Grandeurs et mesures 2

M1 MEEF Maths 2013-2014

1°) Ce segment fait 3cm.

2°) Ce segment a pour mesure 3cm.

3°) Cette surface est de 3cm².

4°) L’aire de cette surface est de 3 cm² 5°) Il me faut 3m de ficelle.

6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de cette figure augmente

nécessairement aussi.

Etant donné un rectangle non carré, on peut fabriquer deux cylindres dont ce rectangle constitue la surface latérale :

 Les deux cylindres ont le même volume

 Le cylindre le plus haut a le plus grand volume

 Le cylindre le plus haut a le plus petit volume

 On ne peut pas savoir

 Fabriquer deux cylindres avec deux rectangles en carton superposables.

 Découper les bases pour qu’elles s’ajustent et assembler les deux parties de façon

étanche.

 Remplir l’un des cylindres à ras bord avec du sable (ou de la semoule).

 Vider le sable dans l’autre cylindre.

 Observer le résultat et faire une conjecture.

 La hauteur est égale à la longueur L.

 La base du cylindre est le cercle de périmètre l et de rayon r donc l = 2π×r d’où r = l / 2π

 Le volume du cylindre est égal au produit de l’aire du disque de base par la hauteur. V₁ = A₁

× h

 L’aire de la base du cylindre est donné par : A₁ = π × r² = π ×(l/2π)² = l² / 4π

 Le volume du cylindre est donc égal à V₁ = L × l² / 4π

La base du cylindre est le cercle de périmètre L.

La hauteur est égale à la longueur l.

 L’aire de la base du cylindre est donnée par : A₂ = L² / 4π

 Le volume du cylindre est donc égal à V₂ = l × L² / 4π

Pour comparer V1 et V2, on calcule le rapport V₁/V₂ = (L×l² /4π) / (l×L² /4π) = (Ll² ×4π) / (l L²

×4π)

V₁/V₂ = l / L comme l < L alors V₁/V₂ < 1 d’où V₁ < V₂

Pour tout rectangle non carré, le cylindre le plus haut a le plus petit volume.

Le rapport du plus petit volume au plus grand volume est égal à l/L.

 Ce problème historique qui se posait aux paysans a été résolu par Galilée.

Quel est le plus grand rectangle?

Aire , périmètre,

encombrement?

Tout caractère d’un objet susceptible de variation

chez cet objet ,

ou d’un objet à l’autre.

• Les objets sont les collections finies

 La grandeur est la taille de la collection ; elle peut être estimée à vue dans certains cas , sinon, la comparaison se fait par la correspondance terme à terme (protocole expérimental).

 L’étalon est l’unité au sens de « un objet »

 La mesure est le dénombrement associé à la structure numérique des entiers.

 On peut changer d’étalon : la dizaine

 Des grandeurs non repérables

◦ par exemple : la gentillesse

 Des grandeurs repérables

◦ par exemple la température

 Des grandeurs mesurables :

◦ Relation d’équivalence : avoir la même longueur que

◦ Relation d’ordre total : être plus lourd que (au sens large)

◦ Un étalon permettant d’attribuer un nombre : la mesure m

◦ Addition telle que m(x+y) = m(x)+m(y)

◦ Multiplication telle que km(x) = m(kx)

Objets:

segments,polygones,cercle surfaces

solides

secteurs angulaires

Nombres:

mesure de

Grandeurs:

longueur aire volume

angle masse

Longueurs:

• périmètre d’une face

• longueur d’une arête, longueur de toutes arêtes (qui n’est pas la somme des périmètres des faces).

Aire:

•aire d’une face

•aire totale (qui est la somme des aires de chaque face).

Volume:

• à l’école: capacité, contenance

• au collège: volume

angles masse

Avec le cube

1. Paul et André ont acheté des chemises de même taille

2. Paul et André portent tous deux des chemises 42

3. Paul et André ont acheté la même chemise

1. Le périmètre d’un carré est 4 fois la longueur de son côté.

2. Le périmètre du carré est de 8 cm

3. Repasser le périmètre du carré en rouge

Pour comparer, il n’est pas toujours nécessaire de mesurer, on peut

estimer à l’aide des sens (vue, toucher, ouïe, kinesthésie) ou mettre en place

une procédure de comparaison.

