Elliptic problems in unbounded domains: an approach in weighted Sobolev spaces

(1)

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Elliptic problems in unbounded domains: an approach in

weighted Sobolev spaces

Florian Bonzom

To cite this version:

(2)

ACADÉMIEDEBORDEAUX

THÈSE présentée à

l'Université de Pau et des Pays de l'Adour É ole Do torale des S ien es Exa tes et de leurs

Appli ations par

Florian BONZOM pour obtenirle grade de

Do teur

Dis ipline :Mathématiques Appliquées

PROBLÈMES ELLIPTIQUES EN DOMAINES NON BORNÉS : UNE APPROCHE DANS DES ESPACES DE

SOBOLEV AVEC POIDS

Soutenue le28 novembre 2008

Devant lejury omposé de

Mme Bénédi te ALZIARY,Professeur,Universitéde Toulouse 1 Mr Chérif AMROUCHE, Professeur,Universitéde Pau

Mr Thierry COLIN,Professeur,Université deBordeaux 1 Mr Mar DAMBRINE, Professeur,Université dePau

Mr Jean GIROIRE,Professeur,Université deTe hnologie deCompiègne Mme Monique MADAUNE-TORT, Professeur,Universitéde Pau

Rapporteurs

Mr Reinhard FARWIG,Professeur,Universitéde Darmstadt

Mr Jean GIROIRE,Professeur,Université deTe hnologie deCompiègne

Dire teur de thèse

Mr Chérif AMROUCHE, Professeur,Universitéde Pau

(3)

(4)

-pour toutl'amour etla joieque tu nousas apportés.

(5)

(6)

En premier lieu, je tiens à remer ier mon dire teur de thèse, le Pro-fesseur Chérif Amrou he, pour m'avoir a ompagné et onduit durant es trois années. Ses onseils et ses é lairages ont toujours été déterminants et sa onnaissan e très ri he du sujeta beau oup ontribué à l'avan ement de ette thèse.

Jevoudraiségalement remer ierlesProfesseursReinhardFarwigetJean Giroire pour m'avoir fait l'honneur de rapporter sur mon mémoire. Leurs remarques ont été très judi ieuses et m'ont ouvert des perspe tives pour l'avenir.

J'adresseaussiungrandmer iauxProfesseursBénédi teAlziary,Thierry Colin,Mar DambrineetMoniqueMadaune-Tortpouravoira eptéde par-ti iperà e jury.

Cette thèse a eu lieu au Laboratoire de Mathématiques etde leurs Ap-pli ations de Pau et je tiens à remer ier non seulement ses dire teurs Mo-hammed Amara puis Laurent Bordes pour m'y avoir a ueilli mais aussi ha un de ses membres et parti ulièrement eux ave qui j'ai eu l'o asion detravailler tant au niveau de l'enseignement quede lare her he.

Je remer ie également l'ensemblede mes ollèguesdo torants qui m'ont a ompagné au ours de es trois années. Réunis dans e grand bureau, nous avons passé quelques bon moments et l'ambian e très agréable qui y régnaitaurafortement ontribuéaubondéroulementde ettethèse.J'aiune pensée spé ialepourLena etpour ette belle amitié tisséeau ldesans.

Je suis trèsre onnaissant enversmes parentsFran isetGisèlepour leur soutientantmoralquenan ier.Leurdisponibilité,leurs en ouragementset leuramourm'auront suivitoutaulongde etempsd'étude.Jen'oubliepas, bienentendu,monfrèreSamuelpourm'avoirfaitpartagerdebonsmoments de détente entre deux théorèmes. D'ailleurs, Sam, si tu veux toujours faire lamême hose que moi plus tard, je t'orirai ave plaisir un exemplaire de e manus ritpour quetu ommen es àtravailler dessus...

J'exprime aussi mes plus sin ères remer iements à ma hère et tendre épouseLaurapour sonamour onstant etsansfaille. Vivre ette expérien e àses tésauraétéunvéritableplaisiretj'espèreque ettethèsesaura onr-merlavalidité de mesargumentsdansnosdébats physi o-mathématiques.

(7)

(8)

1 Fun tional framework 17

1.1 Notations . . . 17

1.2 WeightedSobolev spa es . . . 18

1.3 The spa es oftra es . . . 21

2 Known results 23 2.1 ThePoisson's equation . . . 23

2.2 TheLapla e's equationinan exteriordomain . . . 24

2.3 TheLapla e's equationinthehalf-spa e . . . 25

2.4 TheStokes equations in

R

n

. . . 26

2.5 The Stokes equations inthe half-spa e . . . 27

3 Mixed exterior Lapla e's problem 29 3.1 Introdu tion and preliminaries. . . 29

3.2 Case p=2 . . . 30

3.3 Case p>2 . . . 33

3.3.1 Resolutionof theharmoni problem . . . 33

3.3.2 Aninf-sup ondition . . . 37

3.3.3 Thefull problem . . . 38

3.3.4 Chara terization ofthekernel of theoperator B. . . . 40

3.3.5 Aregularityresult . . . 42

3.4 Case p<2 . . . 43

3.4.1 Case where

f = 0

and

g

1 = 0

. . . 44

3.4.2 Thegeneral problemwhen p<2. . . 47

3.4.3 Aregularityresult . . . 48

3.5 Solutions inhomogeneous spa es . . . 49

4 Exteriorproblemsinthehalf-spa efortheLapla eoperator 53 4.1 Introdu tion and preliminaries. . . 53

4.2 The problemof Diri hlet . . . 54

4.3 The problemof Neumann . . . 58

4.4 Therst mixedproblem . . . 64

(9)

5.1 Introdu tion and preliminaries. . . 79

5.2 Studyof theproblem

(S

D

)

when

p = 2

. . . 80

5.3 Study of theproblem

(S

D

)

when

p 6= 2

. . . 85

5.4 Strong solutions and regularity for theStokessystem

(S

D

)

. . 91

5.5 Very weak solutions for thehomogeneous Stokessystem . . . 95

6 A Stokes problem in a perturbed half-spa e in dimension

n ≥ 3

105 6.1 Introdu tion and preliminaries. . . 105

6.2 Case

p = 2

. . . 109

6.3 Case

p 6= 2

. . . 113

6.4 Regularity,strong solutions and very weaksolutions. . . 119

7 A Stokesproblem inan aperturedomainindimension

n ≥ 3

125 7.1 Introdu tion and preliminaries. . . 125

7.2 Case

p = 2

. . . 128

7.3 Case

p 6= 2

. . . 133

(10)

De nombreux problèmes en mathématique physique et parti ulièrement endynamiquedesuides sontmodéliséspar deséquationsauxdérivées par-tiellesdansdesdomainesnonbornés.L'étudede esproblèmespassed'abord parlarésolutiond'équationsportantsurdesopérateursdiérentielslinéaires de base. Le but de ette thèse est d'étudier les opérateurs de Lapla e et de Stokes dansdiérentes géométriesnon bornées en donnant des résultats d'existen e,d'uni ité etde régularité.

