ANALYSE DES CONDITIONS DE RAYONNEMENT DES ONDES EXTERNES POUR UN OBJET CYLINDRIQUE IMMERGÉ

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Submitted on 1 Jan 1990

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ANALYSE DES CONDITIONS DE RAYONNEMENT DES ONDES EXTERNES POUR UN OBJET

CYLINDRIQUE IMMERGÉ

J. Rousselot

To cite this version:

J. Rousselot. ANALYSE DES CONDITIONS DE RAYONNEMENT DES ONDES EXTERNES

POUR UN OBJET CYLINDRIQUE IMMERGÉ. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2),

pp.C2-407-C2-410. �10.1051/jphyscol:1990296�. �jpa-00230719�

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C 2 , supplément au n 0 2 , Tome 51, Février 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990

ANALYSE DES CONDITIONS DE RAYONNEMENT DES ONDES EXTERNES POUR UN OBJET CYLINDRIQUE

IMMERGE

J.L. ROUSSELOT

Le Centre Thomson d'Applications Radars (L.C.T.A.R.), 6 Rue Nieuport, BP. 16, F-78143 V e l i z y Villacoublay Cedex, France

RESUME

-

A partir des propriétés de 1a.transformation de SOMMERFELD-WATSON, on étudie le comportement de deux ondes de type externe : l'onde de STONELEY et la première onde de FRANZ élastique circulant à la périphérie d'un cylindre plein et d'un tube élastique dont la cavité interne est remplie d'un fluide léger (air).

Abstract

-

Starting with the properties of the SOMMERFELD-WATSON transform, one studies the behavior of both external waves : STONELEY and first elastic FRANZ wave propagating on a solid cylinder or an elastic shell whose cavity is filled with a light fluid (air).

1

-

INTRODUCTION

L'étude des ondes de surface circulant à la surface des objets élastiques immergés est très liée à l'analyse des phénomhes résonants 11,21. Parmi les différentes approches de la question, deux théories ont été plus particulièrement appliquées pour des objets cylindriques ou sphériques : la Thborie de la matrice S encore appelée "Resonance Scattering Theory"

(R.S.T) et la désormais classique Transformation de SOMMERFELD-WATSON (S.W. ).

Dans les travaux antérieurs, on s'est intéressé aux ondes de surface interne dont l'énergie est confinée en majeure partie dans le matériau élastique et on a pu montrer 3 l'aide des deux théories évoquées précédemment que ces ondes de surface sont liées à l'apparition de résonances dont la fréquence xnl, le mode n et la largeur

ml

ont été déterminés par des méthodes dériv6es de ces théories.

L'approche de SOMMERFELD-WATSON qui consiste à analyser les contributions à la diffusion au moyen de la recherche de pôles dans le plan complexe de la variable

3,

extension complexe du mode de vibration n, a fait apparaître des pôles supplémentaires qui n'ont pas été à ce jour obtenus par la R.S.T. C'est ainsi que l'on a mis en évidence deux types d'onde : l'onde de STONELEY et la série des ondes de FRANZ élastiques. L'analyse de ces deux types d'onde fait l'objet du présent papier. Des travaux portant sur l'onde de STONELEY sur le cylindre plein 131, ont été effectués récemment et on étend ici les propriétés trouvées au cas de tubes élastiques remplis d'un fluide léger.

2

-

ONDE DE STONELEY

L'évolution du pôle

3 s

de 1 'onde de STONELEY sur le cylindre plein a été étudiée en fonction de la fréquence dans l'article 131. On étudie tout d'abord ce que devient ce pôle quand, partant du cylindre plein, on creuse progressivement ce cylindre, ce qui revient à étudier la fonction

V

^{= ))} (b/a) où b est le rayon intérieur du tube et a le rayon extérieur. La frequence est, durant cette étude, fixée à xi = 5. La courbe (1) de la figure 1 montre 1 'évolution de la racine t)

s

quand le rapport b/a va de O (cylindre plein) à 1 (tube d'épaisseur infiniment fine). Par ailleurs, on a étudié l'évolution de cette même racine pour un cylindre plein en faisant varier le rapport _{= 2 /}

e

^1,

rapport des masses volumiques du matériau P 2 à la masse volumique 1 du fluide extérieur.

