Géométrie non-commutative et calcul pseudodifférentiel sur les variétés à coins fibrés

T

T

H

_H

È

_È

S

_S

E

_E

En vue de l'obtention du

D

DO

OC

C

TO

T

OR

RA

AT

T

D

DE

E

L

L’

’U

UN

NI

IV

VE

E

RS

R

SI

IT

TÉ

É

D

DE

E

T

T

OU

O

UL

L

OU

O

US

SE

E

Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier

Discipline ou spécialité : Mathématiques Fondamentales

JURY

M. Moulay BENAMEUR (Professeur, Metz)

M. Paulo CARRILLO-ROUSE (MCF, Toulouse III)

Mme Claire DEBORD (MCF, Clermont-Ferrand)

M. Bertrand MONTHUBERT (Professeur, Toulouse III)

M. Georges SKANDALIS (Professeur, Paris VII)

Ecole doctorale : ED MITT

Unité de recherche : IMT

Directeur(s) de Thèse : M. Bertrand MONTHUBERT

Rapporteurs : M. Victor NISTOR (Professeur, PennState, Etats-Unis)

M. Georges SKANDALIS (Professeur, Paris VII)

Présentée et soutenue par Laurent GUILLAUME

Le mercredi 14 novembre 2012

Titre :

Géométrie non-commutative et

calcul pseudodifférentiel

sur les variétés à coins fibrés

al ul pseudodiérentiel sur les

variétés à oins brés

EnpremierlieujesouhaiteexprimermagratitudeenversVi torNistor etGeorgesSkandalispour avoira epté d'êtrelesrapporteursde ette thèse. Je tiens aussi à remer ier Moulay Benameur et Claire Debord d'avoira epté de fairepartie de mon jury.

Mer iàBertrandMonthubertpoursa onan ejamaisdémentieetses onseils toujours judi ieux : rien de tout ela n'aurait existé sans son intervention.Mer iàPauloCarrillo-Rousepoursagentillesseetpourle tempsqu'ila onsa réàparfairemonédu ation.Mer iàClaireDebord, àJean-MarieLes ureetàIakovosAndroulidakispourles onversations fru tueuses que nous avons pu é hanger.

Mer iàGeorgesSkandalisde montreràtousave bienveillan elavoie hors desgoures dudilettantisme.Jesuis heureuxd'avoirété letemps de e travailun modeste membre de son aréopage.

Mer i à ma famille et à mes amis pour leur soutien moral et leurs en ouragements.Enn etsurtout mer i à Dianade m'avoirpermis de réaliser et eort impossible : dans quelques années nous regarderons ertainement ave tendresse es moments de ompli ité et de doute, ar ils seront pour nous l'expression vraie de notre amour sin ère. Je teremer ie d'êtreà mes tés.

Introdu tion 9

Chapitre 1. Théorie de l'indi e 15

1 Théoriede l'indi epour lesgroupoïdes de Lie 15

1.1.

G

-Cal ul pseudodiérentiel 15

1.2. Indi e lisseet indi eanalytique 16

2 Cohomologie y lique relative 21

2.1. Cy les sur une algèbre 21

2.2. Co y les y liques et ohomologie y lique 23

2.3. Lebi omplexe

(b, B)

24

2.4. Cohomologie y lique relative 26

3 Théorèmes d'indi een géométrie non- ommutative 28

3.1. A ouplementave la

K

-théorie 28

3.2. Cara tère de Chern d'un module de Fredholm 29 3.3. Classe de Hos hilddu ara tère de Chern 30 3.4. Théorème d'indi elo alen géométrie non- ommutative 31 3.5. Formuled'Atiyah-Patodi-Singeren ohomologie y lique

relative 32

Chapitre 2. Groupoïde d'é latement des variétés à oins 35

1 Variétés à oins 35

1.1. Dénitiondes variétés à oins 35

1.2. Variétés à oins plongés 35

1.3. Variétés à oins brés itérés 36

2 Équarrissages 37

2.1. Rappels sur la transversalité 37

2.2. Dénitions 37

2.3. Équarrissage bré 38

2.4. Variétés à oins brés 38

3 Groupoïde de déformationau ne normal 39

3.1. Groupoïdes - Algébroïdes 39

3.2. Déformationau ne normal

D

ϕ

40

3.3. Stru ture diérentielle 41

3.4. Groupoïde de déformation

D

ϕ

= D

ϕ

⋊ R

∗

3.6. Loide omposition sur

D

ϕ

43 4 E latement d'unesous-variété de odimension 1 44

4.1. Motivation 44

4.2. Re ollement par une appli ation 44

4.3. Notations 45 4.4. Dénitionde l'é latement

G

V

F

46 4.5. Stru ture diérentielle de

G

V

F

46 4.6. Loide omposition 48

5 E latement par rapport àun équarrissage bré 50

5.1. Dénitionde l'é latement 50

5.2. Stru ture longitudinalede l'é latement 50

5.3. Moyennabilité de l'é latement 51

5.4. Legroupoïde d'une variété à oins plongés etbrés 51

Chapitre 3. Cal ul pseudodiérentiel sur les variétés à oins

brés 53

1

b

-stret hed produ t et

b

- al ul 53

2

φ

-stret hed produ t et

φ

- al ul 54

3

φ

- al ulet groupoïde des variétésà bord bré 56 3.1. Cal ulpseudodiérentielà support ompa t 56 3.2. Comparaisondes al ulssur

X

2

φ

et

Γ

φ

(X)

56 3.3. Notations 57 3.4. Plongement de

Γ

φ

(X)

dans

X

2

φ

57 3.5. Identi ationde

Γ

φ

(X)

dans

X

2

φ

59 3.6. Identi ationde

Ψ

∞

c

(Γ

φ

(X))

etde

Ψ

∞

φ,c

(X)

59

4 Cal ul pseudodiérentiel étendu 59

4.1. Fon tionslongueur à roissan e polynomiale 60 4.2. Fon tionlongueur pour lesvariétésà oins brés 60 4.3. Dénitiondu al ul pseudodiérentiel étendu 61 4.4. Identi ationde

Ψ

∞

_(Γ

φ

(X))

etde

Ψ

∞

φ

(X)

61

4.5. Identi ation de la restri tion au bord et de l'opérateur

normal 62

4.6. Ellipti itétotale etindi e de Fredholm 62 4.7. Croissan e polynomialeet entropie des feuilletages 63 5 Algèbre de S hwartz des variétésà bord feuilleté 65 5.1. Fon tions à dé roissan e rapide sur les déformations au

ne normal 65

5.2. Dénitionde l'algèbrede S hwartz

S(

D

ϕ

)

68 5.3. Fon tionde partitionauvoisinagedu bord de

Γ

φ

(X)

68 5.4. Fon tions à dé roissan e rapide sur les variétés à bord

feuilleté 69

feuilleté 71 1

K

-Théorie et ohomologie y lique périodique de

S

c

(

D

ϕ

)

71 1.1. Produit roisé d'une algèbrepar une a tion lissede

R

71 1.2. L'algèbre

S

c

(

D

ϕ

)

en tant que produit roisé

S(

R

,

S

c

(D))

72 1.3. Théorème d'isomorphisme en ohomologie y lique

périodique 74

2 Cohomologie y lique relative 75

2.1. Suite exa te de restri tion aubord 75

2.2.

b

-métrique etpartie nie 76

2.3. Hypertra e sur

T

77

2.4. Tra e régularisée sur

S

c

(Γ

φ

(X))

