CORRECTION DU LIVRET DE REVISION POUR LA TERMINALE

CORRECTION DU LIVRET DE REVISION POUR LA TERMINALE

SECOND DEGRE

Exercice 1 :

𝐴 = (2𝑥 – 1)(𝑥 + 2) − (2𝑥 – 1)(4𝑥 + 7) = (2𝑥²+ 4𝑥 − 𝑥 − 2) − (8𝑥²+ 14𝑥 − 4𝑥 − 7) 𝐴 = 2𝑥²+ 4𝑥 − 𝑥 − 2 − 8𝑥²− 14𝑥 + 4𝑥 + 7 = −𝟔𝒙^𝟐− 𝟕𝒙 + 𝟓

𝐵 = (2𝑥 + 3)²− (4𝑥 + 7)² = (4𝑥²+ 12𝑥 + 9) − (16𝑥²+ 56𝑥 + 49) On a utilisé l’identité remarquable (a+b)².

𝐵 = 4𝑥²+ 12𝑥 + 9 − 16𝑥²− 56𝑥 − 49 = −𝟏𝟐𝒙^𝟐− 𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟎

𝐶 = 𝑥²+ 2𝑥 + 1 – (𝑥 + 1)(3𝑥 + 4) = 𝑥²+ 2𝑥 + 1 – (3𝑥²+ 4𝑥 + 3𝑥 + 4) 𝐶 = 𝑥² + 2𝑥 + 1 − 3𝑥² − 4𝑥 − 3𝑥 − 4 = −𝟐𝒙^𝟐− 𝟓𝒙 − 𝟑

𝐷 = (𝑥 + 1)(4𝑥 + 5) + (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) = 4𝑥²+ 5𝑥 + 4𝑥 + 5 + 4𝑥²− 9 = 𝟖𝒙^𝟐+ 𝟗𝒙 − 𝟒 𝐸 = (𝑒^𝑥+ 1)(𝑒^𝑥− 1) = (𝑒^𝑥)²− 1²= 𝒆^𝟐𝒙− 𝟏 On a utilisé l’identité remarquable (a+b) (𝑎 − 𝑏) 𝐹 = 2𝑒^2𝑥(𝑒^3𝑥+ 𝑒^−2𝑥) = 2𝑒^2𝑥× 𝑒^3𝑥+ 2𝑒^2𝑥× 𝑒^−2𝑥= 2𝑒^5𝑥+ 2𝑒⁰= 𝟐𝒆^𝟓𝒙+ 𝟐

𝐺 = (𝑒^𝑥+ 2)²= (𝑒^𝑥)²+ 2 × 2𝑒^𝑥+ 2²= 𝒆^𝟐𝒙+ 𝟒𝒆^𝒙+ 𝟒 On a utilisé l’identité remarquable (a+b)².

Exercice 2 :

𝐴 = (4𝑥 + 1)(5 − 𝑥) + 2𝑥(5 − 𝑥) = (5 − 𝑥)(4𝑥 + 1 + 2𝑥) = (𝟓 − 𝒙)(𝟔𝒙 + 𝟏) B = (2x−1)(x+2)−(2x−1)(4x+7) = (2x−1)[(x+2)−(4x+7)] = (2x−1)(−3x−5) C = (2x+3)²−(4x+7)² = [(2x+3)+(4x+7)][(2x+3)−(4x+7)] = (6x+10)(−2x−4)

D = x²+2x+1−(x+1)(3x+4) = (x+1)²−(x+1)(3x+4) = (x+1)[(x+1)−(3x+4)] = (x+1)(−2 x−3) E = (x+1)(4x+5)+16x²−25 = (x+1)(4x+5)+(4x+5)(4x−5) = (4x+5)(x+1+4x−5) = (4x+5)(5 x−4) 𝐹 = 4𝑒^𝑥+ 3𝑥𝑒^𝑥= 𝑒^𝑥(4 + 3𝑥) = (𝟑𝒙 + 𝟒)𝒆^𝒙

𝐺 = 𝑒^2𝑥(2𝑥 − 3) − (𝑥²+ 3𝑥 − 1)𝑒^2𝑥= 𝑒^2𝑥(2𝑥 − 3 − (𝑥²+ 3𝑥 − 1)) = (−𝒙^𝟐− 𝒙 − 𝟐)𝒆^𝟐𝒙 = −𝒆^𝟐𝒙(𝒙^𝟐+ 𝒙 + 𝟐)

Exercice 3 :

1) 2 7 3 10

2 3 10 7

5 3

3 5

' 3.

