K Publié dans les Annales des Concours 1/20

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Centrale Maths 2 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Antoine Sihrener (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur la décomposition polaire de matrices : pour toute matrice inver- sible A, il existe une unique matrice orthogonale O et une unique matrice symétrique définie positive S telles que A = OS.

• La première partie se concentre sur les résultats théoriques autour de la décom- position polaire. Très complète, elle mêle questions de cours, calculs pratiques sur un exemple et démonstrations substantielles demandant une grande part d’initiative personnelle. On y trouve à la fois de l’algèbre linéaire et de la to- pologie. Cette partie n’est pas de tout repos !

• La deuxième partie propose deux applications de la décomposition polaire.

L’une consiste à montrer que deux matrices réelles sont orthogonalement sem- blables lorsqu’elles sont semblables dans C via une matrice complexe U vérifiant U

U = I

. L’autre invite à établir une condition nécessaire et suffisante pour qu’un système matriciel possède une solution dans GL

( R ).

• La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle consiste à déter- miner pour tout n ∈ N

les éléments propres de la matrice carrée de taille n

A

=



















2 −1 0 . . . 0

−1 2 −1 . .. ...

0 −1 2 . .. 0 .. . . .. ... ... −1

0 . . . 0 −1 2



















Elle exige beaucoup de rigueur dans les calculs et une bonne aisance avec les formules de trigonométrie.

• La quatrième partie porte sur l’étude de

M

= sup {Tr (AO) | O ∈ O(n)}

où O(n) désigne le groupe orthogonal et A une matrice carrée d’ordre n.

On établit d’abord une formule générale pour M

, puis on traite le cas par- ticulier où A est égale à A

à un coefficient de la matrice près. Il est nécessaire d’avoir les idées claires à ce stade du sujet afin d’adapter efficacement les tech- niques employées au cours de la partie III. La dernière question demande de trouver un équivalent de M

, question très longue et technique qui peut être traitée indépendamment de tout le reste.

Ce problème couvre un très large spectre du programme d’algèbre linéaire et dé- borde même sur le programme d’analyse (topologie, équivalents de suites). Très long, il offre de nombreuses possibilités pour rebondir en cas de blocage.

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Indications

Partie I

I.A.1 Raisonner par double implication en se ramenant à des calculs matriciels : si X et Y sont les vecteurs colonnes respectifs de deux vecteurs x et y de R

dans une base orthonormée, alors hx | yi =

X Y. Utiliser le théorème spec- tral pour le sens indirect.

I.B.1 Remarquer que l’endomorphisme induit par v sur Ker (u − λId) est diago- nalisable et ne possède qu’une seule valeur propre.

I.B.2 Définir v sur une décomposition de R

en sous-espaces propres de u.

I.B.3 Choisir un polynôme interpolateur de Lagrange.

I.C.2 Raisonner par analyse/synthèse en construisant S et O à partir de A.

Cette question utilise les résultats des trois questions précédentes.

I.C.3 Diagonaliser

A A pour trouver une matrice S telle que S

=

A A.

I.D.1 Montrer que O(n) est un fermé borné de M

( R ). Se rappeler que pour une matrice orthogonale M,

M M = I

et tous ses coefficients sont inférieurs à 1 en valeur absolue.

I.D.2 Pour une matrice M ∈ S

( R ),

X MX > 0 pour tout vecteur X. Écrire alors S

( R ) comme une intersection quelconque de fermés de M

( R ).

I.D.3 Pour une matrice M, considérer la suite (M − (1/p)I

)

.

I.D.4 Considérer une suite (A

)

= (O

S

)

avec O

∈ O(n) et S

∈ S

( R ) pour tout k ∈ N . Utiliser un critère de compacité pour trouver O, puis exhiber S.

I.E Avec les mêmes techniques que celles employées au cours de la question I.D.4, utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité pour montrer que ϕ

est continue.

Partie II

II.A.1 Passer à la conjuguée puis transposer la relation A = UBU

. II.A.2.a Considérer la fonction z 7→ det(X + zY) définie sur C .

II.A.2.b Identifier partie réelle et partie imaginaire dans la relation A = UBU

. II.A.2.c Remplacer i par µ.

II.A.3.a La relation BS

= S

B s’obtient par calcul à partir de AP = PB. Pour la seconde égalité, utiliser la question I.B.3.

II.B.1 Prendre un vecteur propre X pour

A A dans le système (∗).

II.B.2.b Utiliser la première ligne du système (∗).

II.B.2.c Utiliser la seconde ligne du système (∗).