78 2.5. Co y le y lique relatif fondamental 78 2.6. Cy les et o y les y liques sur

∂

S

c

80

3 Appli ationau as des brations 83

3.1. Diagrammeà 6termes en

K

-théorie 83

3.2. Le as parti ulier du

b

- al ul 84

Chapitre 5. Pseudo-variétés stratiées - Espa e des strates 85

1 Dénitions etnotations 85

1.1. Strati ations 85

1.2. Pseudo-variétés stratiées 86

2 Espa e des strates 87

2.1. Diagrammede Hasse d'une strati ation 89

2.2. Groupoïde d'une strati ation 89

2.3. Algèbre de onvolution et

C

∗

-algèbrede lastrati ation 90 2.4. Fon tionzêta et algèbred'in iden e de la strati ation 90 2.5. Produit de strati ations etstabilité fon torielle 92 3 Fon tionslisses et hamps de ve teurs 93

3.1. Objets ontrlés 94

3.2. Désingularisationet variétés à oins brées 95

3.3. Stru ture lisse 96

3.4. Champs de ve teurs stratiés 98

3.5. Flot des hamps de ve teurs stratiés 99

Chapitre 6. Feuilletages singuliers -Groupoïde d'holonomie 101

1 Feuilletages de Stefan-Sussmann 101

1.1. Feuilletages de Stefan 101

1.2. Théorème de Stefan-Sussmann 101

1.3. Feuilletages de Stefan-Sussmann 102

2 Feuilletages singuliersdes pseudo-variétés stratiées 103

2.1. Strati ationsde type ni 103

2.2. Feuilletages singuliers 104

3.1. Le as régulier 108 3.2. Holonomieet diéomorphismeslo aux 109

3.3. Feuilletagetiré en arrière 109

3.4. Bi-submersions 110

3.5. Bi-se tions 110

3.6. Atlas de bi-submersions 111

3.7. Groupoïde d'un atlas 111

4 Groupoïde d'holonomiedes pseudo-variétés stratiées 112 4.1. Atlas de bi-submersionsprès de l'identité 112

4.2. Dénition 112

5 Groupoïde d'holonomiedes variétésà bord feuilleté 113

5.1. Notations 114

5.2. Feuilletagesingulierde l'é latement 114 5.3. Identi ationde l'é latementetdu groupoïded'holonomie115

L'algébrisationde problèmes issus de situationsgéométriques a oert auxmathématiquesdes su ès onsidérables. Lesquestionsmillénaires de ladupli ation du ube, de la trisse tion de l'angle et de la quadra-ture du er le dévoilent leur impossibilité dans l'étude des extensions quadratiquesde orps,etladémonstrationdelatrans endan ede

π

.Le traitementunié des géométries non-eu lidiennes homogènes,puis des espa es riemanniens généraux se trans rit naturellement dans le lan-gage algébrique des brés prin ipaux et de leurs onnexions. La puis-san edemodélisationde l'algèbre ommutative,àtraversle développe-mentde lagéométrie algébrique,rejaillitsur de multiples hamps ma-thématiques et inverse suggestivement le rapport algèbre/géométrie : espa es sans points, points denses de l'espa e - a hoppement pour le sens ommun! - la stru ture algébrique en lt alors un espa e de-venusubsidiaire.

Le programme d'une géométrie non ommutative, initié par Alain Connesdansuneséried'arti lesfondamentaux[Con79,Con85,Con86, Con87, Con94 ℄,vise àétendre es orrespondan es fru tueuses entre algèbre et espa es géométriques en s'aran hissant de l'hypothèse de ommutativité. Il s'agit don d'obtenir une tradu tion algébrique des propriétés essentielles d'un espa e (théorie de la mesure, topologie, géométrie diérentielle, géométrie riemanienne...) autorisant l'exten-sion àdesobjetsnon- ommutatifs.Lesexempleshistoriquesà l'origine du développement de la théorie ont montré la fé ondité de ette ap-pro he : l'espa e des feuilles d'un feuilletage ou des pavages de Pen-rose, pathologiques du point de vue lassique, révèlent des stru tures non triviales subtiles lorsqu'ils sont étudiés au travers d'une algèbre non- ommutative adaptée. Le le teur urieux d'une vue d'ensemble pourra âner ave plaisir dans le jardin non- ommutatif entrouvert par [CM06℄, quilui révèlera ses essen es singulières et pré ieuses.

On se propose dans ette thèse de situer la théoriede l'indi e de er-tainesvariétéssingulièresdansle adredelagéométrienon- ommutative. On s'intéressera aux pseudo-variétés stratiées, initialement apparues danslestravauxdeThom[Tho69 ℄etMather[Mat70 ℄,qui onstituent

une vaste lasse d'espa es englobant entre autresles variétés àbord, à oins et àsingularités oniques. Il s'agit en parti ulier d'obtenir l'ana-loguepour esvariétésstratiéesdel'espa edesfeuillesd'unfeuilletage régulier. Construire et étudier et objet, le groupoïde d'holonomie de la variété stratiée, est une étape entrale pour omprendreles opéra-teurspseudodiérentielsetlesgroupesde

K

-théorieré epta lesde leur indi e.

Rappelons que dans le adre lassique d'une variété ompa te sans bord M, un opérateurpseudodiérentielelliptique D aun noyauetun onoyau de dimension nie. L'indi e de Fredholmde D est l'entier :

ind D = dim ker D

− dim Coker D

Cetindi eeststablepourtouteperturbation ompa tedeDetsavaleur ne dépend que de données topologiques. La ara téristique d'Euler, la signature d'une variété spin et d'innombrables quantités issues de la physique sont les indi es d'opérateurs parti uliers. Atiyah etSinger ontintroduitdanslesannées60des onstru tionsfondamentalesen

K

-théorie permettantde omprendrel'appli ation

D

→ ind D

au travers du morphisme de groupes

ind

a

: K

0

(T

∗

M)

→

Z

,

appeléindi e analytique de M.

Plus pré isément, si

Ell(M)

désigne l'ensemble des opérateurs pseu-dodiérentielssur M, ona le diagramme ommutatifsuivant:

Ell(M)

ind

symb

Z

K

0

(T

∗

M)

ind

a

où

Ell(M)

symb

→ K

0

_(T

∗

_M)

est l'appli ationsurje tivequi asso ieàun opérateur la lasse de son symbole prin ipal dans

K

0

_(T

_∗

_M)

. Atiyah et Singer dénissent alors un indi e topologique

ind

t

: K

0

_(T

_∗

_M)

_→

_Z

possédantdespropriétés

K

-théoriques ara téristiques,montrentqu'un uniquemorphismepeutvérier espropriétésetquel'indi eanalytique les satisfait aussi. L'identité des indi es analytique et topologique est le élèbrethéorèmed'Atiyah-Singer[AS63,AS68a, AS68b℄.L'indi e topologiquepeutêtre al ulépardesméthodes ohomologiques(théorie deChern-Weil)grâ eau ara tèredeChern

ch : K

0

_{(T M)}

_{→ H}

_∗

_{(T M)}

. PourunopérateurelliptiquePsurunevariétéMonobtientparexemple la formule:

(1)

ind

t

([σ

P

]) =

Z

T M

où

Td(M)

est une lasse ara téristiquede lavariété M.