5

x x

x x x x

La solution de l équation est + = − +

+ = −

=

=

2 2

2 2

2) 0,5 12 2,5 0

0,5 2,5 12 0

4 ( 2,5) 4 0,5 12

6, 25 24 17,75

0 ' ' .

x x

x x

b ac

donc l équation n a pas de solution

+ − =

− + =

 = − = − −  

 = − = −

 

2 2

2 2

2 2

3) 3 1 2 5 2

2 3 0 2 3 0

4 2 4 1 3 4 12 8

0 ' ' .

x x x x

x x soit x x

b ac

donc l équation n a pas de solution + − = + +

− − − = + + =

 = − = −   = − = −

 

2

2

2

2 2

1 2

4) ( 3)(2 - 3 -1) 0

3 0 2 3 1 0

3

2 3 1 0

4 ( 3) 4 2 ( 1) 9 8 17

3 17 3 17

2 4 2 4

3 17 3 17

3 ; ;

4 4

x x x

x ou x x

x

x x

b ac

b b

x et x

a a

S

+ =

+ = − − =

= −

− − =

 = − = − −   − = + =

− −  − − +  +

= = = =

 − + 

 

= − 

 

 

2 2

2 2

1 2

5) 2 13 15 0

2 13 15 0

4 13 4 ( 2) ( 15) 169 120 49

13 49 13 49

5 1,5

2 4 2 4

x x

x x

b ac

b b

x et x

a a

− + − 

− + − =

 = − = −  −  − = − =

− −  − − − +  − +

= = = = = =

− −

Conclusion : −2𝑥²+ 13𝑥 − 15 > 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ ]1,5 ; 5[

2 2

2

2 2

6) 10 0,1 2 10 2 0,1 0

10 2 0,1 0

4 2 4 10 0,1 4 4 0

2 0,1

2 20

x x x x

x x

b ac

x b a

+  −  + + 

+ + =

 = − = −   = − =

− −

= = = −

Conclusion : 10𝑥²+ 2𝑥 + 0,1 > 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ ]−∞ ; −0,1[ ∪ ]−0,1 ; +∞[

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2 2

1 2

7) 4 4 3 0

4 4 3 0

4 0 4

4 3 0

4 ( 4) 4 1 3 16 12 4

4 4 4 4

1 3

2 2 2 2

x x x

x x x

x x

ou

x x

b ac

b b

x et x

a a

− − + 

− − + =

− =  =

− + =

 = − = − −   = − =

− −  − − +  +

= = = = = =

Conclusion : (𝑥 − 4)(𝑥²− 4𝑥 + 3) ≥ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ [1 ; 3] ∪ [4 ; +∞[

4 - 3

8) 0 int : 1 0

1

1 1,

4 3 4

0 4 3 0

1 3

x Valeur erdite x

x

x Pour tout x

x x x

x

 + =

+

 = −

 −

− =  − =  = +

Conclusion : 𝑆 = ]⁴

3 ; +∞[

Conclusion: 𝑆 = ]−∞ ; −³

2[ ∪ [−1 ; ¹

3]

3 5 3 5 0

3 4 5 3 4 5

2

2 ( 3 ) 1 3

5 5

10) 1 3 5 0 :

3 3

11) 3 4 5 exp

2 1 1

4 2 : ;

4 2 2

12)

x x

x x

x x

e e e x x Conclusion S

e e e e e x la fonction onentielle est strictement croissante sur IR

x x x Conclusion S

e e e e

e

− −

− −

− −

−

=  =  − =  = =   

 

     − 

 

 −   −   − = − + 

   

( )(

)

2 1 2 1

1 1

2 3 1 3 1 : ;

3 3

13) 2 3 3 0 2 0 3 3 0

2 0 2

1 1

3 3 0 1 2 1 0 :

2 2

x x x x

x x

x x

x x x Conclusion S

e e e ou e

e e ce qui est impossible

e e x x Conclusion S

+ +

+ +

 

+    −   − = − + 

+ − =  + = − =

+ =  = −

 

− =  =  + =  = − = − 

 

(

)(

)

14) e^{− +x} −1 2e ^x+4 0

Pour tout réel x, 𝑒^2𝑥 > 0 donc 2𝑒^2𝑥+ 4 > 0

𝑒^−3𝑥+2− 1 > 0 ⇔ 𝑒^−3𝑥+2> 1 ⇔ −3𝑥 + 2 > 0 ⇔ −3𝑥 > −2 ⇔ 𝑥 <2 3 On peut donc en déduire le tableau de signes suivant :

Conclusion : 𝑆 = [²

3; +∞[

4 2

15) 1 0

x x

e e

− −



Pour tout réel x, 𝑒^2𝑥 > 0

1 − 𝑒^𝑥−4 > 0 ⇔ −𝑒^𝑥−4> −1 ⇔ 𝑒^𝑥−4 < 1 ⇔ 𝑥 − 4 < 0 ⇔ 𝑥 < 4 On peut donc en déduire le tableau de signes suivant :

Conclusion : 𝑆 = ]−∞ ; 4]

2

2

2

2 2

1 2

3 2 1 3

9) 0 int : 2 3 0

2 3 2

3 2

3 2 1

0 3 2 1 0

2 3

4 2 4 3 ( 1) 4 12 16

2 16 2 16 1

2 6 1 2 6 3

x x

Valeur erdite x x

x Pour tout x

x x

x x

x

b ac

b b

x et x

a a

+ −  + =  = −

+

 − + −

=  + − =

+

 = − = −   − = + =

− −  − − − +  − +

= = = − = = =

ETUDE DE FONCTIONS

Exercice 1 :

1) 𝑓(−1) = −1 𝑓(0) = −1 𝑒𝑡 𝑓(1) = −1 𝑓^′(−1) = 2

−1= −2 𝑓^′(0) = 0 𝑒𝑡 𝑓^′(1) =2 1= 2

2) L’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est : 𝒚 = 𝒇^′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) Equation réduite de d1 : 𝑦 = 𝑓^′(−1)(𝑥 − (−1)) + 𝑓(−1) = −2(𝑥 + 1) − 1 = −2𝑥 − 3

L’équation réduite de la droite d1 est 𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟑

De même : L’équation réduite de la droite d2 est 𝒚 = −𝟏 et celle de d3 est 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟑

Exercice 2 : Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa dérivée.

