Analyse de l'interaction entre un jet turbulent et un tourbillon

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tourbillon

Guillaume Depommier

To cite this version:

Guillaume Depommier. Analyse de l’interaction entre un jet turbulent et un tourbillon. Mécanique

[physics.med-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. Français. �NNT : 2010PA066026�.

�tel-00814804�

de l'Université Pierre et Marie Curie  Paris 6

É ole do torale de S ien es Mé aniques, A oustique et Éle tronique de

Paris

Spé ialité : Mé anique

Présentée par

Guillaume DEPOMMIER

Pour obtenir le grade de

Do teur de l'Université Pierre et Marie Curie

Sujet de la thèse :

Analyse de l'intera tion entre un jet turbulent

et un tourbillon

M. J.-P. Caltagirone Ens bp Examinateur

M. C. Cambon E ole Centrale de Lyon Rapporteur

Mme. O. Labbé Onera/Dsna Examinatri e

M. E. Lamballais LEA Poitiers Rapporteur

M. R. Paoli Cerfa s Examinateur

M. P. Sagaut Univ. Pierre et Marie Curie Dire teur de thèse

Introdu tion xiii

1 Synthèse bibliographique 1

1.1 Développement dujetturbulent . . . 1

1.2 Formation desstru turestourbillonnaires azimutalesprimaires. . . 2

1.3 Appro he desstru turestourbillonnaires etenroulement autour dutourbillon . . 7

1.4 Dissipation desstru turestourbillonnaires . . . 11

1.5 Stabilité destourbillons . . . 11

1.5.1 Diérentstypesd'instabilités tourbillonnaires . . . 12

1.5.2 Instabilités pour un tourbillon de sillage . . . 14

1.5.3 Stabilité linéaire . . . 15

1.6 Stru tures ohérentes . . . 16

1.6.1 Con eptde stru ture ohérente . . . 16

1.6.2 Identi ation desstru turestourbillonnaires . . . 17

2 Méthodes numériques 21 2.1 Présentation du ode Fludiles . . . 21

2.2 Équations de lamé anique desuidesetModélisation . . . 21

2.2.1 Équations pour lasimulation numérique dire te . . . 21

2.2.2 Équations pour lasimulation des grandesé helles . . . 23

2.2.3 Modélisationdestermes desous-maille . . . 27

2.3 Méthodesnumériques . . . 29

2.3.1 Dis rétisation spatiale . . . 29

2.3.2 Intégration temporelle . . . 32

2.3.3 Conditions auxlimites . . . 33

2.4 Simulationde l'intera tionJet/Tourbillon . . . 35

2.4.1 Simulationdurégime jet . . . 36

2.4.2 Simulationde l'intera tion . . . 37

2.4.3 Comparaison desrésultatsauxniveauxexpérimentaux . . . 38

I Développement d'une méthode d'analyse 41 3 Introdu tion 43 4 Développement de la méthode 45 4.1 Séparationde l'a tion de haque stru ture tourbillonnaire . . . 45

4.1.1 Équations de ladynamiquedelavorti ité . . . 45

4.1.2 Changement debase . . . 46

4.2 Séle tion desstru turestourbillonnaires . . . 49

4.2.1 Dénition d'un ritère deséle tion . . . 49

4.2.2 Constru tion d'unalgorithme d'isolement de tourbillon . . . 50

4.2.3 Constru tion d'untest d'appartenan e . . . 50

4.2.4 Finalisation del'algorithme d'isolement . . . 53

4.3 Quanti ationdes a tionspour haquestru ture etalgorithmegénéral . . . 54

4.3.1 Cal ul des hamps devitesse . . . 55

4.3.2 Algorithme général . . . 55

4.4 Con lusion. . . 57

5 Test des diérentséléments de la méthode 59 5.1 Testde l'algorithmed'isolement desstru turestourbillonnaires . . . 59

5.2 Testdu al uldes hampsde vitesseinduits . . . 62

5.2.1 Cal ul de lavitesseazimutale . . . 62

5.2.2 Cal ul de lavitesseradiale. . . 68

5.3 Cal ul destermes de onve tion, diusionetd'étirement . . . 69

5.3.1 Cal ul destermes devorti ité pour unLamb-Oseenthéorique.. . . 69

5.3.2 Comparaison entrerésultatsdu post-traitement et asthéorique . . . 71

5.3.3 Re her he de l'originedes erreurs . . . 71

5.3.4 Impa t duranement dumaillage . . . 74

5.4 Con lusion. . . 78

6 Résumé 79 II Analyse de l'intera tion jet/tourbillon 81 7 Introdu tion 83 8 Re her he de mé anismes dominants ara téristiques de l'intera tion 85 8.1 A quisition desimulations test . . . 85

8.1.1 Rappeldu déroulement d'une simulation àl'aide du ode Fludiles . . . 85

8.1.2 Paramètres de lasimulationet as-test . . . 86

8.1.3 Étude omparative des astests. . . 89

8.2 Post-traitement etanalyse omparative des ourbesd'évolution. . . 96

8.2.1 Dénition desparamètres du post-traitement . . . 96

8.2.2 Comparaison desrésultatsdu post-traitement . . . 97

8.2.3 Con lusion . . . 109

9 Analyse de l'a tion des mé anismes majeurs 111 9.1 Dé oupage de l'intera tion en périodes . . . 111

9.1.1 Choix de dé oupage . . . 111

9.1.2 Dé oupage des périodes . . . 112

9.2 Analyse de haque période . . . 118

9.2.1 Première période:

t

′

_{= 0}

à

t

′

_{= 12}

. . . 118 9.2.2 Deuxième période:

t

′

_{= 12}

à

t

′

_{= 22}

. . . 123 9.2.3 Troisièmepériode :

t

′

_{= 22}

à

t

′

_{= 40}

. . . 128 9.2.4 Quatrième période :

t

′

_{= 40}

à

t

′

_{= 50}

. . . 134

9.2.5 Périodes suivantes . . . 138

9.3.2 Constru tion d'uns énariopour l'intera tion jet/tourbillon . . . 145

9.4 Con lusion. . . 152

Con lusion et perspe tives 153

Annexe A : Cal ul de la dissipation visqueuse 157

Annexe B : Coordonnées ylindriques 159

.1 Equations de lavorti ité enbase ylindrique . . . 159

1 Traînées de ondensation au dessusde lavallée du Rhne. . . xiv

1.1 Déstabilisation d'unjetetformation d'anneautourbillonnaire. . . 2

1.2 Exemple deregroupement de oeurstourbillonnaires. . . 3

1.3 Représentation du isaillement onsidéré.. . . 3

1.4 Eet du isaillement sur unestru ture tourbillonnaire. . . 4

1.5 Eet delafor e deCoriolis pour untourbillon axial. . . 7

1.6 Enroulement desstru turessousforme de spirales. . . 8

1.7 Étirement delaments tourbillonnaires. . . 8

1.8 Aspirationde vorti ité par deuxtourbillons ontra-rotatifs. . . 8

1.9 Création de vorti ité azimutalesur untourbillon axial. . . 9

1.10 S hémade l'é oulement de Taylor-Couette. . . 12

1.11 Visualisationd'instabilités inexionnelles. . . 13

1.12 Développement d'instabilitéde Crowdansunsillage d'avion . . . 14

1.13 Visualisationd'instabilités oopératives. . . 15

1.14 Représentation s hématique d'ondes de Kelvin. . . 16

2.1 Diéren es entre l'appro he DNS etLES. . . 23

2.2 A umulation d'énergieà la oupure. . . 28

2.3 Conguration expérimentale surlaquelleestbasée lasimulation. . . 35

2.4 Dispositiondu jetpar rapportau entre du domaine . . . 37

2.5 Visualisationdu hampde vitesseexpérimental à

X/b = 5

.. . . 39

2.6 Comparaison desrésultatsnumériques etexpérimentaux à

X/b = 0.1

. . . 40

2.7 Comparaison desrésultatsnumériques etexpérimentaux à

X/b = 0.3

. . . 40

4.1 S hémagénéral des étapesdela méthode . . . 49

4.2 Exemple deproblème dûau maillage . . . 51

4.3 Test d'appartenan e :s hémadesdiérentesétapes . . . 52

4.4 S hémagénéral de l'algorithme . . . 53

4.5 S hémadu test d'unvoisin . . . 54

4.6 S hémade l'algorithmepour le al uldes hamps devitesse. . . 56

4.7 S hémadu programme depost-traitement . . . 57

5.1 Surfa es de ritère

Q = 0.01

olorées par lavorti ité azimutale. . . 59

5.2 Choix desstru turesàséle tionner. . . 60

5.3 Résultatde laséle tion après l'isolement via l'algorithme. . . 60

5.4 Résultatde laséle tion du tourbillon prin ipal. . . 61

5.5 Résultatde laséle tion de lastru ture tourbillonnaire primaire. . . 61

5.6 Résultatde laséle tion de lastru ture tourbillonnaire se ondaire. . . 61

5.8 Comparaison de prols devitesseazimutale. . . 63

5.9 Champs devorti ité axialeaprès séle tion par leprogramme. . . 63

5.10 Prols de lanorme de vorti ité au entre dutourbillon.. . . 64

5.11 Prols de norme devorti ité aprèsbaissedu ritèrede séle tion. . . 65

5.12 Prol de lavitesseazimutaleaprès augmentation delaséle tion dutourbillon . . 65

5.13 S héma del'intégration surun domaine axialdoublé. . . 66

5.14 Prol de lavitesseazimutaleaprès augmentation dudomaine axiald'intégration. 67 5.15 Eet duranement demaillage surle al ulde lavitesseazimutale . . . 67

