Corrigé TD M4 : Mouvement de particules chargées dans un champ électromagnétique Exercice 1 : Cyclotron de Laurence

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TD M4 –Mouvement de particules chargées dans un champ électromagnétique - corrigé

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Corrigé TD M4 : Mouvement de particules chargées dans un champ électromagnétique

Exercice 1 : Cyclotron de Laurence

1. 𝓔𝐂𝐌= 𝟏 𝟐𝒎𝐩𝒗𝐌 𝟐 _{⇒ 𝒗} 𝐌= √ 𝟐𝓔𝐂𝐌 𝒎𝐩 ⇒ 𝒗𝐌 = 𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎 𝟕_𝐦𝐬−𝟏_.

2. Théorème de l’énergie cinétique : Δℰ_C = 𝑞𝑈 ⇒ 𝑈 =ℰCM

𝑒 ⇒ 𝑈 = 1,2MV.

3. À chaque demi-tour, le proton augmente son énergie de 𝜀 = 𝑒𝑈′, avec 𝑈′ = 4,0 kV : ℰ_CM= 2𝑁𝜀 ⇒ 𝑁 = ℰCM

2𝑒𝑈′ ⇒ 𝑁 = 1,5 × 10

2_tours.

4. 𝝎 =_𝒎𝒆𝑩

𝐩 : la pulsation cyclotron est une constante, elle ne dépend pas de la vitesse des protons, ou du

rayon de la trajectoire. Le temps que met un proton à faire un demi-tour est donc constant. Pour le plus grand tour, on a donc 𝑇₂ = 𝝅𝑅M

𝑣M, 𝑇 étant la période du champ accélérateur (il doit changer de sens à

chaque demi-tour du proton, afin de l’accélérer à nouveau). On en déduit 𝑓 = 𝑣M

2𝝅𝑅M ⇒ 𝑓 = 17MHz. 5. 𝝎𝐂 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝒆𝑩 𝒎𝐩 ⇒ 𝑩 = 𝟐𝝅𝒇𝒎𝐩 𝒆 ⇒ 𝑩 = 𝟏, 𝟏𝐓.

Exercice 2 : Spectrographe de Bainbridge

Dans l’ionisateur, les particules acquièrent une énergie cinétique ℰC = 𝑒𝑈 ⇒ 𝑣 = √ 2𝑒𝑈

𝑚 .

On a d’autre part 𝑣 = 𝑅𝜔C avec 𝜔C = 𝑒𝐵 𝑚 ⇒ 𝑅 = 1 𝐵√ 2𝑚𝑈 𝑒 . Avec 𝑚 = 𝑀 𝑁A et 𝑑 = 2(𝑅2− 𝑅1), on obtient 𝑑 = 2 𝐵√ 2𝑈 𝑁A𝑒|√𝑀2 − √𝑀1| ⇒ 𝑑 = 5cm.

Exercice 3 : Chambre à bulle

1. Système : particule.

Référentiel : laboratoire supposé galiléen. Forces :

- force de Lorentz : 𝐹⃗ = 𝑞𝑣⃗ ∧ 𝐵⃗⃗ = 𝑞𝐵(𝑣𝑦𝑢⃗⃗𝑥− 𝑣𝑥𝑢⃗⃗𝑦) ;

- frottement fluide : 𝑓⃗ = −𝛼F𝑣⃗.

Principe fondamental de la dynamique : 𝑚d𝑣⃗⃗

d𝑡 = 𝐹⃗ + 𝑓⃗. Selon 𝑢⃗⃗_𝑥 : 𝑚d𝑣_d𝑡𝑥= 𝑞𝐵𝑣_𝑦− 𝛼_F𝑣_𝑥(1). Selon 𝑢⃗⃗_𝑦 : 𝑚d𝑣_d𝑡𝑦 = −𝑞𝐵𝑣_𝑥− 𝛼_F𝑣_𝑦 (2). Selon 𝑢⃗⃗_𝑧 : 𝑚d𝑣_d𝑡𝑧= −𝛼_F𝑣_𝑧. 2. a) d𝑣𝑧 d𝑡 + 𝑣𝑧 𝑔 = 0 ⇒ 𝑣𝑧 = 𝐴1e −𝑡/𝜏_{avec 𝑣} 𝑧(𝑡 = 0) = 𝑣0𝑧 ⇒ 𝐴1 = 𝑣0𝑧 ⇒ 𝑣𝑧 = 𝑣0𝑧e−𝑡/𝜏. On en déduit : 𝑧 = −𝑣_0𝑧𝜏e−𝑡/𝜏+ 𝐴₂ avec 𝑧(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴₂ = 𝑣_0𝑧𝜏 ⇒ 𝑧 = 𝑣_0𝑧𝜏(1 − e−𝑡/𝜏) . b) (1) + j(2) ⇒d𝑢̇ d𝑡+ ( 1 𝜏+ j𝜔) 𝑢̇ = 0 ⇒ 𝑢̇ = 𝐴3e −𝑡/𝜏−j𝜔𝑡_.

