de[Deb01 ℄.La première partie étudie le asgénéral, en sebasant sur[BVdV78℄

(1)

Denis Conduhé

5 novembre 2004

Onétudieii lesdroitessurles hypersurfaesde P^N^,^à^partir ^du^hapitre^2.4. ^de^{[Deb01 ℄.}^La ^première

partie étudie le asgénéral, en sebasant sur[BVdV78℄. Puis, à l'aide des propriétés trouvées, on étudie

leasdeshypersurfaes de Fermat.

Danstoutelasuite,on travaillesurun orpskalgébriquement los.Touslessous-shémas onsidérés sont dessous-shémasfermés.

1 Préliminaires

Onseplaedansun premiertemps dans unadregénéral.

Notation 1.0.1. Dans toute ette partie, on noteG ^un ^polynme ^homogène ^de ^degré d >0 ^xé, ^et X

l'hypersurfaede P^N ^dénie ^par G^.

1.1 Notations et dénitions

Onsuitdansette partie laonstrution de [BVdV78 ℄.

Notonsk[x₀, ..., x_N]_d ^l'ensemble^des^polynmes^homogènes^de ^degréd^.

SoitF ={([l], h) ∈G(1,P^N)×k[x₀, ..., x_N]_d|h_|l= 0}^la^variété^d'inidene.

C'est unsous shémade G(1,P^N)×k[x₀, ..., x_N]_d^,^qui ^est^un ^bré^vetoriel ^surG(1,P^N) ^: F

ϕ

ψ //k[x₀, ..., x_N]_d

G(1,P^N)

Dénition 1.1.1. On dénitlavariétéde Fano F(X) ^assoiée ^àX ^par F(X) =ϕ◦ψ⁻¹(G)^.

Elle aune struture naturelle deshéma etindexeles droitesontenuesdansX^.

Eneet l'appliation ϕ êst ^justeûne ^pro^jetion êt ψ⁻¹(G)^, ^qui â ûne ^struture ^naturelle ^de ^shéma,

est ontenu dans G(1,P^N)× {G}^. ^Don F(X) â ^bien ûne ^struture ^de ^shéma, êlle ^de ψ⁻¹(G)^. Ôn ^la

alulera expliitement au paragraphe 1.2.

Remarque1.1.2.F(X)âûne^struture^de^shéma^projetif,âr^'estûn^sous-shéma^de^lagrassmanienne

G(1,P^N)≃G(2, k^N⁺¹)^,^don ^elle ^se^plonge ^dans^unPⁿ ^par ^le^plongement ^de ^Plüker.

Remarque1.1.3. Il peutêtreintéressant dene pashoisirdeoordonnées dansP^N â^priori,'est-à-dire devoirP^N ômmeûnPV âveV ûnêspae^vetoriel^de ^dimensionN+ 1^surk^.^Dansê âsk[x₀, ..., x_N]_d

est remplaé par Sym

dV^∗^.^La ^bre ^de ϕ:F →G(1,PV) ^au-dessus ^d'un ^point [l] = [Pl]^de G(1,PV) ^est

alors lenoyau dumorphismenaturel Sym

dV^∗ →^Sym^dl^∗ ^{([DM98 ℄).}

(2)

Considèrons le diagramme suivant, où I = {([l], x) ∈ F(X)×X | x ∈ l} ^est ^un ^sous-shéma ^de F(X)×_kX ^:

I

pr1

pr2

//X ^//P^N

F(X) ^//G(1,P^N)

I →F(X) êstûn ^bré ên P¹^.^C'estûne ^restrition ^du^bré^standard ^sur^la grassmanienne.

Dénition 1.1.4. Soit x∈X^.^On^dénit F(X, x) ^assoiée^à X ^par F(X, x) =pr₁◦pr₂⁻¹(x)^.

F(X, x) âûne ^struture ^naturelle ^de^shéma êtîndexe^les ^droitesôntenues ^dansX ^passant ^par x^.^C'est

un sous-shéma deF(X)^.

Remarque 1.1.5. Lesdroites passant par x ^dansP^N ('est-à-dire G(1,P^N;x)⁾ ^sont paramétréespar un hyperplande P^N^,^dont F(X, x) ^est ^unsous-shéma.