Dansle adremoins lassiqued'espa essinguliers ommelesespa esde feuillesdesfeuilletagesréguliers,lesorbifoldsoulesvariétésà oins,des onstru tions similaires s'obtiennent grâ e à l'introdu tion des grou-poïdes [Con79 , CS84℄. Un groupoïde est une petite atégorie dans laquelle tous les morphismes sont inversibles. Les groupoïdes généra-lisent les notions d'espa e, de groupe et de relation d'équivalen e. On ditqu'un groupoïde est de Lie lorsque les ensembles qui interviennent sontdesvariétésetlesmorphismessontdesappli ationsdiérentiables. Un al ul pseudodiérentiel a été développé pour les groupoïdes de Lie [Con79, MP97, NWX99℄ et plus généralement pour des grou-poïdeslongitudinalementlissestelsqueles ontinuousfamilygroupoids [LMN00℄.

L'indi e analytique des opérateurs elliptiques sur es groupoïdes est un morphisme :

ind

a

: K

0

(A

∗

G

)

→ K

0

(C

r

∗

(

G

))

où

A

∗

_G

estl'algébroïdedu groupoïde

G

et

C

∗

r

(

G

)

la

C

∗

-algèbreréduite de

G

, qui joue le rle de l'algèbre des fon tions ontinues sur l'espa e singulier représenté par

G

[Ren80℄. Les indi es ne sont don plus en général de simples entiers mais des éléments du groupe de

K

-théorie

K

0

(C

r

∗

(

G

))

(voir hapitre 1). Dans le as d'une variété ompa te sans bord M,onretrouve ependant l'indi e lassiquepuisque

G

= M

× M

,

A

∗

G

= T

∗

M

et

K

0

(C

∗

r

(

G

)) = K

0

(

K

) =

Z

. Pour étudier le groupe

K

0

(C

∗

r

(

G

))

on dispose des outils de la oho-mologie y lique [Con79, Con87, Con94℄ qui fournit des invariants al ulables au travers d'une sous-algèbre

A

lisse et dense dans

C

_r

∗

(

G

)

.La ohomologie y lique périodique estune généralisation non- ommutativede l'homologiede De Rham, un théorème de Connes as-sure que pour une variété ompa teM, si

A

= C

∞

(M)

on retrouve :

HP

∗

(

A

)

_{≃ H}

_∗

DR

(M,

C

).

Une propriété importante pour

A

est la stabilité par al ul fon tion-nel holomorphe, qui assure que l'in lusion

A

⊂

A

= C

∗

r

(

G

)

soit un isomorphismeen

K

-théorie.L'a ouplement

(2)

h

_

,

_

i : K

0

(

A

)

× HP

∗

₍

_A

₎

_→

_C

entre

K

-théorieet ohomologie y liquepériodiqueseprolongedans e as sur

K

0

(C

∗

r

(

G

))

etdé rit don un invariant homotopique en termes de données lisses.

Les travaux de Monthubert [Mon03 ℄ ont montré omment asso ier à toute variété à oins X un groupoïde longitudinalement lisse

Γ(X)

et un al ul pseudodiérentiel asso ié

Ψ

∞

_(Γ(X))

qui oïn ide ave le

b

- al ul de Melrose. Le

b

- al ul est un al ul pseudodiérentiel sur les variétés à oins introduit par Melrose pour omprendre et démontrer le théorème d'indi e d'Atiyah-Patodi-Singer en suivant la démar he d'Atiyah-Singer[Mel93℄.Pourétendre lethéorèmeauxfamilles d'opé-rateurs,MelroseetMazzeoontensuiteanalyséle as d'unbordbréet introduit un nouveau al ul,le

φ

- al ul[MM98 ℄. D'autre partl'étude des variétés stratiées et l'existen e d'un pro essus de désingularisa-tionpermetde onsidérertoutepseudo-variétéstratiée ommeespa e quotientd'unevariétéà oinsbrés.On souhaitedon disposerd'outils équivalents en termes de groupoïde pour dé rirele al ul pseudodié-rentielsurlesvariétésà oins brés.Plusgénéralementonsouhaiterait dénir un groupoïde dé rivant tout feuilletage singulier d'une variété stratiée.

Nous montrons dans e travail qu'une telle onstru tion existe pour le

φ

- al ul, en asso iant à toute variété à bord feuilleté, puis à toute variété à oins brés X un groupoïde d'é latement

Γ

φ

(X)

longitudi-nalement lisse. Nous montrons ensuite dans le as bré que le al ul pseudodiérentiel à support ompa t asso ié oïn ide ave le

φ

- al ul à support ompa t de Melrose, et l'on introduit une algèbre étendue

S

c

(Γ

φ

(X))

stable par al ul fon tionnel holomorphe qui ontient les opérateurs régularisants du

φ

- al ul. On dénit sur e al ul étendu ertains élémentsde ohomologie y lique relative intervenant dans la formulation de problèmes d'indi e supérieurs. Enn on montre que le groupoïded'é latementpossèdeunesigni ationgéométriquenaturelle en tantquegroupoïded'holonomie de feuilletagesingulier, e quirend sa onstru tionindépendantede toute des riptionparti ulière. On ob-tient ainsi une interprétation on eptuelle du

φ

- al ul omme al ul pseudodiérentielasso iéaugroupoïde d'holonomiedu feuilletage sin-gulier déni par lavariétéà bord bré.

Le hapitre 1 rappelle des onstru tions importantes en théorie de l'indi e ommel'indi eanalytique et la ohomologie y lique relative.

Le hapitre2regroupelesdénitions on ernantlesvariétésà oins -brés,leséquarrissagesetlesgroupoïdesdedéformationau nenormal. Legroupoïde d'é latement

G

V

F

d'unesous-variétéfeuilletée

(V,

F

1

)

de odimension 1dans M est dé rit par re ollement du groupoïde d'holo-nomie de

M

\ V

etd'un groupoïde de déformation

D

ϕ

= D

ϕ

⋊ R

∗

+

:

G

V

_F

=

D

_ϕ

[

Ψ

Onétendensuite ette onstru tionau asdesdesvariétésà oinsbrés par produit bré des é latements

G

V

Fi

de haque fa e. Le hapitre se terminepar l'étudede la stru ture longitudinale de l'é latement.

Le al ul pseudodiérentiel des variétés à oins brés est étudié dans le hapitre 3. On asso ie à toute variété à oins brés X un al ul pseudodiérentielà support ompa t

Ψ

∞

c

(Γ

φ

(X))

et un al ul étendu

Ψ

∞

(Γ

φ

(X)) = Ψ

∞

c

(Γ

φ

(X)) +

S

ψ

(Γ

φ

(X))

à partir d'une fon tion lon-gueur

ψ

à roissan e polynomiale. Cette algèbre ontient les opéra-teurs du

φ

- al ul étendu. Pour ertains feuilletages non triviaux

ψ

n'existeplus etl'on propose une onstru tionalternativepourl'espa e

S

c

(Γ

φ

(X))

des fon tions àdé roissan e rapide.

Le hapitre 4 traite de la ohomologie y lique relative des variétés à bord feuilleté. L'opérateur de restri tion

∂

sur

S

c

(Γ

φ

(X))

induit le oupled'algèbres

S

c

(Γ

φ

(X)), ∂

S

c

etl'on her heàproduireplusieurs o y les y liques intéressants sur

∂

S

c

. On onstruit en parti ulier un 0- o y le y lique relatif

(τ , µ)

obtenu à partir d'une tra e régularisée

τ

sur

S

c

(Γ

φ

(X))

généralisantla

b

-tra ede Melrose aux variétésàbord feuilleté.

Le hapitre 5 introduit la dénition des variétés stratiées et dé rit brièvement en quel sens toute variété stratiée est le quotient d'une variété à oins brés. Une notion de stru ture lisse et de hamps de ve teurs stratiés est aussi proposée pour les variétés stratiées.

