Commande à retour de sortie d'un convertisseur série à résonnance

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Submitted on 23 Dec 2010

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Commande à retour de sortie d’un convertisseur série à résonnance

Ouadia Elmaguiri, Fouad Giri, H. El Fadil, Luc Dugard

To cite this version:

Ouadia Elmaguiri, Fouad Giri, H. El Fadil, Luc Dugard. Commande à retour de sortie d’un conver-

tisseur série à résonnance. CIFA 2010 - 6ème Conférence Internationale Francophone d’Automatique,

Jun 2010, Nancy, France. pp.n.c. �hal-00550156�

Commande à retour de sortie d‟un convertisseur série à résonance

O. Elmaguiri

¹

, F. Giri

¹

, H. El Fadil

¹

, L. Dugard

²

1 GREYC, Université de Caen, Caen, France.

Corresponding author:

fouad.giri@ unicaen.fr

2 GIPSA, ENSIEG, INPG, Grenoble, France

Résumé- Ce travail porte sur le problème de régulation de la tension de sortie d’un convertisseur résonant série de type DC/DC (SRC). Le problème présente trois niveaux de difficulté: (i) le modèle du convertisseur est non linéaire et discontinu ; (ii) les états du modèle ne sont pas tous accessibles à la mesure ; (iii) la charge est inconnue et peut varier dans le temps. La solution développée dans ce papier consiste en un régulateur adaptatif à retour de sortie. Ce dernier comprend trois composantes: (i) un observateur conçu par la technique du grand gain, estimant en ligne les variables d’états non accessibles à la mesure ; (ii) une loi de commande élaborée par la technique du backstepping à partir du modèle observé; (iii) un algorithme d’adaptation rendu robuste moyennant une projection paramétrique. Cette robustesse s’avère nécessaire pour faire face aux erreurs d’estimation d’état dans le modèle. Le système de commande en boucle fermée ainsi élaboré fait l’objet d’une analyse théorique mettant en évidence des conditions de stabilité semi globale.

Mots-clés : convertisseur série à résonance, observateur à grand gain, commande adaptative, backstepping, stabilité.

I. INTRODUCTION

es alimentations à résonance ont connu récemment un engouement important s‟expliquant, entre autres, par le fait qu‟elles fonctionnent en commutation dite «naturelle». Ce type de commutation permet de répondre à des exigences élevées en puissance et en fréquence. Par rapport aux convertisseurs classiques (à commutation forcée), les convertisseurs à résonance présentent plusieurs avantages dont notamment: (i) les pertes sont plus faibles puisqu‟ils ont théoriquement lieu uniquement aux instants de commutation ; (ii) la possibilité de fonctionner a des fréquences très élevées (supérieures à la fréquence du réseau d‟alimentation) ce qui permet une réduction considérable du poids et du volume. Les convertisseurs à résonance sont des systèmes à structure variable, de ce fait, leur comportement est fortement non linéaire ce qui complique relativement leur modélisation, analyse et commande,

Dans ce travail, on s‟intéresse aux problèmes de commande et d‟observation d‟une classe de convertisseurs séries résonants (SRC) de type (Fig. 1). Ces convertisseurs sont constitués d‟un onduleur de tension alimentant un circuit oscillant (LC) en série avec un redresseur. Si le modèle de connaissance est tout à fait convenable pour décrire le fonctionnement du système il est, du fait de sa complexité, loin d‟être approprié à la synthèse d‟observateurs et de régulateurs. Par conséquent, des versions simplifiées, mais assez précises, en ont été proposées dans la littérature. La version retenue dans ce travail est celle qui découle d‟un

développement harmonique au premier ordre du modèle de connaissance.

Le problème de commande des convertisseurs résonants a fait l‟objet de nombreuses études, allant des plus simples (utilisant des PID) aux plus évoluées (tirant profit d‟outils avancés de l‟automatique). Ainsi, a-t-on proposé une commande optimale dans [1], une commande par mode glissant dans [2], une commande plate dans [3] et une commande dissipative [4]. Cependant, ces contributions s‟appuient sur l‟hypothèse que la charge du convertisseur est invariante et connue, ce qui n‟est généralement pas le cas.