Onénoneunlemme utile surles faiseaux loalementslibres de rangni surP¹^.

Lemme 1.1.6. Tout faiseau loalement libre de rang ni sur P¹ êst îsomorphe ^à ûne ^somme ^direte

de faiseaux inversibles (Don, omme Pi P¹ = Z^, ^à ûne ^somme ^direte ^de O_P¹(a_i)^, âve ûniité ^des a_i^).(exerie^2.6^p ³⁸⁴ ^de^{[Har83 ℄)}

Démonstration. Soit E ûn ^bré ^vetoriel ^sur P¹^. ^Montrons ^tout ^d'abord ^que ^si s êst ûne ^setion

globaledeE^,^qui^n'est^pas^partout^non^nulle,^ette^setion^est^multiple^d'une^setion^deE(−1)^.^Supposons

que s ^s'annule ên x ∈ P¹^, êt ^notons ^que ^le ^degré ^du ôrps ^résiduel ^de ^x êst neessairement 1 (k êst

algébriquement los). Ononsidère f ûne ^setion ^de O(1) ^s'annulant ên ^x, ^qui ôrrespond âu ^polynme

irrédutible dénissant x^.Âlorss/f êst ûne ^setion^globale ^de E(−1)^.

On onstruit les O(−n) ^herhés ^par ^réurrene ^sur n^.^Soit n ^xé, ^et ^supposons ^que ^l'on ^a ^des ^setions

globales s_i ^de E(n_i)^, ^pour n_i < n ^telles ^que ^les O(−n_i).s_i ^soient ^en ^somme ^direte ^dans E ^(omme

sous-faiseaux) que l'on notera F^, ^et ^que H⁰(P¹, F(m)) = H⁰(P¹, E(m)) ^pour ^tout m < n^. ^On ^hoisit

des setions globales t_j ^de E(n) ^qui ^engendrent ^un supplementaire de H⁰(P¹, F(n)) ^dans H⁰(P¹, E(n))^.

Montrons queles O(−n_i).s_i ^et^lesO(−n).t_j ^sont ^en ^somme^direte^dansE^,'est-à-direqueles(t_j)_x ^sont

linéairement indépendant dansE_x/F_x ^pour ^tout x^.^Supposons ^le ôntraire ^: ôn â âlors ûne ômbinaison

linéaire àoeientsnontousnulst^dest_j êtûne^setions^deF(n)^tels ^quet−s= 0ên x^.^Don^d'après

i-dessust−s=f.r ôù r âppartient ^à H⁰(P¹, E(n−1)) =H⁰(P¹, F(n−1))^.^Don t=s+f.r êst^dans

H⁰(P¹, F(n−1))^e ^qui ^ontredit ^la^dénition^dest_j^.

Soitl ûne^droite^surX^,^telle^queX ^soit^lisse ^le^long^del ⁽N_l/X êstâlors ^loalement ^libre).Ônââlors,

par lelemme préédent, ladéompositionsuivante:

N_l/X =O_l(a₁)⊕. . .⊕ O_l(a_n) ^ave a₁ >. . .>a_n

Dénition 1.1.7. l êst^dite ^libre^sia_n>0^,'est-à-dire siN_l/X êstêngendré ^par ^ses ^setions^globales.

Remarque 1.1.8. Sian>−1^,^le^shémaF(X) êst ^lisseên [l]^par ^leôrollaire^1.2.6

Remarque 1.1.9. Sif êst ^libre,ôn âK_X.l =−P

a_i 6−2^,^don K_X ^n'est ^pas^nef.

(3)

1.2 Propriétés de F(X)

Étudions dans un premier temps F(X)^. ^Nous âllons ^faire ^desâluls êxpliites^de ^veteurs ^tangents

dansdesoordonnées.On noteradanslasuite E ^lek^-espae^vetoriel k[x₀, ..., x_N]_d^.