5.16 Prols de vitesseradialeetlimites radiales dutourbillon. . . 68

5.17 Prols de vitesseradialepour le al ul étendu. . . 69

5.18 Variations azimutalesdu hamp devorti ité axiale. . . 74

5.19 Exemple de résultatspour l'enstrophie pourun modèle àtroisstru tures. . . 77

8.1 Évolution del'énergie inétiqueturbulente pour une intera tion jet/tourbillon . . 86

8.2 Évolution del'énergie inétiqueturbulente pour les asA etB. . . 87

8.3 Comparaison entreles asAet Bau temps relatif

t = 120

.. . . 88

8.4 Évolution del'énergie inétiqueturbulente pour les quatre as. . . 90

8.5 Comparaison desprols de vorti ité desquatre asau temps

t = 120

. . . 91

8.6 Comparaison desprols de vorti ité desquatre asau minimum d'énergie . . . . 93

8.7 Comparaison desprols de vorti ité desquatre asau palierd'énergie. . . 94

8.8 Comparaison desprols de vorti ité des asA,BetD au maximum d'énergie.. . 95

8.9 Évolution delavorti ité axialede lastru ture 1pour les asA, CetD. . . 98

8.10 S héma des hamps de vitessegénérés par lesstru tures azimutales. . . 99

8.11 Iso-surfa esde vorti ité du CasA au temps

t = 108

. . . 100

8.12 Iso-surfa esde vorti ité du CasA au temps

t = 114

. . . 100

8.13 Iso-surfa esde vorti ité du CasA au temps

t = 120

. . . 101

8.14 Évolution delavorti ité azimutale de lastru ture 2pour les as A,CetD. . . . 103

8.15 Évolution delavorti ité azimutale de lastru ture 3pour les as A,CetD. . . . 104

8.16 Évolution delavorti ité axialede lastru ture 2pour les asA, CetD . . . 105

8.17 Évolution delavorti ité axialede lastru ture 3pour les asA, CetD. . . 106

8.18 Évolution dunombre de pointsséle tionnés, as D. . . 107

8.19 Comparaison de laséle tion destroisstru turesà diérentstemps. . . 108

8.20 Séle tion desstru tures, asD à

t

′

_{= 50}

. . . 109

9.1 Dé oupage temporel àl'aide delapremière méthode. . . 113

9.2 Deuxième étapedu dé oupage temporel :simpli ationdes ourbes . . . 114

9.3 Dé oupage temporel àl'aide deladeuxième méthode . . . 116

9.4 Dé oupage temporel nal. . . 117

9.5 Isosurfa es de vorti ité oloréespar vorti ité azimutale. . . 119

9.6 S héma dela réation devorti itéazimutale par onve tion de vorti ité radiale . 119 9.7 Répartition de l'étirement induitspar lastru ture 1sur lesstru tures2 et3.. . . 120

9.8 Iso-surfa esde vorti ité olorées par vorti ité axiale autemps

t

′

_{= 8}

. . . 121

9.9 Alignement azimutal delavorti ité pour lesstru tures 2et3 . . . 122

9.10 Champ de vitesseradialegénérée par les stru tures2et 3,autemps

t

′

_{= 8}

. . . . 123

9.11 Isosurfa es de vorti ité oloréespar la vorti ité azimutale. . . 124

9.12 Extra tion de vorti ité axiale dutourbillon entral par les stru turesazimutales. 125 9.13 S héma d'enroulement devorti ité azimutale autour desstru tures2 et3. . . 125

9.14 Lignes de vorti ité surle tourbillon entral au temps

t

′

_{= 20}

.. . . 126

9.17 S hémas del'attra tion spiralée desstru tures2 et3 parle tourbillon axial. . . . 130

9.18 S hémas expli atifs del'é artement d'unepartie desstru tures 2et3. . . 130

9.19 Déformationde lastru ture 2par produ tion de vorti ité axiale . . . 132

9.20 S hémas dela déformationdu tourbillon axialpar sonpropre hamp devitesse . 132 9.21 S hémade formations de pairestourbillonnaires. . . 133

9.22 Fra tionnement desex roissan esde vorti ité azimutale autemps

t

′

_{= 38}

. . . 134

9.23 Isosurfa es devorti ité oloréespar lavorti ité azimutale. . . 135

9.24 Séparationdesstru tures azimutales primaires. . . 135

9.25 Emergen edes stru turestourbillonnaires se ondaires . . . 136

9.26 Déformationd'une stru tureen U. . . 137

9.27 Isosurfa es devorti ité oloréespar lavorti ité azimutale. . . 139

9.28 Isosurfa es devorti ité oloréespar lavorti ité azimutale. . . 140

9.29 Comparaison deniveaux devitesseazimutale etvorti ité axiale. . . 143

9.30 Comparaison del'évolutiontemporellede ladissipationvisqueuse. . . 144

9.31 S énario de l'intera tion,première phase . . . 145

9.32 S énario de l'intera tion,deuxième phase . . . 146

9.33 S énario de l'intera tion,troisième phase . . . 146

9.34 S énario de l'intera tion,quatrième phase . . . 146

9.35 S énario de l'intera tion, inquième phase . . . 147

9.36 S énario de l'intera tion,sixième phase. . . 147

9.37 S énario de l'intera tion,septième phase . . . 148

9.38 S énario de l'intera tion,huitième etdernièrephase. . . 149

9.39 Isosurfa es devorti ité oloréespar lavorti ité azimutale. . . 150

9.40 Eet d'unnombreplusimportant de stru turesazimutalesprimaires. . . 151

41 S hémadu repère ylindrique par rapportau repère artésien du al ulFludiles 159 42 S hémade la onguration pour le hangement debase. . . 161

5.1 Tableau omparatif du al uldes termesde onve tion,diusion,etd'étirement. 71

5.2 Tableau omparatif du al uldes termesde onve tion,diusion,etd'étirement. 72

5.3 Tableau omparatif del'erreur ommise surlestermes al ulés. . . 72

5.4 Tableau présentant lesrésultatsde diérents post-traitements. . . 75

5.5 Tableau omparatif del'erreur ommise surlestermes deséquations devorti ité. 75 8.1 Spé i ationsdu as A . . . 87

8.2 Spé i ationsdesdiérents as . . . 89

9.1 Dé oupage temporelà l'aidede lapremière méthode. . . 115

9.2 Dé oupage temporelà l'aidede ladeuxième méthode. . . 115

Selonlesprévisionsdel'OrganisationInternationaledel'AviationCivile,la roissan eannuelle

dutra aérienmondialpourlesdixpro hainesannéesseraenmoyennede

6, 5%

pourletransport

de mar handises, etde

5%

pour letransport de passagers. L'augmentation de ladensité ( déjà

élevée)d'avionsenl'air,àproximitédesaéroportsetausol,soulèveplusieursproblèmes:gestion

du transitdansles aéroports,gestion desroutesaériennes, augmentation desnuisan essonores,

de la pollution... Plusieurs de es problèmes sont reliés au sillage d'un avion. Ce dernier se

omposedujetissuduréa teur,quiestunensembledegaz hauds(produitsparla ombustion)

expulsés à haute vitesse dans l'atmosphère et du tourbillon de sillage (ou tourbillon marginal)

qui seformeau boutdes ailespar l'enroulement delanappe tourbillonnaire.

Siunavion roiselesillaged'unavionlepré édant,ets'ilestpla édansl'axed'untourbillon

de sillage, il risque d'être fortement déstabilisé. En eet le tourbillon de sillage induit un fort

moment de rotation, proportionnel à la ir ulation de e tourbillon. Don , si le premier avion

est un gros porteur de type Boeing747 ou AirbusA380, il va produire un tourbillon de sillage

trèsénergétiqueetdon sour edeproblèmes pour l'avion suiveur,surtoutsi ederniersetrouve

à proximité du sol (phase de dé ollage, ou phase d'atterrissage). Il est don né essaire de

res-pe ter desdistan es de séparation entre deuxavions, letemps que l'intensité destourbillonsde

sillage baisse. Pour un aéroport, ette distan e se traduit par un temps d'attente entre deux

dé ollages/atterrissages, ontribuant ainsiàla ongestion dutransit.