1) 𝑓^′₁(𝑥) = 20𝑥³− 𝑥 + 1

𝑥² 2) 𝑓^′₂(𝑥) = −3𝑥²

(𝑥³+ 1)² 3) 𝑓^′₃(𝑥) = 3 + 1 2√𝑥+ 𝑒^𝑥 4) 𝑓^′₄(𝑥) = (3𝑥²− 1)(𝑥²− 1) + (𝑥³− 𝑥) × 2𝑥 = 3𝑥⁴− 3𝑥²− 𝑥²+ 1 + 2𝑥³− 2𝑥²

𝒇^′_𝟒(𝒙) = 𝟑𝒙^𝟒+ 𝟐𝒙^𝟑− 𝟔𝒙^𝟐+ 𝟏

5) 𝑓′₅(𝑥) =2 × (1 + 𝑥²) − 2𝑥 × 2𝑥

(1 + 𝑥²)² = 𝟐 − 𝟐𝒙^𝟐

(𝟏 + 𝒙^𝟐)^𝟐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = 2𝑥 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 1 + 𝑥²

𝑢^′(𝑥) = 2 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = 2𝑥

6) 𝑓^′₆(𝑥) = 5 × (− −3

(−3𝑥 + 4)²) = 𝟏𝟓

(−𝟑𝒙 + 𝟒)^𝟐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = −3𝑥 + 4 𝑒𝑡 𝑢^′(𝑥) = −3

7) 𝑓′₇(𝑥) =(2𝑥 + 1)(−2𝑥 + 5) − (−2) × (𝑥²+ 𝑥 + 1)

(−2𝑥 + 5)² 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = 𝑥²+ 𝑥 + 1 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = −2𝑥 + 5 𝑢^′(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = −2

𝑓^′₇(𝑥) =−4𝑥²+ 10𝑥 − 2𝑥 + 5 + 2𝑥²+ 2𝑥 + 2

(−2𝑥 + 5)² =−𝟐𝒙^𝟐+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟕

(−𝟐𝒙 + 𝟓)^𝟐

8) 𝑓^′₈(𝑥) = 1 + 3 × 1 × 𝑒^𝑥+1= 𝟏 + 𝟑𝒆^𝒙+𝟏

9) 𝑓′₉(𝑥) = 6𝑥 − 2 × (−1)𝑒^−𝑥+2+ 0 = 𝟔𝒙 + 𝟐𝒆^−𝒙+𝟐

10) 𝑓^′₁₀(𝑥) = 2 × 𝑒^−2𝑥−3+ (2𝑥 + 3) × (−2) × 𝑒^−2𝑥−3 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑒^−2𝑥−3 𝑢^′(𝑥) = 2 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = −2𝑒^−2𝑥−3 𝑓^′₁₀(𝑥) = (2 − 2(2𝑥 + 3))𝑒^−2𝑥−3= (−𝟒𝒙 − 𝟒)𝒆^{−𝟐𝒙−𝟑}

11) 𝑓′₁₁(𝑥) =𝑒^𝑥× (𝑥 + 3) − 1 × 𝑒^𝑥

(𝑥 + 3)² 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = 𝑒^𝑥 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑥 + 3 𝑢^′(𝑥) = 𝑒^𝑥 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = 1

𝑓′₁₁(𝑥) = (𝑥 + 3 − 1)𝑒^𝑥

(𝑥 + 3)² =(𝒙 + 𝟐)𝒆^𝒙 (𝒙 + 𝟑)^𝟐

12) 𝑓′₁₂(𝑥) = −2 × 𝑒^−2𝑥+3− 4 × 5𝑒^5𝑥= −2𝑒^−2𝑥+3− 20𝑒^5𝑥

13) 𝑓′₁₃(𝑥) =3𝑒^3𝑥−5(𝑥 + 3) − 1 × 𝑒^3𝑥−5

(𝑥 + 3)² =(3(𝑥 + 3) − 1)𝑒^3𝑥−5

(𝑥 + 3)² =(𝟑𝒙 + 𝟖)𝒆^{𝟑𝒙−𝟓} (𝒙 + 𝟑)^𝟐

14) 𝑓′₁₄(𝑥) = (6𝑥 + 2) × 𝑒^−𝑥+2+ (3𝑥²+ 2𝑥 − 1) × (−1)𝑒^−𝑥+2= (6𝑥 + 2 − 3𝑥²− 2𝑥 + 1)𝑒^−𝑥+2 𝒇_𝟏𝟒′(𝒙) = (−𝟑𝒙^𝟐+ 𝟒𝒙 + 𝟑)𝒆^−𝒙+𝟐