Cette évolution est représentée sur la courbe (2) de cette même figure. Ces deux courbes ont bien sur, un point commun correspondant à

? =

2,7, qui représente la situation d'un cylindre d'aluminium plongé dans l'eau. Quand le rapport

7

tend vers l'infini, on retrouve avec une bonne approximation la valeur

V F 1

qui est la racine de l'équation H'(1) (x) = O correspondant à la premiere onde de FRANZ du cylindre impénétrable rigide. Quand le rapport tend vers zéro, le diffuseur devient de type diffuseur mou et se conmporte comme une cavité d'un fluide léger dans un fluide lourd qui est de l'eau. On aurait pu penser que les deux courbes précédentes avaient une même limite quand respectivement

9

O et b/a -,1.

Les deux courbes se rapprochent effectivement de l'axe réel. Cependant la courbe f(l? )

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990296

COLLOQUE DE PHYSIQUE

semble s'éloigner indéfini ent vers l e s valeurs élevées de l a partie r é e l l e , alors que l a partie r é e l l e du pôle $(b/a) tend vers l a valeur limite notée )> 11. sur l a figure 1 :

lim

3s

⁼ 1 1 . 9 9 4 5 + j 0 . 3 4 7 10-6 b/a 4 1

Si maintenant, on recherche l e s pôles d'une cavité fluide léger ( a i r ) dans un fluide lourd (eau), on trouve pour l a même fréquence ka = 5 :

En recherchant au moyen de l a matrice S associée 3 un fond potentiel mou l e s t r a j e c t o i r e s des résonances de ce dernier diffuseur, on retrouve avec une excellente précision l a trajec- t o i r e correspondante. La limite de l'onde de STONELEY du cylindre plein quand l e rapport b/a tend vers 1 e s t a l o r s l a valeur du pôle correspondant

a

une onde de cavité de type fluide/fluide.

Fig. 1

-

Evolution du pôle de STONELEY avec l'épaisseur de l a coque (1) e t évolution du pôle de STONELEY du cylindre plein avec l e rapport

?

^2/

P

1.

3

-

PASSAGE DU CYLINDRE AU TUBE

Plusieurs études récentes, 1 4 3 1 ont mis en évidence sur l e s tubes une onde de type externe nommée onde 1 = O ou onde de SHOLTE-STONELEY. Des courbes $ ( x i ) pour une valeur b/a fixée ont é t é tracées 14,5,6(. Les résonances déterminées par c e t t e approche sesont révélées en,.bon accord avec l e s valeurs expérimentales. Si on trace l a courbe

3

(b/a) pour x i ⁼ csLe on obtient des courbes t e l l e s que l a courbe 1 de l a figure 1. Pour b/a

+

0, ces courbes tendent vers l e pôle V

s

du cylindre plein. On peut affirmer que l'onde décou- verte sur l e s tubes (1 = 0) e s t l e prolongement de l'onde de STONELEY du cylindre plein.

On remarque sur l a courbe 1 que la partie imaginaire e s t relativement élevée quand l e rapport b/a e s t supérieur

a

0,75 ; on comprend alors pourquoi l'onde 1 = O e s t d i f f i c i l e

détecter pour l e s tubes t r è s épais. L'onde de STONELEY, elle-même possede

a

f o r t i o r i une atténuation encore plus importante. Examinons maintenant l e comportement en fréquence de ces ondes pour un rapport b/a fixé. Ce comportement e s t i l l u s t r é par les 4 courbes de l a figure 2.

Fig. 2

-

Evolution du pôle de STONELEY avec l a fréquence pour l e cylindre plein (1) e t pour des tubes de rapport = 0,75 ( 2 ) i

8

⁼ 0,85 ( 3 ) e t

a

⁼ 0,91 ( 4 ) . La fréquence va de ka = 5 à ka = 15 pour l e s courges ( 1 ) , ( 3 ) e t (4) e t de ka = 5 3 ka = 8 pour l a courbe (2).

