformée en delta fournit une méthode d’implantation efficace.

x k( ) et x k T( ) x k( ) et x k T( )

x 0( )

x k( ) F^kx 0( ) F^k–1–j

j=0 k–1

∑

^{G u j( )}

+

=

y k( ) = C x k( )+D u k( )

0τ<T

x kT( +τ) exp A( τ)x kT( )

0

exp A( µ)Bdµu kT( ) +

=

y kT( +τ)= C x kT( +τ)+D u kT( )

y z( ) = H z( )u z( )

Attention, il s’agit d’un opérateur et non d’une fonction ou d’une distribution. Il n’y a donc pas d’ambiguïté avec l’impulsion de Dirac notée δ(t).

Exemple : la transformée en delta du signal échelon u (t) peut s’obtenir à partir de la définition. Nous avons u (t) = 1 pour t > 0 :

Sous réserve de convergence, la série géométrique s’écrit : δ z–1

---T

=

δ[x k( )] x k( +1)–x k( ) ---T

=

F( )δ T f

k=0 k=∞

∑

^{(kT)(1+Tδ)–k}

=

U( )δ T 1

k=0 k=∞

∑

^(1+Tδ)–k

=

U( )δ T 1

1–(1+Tδ)^–1

--- T (1+Tδ) 1+Tδ

( )–1

---

= =

U( )δ T (1+Tδ) Tδ

--- 1+Tδ ---δ

= =

5.2 Mise sous forme d’état

5.2.1 Représentation d’état

Soient A, B, C, D les matrices de la représentation d’état continue du régulateur à programmer et F, G, C, D, celles de la représentation d’état discrète. Nous désirons obtenir une forme récurrente discrète associée à la représentation d’état en delta.

Supposons les conditions initiales nulles ; la représentation d’état discrète donne :

Remplaçons z par z = 1 + Tδ, il vient :

Finalement, la représentation d’état en delta se met sous la forme classique :

avec

Comme on le constate, cette formule permet de traiter formelle- ment les représentations en delta comme les autres représenta- tions.

Pour l’aspect calcul numérique, les matrices F_d et G_d se calculent par les séries infinies convergentes faisant intervenir les matrices de la représentation d’état continue :

On observe que si T tend vers 0, alors F_d tend vers A, contrai- rement à F qui tend vers I. On peut espérer que si la période d’échantillonnage T est faible, l’information contenue dans A res- tera présente dans F_d (alors qu’elle a tendance à disparaître dans la matrice F). De même pour G_d.

5.2.2 Programmation

Connaissant F_d, G_d, C, D de la représentation d’état en delta, il s’agit de donner les équations récurrentes associées.

Pour cela, on applique la définition au vecteur . La représen- tation d’état devient :

ou :

D’une façon générale, si l’ordre du système à programmer est élevé (par exemple supérieur à 10), de nombreux problèmes numériques peuvent surgir. Dans le cas particulier de la program- mation de filtres numériques, l’ordre de ces filtres est générale- ment élevé.

Ce problème a retenu l’attention des concepteurs de filtres, tant en numérique qu’en analogique. Une règle assez simple consiste à décomposer le filtre H(p) ou H(z) en éléments simples du premier ou du second ordre.

Par exemple, fournit un

ensemble d’équations récurrentes dont la précision est globalement supérieure à l’équation récurrente directement obtenue à partir de H(z).

Ces mêmes techniques sont évidemment applicables à la trans- Tableau 1 – Table des transformées

Fonction du temps Transformée de Laplace

Transformée en z

Transformée en delta

signal : s (t) S (p) S (z) S (δ)

Impulsion δ(t) en continu Kroneker en discret 1/T si

1

1 (1)

1 (1)

Échelon u (t)

Rampe t u (t)

Premier ordre (1) = par convention.

0 t < T

1

---p z

z–1

--- 1+δT

---δ 1

p²

--- Tz

z–1 ( )²

--- 1+δT

δ² ---

1

---- exp(– t ⁄ ) 1

1+p

--- z⁄

z–exp(–T⁄)

--- T

---- 1+δT

δT+1–exp(–T⁄) ---

⋅

z x z( )= F x z( )+G u z( ) y = C x+D u





I+δ⋅ ⋅T I

( )x k( ) = F x k( )+G u k( ) y = C x+D u





δx k( ) = F_dx k( )+G_du k( ) y = C x+D u





F_d F–I

--- et GT _d G ---T

=

=

F_d I A T⋅ ---2! A²⋅T²

---3! A³⋅T³ ---4! ...

+ + + +

 

 

 ⋅A

=

G_d I A T⋅ ---2! A²⋅T²

---3! A³⋅T³ ---4! ...

