Approximation séparable de la fonction de Green pour un potentiel de portée finie continue par le potentiel coulombien

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Submitted on 1 Jan 1971

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Approximation séparable de la fonction de Green pour un potentiel de portée finie continue par le potentiel

coulombien

C. Gignoux

To cite this version:

C. Gignoux. Approximation séparable de la fonction de Green pour un potentiel de portée finie continue par le potentiel coulombien. Journal de Physique, 1971, 32 (7), pp.467-473.

�10.1051/jphys:01971003207046700�. �jpa-00207100�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

APPROXIMATION SÉPARABLE DE LA FONCTION DE GREEN

POUR UN POTENTIEL DE PORTÉE FINIE CONTINUE

PAR LE POTENTIEL COULOMBIEN

C. GIGNOUX

Institut des Sciences

Nucléaires,

^Cédex

257, 38,

Grenoble-Gare

(Reçu

^{le 2 novembre}

1970,

révisé le 11

janvier 1971)

Résumé. ²⁰¹⁴ Une approximation séparable de la fonction de Green est présentée pour ^un poten- tiel de portée ^finie prolongé éventuellement _par le potentiel coulombien. Ce développement ^variable

avec l’énergie ^{est construit avec} les états introduits par P. L. Kapur ^{et R. Peierls. La} fonction de Green approchée ^{a le bon} comportement asymptotique ^et les bons résidus aux pôles ^{dus aux états}

liés. Les tests présentés ^ici pour le puits ^{carré et le} potentiel de Saxon-Woods permettent d’envisager

l’utilisation de ce développement séparable pour la résolution du problème ^{à trois} corps ^ou pour des calculs de voies couplées.

Abstract. ²⁰¹⁴ A séparable approximation for the Green function is given ^{for a finite} range potential

that can be extended with the coulomb potential. ^This expansion depending ^on energy is built on

states introduced by ^{P. L.} Kapur and R. Peierls. The approximated Green function has the right asymptotic behaviour and the right residus for the bound states poles. ^Tests given ^{here for} square well and Saxon-Woods potential ^allow considering ^{the use of this} séparable expansion ^for solving

the three body problem ^and coupled channel calculations.

Classification Physics ^{Abstract :}

12.30, ^02.00

1. Introduction. ^- Dans de nombreux

problèmes

de réaction et de structure, où l’on a besoin des fonc- tions

d’onde,

^{il est fait} usage de la fonction de Green.

En

effet, plus

facilement

qu’avec

^les

équations

^dé-

rentielles

couplées,

la fonction de Green permet d’assurer aux fonctions d’ondes le comportement

asymptotique

^désiré.

L’emploi

^{de son}

expression

exacte est

cependant

^rarement

possible

^{car il conduit}

à des

intégrales

^{doubles ou à des}

équations intégrales

à

plusieurs

variables. Une

approximation séparable qui

aurait les

caractéristiques

essentielles d’une fonc- tion de Green

pourrait simplifier

considérablement le

problème pratique

^{en le ramenant à une somme d’inté-}

grales

^{ou à des}

équations intégrales couplées

^{mais à}

une seule dimension. L’artifice

d’approximer

^un

opérateur intégral

par ^un

développement séparable

est couramment utilisé dans la résolution des

équa-

tions de

Faddeev,

où l’on

approxime l’opérateur

^de

transition à deux corps. Dans ^cet

article,

^un

dévelop-

pement

séparable

de la fonction de Green est

présenté

et discuté. Ce

développement

^{est valable pour tout}

potentiel,

^{réel ou} non, de

portée finie,

^{continué éven-}

tuellement par le

potentiel Coulombien,

^et pour ^toute

énergie.

^{Il est construit avec} les états introduits _par P. L.

Kapur

^{et R. Peierls}

[1].

^Ce

développement appliqué

^{à une fonction}

donne,

^{comme la vraie} fonction de Green,

uniquement

^{des ondes sortantes}

régulières

^à

l’origine.

^D’autre part, ^le comportement

au

voisinage

des états liés et des résonances ^{est exact.}

Dans les tests décrits dans le

paragraphe

^{IV la fonction}

de Green exacte et son

approximation

^sont

comparées,

ainsi _que les

amplitudes

^de transition _pour

plusieurs

ondes et

plusieurs énergies,

^{dans le cas du}

puits

^carré

et du

potentiel

^de Saxon-Woods. Ces tests montrent

qu’avec

^{trois termes} pour le

développement

^{de la}

fonction de Green on obtient un bon accord dans

un

grand

^domaine

d’énergie.