Calulons tout d'abord le rang de dψ ên ûn ^point ([l], h₀) ^de F^. Ôn ^peut ^hoisir ^des ôordonnées

telles que l ^soit ^la ^droite êngendrée ^par (1,0, ...,0) êt (0,1,0, ...,0)^, êt ôn ^notera l ^le ^plan ^de k^N⁺¹ ôr-

respondant dans G(2, k^N+1)^. ^Les âluls ^dans G(1,P^N) êt G(2, k^N⁺¹) ^étant équivalent, on va se plaer au-dessus de G(2, k^N+1)^. ^Tôut ^plan l^′ ^de k^N+1 ôntenu ^dans ûn ^voisinage ^susamment ^petit U ^de [l]

dansG(2, k^N+1)êstêngendré^par^deux^points^(uniques) (1,0, u₂, ..., u_N)êt(0,1, v₂, ..., v_N)^.Ôn^peut ^don

utiliser(u₂, ..., u_N, v₂, ..., v_N) ^omme^oordonnées ^loales ^dansU^.

Remarque1.2.1. SuretouvertononnaitleséquationsexpliitesquidénnissentF(X)^dansG(1,P^N)^.

Eneetladroite{(1, t, u₂+tv₂, ..., u_N+tv_N)|t∈k}êstôntenue^dansX^siêt^seulement^siG((1, t, u+tv)) = 0^pour^toutt^.^Ce ^qui^nous^donne êndéveloppant auplusd+ 1^équationsêxpliites, êt^don ên^partiulier

queF(X) ^est^de ^dimension ^au ^moins2N −d−3^.

Unebase del'espae tangent T_[l_′_]G(2, k^N⁺¹) ^nous^est^donnée ^par ^les^dérivées ^partielles ^par ^rapport^à

esindéterminées, restreintesà l^′ ^:

∂

∂u₂_|l′

, ..., ∂

∂u_N_|l′

, ∂

∂v₂_|l′

, ..., ∂

∂v_N_|l′

et les oordonnés d'un veteur tangent en l^′ ^dans ^ette ^bases ^seront ^notées (U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N)^. ^Les

éléments de E ^sont ^des^polynmes^de ^la^forme ^(ave ^desmulti-indies) :h=P

|k|=da_kx^k^.Ôn ^hoisit ^les x^k ^pour ^base ^de E^, êt^les ∂/∂a_k ^sur T_hE^. ^Les ôordonnées ^d'un ^veteur ^tangent ên h₀ ^dans êtte ^base

serontnotées A_k^,ê^qui^nous^donne ûneidentiation entreE êtT_hE^.^Le^veteur orrespondantà h^sera

notéH^.

Proposition 1.2.2. L'espae tangent T_([l],h₀₎(F) ^est^l'espae ^: (

(U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N, H)∈T_[l](G(2, k^N⁺¹))×T_h₀E |

N

X

i=2

∂h₀

∂xi|l

(U_ix₀+V_ix₁) +h₀_|l= 0 )

Démonstration. Un point (u₂, ..., u_N, v₂, ..., v_N, h) ∈ U ×E âppartient ^à F ^si êt ^seulement ^si ôn â h(λ(1,0, u₂, ..., u_N) +µ(0,1, v₂, ..., v_N)) = 0 ^pour ^toutôuple (λ, µ) ^dansk^.^Donûn ^veteur ^tangent

(U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N, H)∈T_([l],h₀₎(G(2, k^N+1)×E)

sera tangent sietseulement sipourtout ouple(λ, µ) ^dansk 0 =

N

X

i=2

Ui ∂

∂u_i +Vi ∂

∂v_i

h0(λ(1,0, u2, ..., uN) +µ(0,1, v2, ..., vN))

+ X

|k|=d

A_k ∂

∂a_kh₀(λ(1,0, u₂, ..., u_N) +µ(0,1, v₂, ..., v_N))

=

N

X

i=2

∂h₀

∂x_i(λ(1,0, u₂, ..., u_N) +µ(0,1, v₂, ..., v_N))(U_iλ+V_iµ)

+ X

|k|=d

A_kλ^k⁰µ^k¹(λu2+µv2)^k²...(λuN +µvN)^k^N

(4)

Aupoint([l], h0)ônâ^de^plus^queui = 0êtvi = 0^pouri>2^.^Donôn^trouveômmeôndition^neessaire

et susantepour que(U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N, H) ^soit^tangent ^àF ^en([l], h₀)^:

N

X

i=2

∂h₀

∂x_i(λ, µ,0, ...,0)(U_iλ+V_iµ) + X

k0+k1=d

A_k₀_,k₁_,0,...,0λ^k⁰µ^k¹ = 0

pour tout (λ, µ) ^dansk^.^Ce^qui^est ^la^formule ^de^la proposition.