Nous onnaissons lesdomainesnonbornéslesplus lassiquesetlesplus étu-diés omme, en premier lieu, l'espa e

R

n

tout entier ou bien un domaine extérieur, i.e. le omplémentaire d'un ompa t dans

R

n

, ou en ore le demi espa esupérieur

R

n

+

.I inoussouhaitonsétudierd'autresgéométriesnon bor-nées,plusparti ulières,pourlesquellesonne onnaîtpasoupeuderésultats, à plus forte raison dans le adre fon tionnel que nous avons hoisi. Parmi elles, une géométrie mixte, i.e. un mélange de géométries lassiques (do-maine extérieuretdemi-espa e) ouen ore des géométriesoriginales omme undemi-espa e perturbé ouun aperture domain.

De plus, si nous avons opté pour des onditions aux limites non homo-gènesassez lassiques,àsavoirdetypeDiri hletouNeumann,nousregardons également,pourl'opérateurdeLapla e,le asde onditionsmixtes,i.e.ave une ondition de type Diri hlet sur une partie du bord (bornéeou non sui-vantles as)etune onditiondeNeumannsurl'autrepartie(bornéeounon), lesdeux partiesétant disjointes.

Le fait d'étudier des domaines non bornés onduit, au ontraire du as borné,àdé rirele omportement àl'innidesdonnéesetéventuellementdes solutions.Deplus, danslaplupartdes asoù nousnousplaçons,lafrontière elle-même n'est pasbornée e qui implique de devoirdénir des espa esde tra es permettant, là en ore, de dé rire le omportement à l'inni de leurs éléments.

Plusieurs adres fon tionnels ont été proposés pour résoudre es pro-blèmesendomaine non borné. Ilya parexemple le omplétéde

D(Ω)

pour la norme

L

p

du gradient ou bien en ore le sous espa e des fon tions lo a-lement

L

p

dont le gradient est

L

p

. Mais es espa es présentent plusieurs in onvénients. En eet, pour le premier, il existe, dans le as où

p ≥ n

et

Ω = R

n

, des suites de Cau hy dans

D(R

n

₎

(11)

dénitionde lanorme

L

p

loc

.

L'appro he quenous hoisissonsi i est elledesespa esdeSobolevave poids

W

m,p

α,β

(Ω)

.Ces espa essontdesextensionsdesespa esdeSobolev las-siques,munisdepoidsquipermettentde ontrlerla roissan eoula dé rois-san e desfon tions à l'inni.Ce sont desespa es qui présentent l'avantage de donner des informations sur les fon tions elles-mêmes, en plus de leurs dérivées.

Outre la des ription à l'inni des fon tions, la raison fondamentale de l'ajout des poids et don d'une généralisation des espa es de Sobolev las-siques provient des inégalités de type Poin aré. En eet, dans les espa es lassiquesetpour desdomaines non bornés, ellesne sont plus vériées. Or, es inégalités de Poin aré jouent un rle lé dans les méthodes variation-nelles permettant de résoudre des problèmes aux limites elliptiques. Il est don judi ieux d'introduire despoids qui nouspermettent de les retrouver. Le premierpoidsquel'on introduit (voir [30℄) est:

ρ = (1 + |x|

2 )

1/2

.

Il apparaît de façon naturelle dans desinégalités de Hardy qui elles-mêmes sontfondamentalespour établirles inégalitésdetypePoin aré.Notons éga-lementque,pour ertainesvaleurs ritiquesde

n

et

p

,l'introdu tiondupoids

ρ

estinsusantepour établir esinégalités. Il onvient don de rajouter un fa teurlogarithmique

lg ρ

,déni par

lg ρ = ln(2 + |x|

2 )

pour lever partiellement es restri tions. Nous pouvons remarquer i i que l'ajout des onstantes dansladénitiondes poidsa pour but dene pas mo-dier le omportement à l'origine desespa es de Sobolev ave poids. Leurs propriétéslo alessontdon lesmêmesque ellesdesespa esdeSobolev las-siques.Denombreuxauteursontétudié esespa essanspoidslogarithmique. Nouspouvons iterparexempleHanouzet[30℄,Kudrjav ev[36 ℄,Kufner[37℄, KufneretOpi [38℄ ou Avantaggiati [12℄.Par ontre, omparativement, peu d'entreeuxont étudiél'espa e ompletave poidslogarithmique. Nous pou-vonsnéanmoinsnommer Lizorkin [43℄,Leroux [40℄ etGiroire[27℄.

Nousvoudrionsmaintenantrevenirauxdiérentsproblèmesquel'on étu-die pour diverses géométries dans le adre de ette thèse. En premier lieu, nousnousintéressonsàl'opérateur debase,à savoirleLapla ienet e,dans la géométrie d'un domaine extérieur, i.e. le omplémentaire d'un domaine ompa t dans

R

n

(12)

[17℄ qui a résolu les problèmes de Diri hlet et de Neumann pour ertaines valeurs de

p

et de

n

(

n ≥ 3

et

p >

n

n − 2

) etpour ertains poids ou en ore Giroire [27℄ qui a établit des isomorphismes en dimension 2 et 3 pour un largeéventail de poids.Enn, nous itonsles travauxdeAmrou he,Girault etGiroire [7℄ que nousrappelons également dans lase tion 2.2et qui four-nissent des résultats pour des problèmes de Diri hlet etde Neumann pour toutedimension, làen ore ave unlarge éventail de poids.Dans e premier travail, nous souhaitons, en nousbasant sur [7℄, onsidérer le as où il ya à la fois une ondition aux limites de type Diri hlet et une autre de type Neumann.Nouspouvonsnoterquenous onsidéronsjusteun asparti ulier de mixité, en supposant que les surfa es où les onditions de Diri hlet et deNeumannsontdonnéessontdisjointesetqu'ilpourraitégalement être in-téressant d'étudierle adregénéral,quandilyaunefrontière ommune.I i, nousdénissonsdon deux ompa tsdisjointsnonvides

ω

0

et

ω

1

defrontière (lips hitzienne ou de lasse

C

1,1

suivant les as)

Γ

0

et

Γ

1

et nous voulons établir desrésultats d'existen e,d'uni ité et de régularitépour le problème suivantdans

Ω =

c

_(ω

0 ∪ ω

1 )

,problèmequenousappelonsproblèmemixte extérieur à deux orps :

(P)











−∆u = f

dans

Ω,

u = g

0

sur

Γ

0 ,

∂u

∂n

= g

1

sur

Γ

1 .