II. Etats mobiles de

projection.

^{- Pour des raisons}

de clarté on considère une

particule

^sans

spin,

^de

masse m, dans un

potentiel

^local

sphérique

^{et réel}

!i2

v(r)/2

^{m, de}

portée

^{a, telle}

qu’au-delà

^{de cette dis-}

tance

v(r)

^{soit nul ou}

représente

^le

potentiel

^coulom-

bien 2

vk/r.

^En

fait,

les restrictions ^{sur le}

potentiel

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003207046700

468

peuvent ^être facilement

enlevées,

^celui-ci peut ^être

complexe

^{non local et}

dépendant

^de

l’énergie.

^L’ex-

pression

^exacte de la fonction de Green est connue :

où 0 est

l’angle

^que forment les deux vecteurs r et

r’,

et

G,

^{s’écrit :}

où k est

l’impulsion

^{et W le}

wronskien,

^{évalué à une} distance

quelconque

R, des deux solutions de

l’équation

différentielle :

Vl

^{est une solution}

régulière

^à

l’origine.

u+

^{est une solution} habituellement

irrégulière qui

^se comporte pour ^r > a comme

01(k,

r) c’est-à-dire

comme

krhi (kr)

^{ou comme}

GI(v, kr)

⁺

iFl(v, kr).

Dans la

région

extérieure r > a la

dépendance

^de

la fonction de Green en r est

01(k, r)

^{et toute}

approxi-

mation devra avoir ce comportement.

On considère alors les solutions de

l’équation

^diffé-

rentielle

précédente qui

^sont

régulières

^à

l’origine

^et

qui

^se continuent à l’extérieur _par

01(k, r),

c’est-à-dire

qui

^{ont même dérivée}

logarithmique

que

01(k, r)

^au

rayon de raccordement a. Les conditions aux limites étant

fixées,

^{ceci ne} peut ^avoir lieu que pour des valeurs discrètes de

l’énergie Eln

^{= !i2}

ki j2 m

^{où n}

sert à différencier les solutions et est lié au nombre de noeuds. Ainsi ces états sont définis par l’ensemble de conditions :

La condition de raccordement avec

01(k, r) dépend

de

l’énergie,

^de même que les

k 2, qui

^seront

appelés

dans la suite les

énergies

propres, ^sont fonction de

l’énergie

^ou de k. Les fonctions d’ondes

dépendent

aussi de

l’énergie

^{et elles sont}

appelées

^{dans la suite}

o états mobiles ». Ces états ont été étudiés _par P. L.

Kapur

^{et R. Peierls}

[1] qui

^{ont montré}

qu’ils

^for-

maient une base

complète

^{dans la}

région

intérieure.

Dans la suite nous

rappelons

brièvement

quelques

unes de leurs

propriétés.

L’orthogonalité

^{de ces états dans la}

région

^intérieure

s’obtient

grâce

^aux

propriétés

du wronskien. En

effet,

si on écrit la même

équation

différentielle _pour un autre état

ul,,,(k, r)

^{on obtient} par ^un calcul

classique :

Pour r ⁼ a, uln ^et Uln’ ^ont même dérivées

logarithmi-

ques que

0 l ;

le wronskien est donc nul et les états sont

orthogonaux.

^On peut ^{établir de} la même manière la relation suivante :

ou encore en utilisant la notation

L, = SI + iP,1

Il est facile de montrer que

PI(k, a)

facteur de

péné-

trabilité est

égal

^à

kal(F,2(v, ^ka)

⁺

Gf(v, ka))

^{et est}

nul _pour une

énergie négative.

^{Ainsi les}

énergies

propres

k 2

^{ont une}

partie imaginaire négative

^ou

nulle.

TRAJECTOIRE DES ÉNERGIES PROPRES. ^- Il est

impor-

tant de connaître la

dépendance

^en

énergie

^{ou en}

fonction de k des

énergies

propres ^et de déterminer les

trajectoires k2(k).

^{On peut remarquer au}

préalable

que ^ces

trajectoires

^{ont chacune une} asymptote. ^En

effet,

^si

l’énergie

^{tend vers}

plus

^{ou moins l’infini}

LI

croît comme ika et la solution est déterminée _{par la} condition

indépendante

^de

l’énergie

uln

(k

⁼

a)

^{= 0.}

On peut remarquer aussi

qu’à énergie

^{nulle et} pour l’onde S la dérivée

logarithmique

^{est nulle et les états}

de P. L.