Ennle hapitre 6présentela onstru tiondu groupoïded'holonomie d'un feuilletage singulier au sens de Skandalis et Androulidakis. Le groupoïde d'é latement du hapitre 2 est alors ré-interprété en tant quegroupoïded'holonomiedu feuilletagesingulierdénipar lavariété à oins brés. Le groupoïde d'é latement d'une variété à oins brés onstruit dans e travail est don un exemple expli ite d'espa e de feuillessingulierde la onstru tion générale [AS06℄.

Théorie de l'indi e

• • •

1 Théorie de l'indi e pour les

groupoïdes de Lie

Les éléments de théorie de l'indi e présentés i-dessous sont essen-tiellement issus des travaux de Connes [Con79℄, Monthubert-Pierrot [MP97℄ et Nistor-Weinstein-Xu [NWX99℄. La onstru tion des in-di es lisses et analytiques reprend la démar he exposée dans [Con94℄ et[CR07℄.

1.1.

G

-Cal ul pseudodiérentiel

Un

G

-opérateurpseudodiérentielest une famillediérentiable d'opé-rateurspseudodiérentiels

{P

x

}

x

∈G

(0)

agissantsur

C

∞

c

(

G

x

)

desorteque pour

γ

∈

G

et

U

γ

: C

∞

c

(

G

s(γ)

)

→ C

c

∞

(

G

r(γ)

)

l'opérateur induit, la ondition de

G

-invarian esuivanteest vériée

P

r(γ)

◦ U

γ

= U

γ

◦ P

s(γ)

.

Les opérateurs peuvent agir plus généralement sur les se tions d'un bré ve toriel

E

→

G

(0)

. La ondition de diérentiabilité exa te est dénie dans [NWX99℄.

Ilneserai iquestionqued'opérateurs uniformémentsupportés, rappe-lons brièvement ette notion. Soit

P = (P

x

, x

∈

G

(0)

₎

un

G

-opérateur, notons

k

x

lenoyaude S hwartz de

P

x

. Lesupportde P etson support réduit sontdénis par

supp P :=

∪

x

supp k

x

supp

µ

P := µ

1

(supp P )

où

µ

1

(g

′

_{, g) = g}

′

_g

−1

. On dira que

P

est uniformément supporté si

Dans la suite on notera

Ψ

m

₍

_G

_{, E)}

l'espa e des

G

-opérateurs pseudo-diérentielssupportés uniformément.On noteraaussi

Ψ

∞

(

G

_{, E) =}

[

m

Ψ

m

(

G

_{, E)}

et

Ψ

−∞

₍

_G

_{, E) =}

\

m

Ψ

m

(

G

_{, E).}

Remarque1.1. La onditionde supportréduitsejustie du faitque

Ψ

−∞

(

G

, E)

s'identie à

C

∞

c

(

G

, End(E))

grâ e au théorème du noyau de S hwartz ([NWX99℄).

Remarque 1.2.

Ψ

∞

₍

_G

_{, E)}

est une algèbre ltrée,i.e.

Ψ

m

(

G

_{, E)Ψ}

m

′

₍

G

_{, E)}

_{⊂ Ψ}

m+m

′

₍

G

_{, E).}

En parti ulier,

Ψ

−∞

₍

_G

_{, E)}

est un idéal bilatère.

Lanotiondesymboleprin ipals'étendaisémentà

Ψ

−∞

₍

_G

_{, E)}

.Notons

π : A

∗

G

_→

G

(0)

laproje tion. Si

P = (P

x

, x

∈

G

(0)

₎

_{∈ Ψ}

m

₍

_G

_{, E, F )}

est un opérateur pseudodiérentiel d'ordre m sur

G

, le symbole prin ipal

σ

m

(P

x

)

de

P

x

estunese tion

C

∞

dubréve toriel

End(π

∗

x

r

∗

E, π

∗

x

r

∗

F )

au-dessusde

T

∗

G

x

,tellequelemorphismedénidans haque bresoit homogène de degré

m

.

L'existen e de onne tions invariantes permet de dénir l'exponen-tiation sur l'algébroïde de Lie

A

∗

_G

et fournit une se tion

σ

m

(P )

de

End(π

∗

E, π

∗

F )

au-dessus de

A

∗

_G

quivérie (3)

σ

m

(P )(ξ) = σ

m

(P

x

)(ξ)

∈ End(E

x

, F

x

)

si

ξ

∈ A

∗

x

G

modulo l'espa e des symboles d'ordre

m

− 1

.Les termes d'ordre

m

de

σ

m

(P )

restent invariants par le hoix d'une onne tion diérente et l'équation i-dessus induit une unique appli ation linéairesurje tive

(4)

σ

m

: Ψ

m

₍

_G

_{, E)}

_→

_S

m

_(A

∗

_G

_{, End(E, F )),}

denoyau

Ψ

m

₋₁

₍

_G

_{, E)}

([NWX99℄,proposition2),où

S

m

_(A

_∗

_G

_{, End(E, F ))}

désigne lesse tions du bré

End(π

∗

E, π

∗

F )

au-dessus de

A

∗

G

, homo-gènes de degré

m

dans haque bre.

1.2. Indi e lisse et indi e analytique

Définition 1.3. Soit

P = (P

x

, x

∈

G

(0)

₎

un

G

-opérateur pseudodié-rentiel.P est ditelliptique si haque

P

x

est elliptique.

L'ensemble des

G

-opérateurs pseudodiérentiels elliptiques sera noté

Proposition 1.4. [Con79℄ Soit

P = (P

x

, x

∈

G

(0)

₎

_{∈ Ψ}

m

₍

_G

_{, E)}

elliptique. Alors il existe

Q

∈ Ψ

−m

₍

_G

_{, E)}

tel que

I

E

− P Q ∈ Ψ

−∞

(

G

, E)

et

I

E

− QP ∈ Ψ

−∞

₍

_G

_{, E)}

,

où

I

E

dénote l'opérateur identité sur

E

.

L'existen e du pseudo-inverse

Q

implique que

P

dénisse un élément inversible de

Ψ

∞

₍

_G

_)/Ψ

−∞

₍

_G

₎

. Il n'est pourtant pas toujours possible de trouver un

G

-opérateur

P

′

de la même lasse que

P

, i.e.

P

′

_{− P ∈}

Ψ

−∞

(

G

₎

, qui soit inversible dans

Ψ

∞

₍

_G

₎

. Cette obstru tion à un re-lèvement inversible est mesurée par l'indi e de

P

, élément du groupe de

K

-théorie

K

0

(Ψ

−∞

₍

_G

_{)) ∼}

_{= K}

₀

_(C

∞

c

(

G

))

. L'indi e

ind P

peut être expli ité par une onstru tion lassique détaillée i-dessous.

Définition 1.5. Soit

A

une algèbre unitaire sur

C

,

I

⊂ A

un idéal bilatèreet

π : A

→ A/I

l'appli ationquotient. Unquasi-isomorphisme est un triplet

(E, F, σ)

où

E, F

sont des

A

-modules proje tifs de type ni et

σ : π

_∗

E

→ π

∗

F

estunisomorphismede

A/I

-modules.Unquasi-isomorphisme

(E, F, σ)

sera ditdégénéré lorsque

σ

provient d'un isomorphisme

T : E

→ F

.

Remarque 1.6. Tout élément

P

de

A

inversible modulo

I

dénit le quasi-isomorphisme

(A, A, π(P ))

.