Comparer sans mesurer : par superposition

Comparer sans mesurer : par déplacements et

superposition

Comparer sans mesurer : en reportant des

longueurs

Comparaison indirecte

Cycle 1 :

Un objet a des critères

• Observer et comparer pour distinguer des critères,

• Classer

• ranger.

Cycle 2 :

Des objets sont

comparables selon un critère

• comparaison directe

• comparaison indirecte Le mesurage :

• Construire des objets définis par des mesures

( unité de grandeur fixée),

• Mesurer des objets (grandeur à mesurer précisée)

• Les unités sont le mètre et le centimètre.

 Cycle 3

La mesure est un critère fondamental

 Comparer des objets selon une grandeur

 Opérer sur des

grandeurs sans mesurer.

 Estimer la mesure avant l’utilisation

d’instruments.

 Maîtriser les unités légales du système métrique et de leurs relations.

 Exprimer le résultat d’un mesurage par un nombre ou un

encadrement

 Effectuer des calculs simples sur les mesures (utilisation des

équivalences entre unités usuelles de longueur)

 Calculer le périmètre d’un polygone.

• Sixième

- Effectuer, pour les longueurs des

changements d’unités de mesure.

- Comparer

géométriquement des périmètres.

- Calculer le périmètre d’un polygone.

- Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle.

• Cinquièm e

-. - Calculer le

périmètre d’une figure (Pour les polygones, dont le

parallélogramme, la compréhension de la notion de périmètre suffit à la

détermination de procédés de calcul ; les formules sont donc inutiles).

Pour pouvoir parler de la longueur d’un objet, il faut pouvoir se ramener à un segment de droite.

Comparer la longueur de deux objets, c’est comparer les segments de droite correspondants.

Pour le cheval : la hauteur au garrot Pour un oiseau : l’envergure

Pour un être humain : la taille ; le tour de taille - de hanche - de cou ou de tête ;

l’empan de la main etc…

Pour un bâtiment : sa hauteur ; la longueur de sa façade ; sa largeur ou sa profondeur ; Pour une pièce : sa hauteur de plafond etc…

Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. sans être exhaustifs, citons

 hauteur d’un monument, d’un arbre (par contre la hauteur du Soleil est un angle) ;

 altitude d’un sommet, d’un avion en vol ;

 dénivelé d’une route ;

 profondeur d’une piscine, d’un placard ;

 taille d’une personne, tour de cou, tour de taille ;

 distance entre deux lieux, entre deux points ;

 largeur d’un fleuve, d’un rectangle ;

 périmètre d’un polygone ;

 circonférence d’un cercle…

Il est important pour l’élève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se

réfèrent au même concept, appelé en mathématiques « longueur ».

La longueur n’est pas nécessairement liée à directement à l’encombrement :

Longueur d’un tuyau enroulé

Longueur de l’intestin

Longueur d’un coupon de tissu ; Longueur de fil sur une bobine électrique

Longueur d’une spirale

Longueur de tube des cuivres (cor, trompette, tuba)

…

Sans mesurer, on peut anticiper

mentalement et/ou perceptivement les

résultats d’une comparaison

Classement des aires ?

Classement des périmètres ?

Dans un second temps, les

comparaisons amènent à des rapports

de grandeurs

Des rapports de grandeurs

Le secteur angulaire droit peut être recouvert exactement par trois secteurs angulaires superposables au secteur angulaire jaune

L’angle droit est égal à 3 fois l’angle jaune du triangle

Des rapports de grandeurs

On peut recouvrir exactement le rectangle avec les deux cerf- volant qui sont superposables.

L’aire du rectangle est égale à deux fois l’aire du cerf-volant

Sans utiliser la mesure, il est possible de comparer des grandeurs ou de trouver des rapports de grandeurs

En conclusion :

« Il est souvent commode, pour comparer toutes les grandeurs d ’un même domaine, de

les comparer à une grandeur particulière...»:

l’unité.

Document d’accompagnement des programmes 2002 de l’école

élémentaire

« Il devient dès lors possible d ’associer à chaque grandeur un nombre, appelé sa

mesure relativement à cette unité »

On peut dans un premier temps, enrichir le travail de comparaison de grandeur, de la

procédure par comptage d’unités*

Cette procédure devient plus efficace quand il s’agit de transmettre par écrit, sans

dessin, des informations permettant de

construire un objet de même grandeur.