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Or, 𝑢̇(𝑡 = 0) = 𝑣0𝑥 ⇒ 𝐴3 = 𝑣0𝑥 ⇒ 𝑢̇ = 𝑣0𝑥e−𝑡/𝜏e−j𝜔𝑡.

On en déduit 𝑥̇(𝑡) = 𝑣_0𝑥e−𝑡/𝜏cos(𝜔𝑡) et 𝑦̇(𝑡) = −𝑣0𝑥e−𝑡/𝜏sin(𝜔𝑡) .

3. 𝒖 = −_{𝟏+𝐣𝝎𝝉}𝒗𝟎𝒙𝝉 𝐞−𝒕/𝝉 −𝐣𝝎𝒕_{+ 𝑨} 𝟒. Or, 𝑢(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴4 = 𝑣0𝑥𝜏 1+j𝜔𝜏⇒ 𝑢 = 𝑣0𝑥𝜏 1+j𝜏𝜔(1 − e −𝑡/𝜏−j𝜔𝑡_{) .} lim 𝑡→∞𝑢(𝑡) = 𝑣0𝑥𝜏 1+j𝜔𝜏⇒ 𝑥F= 𝑣0𝑥𝜏 1+𝜔2_𝜏2, 𝑦F= − 𝑣0𝑥𝜔𝜏2 1+𝜔2_𝜏2 et 𝑧F = 𝑣0𝑥𝜏 .

Exercice 4 : Champs électrique et magnétique orthogonaux

1. a) Système : particule M.

Référentiel : ℛ supposé galiléen.

Force : force de Lorentz 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ + 𝑞𝑣⃗ ∧ 𝐵⃗⃗ = 𝑞𝐵𝑣𝑦𝑖⃗ + 𝑞(𝐸 − 𝐵𝑣𝑥)𝑗⃗

d𝑡 = 𝐹⃗.

Il n’y a pas ni force, ni vitesse initiale selon 𝑘⃗⃗ : le mouvement a lieu dans le plan O𝑥𝑦. Selon 𝑖⃗ : 𝑚d𝑣𝑥 d𝑡 = 𝑞𝐵𝑣𝑦 (1) Selon 𝑗⃗ : 𝑚d𝑣𝑦 d𝑡 = 𝑞𝐸 − 𝑞𝐵𝑣𝑥 (2) (2) ⇒ 𝑚d_d𝑡2𝑣2𝑦 = −𝑞𝐵 d𝑣𝑥 d𝑡 avec d𝑣𝑥 d𝑡 = 𝑞𝐵 𝑚𝑣𝑦 = 𝜔C𝑣𝑦 avec 𝜔C = 𝑞𝐵 𝑚 . On a donc d 2_𝑣 𝑦 d𝑡2 = −𝜔C 2_𝑣 𝑦 ⇒ 𝑣𝑦 = 𝐴1cos(𝜔C𝑡) + 𝐴2sin(𝜔C𝑡). Or, 𝑣𝑦(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴1 = 0 et d𝑣𝑦 d𝑡 (𝑡 = 0) = 𝑞𝐸 𝑚 ⇒ 𝐴2 = 𝐸 𝐵⇒ 𝑣𝑦(𝑡) = 𝐸 𝐵sin(𝜔C𝑡) . D’autre part, (2) ⇒ 𝑣𝑥 = 𝐸 𝐵− 1 𝜔C d𝑣𝑦 d𝑡 ⇒ 𝑣𝑥(𝑡) = 𝐸 𝐵[1 − cos(𝜔C𝑡)] . Selon 𝑘⃗⃗, on a 𝑚d𝑣𝑧 d𝑡 = 0 ⇒ 𝑣𝑧 = 𝐴3 avec 𝑣𝑧(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴3 = 0 ⇒ 𝑣𝑧(𝑡) = 0 .

On a donc finalement 𝑣⃗ =𝐸_𝐵[(1 − cos(𝜔_c𝑡))𝑖⃗ + sin(𝜔_c𝑡)𝑗⃗] . b) 𝑣⃗D =< 𝑣⃗ >⇒ 𝑣⃗D = 𝐸 𝐵𝑖⃗ . 2. 𝒗𝒛= 𝟎 ⇒ 𝒛 = 𝑨𝟒 avec 𝑧(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴4 = 0 ⇒ 𝑧 = 0 . d𝑥 d𝑡 = 𝐸 𝐵[1 − cos(𝜔C𝑡)] ⇒ 𝑥 = 𝐸 𝐵[𝑡 − sin(𝜔C𝑡) 𝜔C ] + 𝐴5. Or, 𝑥(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴5 = 0 ⇒ 𝑥(𝑡) = 𝐸 𝐵[𝑡 − sin(𝜔C𝑡) 𝜔C ] . d𝑦 d𝑡 = 𝐸 𝐵sin(𝜔C𝑡) ⇒ 𝑦 = − 𝐸 𝐵𝜔C+ 𝐴6. Or, 𝑦(𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴6 = 𝐸 𝐵𝜔C ⇒ 𝑦 = 𝐸 𝐵𝜔C[1 − cos(𝜔C𝑡)] .