Remarque 1.7. Il existe une notion naturelle de somme dire te et d'isomorphismesurl'ensembledesquasi-isomorphismes.Soient

(E, F, σ)

et

(E

′

_{, F}

′

_{, σ}

′

₎

deux quasi-ismorphismes, alors : -

σ

⊕ σ

′

est dénipar letriplet

(E

⊕ E

′

_{, F}

_{⊕ F}

′

_{, σ}

_{⊕ σ}

′

₎

-

σ ∼

= σ

′

ssi il existe des isomorphismes

f : E

→ E

′

et

g : F

→ F

′

tels que lediagramme suivantsoit ommutatif:

π

_∗

E

σ

π

∗

f

π

_∗

F

π

∗

g

π

_∗

E

′

σ

′

π

∗

F

′

.

On dénitalors une relationd'équivalen epar :

σ

∼ σ

′

⇔

il existe des quasi-isomorphismes dégénérés

τ

et

τ

′

tels que

σ

⊕τ ∼

= σ

′

_⊕τ

′

_.

Définition 1.8 (

K

-théorierelative). L'ensemble

K(A, I)

des lasses d'équivalen ede quasi-isomorphismespour

∼

est appelé

K

-théorie re-lative de

I

dans

A

.

Proposition 1.9.

(K(A, I),

⊕)

est un groupe abélien.

Démonstration. L'asso iativité etla ommutativité de

⊕

sont im-médiates. L'existen e d'un inverse pour

(E, F, σ)

∈ K(A, I)

tient au faitque

(E, F, σ)

⊕ (F, E, σ

−1

₎

estdégénéré.Eneet,soient

P : E

→ F

et

Q : F

→ E

des morphismes tels que

π

∗

(P ) = σ

et

π

∗

(Q) = σ

−1

. Posons

T =



(1

_{− P Q)P + P P Q − 1}

1

− QP

Q



Alors

π

∗

(T ) = σ

⊕ σ

−1

et

T : E

⊕ F → F ⊕ E

est un isomorphisme d'inverse expli ite

T

−1

=



Q

1

_{− QP}

P Q

− 1 (1 − P Q)P + P



.

On en déduitque

(E, F, σ)

−1

_{= (F, E, σ}

−1

₎

, e qui a hève la preuve.



L'intérêt de la

K

-théorie relative réside dans la dénition et la des- ription aisée de ses éléments en termes de quasi-isomorphismes. Or, un al ul en

K

-théorie dû à Milnor [Mil71℄ permet son identi ation à la

K

-théorie algébriqueusuelle :

Proposition 1.10. Les groupes

K(A, I)

et

K

0

(I)

sont isomorphes. Démonstration. Posons

D(A, I) =

{(a, a

′

₎

_{∈ A × A; a − a}

′

_{∈ I}}

. Les proje tions anoniques

p

1

et

p

2

suivant haque fa teur fournissent un diagramme ommutatifde morphismes d'algèbres

D(A, I)

p

2

p

1

A

π

A

_π

A/I

Considérons

K

′

_{(A, I) = Ker}

_{K

₀

_{(D(A, I))}

p

1

∗

→ K

0

(A)

}

. En notant

I

˜

l'unitarisationdeI,ona

I

˜

⊂ A

etl'inje tionde

I

˜

dans

D(A, I)

par l'ap-pli ation diagonale anonique fournit immédiatement l'isomorphisme

K

′

(A, I) ∼

= K

0

(I)

au travers du diagramme ommutatif suivant et de son image en

K

-théorie:

0

I

I

˜

C

0

Il reste à onstruire un isomorphisme entre

K(A, I)

et

K

′

_{(A, I)}

. Soit

(E, F, σ)

unquasi-isomorphismesur(A,I).Lesappli ations

(σπ)

∗

:



E

_{→ π}

_∗

(F )

e

→ σ(e ⊗ 1)

et

π

∗

:



F

_{→ π}

_∗

(F )

f

→ f ⊗ 1

permettent de dénir

M(E, F, σ) =

{(e, f) ∈ E × F ; (σπ)

∗

(e) = π

∗

(f )

}.

Il apparaît que

M(E, F, σ)

est un

D(A, I)

-module proje tif de type ni, ave

(p

1

)

∗

(M) ∼

= E

et

(p

2

)

∗

(M) ∼

= F

,et quetout

D(A, I)

-module proje tif de type ni est de ette forme ([Mil71℄). L'appli ation

α :

K(A, I)

→ K

′

(A, I)

donnée par

α([E, F, σ]) = [M(E, F, σ)]

− [M(E, E, id)]

dénit don bien un morphisme de groupe.

Simaintenant

x = [M(E, F, σ)]

− [M(E, F

′

_{, σ}

′

_)]

_{∈ K}

′

_{(A, I)}

,ondénit

β : K

′

(A, I)

_{→ K(A, I)}

par

β(x) = (E

⊕ F

′

, F

⊕ E, σ ⊕ (σ

′

)

−1

).

On obtientimmédiatement que

β

◦ α = id

K(A,I)

ar :

(β

◦ α)([E, F, σ]) = [E ⊕ E, F ⊕ E, σ ⊕ id] = [E, F, σ].

Par ailleurs

(α

_{◦ β)(x) = [M(E ⊕ F}

′

, F

_{⊕ E, σ ⊕ (σ}

′

)

−1

)]

_{− [M(E ⊕ F}

′

, E

_{⊕ F}

′

, id)]

= [M(E, F, σ)]

_{− [M(E, F}

′

, σ

′

)]

= x

ar

(σ

′

₎

−1

_{⊕ σ}

′

se relève en un isomorphisme omme dans la proposi-tion 1.9, e quifournit l'isomorphisme

M(E

⊕ F

′

, F

⊕ E, σ ⊕ (σ

′

)

−1

)

⊕

M(E, F

′

, σ

′

) ∼

= M(E, F, σ)

⊕ M(E ⊕ F

′

, E

_{⊕ F}

′

, id)

et permet de on lure.



Exemple 1.11. Soit

(A, A, π(P ))

lequasi-isomorphismedéni parun élément

P

de

A

inversible modulo

I

. L'élément de

K

-théorie

ind(P )

orrespondant est donné par

[e]

− [e

0

]

,oùles deux idempotents

e, e

0

∈

M

2

( ˜

I)

sont expli itement

e

0

=



1 0

0 0



et

e = T e

0

T

−1

, ave

T

et

T

−1

omme en 1.9.

Dans le as général où

P

∈ Ψ

m

₍

_G

_{, E, F )}

, l'in lusion

C

∞

c

(

G

(0)

)

⊂

Ψ

0

(

G

₎

en tant qu'opérateurs de multipli ation permet de pousser les

C

_c

∞

(

G

(0)

)

-modules

E, F

en des

Ψ

∞

(

G

)

-modules

E

,

F

.L'existen e d'un pseudo-inverse (proposition 1.4) ombinée au théorème du noyau de

S hwartzexprimentalorspré isémentque

(

E

,

F

, P )

estunquasi-isomorphisme sur

(Ψ

∞

₍

_G

_{), C}

∞

c

(

G

(0)

))

.

Définition1.12(Indi elisse). Soit

P

un

G

-opérateurpseudo-diérentiel elliptique.Onappelleindi elissel'élément

ind(P )

∈ K

0

(C

∞

c

(

G

))

déni par le quasi-isomorphisme pré édent.