Dans un se ond temps, nous voulons rester dans e même type d'ap-pro he,i.e.pourdesproblèmesave des onditionsdetypeDiri hlet-Neumann mais ette fois- i,nousnevoulonsplus onsidérer deuxfrontières ompa tes maisune ompa te etune autrenon ompa te, àsavoir

R

n−1

.Pour etype de géométrie, nousregardons d'abord le premier as, où l'ona sur les deux parties de la frontière des onditions aux limites de type Diri hlet ou bien Neumann puis nous regardons les deux types de mixité, suivant le fait que la onditionde typeDiri hlet (resp.Neumann)setrouvesurlapartieborné ou non bornée de la frontière. Don , pour

ω

0

un ompa t in lus dans

R

n

+

, nousvoulons établirdesrésultatsd'existen e,d'uni ité etderégularitédans

Ω =

c

ω

0 ∩ R

n

+

domaine que l'on appelle domaine extérieur dans le demi-espa e,pour les problèmes suivants:

(P

D

) − ∆u = f

dans

Ω, u = g

0

sur

Γ

0 , u = g

1

sur

R

n−1

_,

(P

N

) − ∆u = f

dans

Ω,

∂u

∂n

= g

0

sur

Γ

0 ,

∂u

∂n

= g

1

sur

R

n−1

_,

(P

M

1 ) − ∆u = f

dans

Ω, u = g

0

sur

Γ

0 ,

(13)

tion d'undomaine extérieur lassique etdu demi-espa e. La di ulté vient i i du fait que lafrontière n'est pas bornée. Il onvient don de dénir des espa esdetra eave poidspermettant dedé rirele omportementdes fon -tions à l'inni. Nous pouvons iter à e sujet les travaux de Hanouzet [30 ℄ puis eux d'Amrou he etNe£asová[8℄ qui ont étendu ette première déni-tionauxespa esave poidslogarithmiques.Nousrenvoyonsauxrésultatsde Boulmezaoud [15 ℄,Maz'ya, Plamanevskiiet Stupyalis[44℄, SimaderetSohr [49℄ et don Amrou he etNe£asová [8 ℄ (présentés dans la se tion 2.3) pour l'équationde Lapla e dans ledemi-espa e ave onditionde Diri hlet,ainsi qu'auxrésultatsd'Amrou he [4 ℄ pour lemême problèmeave une ondition deNeumann.

Après s'être intéressés au Lapla ien, nous voulons étudier l'opérateur de Stokes en onsidérant toujours des géométries non bornées, possédant également desfrontièresnon bornées.Nous nousintéressonsen premierlieu aumêmedomainequepré édemment,àsavoirundomaineextérieurdans le demi-espa e et nous étudions le problème suivant, ave des onditons auxlimitesde type Diri hlet :

(S

D

)











−∆u + ∇π = f

in

Ω,

div

u

= h

in

Ω,

u

= g

0

on

Γ

0 ,

u

= g

1

on

R

n−1

_.

I i en ore, ette géométrie, mélange de domaine extérieur lassique et de demi-espa e,estasseznouvellemaisnouspouvonsrappelerdesrésultats pré- édemment établis pour les deux géométries plus lassiques. Tout d'abord, pour un domaine extérieur, itons quelques travaux dans un autre adre fon tionnel que elui desespa es de Sobolev ave poids, euxde Kozonoet Sohr[34℄et[35℄et euxdeGaldietSimader[24℄quiétablissentdesrésultats d'existen eetd'uni ité pourun hampde vitessedansle omplété de

D(Ω)

pour lanorme

L

p

dugradient etpour un hampde pressiondans

L

p

.En e qui on erne les espa esde Sobolev ave poids,nousrenvoyons àGirault et Sequeira [26℄ (dansles as

n = 2

ou

n = 3

,

p = 2

et

α = 0

),à Spe oviuset Neugebauer([52 ℄quand

n ≥ 3

et

n

p

+ α /

∈ Z

pour dessolutionsfortes et[53 ℄ quand

n = 2

et

2

(14)

triesnonbornéesave frontièrenonbornée,pourl'opérateurdeStokes.Nous nous on entronssurdeuxdomainesparti uliersquel'onpeutretrouverdans la littérature. Le premier est un demi-espa e perturbé i.e. un domaine ob-tenuparuneperturbation lo aledudemi-espa e. Lese ondestunaperture domain i.e.deux demi-espa es séparéspar un mur d'épaisseur

d > 0

et re-liéspar untrou. Pour es domaines, nousvoulonsdon établir desrésultats d'existen e,d'uni ité etde régularité pour leproblème de Stokessuivant:

(S)







−∆u + ∇π = f

dans

Ω,

div

u

= h

dans

Ω,

u

= g

sur

∂Ω.

Nousremarquonsi i, ommel'amontréHeywood([31 ℄et[32 ℄),l'importan e, dansle asde l'aperture domain, de la onditon deux

Z

M

u

· n dσ,

en tant que ondition supplémentaire an d'obtenir l'uni ité de lasolution. Notonsque

M

estunehypersurfa eauniveaudutrouquisépare

Ω

enun do-maine supérieur

Ω

+

etun domaine inférieur

Ω

−

.Nousrenvoyonségalement auxtravauxdeBor hersetPile kas[14℄,Galdi[23℄,Ladyzhenskayaet Solon-nikov[39℄,Solonnikov[50 ℄,SolonnikovetPile kas[51℄etFarwigetSohr[22℄.

Cetravail de thèseest dé oupéen sept hapitres. Les hapitres3,4 et5 ont ha un donnélieu àlaréda tiond'unarti lesoumis,àparaîtreouparu. Undernierarti le en ours deréda tion regroupe les résultatsdes hapitres 6et7.

Dansle hapitre 1,nousdonnonslesnotationsprin ipalesquel'onutilise dans e mémoire de thèse. Nous y dénissons en parti ulier les espa es de Sobolev ave poids dela manièrela plusgénérale possible, 'està direave un très large éventail d'exposants sur le poids

ρ

ainsi que sur le poids lo-garithmique.Ce iétant,danslapratiquenousnous ontenterons de donner desrésultatsdans les espa esà poids les plusbasiques (exposant -1, 0 ou1 sur

ρ

,exposant0sur

lg ρ

).Nouspouvonsnoteri iqu'uneextensionpossible de etravailpourraitêtrededonnerdesrésultatssimilairesdanslesespa es plusgénéraux.Biensûr, elaentraîneradesquestionssupplémentairessurles noyauxdesproblèmesainsiquesurles onditionsde ompatibilité.Nous rap-pelons aussiles résultats onnus des inégalitésfondamentalesde type Poin- aré(Theorème1.2.1)dansdiérentes géométries. Nousdonnonségalement dans e hapitre les dénitions générales des espa es de tra es ave poids. Néanmoins,nouslesénonçonsi iuniquementdansle asdel'espa e

R

n−1

(15)

Enn,nousdonnonsunrésultatfondamentalderelèvementauLemme1.3.1.

Dans lese ond hapitre, nousnous ontentons de rappeler desrésultats déjà établis dans d'autres géométries plus lassiques et dans le adre des espa esdeSobolevave poids.Nousrappelonstoutd'abord ertains isomor-phismes pour l'équation de Poisson puis desrésultats pour unproblème de Lapla e en domaine extérieurainsi quedansle demi-espa eave des ondi-tions aux limites de type Diri hlet ou Neumann. Ensuite, nous énonçons également desrésultats pour leproblème de Stokes dans

R

n

puis dans

R

n

+

. Nouspré isons i i que nousne rappelons queles résultatssur l'existen eet l'uni itéde solutions généralisées etnous renvoyons à esdiérents travaux pour une étudeplus omplètede esproblèmes.

Lasuitedutravailestlevéritable ontenude ettethèse,àsavoirles nou-veaux résultats qui sont établis i i. Tout d'abord, dans le hapitre 3, nous nous onsa rons à l'étude du problème mixte extérieur à deux orps déni pré édemment.Nous étudionstout d'abord le as hilbertien en démontrant entreautresuneinégalité detypePoin aré.Puisnousregardonsle as

p 6= 2

en résolvant tout d'abord, lorsque

p > 2

, le problème harmonique puis en établissant une ondition inf-sup. Ensuite, nousdonnons une ara térisa-tion du noyau et par dualité, nous étudions le as

p < 2

.Nous établissons également des résultats de régularité etdans la dernière partie, nous abor-donsbrièvement laquestion dessolutions homogènes.