La courbe ( 1 ) représente 1 'évolution du pôle

VS

du cylindre plein, l a courbe ( 2 ) , l e pôle correspondant un rapport b/a = 0,75, l a courbe (3) 3 un rapport b/a = 0,85 e t l a courbe ( 4 )

a

un rapport b/a = 0,91. Pour l e s faibles valeurs de l a fréquence, l a partie imaginaire e s t voisine de zéro. Lorsque l a fréquence augmente l e s pôles se rapprochent du pôle de STONELEY e t ce, d'autant plus rapidement que l e rapport b/a e s t p e t i t b/a < 0,7.

L'examen de c e t t e même figure 2 permet de confirmer l ' e f f e t de fenêtre mentionné par BREITENBACH 171 e t confi rmé expérimentalement au laboratoire d' ULTRASONS du HAVRE 151.

Sachant qu'une onde de surface ne peut ê t r e détectée que s i son atténuation Im

3

e s t comprise entre deux limites que, pour f i x e r l e s idées, on évalue 3 0.01 e t 0.4, on remarque que l a fréquence moyenne de ce domaine augmente avec l e rapport b/a.

4

-

POLE DE L'ONDE DE FRANZ ELASTIQUE Fl(el)

La courbe (1) de l a figure 3 représente l'évolution du pôle

vF1(el)

quand l e rapport 7) =

p

2 /

Q

1 varie de zéro l ' i n f i n i . On remarq e que lorsque ce rapport 'I) tend vers zéro l e pôle se rapproche indéfiniment du pôle v ~ ~ Y s ) , l e pôle de l'onde de FRANZ impénetrable de type mou) e t non du pôle

3 (SI.

Ce r é s u l t a t nouveau qui n ' é t a i t qu'une conjecture émise dans l a référence 131 e s t &en vérifiée i c i . On confirme alors l a numérotation des racines de FRANZ élastiques qui se trouve décalée d'une unité par rapport 3 la numérotation suggérée dans l e s premières publications portant sur ce sujet (UGINCIUS, 181). On confirme également l a différence qui existe entre l e s ondes de FRANZ élastiques dont l e s pôles restent voisins de l a ligne anti-STOKES e t l e pôle de type STONELEY qui se rapproche de l ' a x e r6el pour les configurations de diffuseur de type mou.

L'évolution du pôle L ) ~ ~ ( e l ) quand l e rapport b/a varie mérite d ' ê t r e signalée i c i (courbe ( 2 ) de l a figure 3). On remarque que lorsque b/a tend vers 1, ce pôle se rapproche alors du pôle

q F

( S I , pôle du cylindre mou e t non de Y F 1 ( s ) ; ce r é s u l t a t montre que ~ l é v o - lution du pole

2 3

F ( e l ) en fonction de b/a e s t quand l a coque devient fine, totalement d i s t i n c t e de l'évolution en fonction du rapport 2 / Q 1 quand ce rapport tend vers zéro alors que ces deux situations correspondent à des diffuseurs de type mou.

En dernier l i e u , on remarque que, sur les deux courbes f ( ? 2 / 1 ) , pour des valeurs de ce rapport comprises entre 1 e t l ' i n f i n i . La partie réelle ne varie pas sensiblement, ce qui s ' i n t e r p r è t e en notant que l e mode ⁷¹ d'une résonance e s t pratiquement indépendant de l a masse volumique du diffuseur.

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Fig. 3

-

Evolution du pôle de FRANZ 1 élastique avec l'épaisseur de la coque (1) et du même pôle quand le rapport

p

2 / Q l varie pour le cylindre plein.

5

-

CONCLUSION

La présente étude apporte quelques éclaircissements sur le comportement de l'onde de STONELEY et de 1 'onde de FRANZ élastique, en particulier pour les cas-limite rigide et mou. L'onde de type 1 = O circulant 3 la périphérie des tubes est bien le prolongement de l'onde de STONELEY mise en évidence sur le cylindre plein.

REMERCIEMENTS

Ce travail a été fait sous contrat de la Direction des Recherches, Etudes et Techniques (Délégation Générale pour l'Armement) que l'auteur remercie pour son autorisation de publier.

REFERENCES

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