Kapur

^et R. Peierls s’identifient avec ceux de la matrice R. Pour la suite il est avantageux ^d’établir la dérivée

bk 2lôk.

^{A cet effet on écrit les deux}

équa-

tions différentielles :

et par ^un calcul

simple

^{on obtient :}

ou encore :

Cette

expression

permet ^{d’établir un}

algorithme

^de

recherche pour

k 2 qui

^converge

rapidement, puis

^à

partir

d’une valeur initiale obtenue _{par cet}

algorithme d’intégrer l’équation

différentielle des

trajectoires.

Sur la

figure 1,

^{on a tracé les}

trajectoires

^{pour un}

puits

^{carré de}

profondeur h2 vo/2 m

^avec vo

a 2 = -

12 suffisant pour lier les niveaux 1 S et 1 P, ^de rayon a

pris

^comme rayon de raccordement. Dans ce cas

simple

^{les solutions}

ul,,(k, r)

^{sont de la forme}

rj,(K’n r)

pour ^{r a avec}

K n

⁼

kfn -

vo. Les asymptotes ^sont les valeurs de

ki

^tels que les

KI, a

soient les zéros

de ji

et les valeurs à

énergie

^{nulle sont} obtenues à

partir

des zéros

de j, -,.

^{De telles}

trajectoires

^ont

déjà

^été

obtenues par A.

Lejeune

^{et M. A.}

Nagarajan [2]

pour les ondes S et P. D’une manière

générale

^{on observe}

une variation assez forte de

k 2

^au

voisinage ^{de k2}

^{= 0.}

D’autre part ^la

partie imaginaire

^de

k 2 (tracé

^{en traits}

interrompus)

^{est du même ordre de}

grandeur

que la

partie

^réelle.

FIG. 1. ^- Trajectoires ^des énergies propres pour le puits carré.

En abscisse on a porté ^la partie réelle de

K,2n

⁼

kl -

^Vo plutôt que kin. ^En effet, ^{cette valeur est} indépendante ^{de la} pro- fondeur du puits. ^La partie imaginaire ^{est tracée en} traits inter- rompus. Les régions ^hachurées n’indiquent pas forcément une

résonance mais plutôt ^un déphasage voisin de x/2.

Sur la

figure

^{2 on a tracé les}

trajectoires

pour ^un

potentiel

de Saxon-Woods

tronqué

^au rayon de rac-

cordement a ⁼

1,5 R

^{où R est le} rayon du

puits

^de

diffusivité

R/10

^de

profondeur

maximum h’

vo/2 m

avec

vo R 2

^12.

Les

trajectoires

^sont semblables mais

plus comprimées

que pour le

puits

carré. Ceci est essentiellement dû à la différence de _rayon de raccordement.

III.

Approximation séparable

de la fonction de Green. ^- On peut

développer

^la fonction de Green

Gl(r, r’)

^{dans la}

région r’

^{a sur} les états mobiles de

projections.

^{Soit à chercher}

ul(k, r)

^{solution sortante}

de :

FIG. 2. ^- Trajectoires ^des énergies propres pour ^un potentiel de Saxon-Woods de rayon unité et de diffusivité 0,1.

ou encore :

où

w(r)

^{est nul dans la}

région r

> a. Le terme

w(r) ulo(k, r)

peut ^{résulter du}

couplage

^{avec d’autres}

voies. Dans le cas de la diffusion d’une

particule

par le

potentiel v(r), u?

^{sera solution de}

et la diffusion sera décrite _{par :}

ui(k, r)

^{doit être}

régulière

^à

l’origine

^{et doit se} comporter ^comme

Oi(k, r)

pour r > a. Donc

ui(k, r)

peut ^se

projeter

^{sur la base}

complète

^des

u’n(k, r)

Les coefficients _aln sont déterminés _par

l’équation

différentielle :

ou encore :

et en utilisant

l’orthogonalité

des états ul, :

470

ceci

quelle

que soit la fonction

a°(r) ;

^donc

pour r’

^a

qui

^{est la}

région

^normale d’utilisation ^on peut ^{écrire :}

Dans la suite on

appellera Gl(r, r)

^une troncation de cette somme. A

partir

^{de cette}

expression

de la fonc- tion de Green on peut ^{obtenir un}

développement

^de

la matrice de transition à moitié hors de la couche.

En

effet,

^{si l’on} pose :

en écrivant la relation

G V 1 k >

⁼

Go T k,

> ^{et en} utilisant

l’expression asymptotique

^de

Go

^{on obtient :}

La convergence de cette série sera étudiée au para-

graphe

^IV.