Le hapitre 4estdévoué àlarésolution desquatreproblèmes deLapla e ités i-dessus dans le omplémentaire d'un ompa t dans le demi-espa e. Chaquese tionde e hapitreest onsa réeàl'étuded'unde esquatre pro-blèmes. Nous y donnons des résultats d'existen e et d'uni ité de solutions faiblesetde solutions fortes.

(16)

Pour terminer, dans les hapitres 6 et 7, onsa rés respe tivement au demi-espa e perturbé et à l'aperture domain, nous essayons de suivre le mêmes hémadedémonstrationqu'au hapitre 5and'obtenirdesrésultats similaires.Néanmoins,etparti ulièrementdansle asdel'aperturedomain, nousdevonsadapternosdémonstrationsàlaparti ularitédudomaineet no-tamment àl'ajout de la ondition deux.

(17)

(18)

Fun tional framework

1.1 Notations Let

Ω

be an open set of

R

n

with

n ≥ 2

and

Γ

its boundary. In all the sequel,

Ω

issupposedof lass

C

1,1

ex eptinsome aseswherewewillpre ise that the boundary an be only Lips hitz- ontinuous. For any real number

p ∈ ]1, +∞[

,wedenote by

p

′

thedual exponent of

p

:

1 p

+

1 p

′

= 1.

Let

x

= (x

1 , . . . , x

n

)

be a typi al point of

R

n

and let

r = |x| = (x

2

1 + · · · +

x

2 _n

)

1/2

denote itsdistan e tothe origin. We dene theupper half-spa eby

R

n

₊

= {x ∈ R

n

, x

n

> 0}.

We shallusetwo basi weights:

ρ = (1 + r

2 )

1/2

and

lg ρ = ln(2 + r

2 ₎

For amulti index

λ = (λ

1 , . . . , λ

n

) ∈ N

n

we set

D

λ

=

∂

|λ|

∂x

λ

1

1 . . . ∂x

λ

n

with

|λ| = λ

1 + · · · + λ

n

. For any integer

q

we denote by

P

q

the spa e of polynomials in

n

variables, smaller than or equal to

q

, withthe onvention that

P

q

isredu ed to

{0}

when

q

is negative.

For

E

and

F

two spa es su h that

E ⊂ F

,we dene

F

′

⊥ E = {f ∈ F

′

, ∀x ∈ E, < f, x >

F

′

_,F

= 0}.

For anyspa e

E

,wedenote by

E

the spa e

E

n

(19)

We will denote by

C

a positive and real onstant whi h may vary from line toline.

For

R > 0

,we will denoteby

B

R

anopen ballof radius

R

.

We remind here the denitionof lassi al Sobolev spa es: for any non-negative integers

n

and

m

andreal numbers

p > 1

setting:

W

m,p

(Ω) = {u ∈ D

′

(Ω); ∀λ ∈ N

n

: 0 ≤ |λ| ≤ m, D

λ

u ∈ L

p

(Ω)}.

We equippedthis spa e withitsnatural norm. When

p = 2

,we note

H

m

(Ω) = W

m,2

(Ω),

then

H

1

2 (Γ)

is the spa e of tra esof fun tions in

H

1 _(Ω)

and

H

1

0 (Ω)

is the subspa e offun tionsin

H

1 _(Ω)

whose thetra e isequal to zero on

Γ

. Finally,we dene the following spa e:

L

p

_loc

(Ω) = {u,

for any ompa t

K ⊂ Ω, u ∈ L

p

_(K)}.

1.2 Weighted Sobolev spa es

For any nonnegative integers

n

and

m

and real numbers

p > 1

,

α

and

β

, setting

k = k(m, n, p, α) =











−1

if

n

p

+ α /

∈ {1, . . . , m},

m −

n

p

− α

if

n

p

+ α ∈ {1, . . . , m},

we dene the following spa e:

W

m,p

_α,β

(Ω) = {u ∈ D

′

(Ω);

∀λ ∈ N

n

: 0 6 |λ| 6 k, ρ

α−m+|λ|

(lg ρ)

β−1

D

λ

u ∈ L

p

(Ω);

∀λ ∈ N

n

: k + 1 6 |λ| 6 m, ρ

α−m+|λ|

(lg ρ)

β

D

λ

u ∈ L

p

(Ω)}.

Itis areexive Bana h spa e equipped withits natural norm:

(20)

|u|

_W

m,p

α,β

(Ω)

= (

X

|λ|=m

kρ

α

(lg ρ)

β

D

λ

uk

p

_L

p

_(Ω)

)

1/p

.

When

β = 0

, we agreeto drop the index

β

and denotesimply thespa eby

W

α

m,p

(Ω)

.

The onstants 1 and 2 in

ρ(r)

and

lg r

are added so that they do not modifythebehaviourofthefun tionsneartheorigin,in aseitbelongsto

Ω

. Thus,thefun tionsof

W

m,p

α,β

(Ω)

belongto

W

m,p

_(O)

onallboundeddomains

O

ontained in

Ω

. Now, wedene the spa e

◦

W

m,p

_α,β

(Ω) =

D(Ω)

k·k

W

m,p

_α,β

(Ω)

,

itis hara terized by

◦

W

m,p

_α,β

(Ω) = {v ∈ W

m,p

_α,β

(Ω); γ

0 v = γ

1 v = · · · = γ

m−1

v = 0},

where

γ

i

is the tra e of order

i

of a fun tion in

W

m,p

α,β

(Ω)

. Now, we dene

W

_−α,−β

−m,p

′

(Ω)

,the dualspa e of

◦

W

m,p

_α,β

(Ω)

,whi his aspa e ofdistributions.

In the whole spa e, in the half-spa e and in an exterior domain in the wholespa e, we remindthat

D(Ω)

is densein

W

m,p

α,β

(Ω)

(1.1) andthat we have thefollowing Poin aré-type inequalities:

Theorem 1.2.1. Let

α

and

β

be two real numbers and

m ≥ 1

an integer notsatisfying simultaneously:

n

p

+ α ∈ {1, . . . , m} and (β − 1)p = −1

Let

q

′

_{= min(q, m − 1)}

, where

q

is the highest degree of the polynomials ontained in

W

m,p

α,β

(Ω)

. Then: i) the semi-norm

| . |

W

m,p

_α,β

(Ω)

dened on

W

m,p

α,β

(Ω)/P

q

′

is a norm equivalent tothe quotient norm.

ii)thesemi-norm

| . |

W

m,p

_α,β

(Ω)

isanormon

◦

W

m,p

_α,β

(Ω)

,whi hisequivalentto the full norm

k . k

W

m,p

_α,β

(Ω)

.

We justre all herethedenitionof thequotient norm:

kuk

_W

m,p

α,β

(Ω)/P

q′

= inf

_k∈P

q′

(21)

Thistheoremis establishedbyAmrou he, Girault anGiroire when

Ω = R

n

(see[6℄)or when

Ω

isanexteriordomain inthewholespa e(see[7℄)andby Amrou he and Ne£asovà when

Ω = R

n

+

(see [8 ℄). We prove that itis easily extendedto an exteriordomain inthe half-spa e, aperturbed half-spa eor anaperture domain (seeSe tions 1inChapters 5,6 and7).