Exercice 5 : Système de quatre particules chargées

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Référentiel : lié au barycentre O, supposé galiléen. Forces :

➢ force électrostatique exercée par P : 𝐹⃗P = 𝑞2PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝝅𝜀0PM3 ;

➢ force électrostatique exercée par 𝑄 : 𝐹⃗Q =

𝑞2QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝝅𝜀0QM3 ;

➢ force électrostatique exercée par R : 𝐹⃗R=

𝑞2RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝝅𝜀0RM3.

La symétrie du problème implique que toutes les particules s’éloignent de la même manière de O : PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑢⃗⃗𝑥− 𝑥𝑢⃗⃗𝑦, QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑥𝑢⃗⃗𝑥 et RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑢⃗⃗𝑥+ 𝑥𝑢⃗⃗𝑦.

On a donc PM = RM = √2𝑥 et QM = 2𝑥.

Loi de la quantité de mouvement : 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗P+ 𝐹⃗Q+ 𝐹⃗R⇒ 𝑚𝑥̈ = 𝑞2 4𝝅𝜀0𝑥2( 1 √2+ 1 4). On obtient alors 𝑥̇𝑥̈ = 𝑞2𝑥̇ 4𝝅𝜀0𝑚𝑥2( 1 √2+ 1 4) ⇒ 1 2𝑥̇ 2 _{= −} 𝑞2 4𝝅𝜀0𝑚𝑥( 1 √2+ 1 4) + 𝐴1. À 𝑡 = 0, 𝑥̇ = 0 et 𝑥 = ℓ √2⇒ 0 = − √2𝑞2 4𝝅𝜀0𝑚ℓ( 1 √2+ 1 4) + 𝐴1 ⇒ 𝐴1 = √2𝑞2 4𝝅𝜀0𝑚ℓ( 1 √2+ 1 4). On a donc 𝑥̇2 = 𝑞2 𝟐𝝅𝜀0𝑚( 1 √2+ 1 4) ( √2 ℓ − 1 𝑥) ⇒ 𝑣 = 𝑞√ 1+2√2 8𝝅𝜀0𝑚( √2 ℓ − 1 𝑥) . Quand 𝑡 → +∞, 𝑥 → +∞ et 𝑣 → 𝑣ℓ = 𝑞√_{4√2𝝅𝜀}1+2√2 0𝑚ℓ.

Exercice 6 : Champs électrique et magnétique parallèles

1. Système : particule M

Référentiel : ℛ supposé galiléen.

Force : force de Lorentz : 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ + 𝑞𝑣⃗ ∧ 𝐵⃗⃗ = 𝑞(𝐵𝑣𝑦𝑖⃗ − 𝐵𝑣𝑥𝑗⃗ + 𝐸𝑘⃗⃗).

d𝑡 = 𝐹⃗. Selon 𝑖⃗ : 𝑚d𝑣_d𝑡𝑥 = 𝑞𝐵𝑣_𝑦 ⇒ d𝑣𝑥 d𝑡 = 𝜔C𝑣𝑦 avec 𝜔C= 𝑞𝐵 𝑚 . Selon 𝑗⃗ : 𝑚d𝑣_d𝑡𝑦 = −𝑞𝐵𝑣_𝑥⇒ d𝑣𝑦 d𝑡 = −𝜔C𝑣𝑥. Selon 𝑘⃗⃗ : 𝑚d𝑣_d𝑡𝑧= 𝑞𝐸 ⇒ d𝑣𝑧 d𝑡 = 𝑞𝐸 𝑚 . 2. d 2_𝑣 𝑦 d𝑡2 = −𝜔C d𝑣𝑥 d𝑡 = −𝜔C 2_𝑣 𝑦 ⇒ 𝑣𝑦 = 𝐴1cos(𝜔C𝑡) + 𝐴2sin(𝜔C𝑡). Or, 𝑣𝑦(𝑡 = 0) = 𝑣0 ⇒ 𝐴1 = 𝑣0. De plus, d𝑣𝑦

d𝑡 = 𝜔C[−𝐴1sin(𝜔C𝑡) + 𝐴2cos(𝜔C𝑡)] avec d𝑣𝑦

d𝑡 (𝑡 = 0) = 0 ⇒ 𝐴2 = 0.

On a donc 𝑣𝑦 = 𝑣0cos(𝜔C𝑡) ⇒ 𝑦 = 𝑣0

𝜔Csin(𝜔C𝑡).

Il y a un point d’impact sur la plaque si 𝑦 peut atteindre la valeur ℓ, donc si 𝑣0