COMPORTEMENT DE LA FONCTION DE GREEN AU VOISINAGE DES PÔLES. ^- Les

pôles

^{de la fonction de}

Green sont les valeurs

ko

de k telles _{que pour} une

onde donnée on ait

ki (ko)

⁼

^k2.

^En

^effet,

pour ^cette valeur

u’n(ko, r)

^et

01(ko, r)

^{vérifient la même}

équation

différentielle :

et ont même dérivée

logarithmique.

C’est-à-dire

qu’il

existe une solution

ul,,(r)

^telle que :

régulière

^à

l’origine

^{et se} comportant à l’extérieur

comme une onde sortante. Ceci est la définition des états liés ou résonnants étudiés _{par J.} Humblet et L. Rosenfeld

[3].

^Cette définition est bien

indépen-

dante du _rayon de raccordement a tant que

v(a)

^{= 0.}

Il faut

cependant

^s’assurer

qu’il

^{en est} de même pour le comportement de la fonction de Green au

voisinage

des

pôles.

En

effet,

la manière dont

ul,,(k, r)

^et

k2(k)

^tendent

respectivement

^vers

uln(r)

^et

ko 2 lorsque k

^{tend vers}

ko dépend

^{de a. Pour étudier cette}

dépendance

^{on consi-}

dère

l’équation

différentielle des

trajectoires

^{au voisi-}

nage d’un état lié ou résonnant.

Ll(k, a)

^{est la dérivée}

logarithmique

^de

Ol(k, r) qui

satisfait

l’équation :

Si ^on écrit une nouvelle fois cette

équation

pour k + dk on obtient _par le calcul

classique

du wronskien :

Pour la valeur

ko

^de

l’impulsion

ce

qui

permet d’évaluer :

On peut ^donc

préciser

^le comportement ^de

au

voisinage

^{de : k =}

ko

Cette formule permet ^{d’avoir le} comportement ^de

Gl(r, r’)

^au

voisinage

^du

pôle :

On retrouve

l’approximation

^{à un}

pôle

^{de la fonc-}

tion de Green dérivé par Minelli ^et Zardi

[4]

^à

partir

de

développement

^{de la matrice S de J. Humblet.}

Ce comportement ^de

l’approximation séparable

^est

donc bien

indépendant

^du rayon de raccordement ^a.

D’autre part, pour ^un état lié

ko

^est

imaginaire

^pur,

ul,,(r)

^décroît

exponentiellement

^{et on retrouve le}

bon résidu :

produit

extérieur de l’état lié normalisé par lui-même.

Lorsque l’énergie

varie d’une valeur

négative

^à

une valeur

positive

^{les valeurs de k2 -}

k 2(k)

prennent des

importances

relatives différentes comme on peut le voir sur les

figures

^{1 et 2. Les états liés} s’obtiennent aisément comme intersections des

trajectoires

^{avec la}

première

bissectrice dans la zone où

l’énergie

^est

négative.

^{A leur}

voisinage

^{comme on l’a} vu, le compor- tement de la fonction de Green est correct et bien

indépendant

^{de a. Dans la zone}

d’énergie positive,

ces intersections

correspondent

^{à la}

partie

^{réelle de} k2 -

k 2(k)

^{nulle. On peut seulement dire} que s’il y ^a résonance ce sera

près

^{de cette} intersection.

IV. Troncation du

développement

de la fonction de Green. ^- De nombreux tests de

rapidité

^{de conver-}

gence du

développement séparable

^ont été effectués pour le

puits

carré. En effet pour ^ce

potentiel

^la

fonction de Green exacte, ^{comme le}

développement séparable,

peuvent être obtenus

littéralement,

^{si on}

connaît les

énergies

propres. Comme ^on l’a

indiqué précédemment,

^ces

énergies

s’obtiennent ^en

intégrant l’équation

différentielle des

trajectoires jusqu’à l’énergie

désirée. Le raccordement de la fonction d’onde obtenue

avec

Ol(k, r)

pour r ^{= a est} testé _par la

comparaison

du rapport des dérivés

logarithmiques

^à l’unité. Dans tous les cas étudiés la

précision

^{de ce test a été meil-}

leure que 10-4. Une fois ces

énergies

propres

obtenues

on peut ^{calculer et} comparer

GI(r, r’)

^et

Gl(r, r’).