Now, we want to re all some properties of the weighted Sobolev spa es

W

_α,β

m,p

(Ω)

. First,we have thealgebrai and topologi alimbeddings:

W

m,p

_α,β

(Ω) ֒→ W

m−1,p

_α−1,β

(Ω) ֒→ . . . ֒→ W

0,p

_α−m,β

(Ω)

if

n

p

+ α /

∈ {1, . . . , m}

and

W

m,p

_α,β

(Ω) ֒→ . . . ֒→ W

m−j+1,p

_α−j+1,β

(Ω) ֒→ W

_{α−j,β−1}

m−j,p

(Ω) ֒→ . . . ֒→ W

0,p

_{α−m,β−1}

(Ω)

if

n

p

+ α = j ∈ {1, . . . , m}

. We noti e thatin the rst ase, for any

γ ∈ R

su hthat

n

p

+ α − γ /

∈ {1, . . . , m}

,the mapping

u ∈ W

m,p

_α,β

(Ω) 7→ ρ

γ

u ∈ W

m,p

_α−γ,β

(Ω)

is an isomorphism. In both ases and for any multi-index

λ ∈ N

n

, the mapping

u ∈ W

m,p

_α,β

(Ω) 7→ ∂

λ

u ∈ W

m−|λ|,p

_α,β

(Ω)

is ontinuous. Finally,it anbereadily he kedthatthehighestdegree

q

of thepolynomials ontained in

W

m,p

α,β

(Ω)

isgivenby

q =











m −

n

p

− α − 1

if











n

p

+ α ∈ {1, . . . , m}

and

(β − 1)p ≥ −1,

or

n

p

+ α ∈ {j ∈ Z; j ≤ 0}

and

βp ≥ −1,

m −

n

p

− α

otherwise

.

For anyopensubset

Θ

of

R

n

,we denote thefollowing dualitypairing:

(22)

Here, we want dene the tra e of a fun tion in

W

m,p

α,β

(Ω)

. First, when

Γ

, whi histheboundaryorapartoftheboundaryof

Ω

isbounded,thetra es of fun tions in

W

m,p

α,β

(Ω)

are in the lassi al spa es of tra es

W

m−j−

1 _p

,p

(Γ)

, with

j = 0, . . . , m − 1

and we return to Adams [1 ℄ or Ne£as [46℄ for their denitionand for the usualtra e theorems.

Now, we want to dene the tra es of fun tions when

Ω = R

n

+

. We will usethese spa esinChapters4and5. Fortheothertypesofspa esoftra es (in the ase of the perturbed half-spa e (Se tion 6) and in the ase of the aperture domain (Se tion 7)), we return to the introdu tions of the orre-spondingse tions.

For any

σ ∈ ]0, 1[

, weintrodu e thespa e

W

σ,p

₀

(R

n

) = {u ∈ D

′

(R

n

), ω

−σ

u ∈ L

p

(R

n

),

Z

R

n

_×R

n

|u(x) − u(y)|

p

|x − y|

n+σp

dxdy < ∞},

where

ω = ρ

if

n

p

6= σ

and

ω = ρ (lgρ)

1/σ

if

n

p

= σ

. It isa reexive Bana h spa eequipped withits natural norm

kuk

_W

σ,p

0 (R

n

)

= (k

u

ω

σ

k

p

L

p

_(R

n

₎

+

Z

R

n

_×R

n

|u(x) − u(y)|

p

|x − y|

n+σp

dxdy)

1/p

_.

Similarly,for anyrealnumber

α ∈ R

,we dene thespa e:

(23)

kuk

_W

s,p

α

(R

n

)

= (

X

06|λ|6k

kρ

α−s+|λ|

(lg ρ)

−1

D

λ

uk

p

_L

p

_(R

n

₎

+

X

k+16|λ|6[s]−1

kρ

α−s+|λ|

D

λ

uk

p

_L

p

_(R

n

₎

)

1/p

+

X

|λ|=[s]

kD

λ

uk

_W

σ,p

α

(R

n

)

.

We an similarlydene, foranyreal number

β

,thespa e:

W

s,p

_α,β

(R

n

) = {u ∈ D

′

(R

n

), (lg ρ)

β

u ∈ W

_α

s,p

(R

n

)}.

We an prove some properties of the weighted Sobolev spa es

W

s,p

α,β

(R

n

)

. We have the algebrai and topologi al imbeddings in the ase where

n

p

∈

/

{σ, . . . , σ + [s] − 1}

:

W

s,p

_α,β

(R

n

) ֒→ W

s−1,p

_α−1,β

(R

n

) ֒→ . . . ֒→ W

σ,p

_α−[s],β

(R

n

),

W

s,p

_α,β

(R

n

) ֒→ W

[s],p

_{α+[s]−s,β}

(R

n

) ֒→ . . . ֒→ W

0,p

_α−s,β

(R

n

).

When

n

p

+ α = j ∈ {σ, . . . , σ + [s] − 1}

,thenwe have:

W

s,p

_α,β

֒→ . . . ֒→ W

s−j+1,p

_α−j+1,β

֒→ W

s−j,p

_{α−j,β−1}

֒→ . . . ֒→ W

σ,p

_{α−[s],β−1}

,

W

_α,β

s,p

֒→ W

[s],p

_{α+[s]−s,β}

֒→ . . . ֒→ W

[s]−j+1,p

_{α−σ−j+1,β}

֒→ W

_{α−σ−j,β−1}

[s]−j,p

֒→ . . . ֒→ W

0,p

_{α−s,β−1}

.

We denotethetra e of order

j

on

R

n−1

ofa fun tion

u

by:

∀j ∈ N, x

′

∈ R

n−1

,

γ

j

u(x

′

) =

∂

j

u

∂n

j

(x

′

_{, 0).}

Weremindthefollowingtra elemmaprovedbyHanouzet[30℄andextended byAmrou he and Ne£asová [8℄to this lassof weighted Sobolev spa es: Lemma 1.3.1. For any integer

m ≥ 1

and real number

α

, the mapping

γ : D(R

n

+

) → (D(R

n−1

))

m

u 7→ (γ

0 u, . . . , γ

m−1

u)

anbeextendedby ontinuitytoalinearand ontinuousmappingstilldenoted by

γ

from

W

m,p

α

(R

n

+

)

to

m−1

_Y

j=0

W

m−j−

1 p

,p

α

(R

n−1

)

. Moreover,

γ

isonto and

Ker

γ =

◦

W

m,p

α

(R

n

+

).

To nishthisse tion, foranyopensubset

Θ

of

R

n

,we denotethe follow-ingdualitypairing:

(24)

Known results

In this se tion, we want to remind some results previously established and usually used inthis work. Letus noti e thatit is not an exhaustive list of all results using herebut only a re all of similarresults than oursfor other geometries. Indeed,herewegiveresultsforaLapla e'sproblemandaStokes problem in the whole spa e or the omplement of a ompa t in the whole spa eor the half-spa e. In all thesequel,they will beused several timesin theproofsofour theorems.