15) 𝑓′₁₅(𝑥) =6𝑥𝑒^−3𝑥+2− (−3)𝑒^−3𝑥+2× (3𝑥²+ 5)

(𝑒^−3𝑥+2)² =(6𝑥 + 3(3𝑥²+ 5))𝑒^−3𝑥+2

(𝑒^−3𝑥+2)² =(𝟗𝒙^𝟐+ 𝟔𝒙 + 𝟏𝟓) 𝒆^{−𝟑𝒙+𝟐}

Exercice 3 :

D’après le graphique :

• La fonction f est croissante sur [−3 ; −1] et sur [1 ; 2] donc

pour tout 𝑥 ∈ [−3 ; −1] , 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 et pour tout 𝑥 ∈ [1 ; 2] , 𝑓^′(𝑥) ≥ 0

• La fonction f est décroissante sur [−1 ; 1] donc pour tout 𝑥 ∈ [−1 ; 1], 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 Conclusion : La courbe A représente la fonction dérivée de la fonction f.

Exercice 4 :

1) L’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet deux solutions sur l’intervalle [−1 ; 5], une solution 𝛼 dans l’intervalle ]−1 ; 0[et une solution 𝛽 dans l’intervalle ]0 ; 2[. Réponse b)

2) f admet un maximum local pour 𝑥 = 2 donc 𝑓^′(2) = 0 Réponse c)

3) f admet un minimum local pour 𝑥 = 0 donc 𝑓^′(0) = 0 de plus 𝑓(0) = 2 donc l’équation réduite le la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 est : 𝑦 = 𝑓^′(0)(𝑥 − 0 + 𝑓(0) d’où 𝑦 = −2 Réponse c)

Exercice 5 : Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = 4x³+3x²- 6x+1.

Pour tout réel x, 𝑔^′(𝑥) = 12𝑥²+ 6𝑥 − 6 = 6(2𝑥²+ 𝑥 − 1)

2

2 2

1 2

2 1 0

4 1 4 2 ( 1) 1 8 9

1 9 1 9 1

1 0,5

2 4 2 4 2

x x

b ac

b b

x et x

a a

+ − =

 = − = −   − = + =

− −  − − − +  − +

= = = − = = = =

Exercice 6 : Soit f la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 3𝑥³ − 3𝑥² + 𝑥 − 2

Pour tout réel x, 𝑓^′(𝑥) = 9𝑥²− 6𝑥 + 1

2

2 2

9 6 1 0

4 ( 6) 4 9 1 36 36 0

6 1

2 18 3

x x

b ac

x b a

− + =

 = − = − −   = − =

=− = =

Exercice 7 : Soit h la fonction définie sur ℝ par ℎ(𝑥) = −𝑥³+ 3𝑥²− 5𝑥 + 4 1) Dresser le tableau de variation de la fonction h.

Pour tout réel x, ℎ^′(𝑥) = −3𝑥²+ 6𝑥 − 5

2

2 2

3 6 5 0

4 6 4 ( 3) ( 5) 36 60 24

0 ' '

x x

b ac

donc l équation n a pas de solution

− + − =

 = − = −  −  − = − = −

 

Donc pour tout réel x, h’(x) est du signe de « a » donc ℎ^′(𝑥) < 0.

Donc la fonction h est strictement décroissante sur IR.

2) On cherche à savoir si il existe des réels x tels que ℎ^′(𝑥) = −2

2 2

2 2

'( ) 2 3 6 5 2 3 6 3 0

4 6 4 ( 3) ( 3) 36 36 0 ' 6 1

2 6

h x x x x x

b ac la solution de l équation est x b

a

= −  − + − = −  − + − =

− −

 = − = −  −  − = − = = = =

− L’équation ℎ^′(𝑥) = −2 admet une unique solution donc la courbe représentative de la fonction h admet donc une tangente de coefficient directeur (-2) au point d’abscisse 1.

L’équation réduite de cette tangente est 𝑦 = 𝑓^′(1)(𝑥 − 1) + 𝑓(1) soit 𝑦 = −2(𝑥 − 1) + 1 𝑐^′𝑒𝑠𝑡 à 𝑑𝑖𝑟𝑒 𝑦 = −2𝑥 + 3

Exercice 8 : Soit f la fonction définie sur ℝ−{−3} par :

𝑓(𝑥) =3𝑥 + 1 𝑥 + 3

1) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de définition.

Pour tout réel 𝑥 ≠ −3, 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 ^𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑥 + 3

𝑢^′(𝑥) = 3 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = 1

𝑓^′(𝑥) =3 × (𝑥 + 3) − 1(3𝑥 + 1)

(𝑥 + 3)² = 8

(𝑥 + 3)² Pour tout réel 𝑥 ≠ −3, 8 > 0 𝑒𝑡 (𝑥 + 3)²> 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓^′(𝑥) > 0

Conclusion : la fonction f est strictement croissante sur son ensemble de définition.