Les problèmes asso iés au jet sont d'une autre nature, et se pla ent dans un ontexte plus

environnemental. L'intérêt seportei i surladiusion desproduits dela ombustion.La densité

d'avions dans un aéroport favorise la on entration de es espè es himiques du jet qui sont

toxiques et polluantes. Il est aussi onnu que les gaz hauds du jetse refroidissent rapidement

au onta t de l'air froid en vol, réant ainsi destraînées de ondensation visibles depuis le sol.

L'intensi ationdu tra aérien augmentelenombrede traînées dansle iel, ommeonpeutle

voir surlagure1pour larégion pro he del'aéroport Lyon-Saint Exupéry.Desétudes en ours

her hent à déterminerl'inuen ede es traînéessurl'eet de serre.Pour lesespè es himiques

ommepourlatraînée, l'enroulement dujetautourdutourbillon peutfavoriserladispersionde

ette traînée.

Il apparaît don qu'une meilleure ompréhension de la physique du sillage et de ses deux

omposantes (jet, tourbillon) pourrait amener à un ontrle de l'origine ou de l'évolution des

problèmes évoqués i-dessus, e qui a sus ité de nombreuses études. Historiquement, les

pre-mières de es études portant sur le sillage d'avion se sont on entrées sur les tourbillons de

sillage, et oïn ident ave les premiers pas de l'aviation. Il y a eu un regain d'intérêt pour e

sujet dans les années 1970 ave l'apparition des gros porteursde type Boeing 747 (premier vol

ommer ial en 1969) à ause des problèmes liés aux tourbillons. La liste des études menées à

ette époque est longue, et on onseille la le ture de l'arti le de 1999 de Rossow [77 ℄, qui

re-prend l'ensemble des résultats obtenus au ours de es années. On retiendra que l'ensemble de

es études, expérimentales (faites au sol et en vol) ou omportementales, ont majoritairement

Fig. 1 Traînéesde ondensation audessusde lavalléeduRhne. Sour e:NASA.

tourbillon ...) pour éviter lesproblèmes liésaux tourbillons.

Le thème a onnu un renouveau dans les années 90 ave l'apparition de nouveaux moyens

expérimentaux non-intrusifs, tels que la PIV (Parti ule Image Velo imetry), rendue possible

ave l'arrivée de amérasplusperformantes,ou bienlaLDV (Laser-Doppler-Velo imetry).Ces

nouveaux moyens permettent alors d'obtenir des relevés de vitesse et de pression plus pré is

pourlesdiérentesrégionsdusillage

∗

.Pour unevued'ensembledesétudesexpérimentalessurle

sujet,on onseillel'arti ledeSava³[80 ℄,quia lassél'ensembledesétudesexpérimentalessurles

tourbillons de sillage, en détaillant pour ha une de es études le type d'expérien e (souerie,

tunnel hydraulique, bassin à eau, ...), l'instrumentation (tube de pitot, LDV, PIV, ...), les

données de l'é oulement (nombre de Reynolds) et la maquette utilisée (prol Na a0012, aile

omplète, et ). Cependant, malgré es nouveaux moyens expérimentaux, un problème subsiste

pour ee tuer des mesures expérimentales dans le hamp lointain. En eet, pour atteindre des

distan es de mesures élevées dans l'axe du sillage, il faut soit avoir une longue se tion de test

danslasouerie,soitavoirunemaquetteréduite.L'étude expérimentaledu hamplointaind'un

sillage tourbillonnaire àhaut nombre deReynolds estdon di ile.

Un des moyens pour y remédier a été la simulation numérique. Dans les années 90 se sont

développéesdenouvellesméthodesnumériqueset,grâ eàdesmoyensinformatiquesplus

impor-tants,lasimulationdu hamplointainestdevenue possible.C'estladeuxièmeraisonde eregain

d'intérêt pour lesillage d'avion. Ces étudesse sont basées surdiérentes méthodes:simulation

numérique dire te (DNS) [76 ℄, simulation aux grandes é helles (LES) [27 , 31 ℄, simulation des

équations d'Euler [84℄ et méthodes basées sur des lâ hers parti ulaires [13 ℄. Ces études sesont

atta hées à reproduire les mesures expérimentales, à omprendre la formation des tourbillons

et leurdéveloppement (traje toire, intera tion entre les diérents tourbillons) etàproduire des

modèles réalistes.

Enn, si les études du sillage d'un avion étaient jusque là essentiellement tournées vers le

tourbillon marginal,l'intérêt s'est,à etteépoque,tournéversl'évolutiondujet,pourlesraisons

∗

Eneet,il est ourant dedé ouperle sillageenquatre régions: Le hamppro he(near-eld), ouvrant

unedistan e

x

derrièrel'aviondel'ordredela ordedel'avion

x/c = O(1)

,le hamppro heétendu(extended

near-eld) ouvrant une distan e de l'ordre de l'envergure

b

de l'avion

x/b = O(1)

, le hamp semi-lointain

environnementales mentionnées plushaut.I i en ore, es études ont étéà lafois expérimentales

[36, 94 ℄, théoriques [63 ℄, et numériques [10 , 50 , 69, 70℄. Le omportement du jet lors de la

formation du tourbillon, la dispersion des parti ules de suie et la formation des traînées de

ondensation fontpartis desthèmesalors analysés.

Grâ e à es études, la des ription du sillage est allée plus loin que le dé oupage hamp

pro he/ hamplointain. Miake-Lye etal. [63 ℄ distinguent diérentes étapesdanslaformation et

lavie dusillage.Dansune premièrephase, lejetsortant duréa teursedéveloppe librement par

mélangetourbillonnaire àl'airfroidambiant.Silesrelations entrelejetetletourbillon naissant

dans ette zone du sillage restent sujet d'études

∗

[14, 20 , 27, 31 ℄, l'impa t du tourbillon sur le

développement du jet est généralement jugé mineur et 'est pourquoi ette phase est appelée

régime jet.Après ette période,qui dure environ dixse ondes, ommen e la phaserégime de

sillage.C'estune phased'intera tionforteentreletourbillon maintenant formé etlejet,quine

possèdeplusassezdequantitédemouvementaxialepour résisteràl'attra tiondutourbillon.Le

jets'enroule alorsautour de e dernier,et hangede stru ture turbulente. Ladernière phaseest

lerégimededestru tion:lestourbillons ontrarotatifssontsusammentpro hespourqueleurs

hampsdevitesseinteragissentmutuellementetquedesinstabilités oopérativessedéveloppent,

aboutissant à la destru tion du tourbillon. Si on s'atta he plus parti ulièrement au régime de

sillage,onpeutlàaussidistinguerdeuxphases.Lapremièreestunephased'intera tion pendant

laquelle le tourbillon modie fortement la stru ture de laturbulen e du jet s'enroulant autour

de lui. De nouvelles stru tures tourbillonnaires plus intenses font alors leur apparition. Il y a

ensuiteunephasededissipationdurantlaquelle esstru turesdisparaissent,pardiusionoupar

é latement tourbillonnaire.

Ce régime de sillage a fait l'objet de nombreuses études, qui se sont atta hées à prédire la

diusion desespè es himiquesdujet,à omprendre lamanière dont esespè es himiquessont

piégéesparletourbillon,l'eetdelapositiondujetpar rapportautourbillon...Cependant, es

étudesexpérimentalesetnumériquess'atta hentleplussouventàunpointspé iquede

l'intera -tion, etil n'y aeu quepeu d'analysesphysiquesou omportementales ee tuées en onsidérant

l'intera tion dans son ensemble. Plus parti ulièrement, il n'y a pas eu, à notre onnaissan e,

d'analyse détaillée de la phase d'intera tion du régime de sillage. On ne onnaît pas

pré isé-ment l'impa tdutourbillonsurlesstru turesturbulentesdujet,etinversement,lesmé anismes

intervenant lors de l'intera tionentre esstru turesetletourbillon.

Lebutde etteétude onsistedon àee tueruneanalysenedel'intera tionjet/tourbillon,

en parti ulier pour laphase d'intera tion du régime desillage. Cetteanalyse setraduit par une

re her hedesmé anismesphysiquesrégissantlesdiérentespériodesdel'intera tion,leurorigine

etleur en haînement, ens'appuyant surles résultatsd'unesimulation numérique.