2.1 The Poisson's equation

First, we re all some isomorphisms established by Amrou he, Girault and Giroirein1994 ([6 ℄)for thePoisson'sequation:

Theorem 2.1.1. The followingLapla e operators are isomorphisms:

i)

∆ : W

1,p

₀

(R

n

)/P

_[1−n/p]

→ W

−1,p

₀

(R

n

) ⊥ P

_[1−n/p

′

_]

,

ii)

∆ : W

2,p

₁

(R

n

)/P

_[1−n/p]

→ W

₁

0,p

(R

n

) ⊥ P

_[1−n/p

′

_]

,

if

n 6= p

′

iii)

∆ : W

2,

n

n−1

1 (R

n

)/P

2−n

→ (W

0,

_n−1

n

1 (R

n

) ∩ W

−1,

_n−1

n

0 (R

n

)) ⊥ R,

Then, we have alsothis result:

Proposition 2.1.2. Assume that

p > 2

and

f ∈ W

−1,p

0 (R

n

)

with ompa t supportand satisfying,if

n = 2

,the ompatibility ondition

< f, 1 >

_W

−1,2

0 (R

2 ),W

1,2

0 (R

2 )

= 0.

Then,the problem

−∆u = f

in

R

n

has asolution

u ∈ W

1,2

0 (R

n

) ∩ W

1,p

(25)

Hereweremindthe maintheoremsfor Diri hletand Neumannproblemsfor the Lapla e operator in exterior domains of

R

n

. This study was done by Amrou he,GiraultandGiroirein1997 ([7 ℄). Let

ω

0

a ompa t regionof

R

n

and

Γ

0

itsboundaryof lass

C

1,1

. First,we areinterestedinaproblemwith a Diri hlet boundary ondition. We give the hara terization of the kernel ofsu h a problem. We dene

A

p

₀

(

c

ω

0 ) = {v ∈ W

0 1,p

(

c

ω

0 ), ∆v = 0

in

c

_ω

0 , v = 0

on

Γ

0 }.

For this,we dene thefun tion

µ

0

by:

µ

0 = U ∗ (

1 |Γ

0 |

δ

Γ

0 )

where

U =

1 2π

ln

(r)

isthefundamentalsolutionof theLapla e's equationin

R

2

and

δ

Γ

0

is dened by:

∀ϕ ∈ D(R

2 ), < δ

Γ

0 , ϕ > =

Z

Γ

0 ϕ dσ.

We have the following hara terization:

Proposition 2.2.1. If

p < n

or

p = n = 2

, then

A

p

0 (

c

ω

0 ) = {0}

. If

p ≥ n ≥ 3

, then

A

p

0 (

c

ω

0 ) = {c(λ − 1), c ∈ R}

, where

λ

is the unique solutionin

W

1,p

0 (

c

ω

0 ) ∩ W

1,2

0 (

c

ω

0 )

of the problem

∆λ = 0 in

c

ω

0 ,

λ = 1 on Γ

0 .

If

p > n = 2

, then

A

p

0 (

c

ω

0 ) = {c(µ − µ

0 ), c ∈ R}

, where

µ

is the unique solutionin

W

1,p

0 (

c

ω

0 ) ∩ W

1,2

0 (

c

ω

0 )

of the problem

∆µ = 0 in

c

ω

0 ,

µ = µ

0 on Γ

0 .

Then, we have the following theorem: Theorem 2.2.2. If

p ≥ 2

, for any

f ∈ W

−1,p

0 (

c

ω

0 )

and

g ∈ W

1−

1 _p

,p

(Γ

0 )

, there exists a unique solution

u ∈ W

1,p

0 (

c

ω

0 )/A

p

0 (

c

ω

0 )

of the problem

(26)

where

C

is a real positive onstant whi hdepends onlyon

ω

0

and

p

. If

p ≤

n

n − 1

and

p < 2

, for any

f ∈ W

−1,p

0 (

c

ω

0 )

and

g ∈ W

1−

_p

1 ,p

(Γ

0 )

satisfyingthe ompatibility ondition

∀ϕ ∈ A

p

₀

′

(

c

ω

0 ),

< f, ϕ > = < g,

∂ϕ

∂n

>

Γ

0 ,

this problem has a unique solution

u ∈ W

1,p

0 (

c

ω

0 )

. If

n

n − 1

< p < 2

, for any

f ∈ W

−1,p

0 (

c

ω

0 )

and

g ∈ W

1−

1 _p

,p

(Γ

0 )

, this problem has a unique solution

u ∈ W

1,p

0 (

c

ω

0 )

. In both ases,

u

satises

kuk

_W

1,p

0 (

c

ω

0 )

≤ C( kf k

W

−1,p

0 (

c

ω

0 )

+ kgk

_W

1− 1

p ,p

_(Γ

₀

₎

),

where

C

ω

0

and

p

.

Now,wegiveresultsfortheLapla eoperatorwithaNeumannboundary ondition. Weintrodu e the following partitionof unity:

ψ

1 , ψ

2 ∈ C

∞

(R

n

), 0 ≤ ψ

1 , ψ

2 ≤ 1, ψ

1 + ψ

2 = 1

in

R

n

_,

ψ

1 = 1

in

B

R

,

supp

ψ

1 ⊂ B

R

′

,

where

0 < R < R

′

issu hthat

ω

0 ⊂ B

R

andwehavethefollowingtheorem: Theorem 2.2.3. For any

p > 1

,

f ∈ W

−1,p

0 (

c

ω

0 ) ∩ L

p

(

c

ω

0 )

and

g ∈

W

−

1 p

,p

_(Γ

0 )

satisfying,if

p ≤

n

n − 1

, the ompatibility ondition

Z

c

_ω

₀

_∩B

R′

f ψ

1 dx+ < f, ψ

2 >

c

_ω

₀

+ < g, 1 >

_Γ

₀

= 0,

there exists a unique solution

u ∈ W

1,p

0 (

c

ω

0 )/P

[1−n/p]

of the problem

(

−∆u = f in

c

ω

0 ,

∂u

∂n

= g

on Γ

0 .

Moreover,

u

satises

kuk

_W

1,p

0 (

c

ω

0 )/P

[1−n/p]

≤ C( kf k

W

−1,p

0 (

c

ω

0 )∩L

p

(

c

ω

0 )

+ kgk

_W

−

1 _{p ,p}

_(Γ

0 )

),

where

C

ω

0

and

p

.

2.3 The Lapla e's equation in the half-spa e

(27)

Theorem 2.3.1. For any

p > 1

,

f ∈ W

−1,p

0 (R

n

+

)

and

g ∈ W

1−

_p

1 ,p

(R

n−1

)

u ∈ W

1,p

0 (R

n

+

)

of the problem

−∆u = f

in R

n

+

,

u = g

on R

n−1

.

Moreover,

u

satises

kuk

_W

1,p

0 (R

n

+

)

≤ C( kf k

W

−1,p

0 (R

n

+

)

+ kgk

W

1− 1

p ,p

_(R

n−1

₎

),

where

C

p

. Theorem 2.3.2. For any

p > 1

su h that

n

p

′

6= 1

,

f ∈ W

0,p

1 (R

n

+

)

and

g ∈ W

−

1 p

,p

_(R

n−1

₎

satisfying,if

p ≤

n

n − 1

Z

R

n

+

f dx =< g, 1 >

R

n−1

,

there exists a unique solution

u ∈ W

1,p

0 (R

n

+

)/P

[1−n/p]

of the problem

(

−∆u = f in R

n

+

,

∂u

∂n

= g

on R

n−1

_.