2) La courbe de f admet-elle des tangentes horizontales ? Justifier.

Si il existe un (ou des) réel(s) x tels que 𝑓^′(𝑥) = 0 alors la courbe de f admet une (ou des) tangente(s) horizontale(s).

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑥 ≠ −3, 𝑓^′(𝑥) = 8

(𝑥 + 3)² 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓^′(𝑥) ≠ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑥 ≠ −3 . Conclusion : La courbe représentative de f n’admet pas de tangente horizontale.

3) Déterminer l’équation réduite de la tangente à C_𝑓 au point d'abscisse 0.

L’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 est : 𝑦 = 𝑓^′(−1)(𝑥 − (−1)) + 𝑓(−1)

𝑦 = 2(𝑥 + 1) − 1

𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 est l’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse (-1)

4) a.

𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 1) =3𝑥 + 1

𝑥 + 3 − (2𝑥 + 1) =(3𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

𝑥 + 3 =3𝑥 + 1 − (2𝑥²+ 6𝑥 + 𝑥 + 3) 𝑥 + 3

𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 1) =−2𝑥²− 4𝑥 − 2

𝑥 + 3 =−2(𝑥²+ 2𝑥 + 1) 𝑥 + 3 𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 1) =−𝟐(𝒙 + 𝟏)^𝟐

𝒙 + 𝟑

b. Pour tout réel x, (𝑥 + 1)²≥ 0 donc −2(𝑥 + 1)²≤ 0

c. Positions relatives de T et à C_𝑓 :

• Sur l’intervalle ]−∞ ; −3[, la courbe de f, C_𝑓, est au-dessus de la tangente T.

• Sur les intervalles ]−3 ; −1[ et ]−1 ; +∞[, la courbe de f, C_𝑓, est en-dessous de la tangente T.

Exercice 9 : Dresser le tableau de variation des fonctions f , g et h sur leur ensemble de définition.

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑒^2𝑥+3

La fonction fest définie et dérivable sur ℝ . 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑒^2𝑥+3

𝑢^′(𝑥) = 1 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = 2𝑒^2𝑥+3 Pour tout 𝑥 ∈ ℝ,

𝑓^′(𝑥) = 1 × 𝑒^2𝑥+3+ (𝑥 + 2) × 2𝑒^2𝑥+3 𝑓′(𝑥) = (1 + 2(𝑥 + 2))𝑒^2𝑥+3

𝑓^′(𝑥) = (2𝑥 + 5)𝑒^2𝑥+3

2. Soit g la fonction définie sur ℝ^∗par :

𝑔(𝑥) = 1 +𝑒^2𝑥+3 𝑥 La fonction g est définie et dérivable sur ℝ^∗ .

𝑔(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) 𝑎𝑣𝑒𝑐:

𝑢(𝑥) =𝑒^2𝑥+3 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑥 𝑢^′(𝑥) = 2𝑒^2𝑥+3 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = 1 Pour tout 𝑥 ∈ℝ^∗,

𝑔^′(𝑥) = 0 +2𝑒^2𝑥+3× 𝑥 − 1 × 𝑒^2𝑥+3 𝑥²

𝑔′(𝑥) =(𝟐𝒙 − 𝟏)𝒆^{𝟐𝒙+𝟑} 𝒙^𝟐

3. Soit h la fonction définie sur ℝ par ℎ(𝑥) = (−3𝑥² + 2𝑥 − 5)𝑒^−𝑥 La fonction h est définie et dérivable sur ℝ.

Pour tout 𝑥 ∈ ℝ,

ℎ′(𝑥) = (−6𝑥 + 2) × 𝑒^−𝑥+ (−3𝑥²+ 2𝑥 − 5) × (−1)𝑒^−𝑥 = (−6𝑥 + 2 − 3𝑥²+ 2𝑥 − 5)𝑒^−𝑥 𝒉′(𝒙) = (−𝟑𝒙^𝟐− 𝟒𝒙 − 𝟑)𝒆^−𝒙

On cherche le signe de : −3𝑥²− 4𝑥 − 3. ∆= −20 < 0 Pour tout réel x, −3x²− 4x − 3 < 0 (du signe de 𝑎 = −3) Pour tout réel x, 𝑒^−𝑥 > 0

Donc pour tout réel x, 𝒉^′(𝒙) < 𝟎

PROBABILITES – VARIABLES ALEATOIRES

Exercice 1 :

1) Arbre pondéré :

2)

𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) + 𝑃(𝑉 ∩ 𝑇) = 0,75 × 0,5 + 0,25 × 0,125 = 0,40625 =13 32 La probabilité de ne rien gagner (ni perdre) à ce jeu est 0,40625

3) Loi de probabilité de X :

𝑃(𝑋 = 2) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝑈) = 0,75 × 0,375 =3 4×3

8= 9

32= 0,28125 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) + 𝑃(𝑉 ∩ 𝑇) =3

4×3 8+1

4×1 8=13

32= 0,40625 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝑇) = 0,75 × 0,125 =3