+ + + +

 

 

 

⋅B

=

La programmation basée sur cette représentation discrète correspond à un ensemble d’équations récurrentes dont la robustesse numérique est nettement meilleure que l’implanta- tion correspondant à la simple représentation d’état discrète associée à la transformée en z.

En effet, dans les équations en delta, la matrice F_d ne tend pas vers la matrice identité lorsque la période d’échantillon- nage T tend vers zéro, mais F_d tend vers A, matrice d’état du système continu. Plus généralement, le système discrétisé en delta tend vers le système continu pour de faibles périodes d’échantillonnage.

x k( ) x k( +1)–x k( )

---T = F_d⋅x k( )+G_d⋅u k( ) y = C x+D u







x k( +1) = x k( )+T F[ _d⋅x k( )+G_d⋅u k( )] y = C x+D u





H z( ) a_k z–z_k ---

k=1 n1

∑

_z2^b+^mα^zm⁺z^c+^mβm

---

m=1 n2

∑

+

=

6. Exemple d’application

6.1 Présentation du procédé à commander

Nous avons choisi de présenter une machine d’enroulement- déroulement de film commandée par calculateur. Cette machine est représentative d’autres procédés d’enroulement-déroulement, notamment dans les secteurs de la papeterie, de la sidérurgie ou des matières plastiques.

Le but est de maintenir constant l’effort de traction au cours de l’enroulement du film cinématographique pour éviter la rupture. Le schéma du procédé est présenté sur la figure 21. La machine se compose de deux bobines de film commandées par deux action- neurs de couple constitués de viscocoupleurs à poudre placés dans l’axe de moteurs électriques asynchrones. Les parties gauche et droite sont symétriques. Le ressort central joue un double rôle. Il sert à accumuler la quantité de film résultant de la différence des vitesses linéaires instantanées entre l’enroulement et le déroule- ment. Son élongation y est une image de la tension du fil ; un cap- teur inductif fournit une mesure de cette tension. Pour régler l’amortissement de la commande en couple, la poulie de renvoi supérieure gauche entraîne une dynamo chargée de façon à pro- duire un couple de freinage.

Au cours de l’enroulement, le rayon d’une bobine R varie de 0,2 à 0,4 m, ce qui provoque une forte variation d’inertie. Selon la valeur du rayon de la bobine, le couple appliqué induit une tension variable dans le film.

6.2 Modélisation

Le système étant linéaire et multivariable, nous avons choisi de le modéliser à l’aide d’une représentation d’état continue. Le vec- teur de commande est composé des couples appliqués aux bobi- nes, soit :

Le vecteur d’observation est composé des grandeurs y (élonga- tion du ressort) et V_d (vitesse linéaire) qui représentent les variables mesurées que l’on souhaite contrôler :

En négligeant les inerties j_d, j_g et J_r des poulies de renvoi ainsi que l’élasticité du film, il reste trois éléments d’accumulation d’énergie : les deux inerties J_d et J_g pour l’énergie cinétique, et le ressort de raideur k_r pour l’énergie potentielle. Nous sommes conduits à un modèle d’ordre trois qui se traduit par un vecteur d’état composé de :

L’application des lois de la mécanique permet d’écrire des équa- tions qui, présentées sous forme d’une représentation d’état continue, conduisent aux matrices suivantes de la représentation d’état en boucle ouverte :

Les rayons des bobines étant variables, le système est instation- naire. La figure 22 présente la réponse dynamique y (t ) du système à un échelon de couple C_d pour différentes valeurs du rayon R_d de la bobine de droite. On peut juger, sur cette figure, de l’influence importante de la valeur du rayon.

6.3 Correction

Nous envisageons une commande en vitesse linéaire telle que la tension du film (représenté par y ) reste aussi constante que pos- sible quels que soient les rayons R_d et R_g des bobines et la vitesse V_d de défilement. Pour atteindre cet objectif, on place un correcteur (multivariable) en cascade dans une boule d’asservissement clas- sique (figure 23). La commande est multivariable ; le correcteur reçoit les écarts consigne-mesure sur y et V_d et élabore les couples C_d et C_g.

Figure 21 – Présentation de la machine

u = [C_d C_g]^T (T : transposé)

y = [y V_d]^T

x = [W_d W_g y]^T

A

f_3d f_2d R_d² r_d1² --- f_tR_d²

---4

+ +

J_d --- –

R_dR_g 4J_d

---⋅f_t – k_rR_d 2J_d ---

R_dR_g 4J_g

---⋅f_t –

f_3g f_2g R_g² r_g1² --- f_tR_g²

---4

+ +

J_g

--- k_rR_g 2J_g --- R_d

---2 – R_g

---2 0

=

B 1 J_d

--- 0

0 – 1 J_g --- 0 0

C 0 0 1 R_d 0 0 D 0

= = =