Partie III

III.B Initialiser pour p = 1 et p = 2 puis effectuer une récurrence, les formules trigonométriques seront utiles.

III.C Déterminer p racines distinctes du polynôme P

à partir des solutions de l’équation sin((p + 1)θ) = 0 sur ] 0 ; π [.

III.D Trouver une formule de récurrence sur les coordonnées d’un vecteur propre.

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Partie IV

IV.A Utiliser le théorème de représentation des formes linéaires à l’aide d’un pro- duit scalaire dans un espace euclidien.

IV.B.1 L’image d’un compact par une fonction continue est un compact.

IV.B.3 Utiliser la décomposition polaire A = OS, diagonaliser S et permuter les matrices dans la trace grâce à la propriété Tr AB = Tr BA pour toutes matrices A et B de M

( R ).

IV.B.4 Majorer Tr DΩ pour tout Ω ∈ O(n) en utilisant que tous les coefficients de Ω sont inférieurs ou égaux à 1.

IV.C.1 Calculer formellement Tr AM.

IV.C.2 Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss.

IV.C.3 Calculer A

(A

) colonne par colonne et l’exprimer en fonction de la ma- trice A

de la partie III. En déduire son polynôme caractéristique à partir de celui de A

et trouver ses racines avec la même méthode qu’aux ques- tions III.B et III.C.

IV.C.4 Dans la formule de la question IV.B.4, µ

, . . . , µ

sont les inverses des valeurs propres obtenues à la question IV.C.3.

IV.C.5 Introduire la fonction f définie par f (θ) = 1/(2 cos θ) pour θ ∈ [ 0 ; π/2 [ et comparer la somme M

avec une intégrale I

de f :

0 6 M

− 2n + 1

π I

6 u

avec u

à déterminer. Calculer I

à l’aide d’une règle de Bioche pour pouvoir en trouver un équivalent.

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I. Décomposition polaire d’un endomorphisme de R

Ce sujet débute par une question de cours ultra classique qu’il ne faut surtout pas négliger !

I.A.1 Considérons R

muni du produit scalaire canonique h· | ·i défini par h(x

, x

, . . . , x

) | (y

, y

, . . . , y

)i =

n

P

k=1

x

y

Rappelons que si B est une base orthonormée de R

, alors hx | yi =

X Y où X et Y sont respectivement les matrices colonnes des vecteurs x et y de R

dans la base B . Supposons que u est autoadjoint positif. Notons M la matrice de u dans une base orthonormée B de R

.

• Puisque u est autoadjoint, hx | u(y)i = hu(x) | yi pour tous x, y ∈ R

. Notons X = Mat

x et Y = Mat

y. Ainsi,

hx | u(y)i =

X MY et hu(x) | yi =

(MX) Y =

X

M Y

En notant (E

)

la base canonique de l’espace des matrices colonnes de taille n, on obtient en particulier que

∀ i, j ∈ {1, . . . , n}

E

ME

=

E

M E

d’où ∀ i, j ∈ {1, . . . , n} M

=

M

ij

donc

M = M, c’est-à-dire que M est symétrique.

• Puisque u est défini positif, hx | u(x)i > 0 pour tout x ∈ R

\ {0}. Soit x un vecteur propre de u pour la valeur propre λ. Alors

0 < hx | u(x)i = hx | λ xi = λ hx | xi = λ kxk

d’où λ > 0 pour toute valeur propre λ de u, donc de M.

Réciproquement, supposons que la matrice de u dans toute base orthonormée de R

soit un élément de S

( R ). Notons M = Mat

u pour une base orthonormée B de R

.

• Comme M est symétrique, on obtient pour tous vecteurs x et y de R

hu(x) | yi =

(MX) Y =

X

M Y =

X MY = hx | u(y)i avec X = Mat

x et Y = Mat

y donc u est autoadjoint.

• Puisque M est symétrique réelle, le théorème spectral assure qu’il existe une base C orthonormée de vecteurs propres c

, . . . , c

de u pour les valeurs propres λ

, . . . , λ

respectivement, strictement positives car M ∈ S

( R ). Soit x un vecteur non nul de R

. Notons

X = Mat

x =

x

· · · x

et Y = Mat

u(x) =

λ

x

· · · λ

x

Calculons hx | u(x)i =

X Y =

n

P

i=1

λ

x

>

16i6n

Min λ

kxk

Puisque toutes les valeurs propres sont strictement positives et que x est non nul, on en déduit que hx | u(x)i > 0 pour tout x 6= 0 donc u est défini positif.

L’endomorphisme u est autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n’importe quelle base orthonormée appartient à S

( R ).

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