Après un rappel de l'état de l'art sur le sujet ( hapitre 1 ), et une présentation des outils

numériquesutiliséspour simulerl'intera tionjet/tourbillon( hapitre 2),onprésenteradansune

première partie la méthode employée pour analyser nement ette intera tion. On s'atta hera

alors, dans un premier temps, à onstruire l'outil d'analyse en expliquant son intérêt, et sa

mise en oeuvre ( hapitre 4). An de vérier que et outil est pertinent pour l'utilisation que

l'on ompte en faire et se omporte tel que prévu, on ee tuera, dans un deuxième temps, un

ensemble de tests de validation ( hapitre 5). A l'aide de la méthode mise au point dans la

première, nous nous atta herons dans une deuxième partie à l'analyse à proprement parler de

la phased'intera tion du régime de sillage. Cette analyse sedéroulera aussi endeux temps. La

démar he onsistera d'abord à utiliser la méthode mise au point pour mettre en éviden e les

mé anismesdominants, ara téristiquesdel'intera tion( hapitre8).C'estàdirelesmé anismes

dont l'a tion est déterminante dans l'évolution du jet etdu tourbillon, et qui sont identiables

pour toute intera tion. Ensuite, l'étude se on entrera sur l'a tion de esmé anismes majeurs,

Synthèse bibliographique

L'obje tifde epremier hapitreestdedonneraule teurunevued'ensembledusujet, 'està

direl'intera tionjet/tourbillon.Cesujetest omplexeet omportediversesthématiquestrès

dis-tin tes:ilmêledéveloppement destru turesturbulentesdansunjet,mé anismesdeprodu tion

de vorti ité via isaillement,stabilité tourbillonnaire ...Aussiil nousparaît approprié, dansun

premier temps,de suivrel'intera tion depuis ledéveloppement turbulentdu jet(phasejetselon

Miake-Lye et al. [63℄) jusque dans la zonelointaine du sillage et de dé rire haque mé anisme.

On développera ensuite quelques points parti uliers : la stabilité des tourbillons, le on ept de

stru tures ohérenteset leurdéte tion.

1.1 Développement du jet turbulent

Durantlaphasejetdel'intera tion, 'estàdiredansle hamppro hedusillage,letourbillon

marginal est en ore en formation et n'ae te pas en ore le jet. Ce dernier est alors libre de se

développer.C'est pourquoinousallons ommen erpar dé rirelatransitionàlaturbulen ed'un

jet laminaire, bien que dansun as réel, e dernier soit déjà turbulent en sortant de la tuyère.

Les études expérimentales [68℄ ainsi queles études numériques [18, 58,59 , 60℄ ont montré qu'il

se formedes anneaux tourbillonnaires dansla ou he de isaillement d'unjet rond initialement

laminaire (voir gure 1.1 ). La réation de es anneaux résulte du développement d'instabilités

de type Kelvin-Helmholtz dans la ou he de mélange, dues au isaillement à l'interfa e entre le

jetetl'extérieur. MartinetMeiburg [60 ℄ ont montré quesous ertaines onditions,desanneaux

tourbillonnaires ontra-rotatifs peuvent apparaître entre les anneaux réés par l'instabilité de

Kelvin-Helmholtz.

Cesanneauxtourbillonnairessonteux-mêmessoumisàdesperturbations[59℄:ilssont

désta-bilisésradialement etaxialementet ette perted'axisymétriefavorisel'apparitionde tourbillons

axiaux(braidsvorti es enanglais)reliantlesanneauxentreeux.Cesperturbationssonten

par-tie dues auxphénomènes d'appariements faisant évoluer les anneaux entreeux etdéplaçant les

pointsd'arrêtlibresentre haqueanneau. Le isaillement amplie esperturbationsquiforment

les stru tures tourbillonnaires longitudinales. En n de ompte, les perturbations s'intensient

et nissent par déstabiliser omplètement les anneaux tourbillonnaires qui se fra tionnent en

plusieurs mor eaux.

Les perturbations non-visqueuses, initiées dans la ou he de isaillement, réent don un

ensembletourbillonnaire à lapériphérie radialedujet. Lesvariationsradiales de esanneaux se

réper utent sur le oeur du jet(pro he de son axe) etex itent desmodesd'instabilités appelés

jet- olumn modes.Commele résument Danaila, Du²eketAnselmet [18 ℄,un jetaxisymétrique

dénit deux longueurs ara téristiques : l'épaisseur initiale de quantité de mouvement de la

ou he limite

Θ

0

, dé rivant la dynamique du jet à proximité de la tuyère, et le rayon du jet

Fig.1.1 Déstabilisation d'unjetetformation d'anneautourbillonnaire. Sour e :internet.

non-visqueuse, le rapport

R/Θ

0

dénit le nombre d'onde dominant pour les modes azimutaux.

Pour lejet, erapportdé roîtlelongdel'axeetdon si lesmodes

m = 0

et

m = 1

sont tousles

deux présentsdans lazonepro he de lasortie du jet, lemode

m = 1

est leplus amplié dèsla

n du nepotentiel.L'ensemblede esperturbations, ampliées parl'apparitiondesstru tures

longitudinales, fait progressivement transiter lejetàlaturbulen e.

1.2 Formationdes stru turestourbillonnairesazimutalesprimaires

La phase tourbillon du régime de sillage de l'intera tion ommen e lorsque le tourbillon

nouvellement formé possède susamment d'intensité pour apter lejetet l'attirer àlui. Le jet,

dont la vitesse axiale a huté au ours de son développement, n'est plus en mesure de résister

à l'attra tion du hamp de vitesse réé par le tourbillon et s'enroule autour de e dernier. Au

ours de et enroulement, de nouvelles stru tures tourbillonnaires, majoritairement omposées

de vorti ité azimutale, font leur apparition. Ces stru tures s'enroulent sous forme d'anneaux

tourbillonnaires, oude manièrespiralée autour dutourbillon [66 , 83,85℄.

Selon Melander etHussain [62 ℄, lorsque les anneaux tourbillonnaires se mor ellent suite au

développement d'instabilités azimutales, ils forment des stru tures tourbillonnaires polarisées

∗

enformed'épingleà heveux(i.e hairpinvortex).Ceteetest onrméparMarshall[57 ℄:une

stru ture tourbillonnairedevenueinstables'allonge danslesensde l'é oulementsouslaformede

delta oud'épingles(hairpinvorti es)dontlesdeuxjambesontdesvorti itésdesignesopposés.

Ces stru tures sont alors alignées dans la dire tion azimutale par le isaillement induit par le

hamp de vitessegénéré par letourbillon. En donnant unedire tion privilégiée à esstru tures

(qui sinon sont répartiesde manière haotique),letourbillon favorisealors lesappariements, les

re onne tions (voir gure 1.2) et autres phénomènes tourbillonnaires essentiellement

bidimen-sionnels. De ette façon, desstru turestourbillonnaires omposées majoritairement de vorti ité

azimutale font leurapparition autourdu tourbillon.

Eet du isaillement Le isaillement induit par le hamp de vitesse azimutale réé par le

tourbillon entral semble être à l'origine de ette formation de stru tures tourbillonnaires. Si

dans notre as, e isaillement favorise l'émergen e d'un ertain type de stru tures, desétudes

ont été menées sur l'eet d'un isaillement sur de laturbulen e isotrope homogène [40 , 48 ℄, et

Fig. 1.2 Exemplede regroupement de oeurs tourbillonnaires (Sour e:Verzi oet. al. [92℄)

ont onstatél'émergen e destru turestourbillonnaires.

Par exemple,si on onsidère l'étudemenée par Kida etTanaka [48℄,un isaillement detype

S = (Sx

2

, 0, 0)

dans un repère

(x

1

, x

2

, x

3

)

(voir gure 1.3 i-dessous) ayant pour axe prin ipal

l'axe

x

1

,pouraxeverti all'axe

x

2

etl'axe

x

3

entantqu'axetransverse,alaformesuivantepour

l'équation de lavorti ité :

Fig.1.3 Représentation du isaillement onsidéré (sour e:KidaetTanaka[48 ℄)

∂ω

i

∂t

= (− Sx

2

∂ω

i

∂x

1

− U

k

∂ω

i

∂x

k

)

|

{z

}

I

+ (S.ω

2

.δ

i1

− S

∂U

i

∂x

3

+ ω

k

∂U

i

∂x

k

)

|

{z

}

I

+ ν∇

2

ω

i

(1.2.1)

(I) ontientlestermesd'adve tion.Onpeutydistinguerl'adve tiondelavorti ité parle

isaille-ment (

1

er

terme) et l'adve tion de la vorti ité par la vitesse (

2

ème

terme). Dans (II), on peut

distinguer troistermes (degau he àdroite) :

 Le premier dé ritun passage de lavorti ité verti ale à lavorti ité dominante de

l'é oule-ment (axiale dansnotre as) par l'eet du isaillement,

 Ledeuxièmemontrela onversiondelavorti itémoyenne ambiantesuivantla omposante

 Le troisième terme onvertit la vorti ité de la omposante

x

k

à la omposante

x

i

(pour

k 6= i

),ouun hangementd'intensitédelavorti itéparétirementou ontra tiondeslignes vortex.