Dans ce papier, nous développerons un schéma de commande adaptatif à retour de sortie pour réguler la tension de sortie d‟un convertisseur SRC tout en préservant la stabilité en boucle fermée. Le schéma de commande comprend un observateur, conçu par la technique du grand gain, une loi de commande adaptative, élaborée par la technique du backstepping. Pour garantir la robustesse de la loi d‟adaptation paramétrique, vis-à-vis des erreurs de modélisation et d‟estimation d‟état, celle-ci est dotée d‟un mécanisme de projection évitant toute dérive des paramètres estimés. La stabilité semi globale du système de commande en boucle fermée et la poursuite parfaite de la trajectoire de référence par la tension de sortie sont formellement établies.

Le papier est organisé comme suit : la section II est consacrée à la présentation du convertisseur et du modèle ; le schéma de commande est élaboré dans les sections III et IV et analysé dans la section V; ses performances sont illustrées par simulation dans la section VI.

II. MODELISATION DU CONVERTISSEUR SRC En appliquant les lois des mailles et des nœuds au convertisseur SRC de la figure 1, on obtient le modèle suivant:

)) sgn(sin(

)

sgn(i E t

vo v dt di

L      (1)

i dt

C dv  (2)

R i v dt

C₀ dv^o   ^o (3)

où vet i représentent respectivement la tension et le courant dans le circuit résonant ; v_o désigne la tension de sortie aux bornes de la charge (ici une résistance R) ; la source alimentant le convertisseur est caractérisée par une amplitude constante E et une fréquence de découpage variable /2 ;

L

L et C désignent respectivement l‟inductance et la capacité du circuit résonant et C_ola capacité du filtrage en sortie.

Il convient de remarquer que la pulsation  est la seule variable de commande du système puisque l‟amplitude E est supposée constante.

Fig. 1. Convertisseur SRC étudié

Bien que le modèle de connaissance (1)-(3) décrive le comportement dynamique du convertisseur, il est difficilement utilisable dans la synthèse de la commande. Il s‟avère donc nécessaire d‟en déduire une version plus simple, mais assez précise, pour résoudre le problème de commande.

Dans ce travail, nous optons pour une version basée sur l‟approximation du premier harmonique du modèle de connaissance (1)-(3). L‟élaboration de cette version s‟appuie sur l‟hypothèse suivante:

Hypothèse H1. La tension v et le courant i sont approximés avec une grande précision par leurs premiers harmoniques (notés V₁ et I₁e^j respectivement).

Conformément à [5], Le modèle premier harmonique du modèle (1)-(3) est donné par les équations suivantes :

2 ] [ 2

1

0 1 1

1



 V  V e j ^E

L I j dt

dI _j











 ^ (4)

1 1

1 1

I C V j dt

dV    (5)

o o o

RC I V abs C dt

dV  4 ( )

1

 0 (6)

Par opposition au modèle (1)-(3), le modèle (4)-(6) est affine en la commande. Cependant, ce dernier implique des états complexes. On décompose alors ces états en parties réelles et imaginaires :

2 1

1 x jx

I   , V₁x₃ jx₄, V_o x₅ (7) En substituant ces expressions dans (4)-(6), on obtient le modèle harmonique suivant :

2 2 2 1 5 1 3 2 1

x x

x L x 2 L u x x x







 

 (8)

L E 2 x x

x L x 2 L u x x x

2 2 2 1 2 5 4 1

2 ^{  }  _ ^ 

 (9)

C u x x

x₃ ₄  ¹ (10)

C u x x

x₄  ₃  ² (11)

 _o C_o 

x x x C

x₅ 4 ₁² ₂^{2 5}







 (12)

avec u^def  et  1/R. Les seules sorties accessibles à la mesure sont :

Vo

x₅ , x₁²x₂² I₁, x₃²x₄² V₁ (13) III. OBSERVATEUR A GRAND GAIN

Dans [6], un observateur non linéaire à grand gain, robuste vis-à-vis de la charge, a été développé pour estimer les états non mesurables x_i (i14) du modèle (8)-(12).

L‟observateur repose sur la transformation d‟état suivante :

8

:IR5 IR

 (14)

T

T z z z z z z z z z

x x x x x

x[ _{1 2 3 4 5}]  [ _{1 2 3 4 5 6 7 8}] (15)

2 2 2 1

1 x x

z   ; z₂ x₃²x₄² ; z₃  x₁x₃x₂x₄ (16)

2

4 x

z  ; z₅ x₄; z₆ x₁; z₇  x₃; z₈ x₅ (17) Par manque d‟espace, les équations décrivant le système (8)- (12) dans les nouvelles coordonnées z_i ne sont pas présentées ici. En s‟appuyant sur les équations transformées, on a élaboré dans [6] l‟observateur suivant :