Il est à noter que ertains résultats d'annulation ou d'invarian e par homotopie de l'indi e ne sont valables que dans une omplétion

C

∗

-algébrique de

C

∞

c

(

G

)

([Con94℄, p.132). Ainsi une ourbure s alaire longitudinale stri tement positive sur une variété de type spin n'en-traîne pas né essairement la nullité de l'indi e lisse de l'opérateur de Dira .De plus, ontrairement au as lassiqued'une variété, l'appli a-tion indi ene sefa torisepas en généralàtravers la lassedu symbole prin ipald'un

G

-opérateur, e qui omprometle al ulde l'indi e lisse par les outils de

K

-théorie topologique, indi e topologique et isomor-phismede Thom.Laè he pointillée n'existedon pas né essairement dans le diagramme

Ell(

G

₎

ind

σ

K

0

(C

c

∞

(

G

))

K

0

(A

∗

G

₎

_,

Un ontre-exemple simple est donné par

(

R

, +)

en tant quegroupoïde ([Con94℄p. 142) :

Proposition1.13. L'appli ation

D

→ ind(D) ∈ K

0

(C

∞

c

(

R

))

est une inje tion de l'espa e proje tifdes polynmesnon-nuls

D = P (

∂

∂x

)

dans

K

0

(C

c

∞

(

R

))

.

Ces limitationsdans le adre

C

∞

motivent ladénition suivante :

Définition1.14(Indi eanalytique).Soit

j : K

0

(C

∞

c

(

G

))

→ K

0

(C

r

∗

(

G

))

le morphismede

K

-théorie induit par l'in lusion

C

∞

c

(

G

)

⊂ C

r

∗

(

G

)

. On appelleindi e analytiquel'image par

j

de l'indi elisse.

Unedespropriétésfondamentalesde l'indi eanalytiqueest depouvoir se fa toriser à travers le symbole prin ipal. Autrement dit, on a un

diagramme ommutatif

Ell(

G

₎

ind

σ

K

0

(C

c

∞

(

G

))

j

K

0

(A

∗

G

)

ind

a

K

0

(C

r

∗

(

G

)).

où

ind

a

désigne le morphisme en

K

-théorie qui fa torise l'indi e ana-lytique.

Eneet,

ind

a

est lemorphismede bordasso iéàlasuiteexa te ourte de

C

∗

-algèbres([Con79, CS84, MP97, NWX99℄) (5)

0

→ C

∗

r

(

G

)

−→ Ψ

0

(

G

)

σ

−→ C

0

(S

∗

G

)

→ 0

où

Ψ

0

₍

_G

₎

est une

C

∗

−

omplétionde

Ψ

0

₍

_G

₎

,

S

∗

G

est lebréen sphères de

A

∗

_G

et

σ

est l'extension du symbole prin ipal.

• • •

2 Cohomologie y lique relative

La ohomologie y liqueestunegénéralisationau adrenon- ommutatif delathéoriedeDeRham.Laversionrelativede ettethéorie([LMP09b℄) estadaptéeàlades riptiond'algèbresdéniesrelativementàun ouple

(

A

,

B

)

d'algèbres de Fré het. L'a ouplement en ( o)homologie y- lique relative :

h

_

,

_

i : HC

∗

(

A

,

B

)

× HC

∗

(

A

,

B

)

→

C

fournit une interprétation on eptuelle des formules d'indi e de type M Kean-Singer. En parti ulier pour le ouple

(C

∞

_{(M), C}

∞

_(∂M))

on retrouve le théorème d'indi e d'Atiyah-Patodi-Singer (se tion 3.5) en onsidérant un o y le y lique relatif

(

b

_{Tr, µ)}

faisant intervenir la b-tra e de Melrose.

2.1. Cy les sur une algèbre

Définition2.1. Unealgèbrediérentiellegraduéeestunepaire

(Ω, d)

où

Ω =

L

k

≥0

Ω

k

est une algèbre graduée et

d : Ω

→ Ω

est une diérentielle de degré 1 et de ourbure 0. d est don une appli ation linéairevériant les propriétés suivantes :

· d(ω

i

· ω

j

) = d(ω

i

)ω

j

+ (

−1)

i

ω

i

dω

j

· d

2

= 0

.

Soit

A

une algèbresur

C

.

Définition2.2. Un y lededimension

n

sur

A

estuntriplet

(Ω, ρ,

R

)

où

(Ω, d)

est une algèbre diérentielle graduée,

ρ :

A

→ Ω

0

est un morphisme d'algèbres et

R

: Ω

n

_→

C

est une tra e graduée fermée, i.e.:

· ∀ω

i

∈ Ω

i

, ω

j

∈ Ω

j

ave

i + j = n

,

R

ω

i

ω

j

= (

−1)

i

R

ω

j

ω

i

· ∀ω ∈ Ω

n

−1

_,

R

dω = 0

.

Définition 2.3. Le ara tère d'un y le de dimension n sur

A

est la fon tionnelle (n+1)-linéaire

τ (a

0

, a

1

, . . . , a

n

) =

Z

ρ(a

0

)dρ(a

1

) . . . dρ(a

n

)

Exemple 2.4. Soit M une variété lisse. Alors l'algèbre

Ω(M)

des formes diérentielles sur M munie de la diérentielle de De Rham est une algèbre diérentielle graduée. Soit

C : Ω

n

_(M)

_→

_C

un ou-rant fermé de degré n.

(Ω(M), Id, C)

est un y le de dimension n sur

C

∞

(M)

. Son ara tère est donné par

τ

C

(f

0

, . . . , f

n

) = C(f

0

df

1

. . . df

n

)

Exemple 2.5. Supposons

A

involutive et soit

(

H

, F )

un module de Fredholmsur

A

, i.e. :

·

H

est un espa e de Hilbert muni d'une représentation involutive

π

de

A

sur

L

(

H

)

·

F est un opérateur sur

H

tel que

F = F

∗

,

F

2

_{= 1}

et

[F, π(a)]

est un opérateur ompa t pour tout

a

∈

A

.

Onsuppose de plus que

(

H

, F )

est

(n + 1)

-sommable, 'est àdire que pour tout

a

∈

A

[F, π(a)]

appartient à l'idéal de S hatten

L

n+1

₍

_H

₎

des opérateurs ompa ts Ttels que

P

λ

k

(

|T |)

n+1

<

∞

.

Le al ulquantique asso iéaumoduledeFredholm

(

H

, F )

permet de dénir un y le de dimension n sur

A

. Posons

Ω

k

=

_{

X

a

0

[F, a

1

] . . . [F, a

k

], a

0

, . . . , a

k

_∈

A

_}

On dénit

d : Ω

k

_{→ Ω}

k+1

par

dω = F ω

− (−1)

k

_ωF

. Comme

F

2

_{= 1}

on a

d

2

_{= 0}

. De plus

Ω =

L

Ω

k

est une algèbre diérentielle graduée. Posons

Tr

′

_{(T ) =}

1

2

Tra e

(F (F T + T F ))

. La tra e graduée fermée

Tr

s

est obtenue pour

ω

∈ Ω

n

en posant

Tr

s

ω = Tr

′

(ω)

sin est impair

L'élément

γ

est l'opérateur

Z

/2

gradué asso ié à un module de F red-holm pair ([Con94℄, Dénition IV.1). Alors

(Ω, d, Tr

s

)

est un y le de dimension n sur

A

([Con94℄, Proposition IV.1.1).

Le ara tère de e y le est donné par laformule:

τ

n

(a

0

, a

1

, . . . , a

n

) = Tr

′

a

0

[F, a

1

] . . . [F, a

n

]

,

où

γa

0

rempla e

a

0

lorsque

n

est pair.