Commel'appliation dψ ênvoie (U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N, H)^sur H^,^nousâvons^le ôrollaire^suivant ^:

Corollaire1.2.3. Lerangdedψ:T_([l],h

0)(F)→T_h₀(E)^est^égal^à^la^dimension^de^l'espae^des^polynmes

en x0, x1 ^de ^degréd^qui ^peuvent^s'érire ^sous^la^forme ^:

N

X

i=2

∂h₀

∂x_i(x₀, x₁,0, ...,0)(U_ix₀+V_ix₁)

ave (U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N)arbitraires dansk^.

Onremarque queH⁰(l,O_l(1))^est^l'espae ^des^polynmes^homogènes^de ^degré1^surl^,^etH⁰(l,O_l(d))

l'espaedespolynmeshomogènesdedegréd^surl^(don≃T_h0(E)^).^Leôrollaireîmpliqueên^partiulier^:

Proposition 1.2.4. La diérentielle dψ ên ûn ^point ([l], h₀) ^deF êst ^surjetive ^si êt ^seulement ^si ^le

morphisme

β :

N

M

2

H⁰(l,O_l(1))→H⁰(l,O_l(d))

dénipar

(s₂, ..., s_N)→

N

X

i=2

∂h₀

∂x_i(x₀, x₁,0, ...,0)s_i

est surjetif.

Démonstration. On se ontente de remarquer que lorsque (U₂, ..., U_N, V₂, ..., V_N) ^parourt k^2N⁻²^,

le polynme s_i = U_ix₀ + V_ix₁ ^parourt k[x₀, x₁]₁ ≃ H⁰(l,O_l(1)) ên êntier, 'est-à-dire qu'on oublie (partiellement) lehoix d'une basede H⁰(l,O_l(1)) ^qui âvait^été^fait.

Le morphisme que l'on vient d'obtenir provient en fait naturellement de suites exates sur les brés

normaux. Nouspourronsalors en donnerune interprétationsans hoisirde oordonnées.

Proposition 1.2.5. Onsupposeque X ^est^lisse ^le^long^de ^la^droite l⊂X^.^Alors

N_l/P^N ≃

N

M

2

O_l(1) (N_X/P^N)_|l ≃ O_l(d)

N_l/X ≃

N−2

M

i=1

O_l(a_i)

ave 1 > a1 > . . . > aN−2^. ^De ^plus, ^le ^morphisme β ^de ^la proposition 1.2.4 est l'appliation H⁰(α) : H⁰(l, N_l/PN)→H⁰(l,(N_X/PN)_|l)^induite ^par ^la^suite ^exate^suivante^:

0→N_l/X →N_l/P^N −→^α (N_X/P^N)_|l →0

(5)

Démonstration.SionnoteX^′^l'ensemble^des^points^singuliers^deX^,ônââlors^le^diagramme^suivant

(lesfaiseauxsontsurX−X^′^,^quiêst^non^videârXêst^supposée^réduite),ôù^l'étude^deα^′ ^nous^donnera

lerésultat :

0

O_X

O_X(1)^N+1

α^′

%%L

LL LL LL LL L

0 ^//T_X ^//(T_PN)_|X ^//

N_X/P^N ^//0

0

En eet, on a la suite exate lassique des brés tangents et normaux (sur X −X^′ ^qui ^est ^un ^sous-

shéma (pas forémment fermé) lisse irrédutible de la variété lisse P^N âu-dessus ^de k⁾ ^: 0 → T_X → T_P^N ⊗ OX →N_X/P^N →0 ^{([Har83 ℄} ^page ^182).^La ^suite êxate^vertiale êst ôbtenue ên^passant âu^dualêt

enserestreignantàX−X^′ ^dans^la^suite ^exate0→Ω_PN → O_PN(−1)^N⁺¹→ O_PN →0^{([Har83 ℄}^théorème

8.13page 176)ar P^N ^est ^lisse.