4×1 8= 3

32= 0,09375 𝑃(𝑋 = −1) = 𝑃(𝑉 ∩ 𝑈) = 0,25 × 0,375 =1

4×3 8= 3

32= 0,09375 𝑃(𝑋 = −3) = 𝑃(𝑉 ∩ 𝐷) = 0,25 × 0,5 =1

4×4 8=1

8= 0,125 En résumé :

Valeur de X : 𝑥_𝑖 2 0 3 −1 −3

𝑃(𝑋 = 𝑥_𝑖) 0,28125 0,40625 0,09375 0,09375 0,125

4) 𝐸(𝑋) = 2 × 0,28125 + 0 × 0,40625 + 3 × 0,09375 − 1 × 0,09375 − 2 × 0,125 = 0,5

Si un joueur joue de nombreuses fois à ce jeu, il peut espérer gagner en moyenne 50 centimes par partie.

x −∞ +∞

ℎ′(𝑥) −

ℎ

Exercice 2 :

1) X peut prendre les valeurs : 5 ; 15; 35 et −5. La loi de probabilité de X est : 𝑃(𝑋 = 5) = 30

200= 0,15 𝑃(𝑋 = 35) = 2 200= 1

100= 0,01 𝑃(𝑋 = 15) = 5

200= 1

40= 0,025 𝑃(𝑋 = −5) =200 − (30 + 5 + 2)

200 =163

200= 0,815 2) L’espérance de X est 𝐸(𝑋) = 5 × 𝑃(𝑋 = 5) + 15 × 𝑃(𝑋 = 15) + 35 × 𝑃(𝑋 = 35) − 5 × 𝑃(𝑋 = −5)

𝐸(𝑋) = 5 × 0,15 + 15 × 0,025 + 35 × 0,01 − 5 × 0,815 = −2,6

Si une personne achète un très grand nombre de ticket, elle peut espérer pardre en moyenne 2,60€ par ticket.

Exercice 3 :

1) 𝑃(𝐺) = 49

100= 0,49 ; 𝑃(𝑇) = 20

100= 0,2 ; 𝑃_𝑇(𝑅) =90,6

100= 0,906 𝑒𝑡 𝑃_𝐺(𝑅) =91,5

100 = 0,915 2)

3) 𝑃(𝑇 ∩ 𝑅) = 0,2 × 0,906 = 0,1812

4) 𝑎. 𝑃(𝑅) = 𝑃(𝐺 ∩ 𝑅) + 𝑃(𝑇 ∩ 𝑅) + 𝑃(𝑆 ∩ 𝑅) = 0,49 × 0,915 + 0,2 × 0,906 + 𝑃(𝑆 ∩ 𝑅) 0,878 = 0,62955 + 𝑃(𝑆 ∩ 𝑅) ⇔ 𝑃(𝑆 ∩ 𝑅) = 0,878 − 0,62955 = 0,24845

𝑏. 𝑃_𝑆(𝑅) =𝑃(𝑆 ∩ 𝑅)

𝑃(𝑆) =0,24845

0,31 ≈ 0,801

Exercice 4 :

2) 𝑃(𝑅̅ ∩ 𝐶̅) = 60 100×2

5= 0,24 3) 𝑃(𝑅 ∩ 𝐶) = 40

100×2 3= 4

15

La probabilité que l’électricien obtienne une vis à bout rond et tête cruciforme est ⁴

15.

4) 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝑅 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝑅̅ ∩ 𝐶) = 40 100×2

3+ 60 100×3

5=47

75≈ 0,63 La probabilité d’obtenir une vis à tête cruciforme est ⁴⁷

75. 5) 𝑃_𝐶(𝑅) =𝑃(𝐶 ∩ 𝑅)

𝑃(𝐶) = 4 1547 75

= 4 15×75

47=300 705=20

47≈ 0,426

Exercice 5 :

1) On peut construire l’arbre suivant :

2) P(A∩F)=0,43×0,11=0,0473. La probabilité que la personne soit une femme souffrant de déficience auditive est 0,0473.

3) P(A)=0,0473+0,57×0,08=0,0929. La probabilité que la personne choisie souffre de déficience auditive est 0,0929.

4) On cherche la probabilité : 𝑃_𝐴(𝐹) 𝑃_𝐴(𝐹) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐹)

𝑃(𝐴) =0,0473

0,0929≈ 0,51

La probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu’elle souffre de déficience auditive est 0,51.

5) 𝑃_𝐴̅(𝐹̅) =𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐹̅)

𝑃(𝐴̅) =0,57 × 0,92

1 − 0,0929 =0,052953

0,9071 ≈ 0,051

Exercice 6 :

2) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) = 0,4 × 0,4 = 0,16 3) 𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐸) + 𝑃(𝐶 ∩ 𝐸) 𝑃(𝐸) = 0,16 + 0,35 × 0,3 + 0,25 × 0,5 = 0,39

4) 𝑃_𝐸(𝐶) =𝑃(𝐶 ∩ 𝐸)

𝑃(𝐸) =0,25 × 0,5

0,39 ≈ 0,32

5) Soit X la variable aléatoire égale à la somme dépensée par les clients.