Nous avons

représenté

^{sur la}

figure

³

quelques

^uns

des résultats _{pour le}

puits

^{carré décrit au deuxième}

paragraphe

^et pour des

énergies

^{telles que}

(a

^{est le} rayon du

puits)

^et pour les ondes 1 ⁼ 0 et 1 ⁼ 1. Seules des _coupes des surfaces

G,(r, r’)

^et

GI(r, r’)

^sont

représentées

^{sur cette}

figure

pour

r ⁼

0,2 a 0,4 a 0,6 a 0,8 a

^{et a. Seule la}

partie

^des

coupes située ^{en avant} du

plan

^{r - r’ a été}

tracée,

le reste des surfaces pouvant être obtenu par

symétrie.

G1(r, r’)

^{est en trait}

plein

^{et en trait}

interrompu

^{on a}

tracé

GI(r, r’) approximation séparable

^{à trois termes}

pour les deux

énergies positives

^{et à deux termes}

pour la valeur

négative.

^{L’accord est médiocre sur la}

section r ⁼ r’. En effet

l’approximation

^ne

présente

pas la discontinuité de la dérivée

qu’a

la vraie fonction de Green. Pour les valeurs

positives

^de

l’énergie

^on

n’a pas

représenté

^la

comparaison

des valeurs ima-

ginaires

^de

G,

^et

G,

^{car l’accord est bien meilleur. En}

effet,

^la

partie imaginaire

^de

G,

n’a pas de discontinuité

comme

G,

pour r = r’ ^et d’autre part, les contributions

imaginaires

^des rapports

I/(k2 - k 2

décroissent

plus

^vite que les contrbiutions réelles

lorsque kln

s’éloigne

^de

^k2.

_

La

comparaison

^de

G1

^et

G,

n’a pas été

représentée

pour r > a ; ^en effet la

dépendance

^{en r est la}

même,

c’est-à-dire proportionnelle

^à

01(k, r),

^{donc le} rapport

G, (r

> a,

r’)/GL (r

> a,

r’)

^est le même que pour

r ⁼ a, c’est-à-dire

qu’il

^est

représenté

par les dernières coupes de la

figure

^{3. D’une manière}

générale,

^{il faut}

prendre

^un

plus grand

^{nombre de termes dans le}

développement lorsque l’énergie

^{croît mais dans tous}

les essais

de k2 a2 - -

20 à 30 quatre ^termes suffisent.

FIG. 3. ^- Convergence ^du développement séparable ^{de la}

fonction de Green _pour le puits ^{carré de} rayon unité. Gi(r, r’)

exact est représenté ^{en traits} pleins. ^{En traits} interrompus ^{on a} porté ^le développement ^{à trois} termes pour les énergies positives

et à deux termes pour la valeur négative ^de l’énergie.

AMPLITUDE DE DIFFUSION, MATRICE S, UNITARITÉ. ^- Un autre test a été de comparer

l’amplitude

^{de diffu-}

sion

Tl

^{= eUh sin}

âllk

exacte et

approchée

^{par un}

nombre fini de termes du

développement [7]

^avec

k’ ⁼ k. Les résultats sont

portés

^{sur les tableaux I et II}

pour les deux

potentiels déjà

^utilisés. On remarque que la convergence n’a lieu

qu’à partir

^{d’un rang n}

telle

que 1 k 2 ¹ > k2

ceci

provient

des dénominateurs de

[7]

^{en k2 -}

k 2 .

Le nombre de termes nécessaires dans le

développement [6]

^{de la} fonction de Green

dépend

^de

l’énergie

^extrême

envisagée.

^La convergence

cependant rapide

^est essentiellement due ^au fait _que

l’amplitude

^{de diffusion est obtenue comme on} peut le voir dans

l’expression [7]

^à

partir

^de la fonction de Green

approchée

^{dans la}

région r

^{différent de r’ où}

il

n’y

^a pas de

singularité.

Il est à noter que si la matrice S obtenue _par le

développement

^{infini de} la fonction de Green

[6]

^est

identique

^au

développement

de P. L.

Kapur

^et

472

R. E.

Peierls,

^la matrice S obtenue

après

^troncation du

développement [6]

^est différente d’une troncation du

développement

^{de la matrice S. La différence}

entre les deux

expressions

^fait

apparaître

^{un terme}

de la forme :

Cependant

^{ni l’une} ni l’autre de ces

expressions

^ne

sont unitaires. On peut

cependant

remarquer que

1 S 12 -

^{1 ne}

dépasse

pas

3 %

^avec quatre ^termes.