Etudions α^′ ^dans^des oordonnées. Pour un s∈X−X^′ ^xé, ^posons t ^un ^générateur ^de O_s,X(1)^. ^Le

noyaudeα^′ ênsêstâlors ^l'ensemble^des(U₀t, ..., U_Nt) ^deO_s,X(1)^N⁺¹ ^tels^que(U₀, ..., U_N) ^soit^tangent ^à X^,'est-à-diretelsque

P_N

i=0U_i_∂x^∂G

i = 0^.^Don^le^noyau ^del'appliation de O_X(1)^N+1 ^dansO_X(d) ^dénie

par :

(U0t, ..., UNt)→

N

X

i=0

Ui

∂G

∂x_it

oïnide ave le noyau de α^′^. Ôn ^peut ^don ^trouver ûne identiation entre N_X/PN êt O_X(d) ^tel ^que

les deux appliations oïnident. La n de la preuve est don la onséquene de la ommutativité du

diagramme suivant :

(T_PN)_|l ^//

%%K

KK KK KK KK K

N_l/PN

(N_X/P^N)_|l

La déomposition de N_l/X ^provient ^du^lemme ^1.1.6,^etl'inégalité surles degrés desa_i ^de ^la^suite ^exate,

en tensorisant par O_l(−2)^,^puis^en ^passant ^aux^setions^globales.

Corollaire 1.2.6. Soit l^ommepréédemment. Lespropriétés suivantes sont équivalentes :

1. l ôrrespond^à ûn ^point ^régulier ^deF(X) ('est-à-dire F êtψ⁻¹(G) ^seôupent transversalement).

2. l'appliation N_l/PN →(N_X/PN)_|l înduit ûne âppliation ^surjetive ^sur^les^setions ^globales.

3. H¹(l, N_l/X) = 0

Démonstration.l'équivalene entre 1et2est laversionsansoordonnéede laproposition1.2.4. La

longue suiteexate deohomologie nousdonne l'équivalene entre 2et3.

(6)

T_[l]F(X) ≃H⁰(l, N_l/X)

Lasuite exatede laproposition 1.2.5,après tensorisation parO_l(−1)^,^s'érit ^: 0→N_l/X(−1)→ O^N−1_l −−−−−−→ O^α⊗O^l⁽⁻¹⁾ _l(d−1)→0

Donen passant auxsetionsglobales on obtient une appliation :

γ:







k^N⁻¹ → H⁰(l,O_l(d−1)) (λ₂, ..., λ_N) 7→

N

X

j=2

λ_j ∂G

∂x_j

|l

On a supposé jusqu'ii que l ^était ^la ^droite ^d'équation x₂ = ... = x_N = 0^, êt ^xé ^les ôordonnées ên

onséquene. Lorsque lesoordonnées sont déjà xées(e qui est le aspar exemple pour l'hypersurfae

de Fermat étudiée dans la deuxième partie), il peut être plus interessant de onsidérer l'appliation γ^′

suivante(où l'on imposeauuneonditionsur lesoordonnées), quia même image queγ ^:

γ^′ :







k^N+1 → H⁰(l,O_l(d−1)) (λ0, ..., λN) 7→

N

X

j=0

λj

∂G

∂x_j

|l

Proposition 1.2.8. Lesappliations γ^′ êtγ ônt ^pour ônoyauH¹(l, N_l/X(−1))^.

Démonstration.La longuesuite exatede ohomologie s'érit :

0→H⁰(l, N_l/X(−1))→H⁰(l,O_l)^N−1 −→^γ H⁰(l,O_l(d−1))→H¹(l, N_l/X(−1))→ H¹(l,O_l)

OrH¹(l,O_l) = 0^,^e ^qui ^nous^donne ^le^résultat.

1.3 Propriétés de F(X, x)

Étudionsde même F(X, x)^.

Remarque 1.3.1. Onadeséquations expliitesrelativement simplesdénissant F(X, x) ^dansH^,^oùH

estunhyperplanxédeP^N ^neôntenant ^pasx^(on^peut^supposer^queH êstûn^hyperplan^deôordonnée,

par exemple (x_N = 0)^).

Eneet F(X, x)^,ômme^sous-shéma^de H^,êst ^déni^par F(X, x) ={y∈H |y∈H êt(x, y)⊂X}^.