Onpeutdon ,àl'aidede etteéquation,mesurerl'inuen edu isaillementsurl'intera tion,

sur l'organisation de la turbulen e. En eet, on peut onsidérer que e modèle de isaillement

plan est vraisur lafrontière du tourbillon prin ipal dans notre asd'intera tion jet/tourbillon.

Lo alement,le isaillementinduit parletourbillon estanalogueau isaillementplan(lo alement

x

2

est analogue au rayon et

x

1

à la dire tion azimutale). Dès lors, l'équation i-dessus devient

intéressantepour i=1(

θ

).

∂ω

θ

∂t

= (− Sx

2

∂ω

θ

∂x

1

− U

k

∂ω

θ

∂x

k

)

|

{z

}

I

+ (S.ω

2

− S

∂U

θ

∂x

3

+ ω

k

∂U

θ

∂x

k

)

|

{z

}

I

+ ν∇

2

ω

θ

(1.2.2)

Si l'on reprend l'expli ation des termes de (II), on a globalement une réorientation de la

vorti ité radialeetaxiale suivant la omposante azimutale ou unemodi ationde l'intensitéde

ette dernière. Le isaillement induit par le tourbillon prin ipal impose don une réorientation

de lavorti ité dansson voisinage.

L'é oulement isaillé moyen étire la vorti ité ambiante pour générer des tubes vortex

lon-gitudinaux. Ces mêmes tubes induisent un mouvement de rotation autour d'eux, qui étire les

lignestourbillonnairesperpendi ulairement ausensdel'é oulementande réerdesnappes

vor-tex. Sous l'eet de l'instabilité de Kelvin-Helmholtz, es nappes s'enroulent sur elles-même et

forment des tubes vortex latéraux. De fortes intera tions existent entre es diérentes entités

(nappe, lament, tourbillons longitudinaux et latéraux, é oulement isaillé), omme on peutle

voirsurlagure 1.4.

Fig.1.4Formationetdestru tiondestru turestourbillonnairesdansun hamp isailléuniforme

[48 ℄

Ces stru tures se forment perpendi ulairement à la dire tion de l'é oulement, à

45

°ou

−

135

° par rapport à la dire tion du isaillement. Pour faire le pendant au as de l'intera tion

jet/tourbillon, lesstru turesseformeraientperpendi ulairement àl'axedujetetave un ertain

angle par rapport à la dire tion azimutale. Cet angle dé roît ave le temps, et les stru tures

ont tendan eàs'alignerdansladire tion du isaillement.Enmenant onjointement uneétudeà

partirdesimulationnumériquedire te(DNS)etuneanalysenégligeantlestermesnon-linéaires

∗

,

Iidaetal.[40 ℄ontmontréquel'alignement dansladire tionlongitudinaledesstru tures(etdon

∗

leur intensi ation) était un mé anisme linéaire,au ontraire de ladéformation horizontale (ou

tilting en anglais).

For e de Coriolis Un autre phénomène quise produitau débutde l'intera tion entreun jet

turbulent etuntourbillon desillage, estdûà lafor ede Coriolis.Nousallonsnousbasersurles

travaux d'Arnaud Antkowiak [2 ℄ pour présenter un mé anisme de formation et d'ampli ation

de stru turestourbillonnaires azimutales.

Le phénomène s'appuiesur leprin ipe de la pseudo-for e deCoriolis, appliquée aux

pertur-bations de vitesse azimutales, autour du tourbillon de sillage, dues à la turbulen e. Ces

per-turbations de vitesseazimutale lo aliséesdansl'espa e (que l'onappelleramaintenant  stries)

induisent alors un eet d'expulsionou d'attra tion( par rapportau entredu tourbillon ) pour

les éléments de uide aux alentours des stries. Cet eet se traduit don par un mouvement de

rotationautourd'unaxeazimutaldanslazonepotentielledutourbillon,etilse réedesanneaux

tourbillonnaires autourdu tourbillon prin ipal.

En s'intéressant aux perturbations axisymétriques d'un tourbillon de Lamb-Oseen ([2 ℄

ha-pitre3.1),Antkowiakproposeuneperturbationoptimale

∗

omposéeuniquementd'unempilement

de stries de haute et basse vitesse azimutale

u

θ

, lo alisé à la périphérie du tourbillon, dans la

région quasi-potentielle. Suite à ette perturbation, on observe la génération et le

développe-ment destores de vorti ité azimutale

ω

θ

.Ces rouleaux s'amplient très nettement, et au temps

optimal,quasiment toute l'énergiede laperturbation est ontenue dans es stru tures.

On peut être tenté de faire un parallèle ave l'eet lift-up

†

,mais le as n'est pas le même.

Dans le asde l'eet lift-up,on onsidèreun é oulement plan isaillédanslequel on plongeune

perturbationoptimale souslaformederouleauxlongitudinauxet eteet réedesstriesaxiales

de hauteetbassevitesse.Dansle asprésent, e seraitpluttl'inverse :desstrieslongitudinales

(en onsidérantunrayondetourbillontrèsgrand)dehautevitesseformantdepuissantsrouleaux

longitudinaux ontra-rotatifs. A partir de ette remarque, Antkowiak nomme l'eet qui nous

intéresse :eet anti-lift-up.

Si on onsidère le tourbillon de Lamb-Oseen dans un milieu homogène, il orrespond à un

état d'équilibre des for es en présen e. L'eet d'expulsion dû à la for e entrifuge est

ontre-balan éparlesfor esdepressiondu oeurtourbillonnaire.Dèslors,sil'onperturbe etéquilibre

en faisant varier la vitesse azimutale des parti ules uides, on les soumet à la pseudo-for e de

Coriolis :

~

F

coriolis

= −2Ω(r)−

→

e

z

∧ u

θ

−

→

e

θ

soit ~

F

coriolis

= 2Ω(r)u

θ

−

→

e

r

où

Ω(r)

est la vitesse angulaire induite par le tourbillon de Lamb-Oseen, et

u

θ

la variation de

vitesse azimutale. Cequi veutdire qu'une parti ule dansune striede haute vitesse(resp.basse

vitesse) seraexpulsée vers l'extérieurdutourbillon (resp. versle oeurdu tourbillon).

Cependant, ommeindiquépré édemment,lesparti ulessontaussisoumisesàd'autresfor es

que elledeCoriolis.SionpartdeséquationsdeNavier-Stokeslinéarisées(enaxisymétrique)pour

un hampdeperturbation

u = (u

r

, u

θ

, u

z

, p)

autourd'un hampmoyen

U = (0, rΩ(r), W, P )

( f.

∗

Leprin iped'optimisationaétéainsirésuméparPradeepetHussain[73 ℄:onappellelegain

G(t)

l'enveloppe des ourbesd'évolutiond'énergie

E(t)

desperturbations.Sil'énergie

E(t)

d'uneperturbationatteint

G(t)

à

t = τ

,

onditque etteperturbationest

8

_{t = τ optimale}

′

.Elleest optimaledansle sensoùau uneautreperturbation

n'atteintuneaussigrandeénergied'ampli ationà etinstant

t = τ

.Pourplusdepré isions surlaméthodedes perturbationsoptimales,voirl'arti le deCorbettetBottaro[16 ℄.

†

Si on onsidère uneperturbation envitesseverti ale (ie.un tourbillonlongitudinal), des parti ules seront

soulevées(lifted-up)et,en onservantleurquantitédemouvement, réerontlo alementuneforteperturbationde

vitesse( f.[51 ℄).Dansunarti lepubliéen1992,ButleretFarrell[11 ℄ontdémontréquelaperturbationoptimale

[2 ℄, hapitre 2.1) :

∂u

r

∂t

− 2Ω(r)u

θ

= −

∂p

∂r

+

1

Re

(∆u

r

−

u

r

r

2

)

(1.2.3)

∂u

θ

∂t

+

κ(r)

2

2Ω(r)

u

r

=

1

Re

(∆u

θ

−

u

θ

r

2

)

(1.2.4)

∂u

z

∂t

= −

∂p

∂z

+

1

Re

(∆u

z

)

(1.2.5)

où

κ(r)

estlafréquen eepi y liquelo ale.Onajoutel'équation de ontinuité :

1

r

∂ ru

r

∂r

+

∂u

z

∂z

= 0

(1.2.6)

on peutalors,en prenant ladivergen e dusystème(1.2.3- 1.2.5 ), soit

1

r

∂r(

1.2.3

)

∂r

+

∂(

1.2.3

)

∂z

= 0

(1.2.7)

etenfaisantdisparaîtrelestermesvisqueuxetdedérivéetemporelle,faireapparaîtreuneéquation

s alaire dite de Poisson:

∆p =

1

r

∂

∂r

(2rΩ(r)u

θ

)

(1.2.8)

que l'onpeutvoir souslaforme

[∇.(−∇p)] = −[∇. ~

F

coriolis

]

(1.2.9)

Onpeutdon voirque lafor e depression orrespondà l'opposée delapartie potentiellede

lafor edeCoriolis.Elless'annulent don .Dèslors,la omposantequ'ilnousrestede ettefor e

de Coriolis est la partie rotationnelle, omme on peut le voir sur la gure 1.5, qui va générer

un mouvement toroïdal axisymétrique. C'est à dire que ette partie rotationnelle va for er la

génération de rouleauxde vorti ité

ω

θ

.