ˆ ) ( ˆ 4 ˆ 2 2 ˆ

ˆ ˆ _{1 1}

1 5 4

1 2 3

1 z z

z L

z E L x z L

z  z     





 (18a)

ˆ ) ( ˆ 4

ˆ ˆ _{2 2}

2 3

2 z z

z C

z^  z    (18b)

ˆ ) ˆ ( 2 6

ˆ 2ˆ ˆ

ˆ ˆ ^{5 2} _{2 2 2}

1 5 3 2 1 2 2

3 Cz z z

L Ez z L

x z C z L

z z      



 (18c)



 











 (ˆ )

2 6 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2

ˆ

ˆ ^{2 1} _{1 1}

1 4 5 5 6

4 z z

E z L L

E z L

z x L u z z

z 

 







 

 (ˆ )

2 ˆ

2 2

2 z z

E z C

(18d) ˆ )

( 2

ˆ 4

ˆ ˆ

ˆ_{5 7} ^{4 3 2} z₂ z₂

E z LC C

u z z

z     

 (18e)



 









 (ˆ )

2 6 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ

ˆ ^{3 1} _{1 1}

1 6 5 7 4

6 z z

u E

z L L

E z L

z x L u z z

z 

 





 

 ˆ (ˆ )

2 2

2 z z

Eu z C

(18f)











 

 







u z C L E

z z u

z C L E

z z C

u z z

z     

ˆ 2 ˆ

ˆ ) ( 3 ˆ 2 ˆ

ˆ ) ˆ (

ˆ ˆ

1 2

1 1 2

2 4 2

6 5 7

 (18g)

2 2 2

1 2

4 ( ˆ )

1 ˆ

ˆ 9

z C L z

L  

   (18h)

où  désigne un paramètre de synthèse. L‟observateur ci- dessus a fait l‟objet d‟une analyse de la convergence basée sur la fonction de Lyapunov suivante [6]:

z S z z

V_ob(~)~^T ^T_{ 1}_~ (19)

où ~z décrit l‟erreur d‟estimation définit par : z

z

z ˆ

~  (20)

i v

vo

t E



et _^1la matrice diagonale bloc suivante:

] [ _{2 2 22} ² _{2 2} ³ _{2 2}

1









 

_ diag I I  I  I (21)

Dans (21),I_22 est la matrice unité d‟ordre 2 etS₁ est la matrice symétrique définie positive solution de l‟équation algébrique de Lyapunov suivante :

0 C C A S S A

S₁ ^T ₁ ₁  ^T  (22)

avec



















0 0 0 0

I 0 0 0

0 I 0 0

0 0 I 0 A

2 2 2

;C 



I_220_220_220_22



(23)

Il convient de souligner que le modèle du système exprimé dans les coordonnées z_i se confond avec (18a-g) si l‟on pose

0

 dans ce dernier. Le résultat suivant a été démontré dans [6].

Théorème 1. Considérons le système (1)-(3), défini dans les coordonnées z, soumis à l’hypothèse H1. Supposons que l’état z soit borné auquel cas les non-linéarités du système deviennent Lipshitziennes. Alors, la dérivée de V_ob(z~) par rapport au temps satisfait l’inégalité :

ob

ob l V

V^ ( ) ,

où l est une constante qui dépend des coefficients de Liptshitz des non-linéarités du modèle en z. Il s’ensuit que l’erreur d’estimation ~z  zzˆ converge exponentiellement vers zéro, quel que soit l’état initial bornézˆ(0).

IV. SYNTHESE DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Dans ce paragraphe, nous visons l‟élaboration d‟un régulateur à retour de sortie capable de forcer la tension de sortie

8

5 z

x  à suivre parfaitement sa trajectoire de référence, notée x_5ref , tout en préservant la stabilité en boucle fermée.

Comme la résistance de charge R est inconnue et peut subir des variations pendant le fonctionnement, le régulateur sera doté d‟une capacité d‟adaptation permettant une estimation en ligne du paramètre inconnu  1/R. Le paramètre estimé et l‟erreur d‟estimation sont notés respectivement ^ˆ et





^~   ^ˆ. En outre, étant donné que les variables d‟état dans le modèle de base ne sont pas toutes mesurables, la synthèse du régulateur reposera sur le modèle observé (18a-h). La technique de synthèse utilisée est celle dite du backstepping [7]. Dans le cas présent, elle se décline en trois étapes:

Etape 1 : introduisons l‟erreur suivante

ref

ref z x

x x

e₁  ₅  ₅  ₈ ₅ (24)

Où x_5ref désigne la tension de référence supposée constante.