Différents étalons (Différentes formes) pour une même unité

1L 1L 1L

Objet ou instrument qui matérialise une unité de mesure, et sert de référence, de modèle légal : mètre étalon, étalon de masse, de poids etc..

(Le Petit Larousse Illustr

, 1994)

A vous :

L’unité choisie est l’aire d’un carré de coté 1.

Dessiner au moins quatre étalons pour cette unité (surfaces de

formes différentes ayant même

aire).

Différents étalons pour une même unité

1 unité

D’après « le tour de l’aire … » (IREM de Lyon)

 Des unités en relation les unes avec les autres dans des rapports qui sont des multiples de 10

 Un système très largement utilisé dans la plupart des pays pour la vie quotidienne et les activités scientifiques

 Les élèves doivent être familiarisés avec la signification des préfixes usuels ( Kilo,

hecto…)

 Les exercices de transformations de mesure doivent rester raisonnables.

La mesure peut être obtenue : par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

Estimation

Il est souhaitable d’apprendre à estimer avant de procéder au mesurage,

Soit à l’œil, soit par geste, soit à partir

de mesures connues.

La mesure peut être obtenue : par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

Mesurage

La mesure est la plupart du temps obtenue par lecture d’une graduation ( sauf pour les aires).

Une réflexion sur la précision des mesures doit être menée lors des activités de mesurage.

La fabrication d’un instrument de mesure permet de soulever la question du choix d’un étalon pour une unité donnée, et de la graduation.

La mesure peut être obtenue : par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

Lecture directe

Dans des problèmes de mesures la prise d’information peut se faire par mesurage, par lecture de côtes, par calcul.

Le choix de la lecture directe de

l’information n’est pas toujours évident

pour l’élève.

Prise d’information

A

B C

Quelle est la mesure de BC ?

Mesurage

Lecture directe

A

B C

Quelle est la mesure de BC ? 7 cm

Prise d’information

Calcul

A

B C

Quelle est la mesure de BC ?

Sur ce dessin 1cm représente 5 cm.

7 cm

Prise d’information

La mesure peut être obtenue : par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

12 cm

10 cm

Sophie a dessiné 3

étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin.

a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette

b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette

D ’après l’évaluation 6^ième

Raisonnement et calcul

Raisonnement et calcul

B A

La surface B est obtenue en collant 4 figures A comme le montre le dessin.

Calculer le périmètre de B.

4,5 m

6 m 7,5 m

Quelle est la masse inconnue ?

?

Raisonnement et calcul

? ? 100

Combien de temps s’est écoulé entre 9 h 27 min et 11 h 5 min ?

33 min + 1 heure + 5 min

ou

-

ou

33 min 5 min

33min + 1 heure + 5 min

Avec des cadrans

Raisonnement et calcul

OBJET GRANDEUR MESURE

Segment

Contour d'une surface plane

Longueur Nombre d’unités

formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle.

Surface plane ^Aire Nombre d'unités.

formule de l’aire d’un rectangle, d’un triangle,

d’un parallélogramme, d’une sphère.

Solide Volume ( capacité) Masse

Nombre d'unités.

formule du volume du pavé droit, du prisme droit, du cylindre de révolution, de la

pyramide, du cône de révolution, de la boule.

Secteur angulaire

angle Nombre d'unités (gabarit) Pas de formule

Temps durée Pas de techniques de calculs

1°) Ce segment fait 3cm.

2°) Ce segment a pour mesure 3cm.

3°) Cette surface est de 3cm².

4°) L’aire de cette surface est de 3 cm² 5°) Il me faut 3m de ficelle.

6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de cette figure augmente

nécessairement aussi.

1°) Ce segment fait 3cm. INCORRECT 2°) Ce segment a pour mesure 3cm.

INCORRECT

3°) Cette surface est de 3cm². INCORRECT

4°) L’aire de cette surface est de 3 cm² CORRECT 5°) Il me faut 3m de ficelle. INCORRECT

6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de cette figure augmente nécessairement aussi. FAUX