𝑃(𝑋 = 15) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) = 0,4 × 0,6 = 0,24 𝑃(𝑋 = 25) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐸) = 0,4 × 0,4 = 0,16 𝑃(𝑋 = 10) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) = 0,35 × 0,7 = 0,245 𝑃(𝑋 = 16) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐸) = 0,35 × 0,3 = 0,105 𝑃(𝑋 = 35) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) = 0,25 × 0,5 = 0,125 𝑃(𝑋 = 60) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐸) = 0,25 × 0,5 = 0,125

𝐸(𝑋) = 15 × 𝑃(𝑋 = 15) + 25 × 𝑃(𝑋 = 25) + 10 × 𝑃(𝑋 = 10) + 16 × 𝑃(𝑋 = 16) + 35 × 𝑃(𝑋 = 35)+…

… + 60 × 𝑃(𝑋 = 60)

𝐸(𝑋) = 15 × 0,24 + 25 × 0,16 + 10 × 0,245 + 16 × 0,105 + 35 × 0,125 + 60 × 0,125 = 23,605 En moyenne, chaque client dépense 23,605€ par embarcation louée.

𝑅𝑒𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 = 200 × 23,605 = 4 721

La base nautique peut espérer une recette journalière de 4 721€.

SUITES – SUITES ARITHMETIQUES – SUITES GEOMETRIQUES

Exercice 1 :

1) On considère la suite (𝑢_𝑛) définie par 𝑢_𝑛 = 3𝑛²− 2𝑛 + 1

𝑢₁ = 3 × 1²− 2 × 1 + 1 = 2 𝑒𝑡 𝑢₆= 3 × 6²− 2 × 6 + 1 = 97 2) On considère la suite (𝑢_𝑛) définie par { 𝑢₀= 6

𝑢𝑛+1= 2𝑢𝑛− 4

𝑢₁= 2 × 𝑢₀− 4 = 2 × 6 − 4 = 8 et 𝑢₂= 12 𝑒𝑡 𝑢₃ = 20 𝑢₄= 2 × 𝑢₃− 4 = 2 × 20 − 4 = 36.

3) 𝑆 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 235 =235×(235+1)

2 = 235 × 118 = 27 730

Exercice 2 : Soit (𝑢_𝑛) une suite arithmétique de raison 7 et de premier terme 𝑢₀= −4.

1) Exprimer 𝑢_𝑛+1 en fonction de 𝑢_𝑛.

La suite (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique de raison 7 et de premier terme 𝑢₀= −4 donc 𝑢_𝑛+1= 𝑢_𝑛+ 7.

2) Exprimer 𝑢_𝑛 en fonction de n .

Pour tout entier naturel n, 𝑢_𝑛 = 𝑢₀+ 𝑛𝑟 = −4 + 𝑛 × 7 = 7𝑛 − 4 3) Déterminer le sens de variation de la suite (𝑢_𝑛).

La suite (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique de raison 7 (positif) donc la suite est strictement croissante.

4)

𝑆 = 𝑢₀+ 𝑢₁+ ⋯ + 𝑢₁₅=(15 + 1) × (𝑢₀+ 𝑢₁)

2 =16 × (−4 + (7 × 15 − 4))

2 =16 × 97

2 = 776 Exercice 3 : La suite (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique de raison −0,4 et telle que 𝑢₂₇= −8,7.

1) Calculer le terme initial 𝑢₀.

𝑢₂₇= 𝑢₀+ 27 × 𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑐 − 8,7 = 𝑢₀+ 27 × (−0,4) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢₀= −8,7 + 10,8 = 2,1 2) Exprimer 𝑢_𝑛 en fonction de n.

Pour tout entier naturel n, 𝑢_𝑛 = 𝑢₀+ 𝑛𝑟 = 2,1 − 0,4𝑛

3) Déterminer le sens de variation de la suite (𝑢_𝑛), −0,4 < 0. Donc la suite est strictement décroissante.

Exercice 4 : La suite (𝑢_𝑛) est telle que 𝑢₀= 10 et pour tout nombre entier naturel n, 𝑢_𝑛+1= 𝑢_𝑛+ 6.

1) Quelle est la nature de la suite (𝑢_𝑛) ?

Pour tout nombre entier naturel n, 𝑢_𝑛+1= 𝑢_𝑛+ 6 donc la suite (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme 𝑢₀= 10.

2) Pour tout nombre entier naturel n, 𝑢_𝑛= 𝑢₀+ 𝑛𝑟 = 10 + 6𝑛 3) 𝑢_{2 015}= 10 + 6 × 2 015 = 12 100

4) Pour quelle valeur de n a-t-on 𝑢_𝑛= 1 288 ?