La dynamique de e₁ s‟obtient en dérivons (24) :

 _o C_o z x C

e₁ 4 ₁ ⁵





 (25)

Dans le but de stabiliser le système (25), prenons comme fonction de Lyapunov

2 2

1 1

1

~ 2

1 2 ) 1 ,~

( 

  e   e

V_c (26)

où  0 est une constante positive de synthèse appelé gain d‟adaptation.

La dérivée de V_c1 le long de la trajectoire ~) , (e₁  est ˆ )

(

~ ˆ)

( 4 _{1 1 1 1}

1

1 z w we

C e V

o

c  



 

 ^{  }

 

 (27)

où la première fonction de régression est définie comme étant :

Co

w₁  x⁵ (28)

À partir de (27), il est clair qu‟on peut éliminer le terme ^~de V1 en adoptant la loi ^ˆ₁

avec₁w₁e₁. Dans ce cas e₁ convergera vers zéro si l‟on prend ⁴ ₁ ₁

C_o ^{z } et on choisit la fonction stabilisante ₁comme suit:



₁ c₁e₁w₁^ˆ (29)

où c₁0 est un paramètre de synthèse .

Puisque 4z₁/C_o n‟est pas notre commande effective, on ne peut pas prendre ^ˆ₁

comme loi d‟adaptation des paramètres. Néanmoins, nous retenons ₁ comme notre première fonction de réglage et par conséquent le terme en

^~ dansV₁ subsistera. Introduisons la seconde erreur :

1 1 2

4 

 ^

 z

C e

o

(30) En reportant (30) dans (25) puis dans (27), il vient:

^~

1 2 1 1

1 ce e w

e    (31)

) ˆ

~(

1 2 1 2 1 1

1 

 





 ce ee  

V_c (32)

Ainsi se termine la première étape.

Etape 2 : l‟objectif est désormais de stabiliser asymptotiquement le système ~)

, ,

(e₁ e₂  . Pour cela la dynamique de e₂est déterminée en dérivons (30) puis en utilisant (16), (17),(24), (25) et (29). Ce faisant on obtient:







 









 





 



4 ˆ 8 ˆ

4

8 ₅

2 1 5

1 3

1 2

4 2

o o o o

o o C

z x C LC C

x z LC

z z

LC z e E











 









 ( ) ^ˆ ^~ ^ˆ

2 5 1 1 1

2 1 1 1

Co

w x c w

e e c

c 

(33) Puisque les états z_i (i3,4) ne sont pas accessibles, ils sont alors remplacés dans (33) par leur estimés données par (18c)- (18d). On obtient alors:











 









 





 



4 ˆ 8 ˆ

ˆ ˆ 4

8 ₅

2 1 5

1 3

1 2

4 2

o o o o

o o C

x z C LC C

x z LC

z z

LC z e E

_^









 









 ( ) ^ˆ ^~ ^ˆ

2 5 1 1 1

2 1 1 1

Co

w x c w

e e c

c 

1 3

1 4 2

4 ~ 8 ~

z z LC z z LC

E

o  o

 ^

 (34)

Où ^~z₃et ^~z₄ sont respectivement les erreurs d‟estimation de z3etz₄. Introduisons la troisième erreur:

2 1 2

4 3

8 ˆ

 ^





z LC

z e E

o

(35) Alors (34) peut s‟écrire de la manière suivante:

~ )

~ , , ˆ (

~

4 3 1 1 1 2 2 2 3

2 e w w z z z

e       

 (36)

Où la deuxième fonction de régression est donnée par :

^ˆ

2 5 1 1 2

Co

w x c

w   (37)

et

) 8 (

4 ˆ

2 1 1 2 1

5 3 1

2 c ce e

LC z x

z

LC_{o o}











  



4 ˆ)

(

ˆ 5

1 





o o

o C

z x C C



 (38)

1 3

1 4 4 2

3 1 1

4 ~ 8 ~

~ )

~, , (

z z LC z z LC z E

z z

o

o 

   (39)

Notons que le terme perturbateur ₁(z₁,~z₃,~z₄) s‟annule exponentiellement avec ~₃,^~₄

z

z . Considérons la fonction de lyapunov augmentée suivante :

2 2 1

1 2

1

2 2

) 1 ,~ (

~) , ,

(e e V e e

V_c   _c   (40)

sa dérivée le long de la trajectoire ~) , ,

(e₁ e₂  est:

ˆ)