Deplus,sil'on onsidèrel'équationd'évolutionlinéariséedelavorti ité azimutale i-dessous,

on peut voir qu'une modi ation de la vitesse azimutale va entraîner une modi ation de la

vorti ité azimutale.

∂ω

θ

∂t

= 2Ω(r, t)

∂u

θ

∂t

+

1

Re

∆ω

θ

(1.2.10)

Cetteéquation,quipeutaussiêtrevueentermesd'étirementetde hangementd'in linaison[73 ℄,

montre quel'évolutiondelavorti ité azimutale estlinéairement dépendantedesstriesdevitesse

azimutale. Cependant, si l'on onsidère l'équation d'évolution de la vitesseazimutale (équation

1.2.11 i-dessous), on peut s'aper evoir que si es stries semblent évoluer indépendamment de

ontrainteshydrodynamiques,iln'enestrien on ernantl'évolutiondesanneauxtourbillonnaires,

qui sont entièrement régis par esstries.

∂u

θ

∂t

=

1

Re

∆u

θ

(1.2.11)

On retrouve ette dépendan e linéaire visà visdes perturbations de vitesseazimutale

u

θ

dans

l'équation d'évolutionde lavitesseradiale:

∂u

r

∂t

= −

∂p

∂r

+ 2Ω(r, t)u

θ

+

1

Re

(∆~u).−

→

e

r

(1.2.12)

Fig. 1.5  (a) Densité de for e de Coriolis à l'instant initial. (b) et ( ) Dé omposition de

Helmhotz de e hamp de for e en partie potentielle etrotationnelle respe tivement. (d)For e

de pression

−∇p

àl'instant initial etisobares orrespondants. (Sour e [2℄)

vers l'extérieur. On voit don bien omment le mouvement ir ulaire peut être engendré, les

stries de vitesse azimutales engendrant un mouvement radial sur les parti ules, et un hamp

rotationnel intense (gure 1.5 ( )).

Sidansle asétudiépar Antkowiak, lesperturbationssont optimalesetrégulièrement

répar-tieslelongdutourbillon,l'eetdelafor edeCoriolisaétévériédansle adred'uneturbulen e

homogèneisotrope[98℄.Lesstru turessontdon générées onjointementparle isaillementinduit

par letourbillon etla for ede Coriolis.

1.3 Appro he des stru tures tourbillonnaires et enroulement

au-tour du tourbillon

Une fois formées, les stru tures tourbillonnaires sont onve tées vers le tourbillon et

s'en-roulent de manière spiralée autour de e dernier. Dans leur arti le, Melander et Hussain [62℄

faisaient remarquer qu'après l'alignement azimutal induit par le isaillement lors de la réation

desstru turestourbillonnaires, lavorti ité de esdernières n'est pasabsolument alignéeave la

dire tionazimutale :leslignesdevorti ité ontune formespiralée( f.gure1.6 ).Cetalignement

purement azimutal sefaitprogressivement,au furetà mesurequelastru tureappro heet

s'en-rouleautourdutourbillon.Lavitesseazimutaleengendréepar edernierestplusintenselorsque

l'on s'appro he du rayon de oeur, ommele montre lagure1.7. Le isaillement estalors plus

intense lorsque l'ons'appro he de l'axedutourbillon, e qui favorisel'alignement.

Déformationdutourbillon Cetenroulementdesstru turestourbillonnairesautourdu

tour-billon prin ipal le perturbe de diverses façons. Tout d'abord, ette proximité des stru tures

déforme le tourbillon. L'eet onjoint de deux stru tures tourbillonnaires ontra-rotatives (ou

o-rotativeave uneetmoindre) attirelavorti ité dutourbillonà elles:letourbillon marginal

Fig.1.6Enroulementdesstru turessous

forme de spirales (Sour e : Melander et

Hussain[62 ℄)

Fig.1.7Illustrationdel'étirement de

-laments tourbillonnaires par le tourbillon

prin ipal (Sour e : Pradeep et Hussain

[73 ℄).

Fig. 1.8Aspirationde vorti ité par deuxtourbillons ontra-rotatifs (Sour e:Marshall [57℄)

une déformation radiale du tourbillon se propage le long de l'axe, suivant les anneaux dans

leur mouvement. Ces derniers attirent à eux des nappes de vorti ité, à partir du tourbillon,

qui sont rapidement diusées par la vis osité ambiante (voir gure 1.8 ).Dans le as d'anneaux

ontra-rotatifs, lamodi ation durayon reste lo ale,mais estplus importanteen amplitude,et

la vorti ité extraite par e biais est don elle aussi plus importante. Cependant, elle est étirée

radialement parlesstru turestourbillonnaires[48℄, e quiane ettenappedevorti itéquinit

par diuser.

SelonMelander etHussain[62 ℄,la vorti ité ainsiéje tée peutêtre aptée par desstru tures

tourbillonnairespluspetites,appeléesse ondaires paroppositionave lesstru tures

tourbillon-nairesprimaires qui réent etarra hement devorti ité.Cesstru turesse ondairesgravitent

à proximité des stru tures primaires qui organisent la turbulen e ambiante, de la même façon

queletourbillonaxiallefaitpour esstru turesprimaires.Entransmettantlemomentangulaire

dansleurvoisinage[83 ℄,lesstru turesprimairespermettentauxstru turesse ondairesde roître.

Fig. 1.9  S héma de la réation de vorti ité azimutale sur un tourbillon axial après variation

de sonrayon.Sour e :PradeepetHussain[73℄

etont pu onstaterqueladé roissan etemporelle desniveauxdevorti ité étaitplusimportante

pour un tourbillon plongé dansun milieu turbulent que s'ilétait isolé. Cette diéren e est plus

marquée à l'intérieur du oeur du tourbillon qu'à l'extérieur. De plus, ils ont onstaté que le

rayon de oeurétait lui aussiplusimportant pour un asave turbulen e.

Création de vorti ité radiale et azimutale La modi ation radiale du tourbillon axial a

pour autre eet de modier les lignes vortex qui le omposent. En eet, ette déformation des

lignes rée par étirement de la vorti ité radiale jusque là inexistante. De plus, la zone la plus

éloignée radialement n'est pasadve tée ave la même vitesse quela zonenon-modiée pour les

raisonsévoquées i-dessus,àsavoirquel'intensitédelavitesseazimutalegénéréeparletourbillon

varie ave le rayon. Il ya alors réation de vorti ité azimutale. La gure 1.9 i-dessus extraite

de l'arti le de 2006 de Pradeep et Hussain [73℄ s hématise es étapes, pour une déformation

axi-symétrique. Au temps

t

1

,le tourbillon est modiéaxialement à laposition axiale

z

B

.Cette

perturbation ourbe les lignes de vorti ité de telle sorte qu'au temps

t

2

, des zones de vorti ité

azimutale font leur apparition. Au temps

t

3

, les for es de pression ont ramené le tourbillon à

un état non-déformé. Cependant, les lignes de vorti ité sont fortement modiées, et les zones

de vorti ité azimutales amènent le tourbillon à se déformer au temps

t

4

de la manière inverse

qu'au temps

t

1

. Dans un as non-visqueux, les as (a) et (d) ontinuent à alterner de manière

ontinue,puisquelesos illationsne sontpasamorties.Deplus, siun isaillement transversalest

rajouté,leszones devorti ité azimutale seforment ontinument ets'amplient aulieu d'os iller

[72℄. Les perturbations restant axi-symétriques, es zones de vorti ité azimutale forment alors

desanneauxtourbillonnaires supplémentaires autourdutourbillon axial, ets'auto- onve tent le

long de e dernier. La perturbation de rayon est alors propagée le long du tourbillon. Dans un

as visqueux,lesos illations sont amorties etla réationde vorti ité azimutale est don limitée

[29, 73 ℄.

Ex itation des modes d'instabilité Bien que réduitesdansle asvisqueux,les os illations

Modes axisymétriques :

m = 0

Dans le adre de perturbations axisymétriques, des

variations de rayon vont tout naturellement ex iter le mode

m = 0

. Ces perturbations ont

pour eet la produ tion de vorti ité radiale à la périphérie du oeur du tourbillon. En eet

si les diérentes valeurs propres des modes d'instabilité ont individuellement leur maximum

de roissan e près de l'axe, ils ont tendan e à se ompenser par superposition au entre du

tourbillon, età interférer de manière onstru tive en dehors [73℄.Dans un adre non-visqueux,

il pourrait n'y avoir au une limitation à la roissan e d'énergie des instabilités

m = 0

omme

il a été mentionné dans leparagraphe pré édent. La vis osité ainsi quela vorti ité (de manière

intrinsèque)réduisentetatténuent esperturbations,favorisantl'émergen ed'unseulmodepour

un rayon de oeur.

