CLASSES : 4sc 1 &2

Le sujet comporte 3pages numérotées 1/3 à 3/3

EXERCICE 1 (2 points)

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante. Aucune justification n’est demandée Pour chaque question une seule proposition est exacte, barème proposé 0,5 x4

1)

1 x xlim x e0

−

−

→

est égale à :

a) 0 b) ∞ c) ∞

2) Le complexe 2 2

α i

2 2

= + est une racine

a) huitième de l’unité b) sixième de l’unité c) quatrième de l’unité 3) Soit z et m deux complexes on a : iz+(1 i )m+ est égal à :

a) iz (1 i) m b) iz (1 i )m+ − c) iz (1 i )m+ − 4)

1

1

x ln(1 x²) dx

−

∫

+ est égale à :

a) e ln (1+e²) b) 0 c) 2e EXERCICE 2(4,5 points)

Soit p un entier naturel non nul, On pose I_p

( )

^p

1 e² lnx

x² dx

∫

1) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que I1 3 1−e² 2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul p, on a :

p 1 p 1

p

2 2

e²(p 1) I (p 1)

+ +

≤ ≤

+ +

b) En déduire la limite de la suite ( _pI^p₁ 2 ^{+ ).}

3) a) Montrer, en effectuant une intégration par parties, que

p 1

p 1 p

I 2 (p 1) I

e²

+

+ = − + +

b) En déduire successivement les valeurs de I2 , I3 et I4.

c) On a représenté ci-dessous l’arc (C) de la courbe de la fonction f : x ↔

(

^{lnx ²}

)

x où x ^☻[1, e²]

CLASSES : 4sc 1 &2

DUREE : 3 HEURES

COEF : 3

REPUBLIQUE TUNISIENNE LYCEE BENGUERDENNE MINISTERE DE L’EDUCATION DATE : 16 MAI 2011

Professeurs : Chrih + Htiouech

1/3

e² (C)

x y

O ^i→

j→

On fait tourner l’arc (C) autour de l’axe des abscisses .Calculer le volume du solide ainsi engendré.

EXERCICE 3 (4,5 points)

Soit ABCDEFGH un cube d’arête 1.On muni l’espace du repère orthonormé direct

(

A , AB, AD, AE

)

1) Déterminer les coordonnées des points F, C et H.

2) Donner une représentation paramétrique de la droite 3) a) Calculer AC∧AF

b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan

(ACF) est x y z 0

c) Déterminer les points M de la droite (BH) pour que le volume du tétraèdre ACFM soit égal à 11

6

4) Soit m un réel et Sm l’ensemble des points M(x, y, z)

a) Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

b) pour quelles valeurs de m Sm est tangente au plan (ACF) ? Préciser les coordonnées de point du contact.

EXERCICE 4 (5 points)

Soit la fonction f définie sur [0,1[par f (x) = ln (1 x²) et (C) sa courbe dans un repère orthonormé R

(

^{O , i , j}

)

[unité graphique 2 cm]

1) a) Dresser le tableau de variation de f.

b) Tracer (C) dans le repère R (on précisera en particulier la demi-tangente au point O et l’asymptote) 2) a) Montrer que f réalise une bijection de [0,1[sur] ∞,0]

b) Soit (Γ) la courbe représentative dans le repère R de la fonction réciproque f ¹.

Tracer (Γ) dans le repère R (on précisera en particulier la demi-tangente au point O et l’asymptote) A

B

C D E

F

G

H

x

y z

1

1 (BH)

Tels que x²y²z² 2(1 m) x 2my2mz3m² 2m2 3

0

2/3

c) Montrer que pour xÂ0, f ¹(x) = 1 e− ^x

3) a) Soit F(x) = (x 1) ln (1 x) (x 1) ln(x 1) 2x où x ☻ [0,1[.Montrer que F est une primitive de f.

b) Soit A l’aire en cm² de la partie limitée par (C) et les droites d’équations : y ln2, x 0 et x ² 2

Hachurer cette partie puismontrer que A =

[

^{8ln (1 2) 4 2}

]

^cm²

c) Déduire la valeur de l’intégrale

0

x ln 2

1 e dx

−

∫

−

EXERCICE5 (4 points)

1) Trouver les solutions de l’équation : 2z² 2(1 cos θ) z 1 cosθ 0 ; où θ ☻] 0, π [ 2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé R

(

^{O , u , v}

)

Soit les points M, N et P d’affixes respectives z₁ 1

2(1 cosθ isinθ) et z2 1

2(1 cosθ isinθ) et z3 1 cosθ a) Mettre z1 et z2 sous forme exponentielle

b) Placer dans le plan les points M, N et P pour θ π 2 . 3) a) Calculer

|

z₁ 1

2

|

et

|

z₂ 1

2

|

.En déduire que les points M et N appartiennent à un cercle que l’on précisera b) Montrer que le quadrilatère ONPM est un losange. Déterminer θ pour que ONPM soit un carré.

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