2.2. Co y les y liques et ohomologie y lique

Soit

C

k

₍

_A

_{) = (}

_A

_⊗

_A

_⊗k

₎

_∗

l'espa e des fon tionnelles

(k + 1)

-linéaires

ϕ

sur

A

et

b : C

k

_{→ C}

k+1

l'opérateur obord de Ho hs hilddéni par

(bϕ)(a

0

, . . . , a

k+1

) =

k

X

j=0

(

₋₁₎

j

ϕ(a

0

, . . . , a

j

a

j+1

, . . . , a

k+1

)+(

₋₁₎

k+1

ϕ(a

k+1

a

0

, . . . , a

k

).

La relation

b

2

_{= 0}

permet de onsidérer le omplexe de Ho hs hild

(C

•

(

A

_{), b)}

,dontla ohomologielorsque

A

estunitaireestpardénition la ohomologiede Ho hs hildde

A

,notée

HH

∗

(

A

)

.

Ilest immédiatde onstaterquele ara tère

τ

d'un y le dedimension n sur

A

est un élément de

C

n

₍

_A

₎

qui vérie

bτ = 0

et la ondition de y li ité :

τ (a

1

, . . . , a

n

, a

0

) = (

₋₁₎

n

τ (a

0

, . . . , a

n

)

_∀a

0

, . . . , a

n

_∈

A

.

Définition2.6. On appelle o y le y lique sur

A

toutélément

τ

de

C

•

(

A

₎

qui vérie les deux propriétés :

· τ

est un o ylique:

bτ = 0

· τ

est y lique:

τ (a

1

_{, . . . , a}

n

_{, a}

0

_{) = (}

₋₁₎

n

_{τ (a}

0

_{, . . . , a}

n

₎

_∀a

0

_{, . . . , a}

n

_∈

_A

_.

Lerésultatsuivant ara térisepré isémentles o y les y liques omme les ara tères de y les sur

A

:

Proposition2.7([Con94℄,PropositionIII.1.4). Soit

τ

une fon tion-nelle

(n+1)

-linéairesur

A

.Les onditionssuivantessontéquivalentes:

(1) Il existe un y le

(Ω, d,

R

)

de dimension n sur

A

tel que

τ (a

0

, . . . , a

n

) =

Z

ρ(a

0

)dρ(a

1

) . . . dρ(a

n

)

_∀a

0

, . . . , a

n

_∈

A

.

(2) Il existe une tra e graduée fermée

˜

τ : Ω

n

₍

_A

₎

_→

_C

telle que

(3)

τ

est un o y le y lique. Soit

C

n

λ

(

A

)

lesous-espa ede

C

n

₍

_A

₎

desfon tionnelles

(n+1)

-linéaires y liques. Connes a montré que l'opérateur

b

se restreint à e sous-espa e

b : C

n

λ

(

A

)

→ C

λ

n+1

(

A

)

,

(C

•

λ

(

A

), b)

est don un sous- omplexe du omplexe de Ho hs hild.

La ohomologie y lique

HC

∗

₍

_A

₎

est dénie omme la ohomologie du omplexe

(C

•

λ

(

A

), b)

.

HC

0

₍

_A

₎

n'est autre que l'espa e des tra es sur

A

.

Remarque 2.8. L'in lusion

C

•

λ

(

A

)

→ C

•

(

A

)

induit un morphisme

HC

∗

(

A

₎

_{→ HH}

I

∗

₍

A

₎

entre ohomologie y lique et ohomologie de Ho hs hild. Ce morphisme n'est pas né essairement inje tif, ommele montre l'exemple

A

=

C

. En eet dans e as

HC

n

_{= 0}

lorsque

n

est impair et

HC

n

₌

_C

lorsque

n

est pair, tandis que

HH

0

₌

_C

et

HH

n

est nulpour tout

n > 0

.

2.3. Le bi omplexe

(b, B)

Connes a dé ouvert que la ohomologie y lique etla ohomologiede Ho hs hildsontreliées par une suite exa te longue:

· · · → HC

n

(

A

)

_{→ HH}

I

n

(

A

)

_{→ HC}

B

n

−1

(

A

)

_{→ HC}

S

n+1

(

A

)

_{→ . . .}

L'opérateur

S : HC

n

−1

₍

_A

₎

_{→ HC}

n+1

₍

_A

₎

estdéni ommele up pro-duiten ohomologie y lique[Con85℄parungénérateurde

HC

2

₍

_C

₎

_≃

C

. On peut expli itement utiliser le o y le

s

0

:

C

3

_→

_C

donné par

(a

0

, a

1

, a

2

)

_{7→ a}

0

_{· a}

1

_{· a}

2

.

L'opérateur

B : HH

n

₍

_A

₎

_{→ HC}

n

₋₁

₍

_A

₎

est induit par l'opérateur obord

B : C

n

₍

_A

₎

_{→ C}

n

−1

λ

(

A

)

de Connes donnépar laformule:

Bϕ(a

0

, . . . , a

n

−1

) =

n

₋₁

X

j=0

(

−1)

(n

−1)j

ϕ(1, a

j

, . . . , a

n

−1

, a

0

, . . . , a

j

−1

)

−

n

₋₁

X

j=0

(

−1)

(n

−1)j

ϕ(a

j

, 1, . . . , a

j+1

, . . . , a

n

, a

0

, . . . , a

j

−1

).

Cet opérateur a été introduit pour étudier le obordisme des y les sur

A

(voir [Con94 ℄, III.1.

β

) : son image oïn ide ave lesdiéren es de y les obordants. Il se dé ompose sous la forme

B = AB

0

où

A :

C

n

(

A

₎

_{→ C}

n

λ

(

A

)

est l'opérateur d'anti-symétrisation

(Aτ )(a

0

, . . . , a

n

) =

X

σ

∈S

n

et

B

0

: C

n

₍

_A

₎

_{→ C}

n

−1

₍

_A

₎

est déni par

(B

0

τ )(a

0

, . . . , a

n

−1

) = τ (1, a

0

, . . . , a

n

−1

)

− (−1)

n

τ (a

0

, . . . , a

n

−1

, 1).

Les relations de obord

b

2

_{= 0, B}

2

_{= 0}

et de ommutation graduée

bB + Bb = 0

[Con85℄permettent de onsidérer un bi omplexeasso ié auxopérateurs b etB. Soit

C

n,m

per

(

A

)

.

= C

n

−m

(

A

)

si

n

− m > 0

etzéro sinon. Alors

b : C

n,m

per

(

A

₎

_{→ C}

n+1,m

per

(

A

₎

et

B : C

n,m

per

(

A

₎

_{→ C}

n,m+1

per

(

A

₎

dénissent lebi omplexe

(C

•,•

per

(

A

), b, B)

nommébi omplexe

(b, B)

. La ohomologie totale du bi omplexe

(b, B)

oïn ide ave la oho-mologie y lique périodique

HP

∗

₍

_A

₎

de

A

. Une dénition dire te de

HP

∗

(

A

)

est possible en termes de limite indu tive des groupes de o-homologie y lique pairs et impairs:

HP

0

(

A

) = lim

→

S

HC

2k

et

HP

1

₍

_A

_{) = lim}

→

S

HC

2k+1

La ohomologietotaledubi omplexe

(C

•,•

₍

_A

_{), b, B)}

dénipar

C

n,m

₍

_A

₎

₌

.