Si un hamp de ontrainte, tel que de l'étirement, est superposé à es variations

axisymé-triques, desmodes

|m = 2|

peuvent sedévelopperetletourbillonsedésaxer. Eneet,lesmodes

|m| = 2

et

m = 0

se ompensent pour un hamp de ontraintes ompressif, et s'additionnent

pour un hamp d'étirement [72℄. Le point majeurde ette remarque est queles modes

|m| = 2

et

m = 0

peuvent ainsis'intensierpar résonan e etrésisteràl'amortissement visqueux.

Modes héli oïdaux

|m| = 1

La produ tion des omposantes radiales et azimutales de

la vorti ité par le pro édé dé rit dans le paragraphe pré édent peut hanger le ara tère

axi-symétrique desperturbations. En eet, esdeux omposantes, soumisesà despro essus

d'étire-ment/ ompression et de réorientation (tilting en anglais), peuvent aussi réer un isaillement

de la vorti ité axiale. Cette ombinaison de mé anismes peut alors ex iter les modes

|m| = 1

[73 ℄. Dans le asoù le nombre d'onde axial

k

est petit (soit pour des modes à grandelongueur

d'onde),lemé anismede isaillement,parson ara tèrebidimensionnel, dominelesmé anismes

d'étirement etredire tion. Au ontraire, pour un nombre d'onde

k ≫ 1

,les modess'intensient

via les mé anismes tridimensionnelsd'étirement etredire tion.

Dans les deux as, les modes

|m| = 1

onduisent à des modi ations de vorti ité axiale,

en réant de la vorti ité

ω

z

> 0

ou

ω

z

< 0

supplémentaire. Dans le premier as,

ω

r

et

ω

θ

induisent une vitesse axiale

u

z

non-nulle, e qui entraine que le terme d'étirement axial pur

ω

z

∂u

_∂z

z

devient non-négligeable [45℄. Dans le as où les mé anismes d'étirements et redire tion

dominent, lavorti ité azimutale

ω

θ

induit uneperturbationaxiale des hamps devitesseradiale

et azimutale, e qui réoriente la vorti ité axiale dans les dire tions radiale et azimutale. On a

alors unmé anismequi réduit l'intensitéde lavorti ité axiale.

Re ir ulation et é latement tourbillonnaire Comme il vient juste d'être mentionné, les

zones de vorti ité azimutale réées sur le tourbillon axial peuvent engendrer lo alement des

vitessesaxialesnégatives.Or,unezonedere ir ulationdansuntourbillonpeutamenerà equ'on

appellel'é latementtourbillonnaire [30℄.Onutilise etermepourdésignerle hangement abrupt

destru turedutourbillonquisurvientparfoislorsd'é oulementàhautnombredeReynolds.Ilest

ara térisé par unesoudaine dé élération axiale,formant un point d'arrêtsuivi par une zonede

séparation[95 ℄.Suivantl'intensitéinitialedelavitesseangulairedutourbillon,l'é latement peut

prendreun ertainnombredeformes(axisymétriques,spiralées...).L'é latementtourbillonnaire

estunsujet omplexe,quifaitl'objetd'étudesàpartentière

∗

etn'estpaslethèmede emémoire.

Nous nousintéresserons brièvement auxtravaux de Brown &Lopez [29℄, qui mettent en valeur

l'ensemble des for es s'opposant dans un é oulement tourbillonnaire stationnaire dans un as

non-visqueux. On peutvoir eté oulement de troisfaçon diérentes. Premièrement, omme un

équilibre entre les for es de pression ontra tant la se tion ourante du tourbillon et la for e

entrifuge expulsant lesparti ulesuides loin del'axe, en onsidérant l'équation i-dessous:

u

r

∂u

r

∂r

+ u

z

∂u

r

∂z

=

u

2

θ

r

−

1

ρ

∂p

∂r

Onpeutaussi onsidérer eté oulement ommeune intera tionentrela hargehydraulique(ou

Total Head en anglais)

H

= p/ρ +

1

2

(u

2

r

+ u

2

θ

+ u

2

z

)

etla ir ulation

Γ = ru

θ

.Dans e aslà,

l'équation i-dessusseréé rit delamanière suivante :

u

z

∂u

r

∂z

=

Γ

r

2

∂Γ

∂r

−

∂H

∂r

+ u

z

∂u

z

∂r

Et enn,on peut voirl'é oulement enterme de réation devorti ité azimutale par étirement et

redire tion deslignesde vorti ité :

u

z

ω

θ

=

Γ

r

2

∂Γ

∂r

−

∂H

∂r

ar

ω

θ

= ∂u

r

/∂z − ∂u

z

/∂r

.Deplus, en introduisant lafon tionde ourant

Ψ

de tellefaçon que

u

r

= −(1/r)(∂Ψ/∂z)

et

u

z

= (1/r)(∂Ψ/∂r)

, on peut noter que pour le as onsidéré

Γ

et

H

sont onstant surune surfa ede ourant. Onobtient alors l'équationsuivante:

ω

θ

=

Γ

r

dΓ

dΨ

− r

dH

dΨ

En onsidérant l'é oulement de es trois manières diérentes, on peut fa ilement visualiser

quellessont les onditions pour quel'é latement tourbillonnaire aitlieu.Silesfor es entrifuges

ex èdent lesfor es depression,on auraalors divergen e del'é oulement ave un terme

∂u

r

∂z

> 0

.

Cette divergen e des lignes de ourant, ave la réation d'un point d'arrêt, orrespond de la

même manière à la formation axisymétrique de vorti ité azimutale. Dans un as visqueux, es

mé anismes persistent mais sont atténués. Il y a d'ailleurs là un eet perturbant : la vis osité

est né essairepour amor erladivergen edeslignes de ourant. Par ontreledéveloppement de

l'é latement est luinon-visqueux.

Dans le adre de l'intera tion jet/tourbillon, la réation de vorti ité azimutale et don de

variations de vitesse radiale et axiale peut don théoriquement amener le tourbillon à é later.

Cependant, ette réation est ausée par la déformation du tourbillon par les stru tures

tour-billonnaires issues du jet. Et esdernières ne sont pas né essairement réparties de manière

uni-formeautourdutourbillon, equiimpliquequeladéformationestelle-mêmenon-axisymétrique.

Il estdon possiblequeles mé anismesamenant àl'é latement subsistent individuellement mais

ne soient plus onstru tifs. Une étude menée par Labbé et. al. [50 ℄ surl'inuen e de laposition

du jetpar rapportau tourbillon a onstatéquemême silejetétait inséréàl'intérieur même du

tourbillon, e dernier onservaitsa ohéren e etnissait par retrouversastabilité.

1.4 Dissipation des stru tures tourbillonnaires

LadernièrephaserelevéeparMiake-Lyeetal.[63℄estunephasededissipation.Letourbillon

est erné par un ensemble de stru tures tourbillonnaires qui ont été soit extraites du jet, soit

formées lors de l'enroulement de es dernières autourdu tourbillon. Cet ensemble de stru tures

enroulées autour du tourbillon perd progressivement en densité lors de ette phase, pour nir

par omplètement disparaître. Letourbillon regagne alors un aspe taxisymétriqueet stable.

1.5 Stabilité des tourbillons

Les mé anismes d'instabilités qui peuvent avoir lieu à l'intérieur d'un tourbillon sont

Fig. 1.10S hémadesrouleaux deTaylorseformant par instabilité entrifuge pour un

é oule-ment deTaylor-Couette. Sour e Laboratoryfor Applied FluidDynami s

1.5.1 Diérents types d'instabilités tourbillonnaires

Instabilité entrifuge Comme dans tous les systèmes en rotation, les parti ules uides se

trouvantdansuné oulementtournantsontsoumisesàunefor e entrifugetendantàlesexpulser

loin de l'axe. Mais à ette for e s'oppose un gradient de pression radial, qui peut totalement

la ontrebalan er. Lord Rayleigh [75℄ s'est le premier intéressé à ette question et a proposé

un ritère d'instabilité, dans un adre non-visqueux et axisymétrique. Le sujet a depuis fait

l'objetd'un ertainnombred'études,notamment demanièreexpérimentalepar Taylor[87℄,ave

l'é oulementdeTaylor-Couette(voirgure1.10 ).Ilaalorsmontréquelerledelavis ositédans

e type d'é oulement est de retarder la déstabilisation. Il faut aussi noter que ette instabilité

est aussidéte table ené oulement non- onné, ommepour desjetstournants [60 ℄.