10 + 6𝑛 = 1 288 <=> 6𝑛 = 1 278 <=> 𝑛 = 1 278: 6 = 213 Donc 𝑢₂₁₃= 1 288

Exercice 5 :

1) La suite (𝑢_𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 =¹

2 et de terme initial 𝑢₀= 16 a) Pour tout entier naturel n, 𝑢_𝑛+1=¹

2𝑢_𝑛 .

b) Pour tout entier naturel n, 𝑢_𝑛= 𝑢₀× 𝑞^𝑛= 16 × (¹

2)^𝑛=¹⁶

2^𝑛. c) 𝑢₈= 16 ×₂¹₈=₂₅₆¹⁶ =₁₆¹ = 0,0625

d) La suite (𝑢_𝑛) est une suite géométrique de raison 0,5 (0 < 0,5 < 1) et de premier terme 𝑢₀= 16 (16>0) Donc la suite (𝑢_𝑛) est strictement décroissante.

2) La suite (𝑢_𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 = 3 et de terme initial 𝑢₁= 243 a) Pour tout entier naturel n, 𝑢_𝑛+1= 3 × 𝑢_𝑛 = 3𝑢_𝑛 .

b) Pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛= 𝑢1× 𝑞^𝑛−1= 243 × 3^𝑛−1 c) 𝑢₉= 243 × 3⁹⁻¹= 1 594 323

d) La suite (𝑢_𝑛) est une suite géométrique de raison 3 (3 > 1) et de premier terme 𝑢₁ = 243 (243 > 0) Donc la suite (𝑢_𝑛) est strictement croissante.

e)

𝑆 = 1 + 3 + 3²+. . +3¹³ =1 − 3¹³⁺¹

1 − 3 =1 − 3¹⁴

−2 =3¹⁴− 1

2 = 2 391 484

Exercice 6 : La suite (𝑢_𝑛) est telle que 𝑢₀= −4 et pour tout nombre entier naturel n, 𝑢_𝑛+1= −2𝑢_𝑛.

1) Pour tout nombre entier naturel n, 𝑢_𝑛+1= −2𝑢_𝑛 donc la suite (𝑢_𝑛) est une suite géométrique de raison (−2) et de premier terme 𝑢₀= −4.

2) Pour tout nombre entier naturel n, 𝑢_𝑛= 𝑢₀× 𝑞^𝑛= −4 × (−2)^𝑛 3) 𝑢₁₂= −4 × (−2)¹²= −4 × 4096 = −16 384.

4) A l’aide de la calculatrice, on constate que 𝑢₁₆= −262 144 . Donc pour 𝑛 = 16 5)

𝑆 = 𝑢₀+ 𝑢₁+ ⋯ + 𝑢₁₅= 𝑢₀×1 − 𝑞^𝑛+1

1 − 𝑞 = −4 ×1 − (−2)¹⁶

1 − (−2) = −262 148 3

Exercice 7 :

1) a. Pour tout entier naturel n, 𝐿_𝑛+1= 𝐿_𝑛+ 6.

La suite (𝐿_𝑛) est une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme 𝐿₀= 280.

b. Pour tout entier naturel n, 𝐿_𝑛= 6𝑛 + 280.

c. Paul aura 80 ans dans 18ans, 𝐿₁₈= 6 × 18 + 280 = 388.

A 80 ans, le montant de son loyer sera de 388€

d. 𝐿_𝑛> 300 ⇔ 6𝑛 + 280 > 300 ⇔ 6𝑛 > 20 ⇔ 𝑛 > ²⁰

6 soit 𝑛 ≥ 4 A partir de 2019 le montant de son loyer sera supérieur à 300€.

2) a. Pour tout entier naturel n, 𝑅_𝑛+1= (1 + ¹

100) 𝑅_𝑛 = 1,01𝑅_𝑛.

La suite (𝑅_𝑛) est une suite géométrique de raison 1,01 et de premier terme 𝑅₀= 1 000 b. Pour tout entier naturel n, 𝑅_𝑛= 1 000 × 1,01^𝑛

c. 𝑅₁₈= 1000 × 1,01¹⁸≈ 1 196,15

Quand il aura 80ans, le montant de sa retraite sera d’environ 1 196,15€.

d. 𝑅₉≈ 1 093,69 𝑒𝑡 𝑅₁₀≈ 1 104,62

A partir de 2à25, le montant de sa retraite sera supérieur à 1 100€.

Exercice 8 :

1) Pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑢_𝑛+1= 0,5𝑢_𝑛+ 50.

𝑢₁= 0,5 × 𝑢₀+ 50 = 0,5 × 1 500 + 50 = 800 et 𝑢₂= 0,5 × 𝑢₁+ 50 = 0,5 × 800 + 50 = 450 2)

𝑢₁− 𝑢₀ = 1 500 − 800 = 700

𝑢₂− 𝑢₁= 800 − 450 = 350 } 𝑢₁− 𝑢₀≠ 𝑢₂− 𝑢₁ donc la suite (𝑈_𝑛) n’est pas une suite arithmétique.

𝑈₁

𝑈₀≈ 0,5333

𝑈₂

𝑈₁= 0,5625} ^𝑈1

𝑈₀≠^𝑈2

𝑈₁ donc la suite (𝑈_𝑛) n’est pas une suite géométrique.