C

n

−m

(

A

)

si

n > m

≥ 0

oïn ide quant àelle ave la ohomologie y- lique

HC

∗

₍

_A

₎

de

A

.

Le omplexetotaldubi omplexe

(C

•,•

₍

_A

_{), b, B)}

estle omplexe

(

Tot

•

_C

•,•

₍

_A

_{), b + B)}

dénipar Tot

n

_{C = C}

n

_{⊕ C}

n

−2

_{⊕ C}

n

−4

_{· · · =}

L

k

C

n

−2k

muni dela dif-férentielle

b + B

.La ohomologie y lique de

A

est don al ulable par la relation

HC

∗

₍

_A

_{) = H}

∗

₍₍

Tot

•

_C

•,•

₍

_A

_{), b + B))}

.

Plusgénéralement,onappelle omplexemixteunespa eve toriel om-plexe

Z

+

-gradué

C

•

_{= (C}

n

₎

n

_≥0

muni de deux diérentielles b et B,

b : C

n

→ C

n

−1

,

B : C

n

_{→ C}

n+1

vériant

b

2

_{= B}

2

_{= bB + Bb = 0}

. Le omplexe y lique asso ié au omplexe mixte

(C

•

, b, B)

est le om-plexedénipour haqueentier

n

par

L

k

C

n

−2k

munideladiérentielle

b + B

. Le omplexe y lique oïn ide alors ave le omplexe total du bi omplexe

b

b

b

C

2

b

C

1

B

b

C

0

B

C

1

b

C

0

B

C

0

,

et la ohomologie y lique du omplexe mixte

(C

•

_{, b, B)}

est la oho-mologiede son omplexe y lique.

Le bi omplexe

(b, B)

permet en pratique de dénir et de dé rire les éléments de

HP

∗

₍

_A

₎

de manièretrès expli ite.Connes a montré dans le as

A

= C

∞

_(M)

que

HP

∗

₍

_A

₎

est anoniquementisomorphe à l'ho-mologiede De Rham

H

DR

∗

(M,

C

)

.

2.4. Cohomologie y lique relative

Soient

A

et

B

deux algèbres de Fré het unitaires et

σ :

A

→

B

un morphisme unitaire surje tif et ontinu. On peut asso ier à la suite exa te ourte

(6)

0

−→

I

−→

A

σ

−→

B

_{→ 0}

lasuite exa te de omplexesmixtes

(7)

0

→ (C

•

₍

_B

_{), b, B)}

_{−→ (C}

•

₍

_A

_{), b, B)}

_{−→ (Q}

•

_{, b, B)}

_{→ 0}

où

C

•

₍

_A

₎

désignele omplexemixtedes o hainesdeHo hs hildsur

A

et

Q

•

estle omplexemixteobtenuparquotienthomotopique(mapping one) du morphisme de omplexes mixtes

σ

∗

_{: C}

•

₍

_B

₎

_{→ C}

•

₍

_A

₎

.

La ohomologierelativede

(

A

,

B

)

estpardénitionla ohomologiedu omplexe mixte

Q

•

.

Les théories de ohomologie relative peuvent être al ulées à partir d'un omplexe mixtequasi-isomorpheà

Q

•

([LMP09b ℄) :

(C

•

(

A

)

_{⊕ C}

•+1

(

B

), ˜b, ˜

B)

où

˜b =



b

−σ

∗

0

_−b



et

B =

˜



B

0

0

_−B



.

Enparti ulieronobtientla ohomologiedeHo hs hildrelative

HH(

A

,

B

)

à partir du omplexe

(C

•

₍

_A

₎

_{⊕ C}

•+1

₍

_B

_{), ˜b)}

, la ohomologie y lique relative

HC(

A

,

B

)

àpartir de

(

Tot

•

_C

•,•

₍

_A

₎

_⊕

Tot

•+1

_C

•,•

₍

_B

_{), ˜b + ˜}

_B)

, et la ohomologie y lique périodique relative

HP (

A

,

B

)

à partir de

(

Tot

•

_C

•,•

per

(

A

)

⊕

Tot

•+1

_C

•,•

per

(

B

), ˜b + ˜

B)

). De plus le omplexe

(

Tot

•

_C

•,•

₍

_A

₎

_⊕

Tot

•+1

_C

•,•

₍

_B

_{), ˜b + ˜}

_B)

est iso-morpheàlatotalisationdu omplexe

(C

•,•

₍

_A

_,

_B

_{), ˜b+ ˜}

_B)

où

C

p,q

₍

_A

_,

_B

₎

₌

.

C

p,q

(

A

)

_{⊕ C}

p,q+1

(

B

)

, e qui donnenalement :

HC(

A

,

B

) = H((

Tot

•

_C

•,•

₍

_A

_,

_B

_{), ˜b + ˜}

_B))

et

HP (

A

_,

B

_{) = H((}

Tot

La notion de y le s'étend aussi sans di ulté au as relatif. Tout ommedans lasituation lassique,ilest possiblede dé rireles o yles y liques relatifs omme ara tères de y les relatifs.

Définition 2.9. Un y le relatif de dimension

n

sur

(

A

,

B

)

est la donnée :

(1) d'algèbresdiérentiellesgraduées

(Ω, d)

et

(∂Ω, d)

sur

A

resp.

B

et d'un morphisme surje tif unitaire

r : Ω

→ ∂Ω

de degré 0, (2) de morphismes unitaires

ρ

A

:

A

→ Ω

0

et

ρ

B

:

B

→ ∂Ω

0

vériant

r

◦ ρ

A

= ρ

B

◦ σ

,

(3) d'une tra e graduée

R

de degré

n

sur

Ω

telle que

R

dω = 0

si

r(ω) = 0

.

Définition 2.10. Le ara tère d'un y le relatif de dimension n sur

(

A

,

B

)

est le ouplede fon tionnelles

(ϕ

n

, ψ

n

−1

)

∈ C

n

(

A

)

⊕ C

n

−1

(

B

)

déni par :

ϕ

n

(a

0

, a

1

, . . . , a

n

) =

1

n!

Z

ρ(a

0

)dρ(a

1

) . . . dρ(a

n

)

ϕ

n

−1

(b

0

, b

1

, . . . , b

n

−1

) =

_(n

1

− 1)!

Z

′

ρ(b

0

)dρ(b

1

) . . . dρ(b

n

−1

)

Le ara tère

(ϕ

n

, ψ

n

−1

)

estalorsun o y le y liquerelatifdeTot

n

_C

_•,•

₍

_A

_,

_B

₎

.

Exemple 2.11. Soit M une variété riemanienne omplète à bord mu-nied'uneb-métriqueexa te.L'opérateurfamilleindi ielle [Mel93℄ induit sur lesopérateurs régularisantsdu b- al ul lasuite exa te :

0

_−→

b

Ψ

−∞

_Tr

(M)

_−→

b

Ψ

−∞

(M)

_{−→ S(}

I

R

, Ψ

−∞

(∂M))

_{→ 0}

où

b

_Ψ

−∞

Tr

(M)

désigne lesopérateurs régularisantstraçables. Soit

b

_Tr

lab-tra edeMelroseet

µ

∈ C

2

₍

_S

₍

_R

_{, Ψ}

_−∞

_(∂M)))

le1- o y le y lique déni par :

µ(A

0

, A

1

) =

−1

2πi

Z

∞

−∞

Tr

∂M



dI (A

0

, λ)

dλ

I (A

1

_{, λ)}



dλ.

Alors

(

b

_{Tr, µ)}

est un 0- o yle y lique relatif sur le ouple d'algèbres