Instabilitéinexionnelle Unsystèmeenrotationestaussiunsystèmeoùlesfor esde

isaille-mentjouentunrle,etnotammentsurlastabilité.Depuislesétudesportantsurdesé oulements

plan isaillésdeLordRayleigh[74℄,onsaitqu'unproldevitesseprésentantunpointd'inexion

estsus eptiblede développeruneinstabilité non-visqueuse.Unexempleparfait de egenre

d'in-stabilitéestuné oulementdetype ou hedemélange,oùlesperturbationsamènent lanappede

vorti itédu planàserestru turer,de manièreàformer e qu'onappelledesrouleaux de

Kelvin-Helmholtz (voirgure1.11 (a)). Cetype d'instabilitépeutsedévelopperdanstouslesmilieuxoù

des points d'inexion au seinde l'é oulement existent, ommelemontrent les gures1.11(b) et

( ).

Instabilités dues àun jet axial tournant Nousvenonsdevoirquele isaillement azimutal

pouvait réer desinstabilités. Nousallons maintenant nousintéresser auxé oulementsde

(a)

(b)

( )

Fig. 1.11  (a)S héma expli atif de l'instabilité de Kelvin-Helmholtz. (b)Nuages au dessus du

MontShasta.( )Vuesatellited'unealléetourbillonnairedanslesillagedesîlesCanaries.Sour e:

Fig.1.12 Développement d'instabilitéde Crow dansunsillage d'avion

pouvant par exemple être une mesurede l'importan e relative du jetpar rapportau tourbillon.

Danslalimitedejetrondpur,desinstabilitésnonvisqueusespeuventsedévelopper,soitdetype

héli oïdal [5℄,soit de type axisymétrique, en fon tion du prol pré is du jet [64 ℄. Mais lorsque

l'on rajoute la rotation, la ombinaison entre les eets de rotation et de isaillement

azimu-tal d'une part, etde isaillement axial d'autre part, peuvent favoriserl'émergen e de nouveaux

modesd'instabilité. Un modèled'é oulement ouramment utilisé pour une étudede stabilitéde

jettournant estleq-vortex introduitpar Bat helor en1964 [4℄,oùq estlerapportde l'intensité

du tourbillon sur elledu jetaxial.

1.5.2 Instabilités pour un tourbillon de sillage

On va maintenant s'intéresser plus parti ulièrement aux instabilités pour un tourbillon de

sillage.Cesujetafaitl'objetd'un ertainnombre d'études,puisqu'une meilleure ompréhension

de es mé anismes pourraient ontribuer à la maitrise de la dissipation du sillage d'un avion.

Un rapide tour d'horizon de la bibliographie montre que l'on peut identier inq mé anismes

prin ipaux,quisetraitenttousàl'aidedelathéoriedelastabilitélinéaire.Cesmé anismessont

les suivants :

1 Instabilité de Crow [17 ℄ : elle- i intervient dansune paire de tourbillons ontra-rotatifs, et

prendlaformed'os illationssinusoïdalesetsymétriquesdestourbillonsàgrandelongueurd'onde

(de l'ordre de 5 à 10 fois la séparation entre les tourbillons). Ces os illations aboutissent à une

re onne tion des tourbillonssous formed'une allée d'anneauxtourbillonnaires quisedispersent

ensuite rapidement. Lorsque les onditions météorologiques rendent visibles les tourbillons, on

peut parfois observer tout ette séquen e d'évolution dans le sillage des avions (gure 1.12 .

Ce type d'instabilités est di ilement observable de manière expérimentale, puisqu'elle ne se

développe quedansle hamplointain dusillage.

2 InstabilitédeWidnall[67,91℄: etyped'instabilitéintervientdansuntourbillonsoumisàun

hampd'étirement,imposéparexemple parlaprésen ed'unse ondtourbillon.Cetteinstabilité

prend laforme d'os illations à ourte longueur d'onde(de l'ordredu rayon dutourbillon), et se

ara térise par un dépla ement du entre etde la périphérie du tourbillon dans des dire tions

Fig. 1.13  Instabilités oopératives d'une paire de tourbillons observées dans une uve à eau

[97℄

menée parLeweke etWilliamson[97,96 ℄. Onpeutaussiobserversur ette gurel'instabilité de

Crow.

L'instabilitédeWidnalletl'instabilitédeCrowsontappeléesinstabilités oopératives par e

qu'elles sont initiées dans un tourbillon par un élément extérieur, soit dans le as présent le

deuxième tourbillon de sillage.

3 Jettournant : ettetroisième familled'instabilitédont nousavonsparléplus hautintervient

dansle asd'untourbillondesillage.Cesinstabilitéspeuventêtreaxisymétriques(nombred'onde

azimutal

m = 0

, voir se tion 1.5.3 i-dessous), héli oïdales (

|m| = 1

) ou de géométrie d'ordre

plus élevé. Certainessont d'origine non visqueuse ets'apparentent à desinstabilités entrifuges

[53℄, tandis que d'autres sont d'origine purement visqueuse [47 ℄. On peut iter les travaux de

MayeretPowell [61℄quiee tuentune artographie de esinstabilitésetlestravauxplusré ents

de FabreetJa quin [22 ℄.

4 Le quatrième mé anisme est onstitué par un régime d'ondes neutres, appelées ondes de

Kelvin [46℄. Ces ondes sont l'équivalent des ondes d'inertie existant dans un é oulement en

rotation uniforme,qui sont guidées par letourbillon etsepropagent le longde e dernier.

5 Enn, ilexiste unmé anisme d'étirement desperturbationsàl'extérieurd'un tourbillonqui

aboutitàlaformationd'anneauxdevorti ité entourant letourbillon etàl'ex itationd'ondesde

Kelvin axisymétriques [66℄.

1.5.3 Stabilité linéaire

On va maintenant présenter le problème de la stabilité linéaire d'un tourbillon isolé, en se

restreignant à lathéoriede lastabilitétemporelleet modale.

Équationsdebase Uneétudedestabilitélinéaire onsisteàdé omposerle hampdevitesseet

depressionenuné oulementdebaseplusdesperturbationsdefaibleamplitude.Enintroduisant

ettedé ompositiondansleséquationsdumouvement,onobtientunsystèmelinéaired'équations

gouvernant lesperturbations, dont larésolution est plusaisée que elledeséquations générales.

Pour untourbillon axisymétrique uniforme, l'é oulement est dé omposé souslaforme :

u

r

=

u

′

r

(r, θ, z, t)

u

θ

= U

θ

(r) + u

′

θ

(r, θ, z, t)

u

z

=

u

′

z

(r, θ, z, t)

(p − p

0

)/ρ =

Π(r)

+

p

′

(r, θ, z, t)

Fig. 1.14  Représentation s hématique de la forme de quelques ondes de Kelvin : ondes

axi-symétriques (

m = 0

), ondes héli oïdales (

|m| = 1

), ondes en double héli e (

|m| = 2

). Sour e

[21 ℄.

L'invarian edu hampdebasedanslesdire tions

z, θ

permetde onsidérerdesperturbations

sous forme de modes propres, ara térisés par un nombre d'onde axial k, un nombre d'onde

azimutal m,etune fréquen e

ω

(éventuellement omplexe), souslaforme :

(u

′

_r

, u

′

_θ

, u

′

_z

, p

′

_{) = ℜ[F (r), ıG(r), H(r), P (r)] exp(ıkz + ımθ − ıωt)}

(1.5.2)

Le nombre d'onde axial k est relié à la longueur d'onde par

λ = 2π/k

. Le nombre d'onde

azimutal m ara térise lagéométrie des modes;en parti ulier,

m = 0

orrespond à des modes

axisymétriques, ou variqueux,

m = ±1

à des modes héli oïdaux, et

m = ±2

à des modes en

double héli e, omme lemontrela gure1.14

1.6 Stru tures ohérentes

1.6.1 Con ept de stru ture ohérente

Dans ses publi ations ([37 ℄, [38 ℄), Hussain établit une relation entre stru ture ohérente et

vorti ité ohérente. Defaitil dénit unestru ture ohérente dela manièresuivante:

 Une stru ture ohérente est une masse de uide ontinue ontenant de larges

é helles de turbulen e, et une vorti ité de phase orrélée sur toute sonétendue

spa-tiale.

On dit qu'il y a une vorti ité de phase orrélée si au milieu de la vorti ité aléatoire 3D

qui ara térise la turbulen e, il existe une omposante de vorti ité de grande é helle qui est

instantanément ohérente sur toute la longueur de la stru ture ohérente. Cette vorti ité de

grande é helle sera appelée vorti ité ohérente. De fait, une zone de vorti ité ohérente sera le

meilleur moyen de déte terdesstru tures ohérentes.

Con ernant leur réation, il estdit qu'une stru ture ohérente afor ément pour origineune

instabilité d'un ertain type. Cependant, une fois réée, ette stru ture peut se dissiper sous