Ceci est sans doute dû à la bonne

représentation

^{de la}

partie imaginaire

^de la fonction de Green

qui

^{a été}

signalée précédemment. L’indépendance

^{de la conver-}

gence de ce

développement

^{a été étudiée en fonction}

du _{rayon de} raccordement.

Quelques

^résultats

pour a ⁼ 1,5 R ^{et a = 2 R sont} montrés par le tableau III.

TABLEAU 1

Comparaison

^des

amplitudes

^de transition exactes et

approximées

^{pour le}

puits

carré. On a

porté

^en

colonne _pour une

énergie

^{et une onde données la}

partie

^{réelle et}

imaginaire

^du

développement

^avec

1, 2, 3,

^et

4 termes et la valeur

théorique

^{obtenue par} résolution directe.

TABLEAU II

Comparaison

^des

amplitudes

^de transition exactes et

approximées

pour le

potentiel

^de Saxon-Woods.

TABLEAU III

Convergence

^de

l’approximation

^de

l’amplitude

de transition

pour

potentiel

^de

Saxon-Woods,

^{avec comme} rayons de raccordement 1,5 ^{et 2.}

V. Conclusion. ^- Notre

approximation

^{de la fonc-}

tion de Green est construite à

partir

des états intro- duits _par P. L.

Kapur

^{et R. Peierls. Les dérivées}

loga- rithmiques

^{de ces}

^états, prises

^{en un certain} rayon de

raccordement,

^sont celles des ondes sortantes ;

aussi,

contrairement aux états habituels de

projection,

^ces

états

dépendent

^de

l’énergie.

^Au

prix

^{de cette}

légère complication,

^{on obtient une base}

qui

^est

adaptée

aussi bien à la recherche d’états liés

qu’aux problèmes

de

diffusion ;

^en

effet,

la fonction d’onde obtenue a, par

construction,

^{le bon} comportement

asymptctique

et le bon comportement ^à

l’origine.

^{Si cette}

approxi-

mation

séparable

^{de la} fonction de Green redonne bien les états

liés,

^{elle a} le défaut de ne pas être fonda- mentalement unitaire et de ne pas faire

apparaître

^les

résonances du moins si ^on reste sur l’axe réel des

énergies.

Le bon comportement

asymptotique,

la facilité et la

rapidité

^de construction de ces états et la convergence du

développement (2

^{ou 3}

termes)

permettent ^d’envi- sager

l’application

^{de cette}

approximation

^{à de nom-}

breux

problèmes

^comme la recherche d’états liés dans un

potentiel

^{déformé ou pour la résolution}

d’équations couplées

^{avec des}

potentiels quelconques

pouvant éventuellement ^{avoir un coeur} dur.

Ainsi,

pour la résolution des

équations

^{de Fad-}

deev

[5],

^on peut ^utiliser

l’approche

^de

Noyes [6]

dans

l’espace

^de

configuration.

^Dans les notations

habituelles,

^ces

équations

s’écrivent :

On peut

projeter tp

^{1 sur les ondes}

planes

^{de la}

particule

¹ relativement au centre de masse

(2-3)

^et

sur les états introduits

précédemment ulnl(k23, r23)

de la coordonnée relative

(2-3).

Ces

équations

^{se réduisent alors à un}

système d’équations intégrales couplées

^{à une dimension dont}

les _noyaux s’obtiennent par ^une

intégration

^{de - 1}

à 1. D’autre part, ^à

partir

^du comportement asympto-

tique

^des

tp

i on peut obtenir aisément toutes les

amplitudes

^{de réaction.}

Je remercie le Professeur J. Yoccoz d’avoir

suggéré

cette étude et A. Laverne _pour avoir bien voulu relire

ce manuscrit.

Bibliographie [1] ^KAPUR (P. L.) ^{et PEIERLS} (R.), ^Proc. Roy. Soc., 1938,

A 166, ^277.

[2] ^LEJEUNE (A.) ^{et NAGARAJAN} (M.

A.),

Bull. Soc. Roy.

Sciences, Liège, ^1970, 5-6, ^299.

[3] ^HUMBLET (J.) ^{et ROSENFELD} (L.), ^Nuclear Physics, 1961, 26, 529.

[4] ^MINELLI (T. A.) ^{et ZARDI} (F.), Lettere Nuovo Cimento, 1970, 3, ^369.

[5] ^FADDEEV (L. D.), ^Zh. Eksper, ^Teor. Fiz., 1960, 39, 1459.

[6] ^{PIERRE NOYES} (H.), Phys. ^Rev. Letters, 1969, 23, 1201.