Moreover,

u

satises

kuk

_W

1,p

0 (R

n

+

)P

[1−n/p]

≤ C( kf k

W

0,p

1 (R

n

+

)

+ kgk

W

−

1 p ,p

_(R

n−1

₎

),

where

C

p

.

2.4 The Stokes equations in

R

n

Here, we give results established by Alliot and Amrou he in 1999 ([2℄) for thefollowingStokessysteminthewholespa e:

−∆u + ∇π = f

in

R

n

_,

div u = h

in

R

n

_.

We have the following theorem:

Theorem2.4.1. Forany

p > 1

,

f

∈ W

−1,p

0 (R

n

)

and

h ∈ L

p

_(R

n

₎

satisfying, if

p ≤

n

n − 1

∀i = 1, . . . , n,

< f

i

, 1 >

R

n

= 0,

this problem has a solution

(u, π) ∈ W

1,p

0 (R

n

) × L

p

(R

n

)

. Moreover,

(u, π)

isunique up to an element of

P

[1−n/p]

× {0}

andsatises

inf

λ∈P

_[1−n/p]

ku + λk

W

1,p

0 (R

n

)

+ kπk

L

p

_(R

n

₎

≤ C( kf k

W

−1,p

₀

(R

n

₎

+ khk

L

p

_(R

n

₎

),

(28)

Finally, to nish this se tion, we give results established by Amrou he, Ne£asová and Raudin in 2008 ([9℄) for the Stokes system in

R

n

+

. We have thefollowingtheorem:

p > 1

,

f

∈ W

−1,p

0 (R

n

+

)

,

h ∈ L

p

_(R

n

+

)

and

g

∈

W

1−

1 p

,p

0 (R

n−1

)

(u, π) ∈ W

1,p

0 (R

n

+

) × L

p

(R

n

+

)

of the problem







−∆u + ∇π = f

in R

n

₊

,

div u = h

in R

n

+

,

u

= g

on R

n−1

.

Moreover,

(u, π)

satises

kuk

_W

1,p

0 (R

n

+

)

+kπk

L

p

_(R

n

+

)

≤ C( kf k

W

−1,p

0 (R

n

+

)

+khk

L

p

_(R

n

+

)

+kgk

_W

1− 1

p ,p

0 (R

n−1

)

),

(29)

(30)

Mixed exterior Lapla e's

problem

3.1 Introdu tion and preliminaries

In this hapter, we want to study the mixed exterior Lapla e's problem, with both a boundary ondition of Diri hlet and a boundary ondition of Neumann. Let

ω

0

and

ω

1

be two ompa t, dis onne ted and not empty regions of

R

n

,

n ≥ 2

, let

Γ

0

and

Γ

1

be their respe tive boundary, of lass

C

1,1

when

p 6= 2

and Lips hitz- ontinuous when

p = 2

and let

Ω

be the omplement of

ω

0 ∪ ω

1

. We set

Γ = Γ

0 ∪ Γ

1 = ∂Ω

.

This hapter is devotedto solve thefollowing problem:

(P)











−∆u = f

in

Ω,

u = g

0

on

Γ

0 ,

∂u

∂n

= g

1

on

Γ

1 .

This hapterisorganizedasfollows. Se tions3.2,3.3and3.4aredevoted tothe studyofquestionsofexisten e,uniquenessand regularityofsolutions respe tively in ases

p = 2

,

p > 2

and

p < 2

and Se tion 3.5 deals with dierent behaviours at the innity of the solution a ording to the data. The main results are Theorem 3.2.2, Theorem 3.3.6 and Theorem 3.4.3 for generalized solutions andTheorems 3.3.8and 3.4.4 for regularityresults.

Now, wedene thespa e

Y

p

_{(Ω) = W}

−1,p

0 (Ω) ∩ L

p

(Ω)

equippedwiththe following norm:

kuk

Y

p

_(Ω)

= (kuk

p

W

−1,p

0 (Ω)

+ kuk

p

_L

p

_(Ω)

)

1/p

.

Weeasily he kthat

Y

p

_(Ω)

is omplete. Weintrodu ethepartitionofunity:

ψ

1 , ψ

2 ∈ C

∞

(R

n

), 0 ≤ ψ

1 , ψ

2 ≤ 1, ψ

1 + ψ

2 = 1

in

R

n

_,

(31)

where

R > 0

is su h that

ω

0 ∪ ω

1 ⊂ B

R

. For any

v ∈ W

1,p

′

0 (Ω)

, we set

v

1 = ψ

1 v

and

v

2 = ψ

2 v

. We have supp

v

1 ⊂ Ω

R+1

= B

R+1

∩ Ω

and so

v

1 ∈ W

1,p

′

(Ω

R+1

)

. Furthermore

v

2 = 0

on

Γ

be ause

ψ

2 = 0

on

Ω

R

= B

R

∩Ω

, so

v

2 ∈

◦

W

1,p

0 ′

(Ω)

. For

f ∈ Y

p

_(Ω)

,we set:

∀v ∈ W

1,p

₀

′

(Ω), T

f

(v) =

Z

Ω

R+1

f v

1 dx + < f, v

2 >

Ω

.

We easily noti e that

T

f

iswell dened, linearand we he k that:

∀ϕ ∈ D(Ω), T

f

(ϕ) =

Z

Ω

f ϕ dx,

(3.1)

andfor any

f ∈ Y

p

_(Ω)

and

v ∈ W

1,p

′

0 (Ω)

,

|T

f

(v)| ≤ C kf k

Y

p

_(Ω)

kvk

W

1,p′

₀

(Ω)

,

(3.2) where

C > 0

isa onstant whi h doesnot depend of

f

and

v

.

3.2 Case p = 2

We begin to introdu e the spa e

D

2 = {v ∈ W

1,2

₀

(Ω), v = 0

on

Γ

0 }.

andto establisha Poin aré typeinequality:

Proposition 3.2.1. There exists a onstant

C > 0

su h that:

∀u ∈ D

2 , kuk

_W

1,2

0 (Ω)

≤ C |u|

W

1,2

0 (Ω)

.

Proof- We usean absurdargument;so, assumethat

∀n ∈ N

∗

, ∃ w

n

∈ D

2 , kw

n

k

_W

1,2

0 (Ω)

> n |w

n

|

W

1,2

0 (Ω)

.

Thenthe sequen e dened by

u

n

=

w

n

kw

n

k

_W

1,2

0 (Ω)

satisfy

ku

n

k

_W

1,2

0 (Ω)

= 1

and

|u

n

|

W

₀

1,2

(Ω)

<

1 n

.

(3.3) Here, we dene anotherpartition of unity:

(32)

where

0 < R

1 < R

′

1

aresu h that

ω

1 ⊂ B

R

1

,

ω

0 ∩ B

R

′

1 = ∅

and

B

R

′

1 ⊂ B

R

. We set

u

1 n

= ϕ

1 u

n

and

u

2 n

= ϕ

2 u

n

, sothat

u

n

= u

1 n

+ u

2 n

. We dedu e from (3.3) the existen eof

u ∈ D

2

su h that:

u

n

⇀ u

in

W

1,2

0 (Ω)

and

∇u = 0

in

Ω.

