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Submitted on 1 Jan 1957
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Diffusion des gaz au voisinage d’une bulle de cavitation
P. Suquet
To cite this version:
P. Suquet. Diffusion des gaz au voisinage d’une bulle de cavitation. J. Phys. Radium, 1957, 18 (12),
pp.676-680. �10.1051/jphysrad:019570018012067600�. �jpa-00235733�
676.
DIFFUSION DES GAZ AU VOISINAGE D’UNE BULLE DE CAVITATION Par P. SUQUET,
Laboratoire de Physique de la Faculté de Médecine.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET TOME 18, DÉCEMBRE 1957,
I. Bulle isolée dans un solvant indéfini à la concentration zéro.
-Soit p le rayon initial de la bulle. Appliquons l’équation de Fick à une sphère
de rayon r > p concentrique à la balle. Ac dési-
FIG. 1.
nant le Laplacien Ac = -k1 ()C s’écrit en coordonnées
= W dtc polaires
La concentration est solution de cette équation
pour r > p et est égale a 1 pour r p Il est évident que
Si donc nous posons
l’équation devient
Équation parabolique classique que nous inté- grerons par les méthodes symboliques.
La transformée de Laplace de la fonction
Ç
=03C8(r
---p, t) est par définition
§ étant considérée comme fonction de t.
On sait que
03C8(o) est la concentration initiale en tout point
du liquide pour r > p, donc 03C8(o)
=0.
Il en résulte
L’équation transformée est donc
Très classique équation linéaire du second ordre
dont l’intégrale générale est
,kl et K2 étant des fonctions de p seul que nous allons déterminer.
Tout d’abord e+r-p V ne peut être transformée de Laplace que si r
-p 0.
Donc, dans le cadre de nos hypothèses
Introduisons les conditions aux limites.
Pour r
=p il est clair que e = Ki(p). , .K1(p) est donc la transformée de Laplace de la
concentration à la surface de la bulle.
Supposons un instant cette concentration spatia-
lement uniforme à la surface de la bulle mais variable au cours du temps. Un artifice évident de calcul permet d’écrire
Or
et
en désignant par 0[(r- p) ; t] la fonction
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019570018012067600
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D’où
* désignant le produit de composition
C..t désignant la concentration de saturation donc
Nous pouvons maintenant calculer le gradient
On sait en effet que
En particulier le gradient à la surface de la
bulle est
II. Étude de la diffusion à " l’intérieur d’une
sphère de rayon Ro de solvant dégazé baignant dans un milieu indéfini à la concentration Co.
--Soit Ro le rayon de la sphère. Appliquons l’équation
de Fick à une sphère quelconque de rayon r
Nous prendrons une nouvelle variable d’espace R
définie par R = (Ro
-r) /Ro.
L’équation devient
Le terme entre parenthèse est égal à
Soit en posant R. c
=W
Classique équation dont la transformée de
Laplace est
Nous simplifierons l’écriture en posant
La solution générale est, on le sait
Introduisons les conditions aux limites
Pour R
=0 on a C
=F(p) puisque Ki et K2
sont fonctions de p seul
Pour R == 1
On obtient donc
Or G peut s’écrire
Or pF(p) 2013 [03C8R, t)]R=ot=0 t = 0 est l’image de la dérivée
de la concentration par rapport au temps sur la
surface de la sphère multipliée par R. Ce produit
est donc nul.
Donc
or
Nousaurons donc
Le gradient a donc pour expression
or
Donc
De même
et
On en déduit
A la surface de la sphère en particulier on a
Or
. 1
et
On peut donc négliger le terme E et, en définitive
III. Phénomènes de diffusion pour une bulle de gaz formée de façon instantanée aux dépens et à l’intérieur d’un solvant de concentration uni=
f orme Co. -, Ce cas réalise -à quelques variantes près la synthèse des deux cas précédents.
Le dégazage local instantané fournit un système
initial constitué : d’une bulle de rayon po ; d’une’
couronne sphérique de solvant dégazé de rayonRa concentrique à la bulle et dont le volume Vo = v /Co en désignant par v, le volume de la bulle.
FIG. 2.
L’équation de transfert de la concentration étant
linéaire, la solution de ce problème est la somme
des solutions établies aux chapitres 1 et II.
Nous allons, cependant, modifier un peu les notations.
Nous allons prendre pour variable spatiale la
variable R
=(r
-Po) /(Ra
-Po) pour la diffusion à partir de la bulle et la variable
(1- R) = (Ro
---r)I(Ro
-po)
=R’
pour la diffusion à partir de la sphère de rayon Ro
ce qui présente l’avantage de traiter la couronne comme un « mur » d’épaisseur 1.
,
a) DIFFUSION DANS LA COURONNE A PARTIR DE LA BULLE.
-L’équation
devient
ou encore
en posant
679 Il viendra
d’où
et comme
b) DIFFUSION DANS LA COURONNE A PARTIR DE
LA PÉRIPHÉRIE.
-L’équation
devient
ou encore
en posant
Il viendra
Soit
Le gradient à la surface de la sphère de rayon r
est donc
Les termes E pouvant être négligés.
Ce qui donne à la surface de la bulle
On retrouve bien les conclusions du chapitre 1
Cette formule générale permet de résoudre immé-
diatement le cas où la bulle du chapitre I baigne
dans un solvant à la concentration Co. Dans ce cas Ro
=Po et
On voit, en particulier, que pour Co
=Csat la
bulle est en équilibre avec le liquide puisque le gradient est nul à sa. surface,
Nous nous sommes inspiré pour conduire ces calculs des méthodes proposées par François
Trèves [1] en théorie de la chaleur.
Proposons-nous maintenant de rechercher le
temps d.e résolution d’une bulle isolée, immobile
par rapport au liquide. Il va sans dire qu’il s’agit
d’une expérience idéale strictement irréalisable.
Notre simple objet est de montrer que l’hypo-
thèse [2] selon laquelle après une phase de con-
traction adiabatique la bulle continuerait de se contracter à pression interne constante (les gaz repassant en solution) est fort hasardeuse.
Temps de résolution de la bulle, soumise à la
pression P au sein du liquide à la concentration Co
en gaz.
-Le gradient à la surface de la bulle a
pour valeur
où Csat
=03B1II (loi de Henry) en désignant par II la pression à l’intérieur de la bulle, c’est-à-dire
en désignant par 6 la tension superficielle du liquide
-Donc
Or d’après la relation de Fick
en désignant par dm la masse de gaz repassant en
solution dans l’intervalle de temps dt
Par ailleurs, V désignant le volume et M la
masse moléculaire du gaz On en déduit
Or
puisque la pression externe P est constante
Soit, toutes simplifications faites
D’où l’équation différentielle
c’est-à-dire
ce qui donne après intégration et tous calculs
auxiliaires faits pour le temps de résolution T
Supposons, pour nous placer dans le cas où la résolution est la plus rapide, Co négligeable
devant aP il vient
Si le terme de Laplace initial est.faible, c’est-à-
dire si la bulle est assez grosse on peut se contenter
des premiers termes du développement de log (1 + po P/2a) en fonction de P/2a
Soit en définitive
VD’où
Prenons le cas d’une bulle résonnante à 17 700 kilo-
cycles soustraite aux ultrasons lorsque r
=ro et
immobile par rapport au liquidé
On peut exprimer la loi de Henry sous deux
formes Soit
CI désignant la masse de gaz dissoute dans l’unité de volume de liquide.
Soit en exprimant le rapport
des masses de gaz respectivement présentes dans
l’unité de volume de liquide et de l’atmosphère
gazeuse.
Il est aisé de relier ces deux coefficients.
,