Don un y ^de H âppartient ^à F(X, x) ^si êt ^seulement ^si G(x +ty) = 0 ^pour ^tout t^, 'est-à-dire si et seulement siG_i(y) = 0 ôù

G_i(y) = X

|β|=i





X

|α|=d^etα>β

a_αC_α^βx^α−β



 i= 1, ..., d

En eetG₀ ôrrespond ^àx∈X ê ^quiêst ^vrai^par ^dénition^dex^.

La propositionsuivante permetde relier ladimension deF(X) ^à ^elle^deF(X, x) ^:

(7)

dimF(X)6dimF(X, x) +N −2

L'égalité est atteinte pour x ^général.

Démonstration. On utilise les résultats de [Har83℄ ex 3.22 p. 95. L'appliation surjetive I → X

a pour bres les F(X, x) ^par ^dénition. ^Don dimI 6 dimF(X, x) + dimX = dimF(X, x) +N −1^,

et l'égalité est atteinte pour x ^général. ^Le ^morphisme ^(surjetif âussi) I → F(X) â ^pour ^bre P¹^, ^don dimF(X) = dimI−1^.^D'où dimF(X) 6dimF(X, x) +N−2^,êt^l'égalitéêst âtteinte ^pourx ^général.

Proposition 1.3.3.

T_[l]F(X, x) ≃H⁰(l, N_l/X(−1))

Démonstration.On suit la même démarhe qu'au paragraphe 1.2. Onobtient alors que lerang de

dψ^(x) ^est ^égal ^à ^la^dimension ^de ^l'espae ^des ^polynmes ^en x₀, x₁ ^de ^degréd^qui ^peuvent ^s'érire ^sous^la

forme

x₁

N

X

i=2

∂h₀

∂xi

(x₀, x₁,0, ...,0)V_i

ave (V₂, ..., V_N) arbitraires dans k^. C'est-à-dire la dimension de l'espae des polynmes en x₀, x₁ ^de

degré d−1 ^qui ^peuvent ^s'érire ^sous ^la ^forme ^: PN i=2 ∂h0

∂xi(x₀, x₁,0, ...,0)V_i^. Ôn ^remarque ^de ^même ^que H⁰(l,O_l(d−1))êst^l'espae ^des^polynmes^homogènes^de ^degréd−1^surl^.Ônôntinue ^de^même.

2 Hypersurfaes de Fermat

Dénition 2.0.4. L'hypersurfaede Fermat X_N^d ^est l'hypersurfae deP^N ^dénie^par ^l'équation x^d₀+. . .+x^d_N = 0

Onétudiele shémaF(X_N^d)^.

Ladétermination des droitesontenues dansune hypersurfae de Fermat de degré plusgrand queN

dans P^N ^pour N = 3 êt 4 ^se ^trouve ^dans ^[AS91℄. ^Le ^fait ^que ^la ^varieté ^des ^droites ôntenue ^dans ûne

quartiquede Fermat de dimension 3^est ^de ^dimension2 ^en arateristique 3^se^trouve ^dans^{[Col79 ℄.}

Proposition 2.0.5. L'hypersurfae X_N^d êst ^lisse ^si êt ^seulement ^si ^la aratéristique de k êst 0 ôu ^ne

divise pasd^.

Onsupposeradésormaiseshypothèsesvériées.Deplusonsupposequel'onatoujoursN 6d^,^(sauf

à laproposition2.1.5). Dansleas ontraire on onnaitladimension de F(X_N^d) ^par ^laproposition2.1.5.

2.1 Généralités

2.1.1 Desription ensembliste

Dénition 2.1.1(droites standard). SoitI₁, ..., I_r ûne^partition^de{0, ..., N}^,ôùI_j ôntientâu^moins

deuxéléments pourhaque j^.

Soitx ∈P^N ^tel ^queP

i∈Ijx^d_i = 0 ^pour ^toutj ^(on â x ∈X_N^d^). Ôn ^notex_I_j ^l'élément ^de P^N ^qui ^vaut x_i ên i^siiâppartient ^à I_j êt⁰^sinon.

Onappelle droite standard de X_N^d ^une^droite ^ontenue ^dans

(λ₁x_I1+...+λ_rx_I_r)|λ∈P^r−1 ^.