As

Ω

is onne ted and

u ∈ D

2

,then

u = 0

in

Ω

and

u

n

⇀ 0

in

W

1,2

0 (Ω).

(3.4) Thanks to the Relli h's ompa tness theorem,

u

n

→ 0

in

L

2 _(Ω

R

′

1 )

and by (3.3),weeasilydedu ethat

u

1 n

→ 0

in

W

1,2

0 (Ω)

. Now,weprove that

u

2 n

→ 0

in

W

1,2

0 (Ω)

. First,wenoti ethat

u

2 n

∈

◦

W

1,2

₀

(Ω)

. Setting

Ω

′

_{= (Ω\B}

R

1 )∪ω

0

, we all again

u

2 n

the restri tion of

u

2 n

to

Ω \ B

R

1

and we dene:

e

u

2 _n

= u

2 _n

in

Ω \ B

R

1 ,

u

e

2 n

= 0

in

ω

0

We easily he k that

u

e

2 n

∈

◦

W

1,2

₀

(Ω

′

)

with

ke

u

2 n

k

W

1,2

₀

(Ω

′

₎

= ku

2 n

k

W

1,2

₀

(Ω\B

_R1

)

. Noti ing that

Ω

′

₌

c

_B

R

1

and applyinga result establishedbyGiroire [27℄, we have:

ke

u

2 _n

k

_W

1,2

0 (Ω

′

)

≤ C |e

u

2 n

|

W

₀

1,2

(Ω

′

₎

.

We easilyshowthat

|e

u

2 n

|

W

1,2

₀

(Ω

′

₎

→ 0

,soinparti ular

ku

2 n

k

W

1,2

₀

(Ω\B

_R1

)

→ 0

. To nish,sin e

u

2 n

= 0

on

Ω

R

1

,we have:

ku

2 n

k

W

1,2

₀

(Ω)

= ku

n

2 k

W

1,2

₀

(Ω\B

_R1

)

→

0

. So,

u

2 n

→ 0

in

W

1,2

0 (Ω)

whi himpliesthat

u

n

= u

1 n

+ u

2 n

→ 0

in

W

1,2

0 (Ω)

, and whi h ontradi ts (3.3). In onsequen e, we have the result sear hed.

Remark: For some geometries of ompa ts

ω

0

and

ω

1

(for example, whenthey almostpenetrateea hother andwhen theyhave on ave parts), the denition of balls

B

R

1

and

B

R

′

1

where

0 < R

1 < R

′

1

are su h that

ω

1 ⊂ B

R

1

and

ω

0 ∩ B

R

′

1 = ∅

isimpossible. Nevertheless,thesame reasoning holdstakingsuitable open neighborhoods insteadof open balls.

f ∈ Y

2 _(Ω)

,

g

0 ∈ H

1

2 (Γ

₀

)

and

g

1 ∈ H

−

1

2 (Γ

₁

)

, there exists a unique

u ∈ W

1,2

0 (Ω)

solutionof the problem

(P)

. Moreover,

u

satises

kuk

_W

1,2

0 (Ω)

≤ C (kf k

Y

2 (Ω)

+ kg

0 k

H

1

2 (Γ

0 )

+ kg

1 k

H

−

1

2 (Γ

1 )

),

(33)

Proof- First, a ording to Theorem 2.2.2, there exists a unique

u

0 ∈

W

₀

1,2

(Ω

0 )

where

Ω

0 = Ω ∪ ω

1

,solution of:

∆u

0 = 0

in

Ω

0 ,

u

0 = g

0

on

Γ

0 ,

andsu hthat

ku

0|Ω

k

_W

1,2

0 (Ω)

≤ C kg

0 k

H

1

2 (Γ

0 )

.

We noti e that sin e

u

0|Ω

∈ W

1,2

0 (Ω)

and

0 = ∆u

0 ∈ L

2 _(Ω)

, then

∂u

0 ∂n

∈

H

−

1

2 (Γ

₁

)

. Moreover, we knowthatthere existsa unique

v ∈ D

2

solution of thevariationalformulation:

∀w ∈ D

2 , a(v, w) = L(w),

where for

v, w ∈ D

2

,

a(v, w) =

Z

Ω

∇v · ∇w dx

and

L(w) = T

f

(w) + < g

1 −

∂u

0 ∂n

, w >

Γ

1 .

Indeed,thisresultis asimple onsequen e oftheLax-Milgramtheoremand ofProposition3.2.1whi hshowsthattheform

a

is oer ive. Then,we he k thatthis solution

v ∈ W

1,2

0 (Ω)

satises











−∆v = f

in

Ω,

v = 0

on

Γ

0 ,

∂v

∂n

= g

1 −

∂u

0 ∂n

on

Γ

1 .

Indeed, learly,

v = 0

on

Γ

0

be ause

v ∈ D

2

. Now, letshowtherstandthe thirdrelation. Let

w ∈ D(Ω)

,then:

Z

Ω

f w dx = T

f

(w) =

Z

Ω

∇v · ∇w dx = < −∆v, w >

D

′

_(Ω),D(Ω)

,

i.e.

f = −∆v

in

Ω

. Now,let

w ∈ H

1 _(Ω)

su h thatsupp

w ⊂ B

R

(34)

As

v

issolution of

(FV)

,wededu e that

Z

Ω

f w dx + <

∂v

∂n

, w >

Γ

1 = T

f

(w) + < g

1 −

∂u

0 ∂n

, w >

Γ

1 .

Asthe supportof

w

isin luded in

B

R

1

,then

T

f

(w) =

Z

Ω

f w dx

andso

<

∂v

∂n

, w >

Γ

1 = < g

1 −

∂u

0 ∂n

, w >

Γ

1 .

Now,let

h ∈ H

1

2 (Γ

₁

)

;we set

h

0 = h

sur

Γ

1 , h

0 = 0

sur

∂B

R

1 .

Sin e

h

0 ∈ H

1

2 (Γ

₁

∪ ∂B

_R

1 )

, there exists

w

h

0 ∈ H

1 (Ω

R

1 )

,

w

h

0 = h

0

on

Γ

1 ∪ ∂B

R

1

. Let

w

h

be theextension of

w

h

0

by

0

outside

Ω

R

1

. Then

w

h

∈

H

1 _(Ω)

and supp

w

h

⊂ B

R

1

;moreover, on

Γ

1

,

w

h

= h

. So,we have,for any

h ∈ H

1

2 (Γ

₁

)

:

<

∂v

∂n

, h >

Γ

1 = < g

1 −

∂u

0 ∂n

, h >

Γ

1 ,

i.e.

∂v

∂n

= g

1 −

∂u

0 ∂n

sur

Γ

1

. Moreover, we easily showthat

kvk

_W

1,2

0 (Ω)

≤ C (kf k

Y

2 (Ω)

+ kg

1 −

∂u

0 ∂n

k

H

−

1 ₂

_(Γ

1 )

).

Finally, the fun tion

u = u

0|Ω

+ v

is the solution of

(P)

and the estimate sear hedis a onsequen e of thetwoprevious inequalities.

3.3 Case p > 2

Weproposethefollowingapproa h: rstwesolvetheharmoni problem,this willenableus toestablishan"inf-sup" onditionwhi hinturnwillsolvethe fullproblem bythe theoremof Babu²ka-Brezzi.