( _{1 3 2 2 1}

2 2 1 1

2   ^

 ce e e e w

V_c       

_{1 2 2} ) _{2 1}

ˆ

~(

 

 

 e w  e





(41) Le terme en ^~ dans V_c2 Peut être annulée de moyennant la loi d‟adaptation ^ˆ₂

, avec :

 











 





2 1 2 1 2 2 1

2 e

e w w

 e



 (42)

Si 8E zˆ₄/(²LC_oz₁) était la commande effective dans (34), et ₁était nul, on aurait V_c2 c₁e₁²c₂e₂² en adoptant la loi d‟adaptation (42) et en choisissant :

2 1 2 2 2 1

2  

 e  c e w (43)

Puisque 8E zˆ₄ /(²LC_oz₁) est juste une commande virtuelle, la loi d‟adaptation précédente n‟est pas suffisante.

Néanmoins, nous retenons ₂ comme seconde fonction de réglage, alors il vient de (41) que :

3 2 2

2 1 2 2 2 2 2 1 1

2 )

ˆ

~( ˆ)

( e e

w e e c e c

V_c        



 







 



e₂₁(z₁,~z₃,~z₄) (44) Au regard de (31),(36) et (43); le système (e₁,e₂) devient :















 





























 













ˆ) (

0 1

1

2 1 3 2 1

2 1

2 1



 ^





w e e e c c e

e

























~ )

~ , , (

~ 0

4 3 1 1 2

1

z z z w

w

  (45)

Etape 3 : Examinons la dérivée de e₃



2 .

1 4

3 2 ˆ )

8 (

 ^

  

z z LC e E

o

(46) On obtient à partir de (16) et (18d):



3 1 2 4 3 4

1 4 3 2 1 1 1 6 .

1

4 ˆ ( , ,ˆ ) ~ ˆ ~ 2 ˆ

ˆ

z z z E Lz z z z z z u z z z

z     (47)

avec













  

 



  



 ₄

1 5

1 3

1 4

1 4 5 5

1 ˆ 2 ˆ ˆ 2 2 ˆ

2 ˆ

z Lz

E L x Lz

z z z L E Lz

z x L z







 



 

 



 

 (ˆ )

2 ) ˆ ˆ ( 2

6 ² ˆ¹ _{1 1} ² z₂ z₂

E z z C z E

z

L 

 (48)

Et à partir de (43) :

)]

(

[ _{1 2 1 11 1 1 2 2 2 2}

2 w w w e we w e w e

      



e₁₂c₂e₂ (49) À la lumière de (28), (38) et (45), les dérivées de

2 1 2 1,e ,w ,

e sont données par les équations suivantes:

^~

1 10

1 e w

e   (50)

~ (.) ˆ

1 2 1 20

2e w w 

e 

 (51)

^~

1 50 1

o

o C

w C

w  x  (52)

Co

a x a z z

a 







 ˆ

~ )

( _{10 10 1 5 2}

0

2   

1 3 2 1 1 1

4ˆ ) (

z LC e z e c c

 o





  



 (53)

Pour alléger la présentation du papier, les expressions exactes des quantités (i.e.e₁₀,e₂₀, x₅₀, z₁₀, ~z₁₀, a₀, a₁ et a₂) sont placées en annexe .

Remplaçons (47) et (49) dans (46), on obtient:

~) , , ˆ (

) ~ ˆ , ( 8 ˆ

3 ..

1 : 2 3 3 2

1 2

6

3 u z z w g e z z

z LC

z

e E _i

o







 ^ ^{  }

 

 (54)

où w₃ désigne la troisième fonction de régression définie par:

2 2 1 2 1 2 1 2 1

3 (1 c w ) (c c w w )w

w      

_{2 1 1 1 2 1} ) ₁) ₁

ˆ (

( C a w

C c e w e

w _o

o









 



 (55)

et

10 2 1 2 1 2 1

2 8 (1 )

e w c LC

E

o



 

    

_{3 1 2 1 2 20}

1 10

0 4 ˆ ( )

e w w c c z z LC z

a

o

 ^{  }



 

) )

ˆ (

( _{2 1 1 1 2 1 1}

50 o

o o

C a C c e w e w x

C









 

 

(56) )

( )

( ²

2 1 2 2 1 2 1 1 3

o

o C

e w C a w w c c w

g      (57)

10 0 1 2 1 2 3 1

1 2 4 3 4

1 4 2 3

2

) ~ (

) 2 ˆ ˆ ~ (~

8 c c ww a z

Lz z z E Lz z z LC

E

o













  



  (58)