Étude de la stabilité des écoulements des métaux liquides

(1)

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ CONSTANTINE 1

FACULTÉ DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE

N° d’ordre :………… Série :……….

THÈSE

Présentée pour obtenir le diplôme de Doctorat en Sciences En GÉNIE MÉCANIQUE

ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES ÉCOULEMENTS DES MÉTAUX

LIQUIDES

OPTION Énergétique Présentée par : BELAZIZIA Abdennacer SOUTENU Le 09/05/2013 Devant le Jury :

Président : Kamel TALBI Prof. Université Constantine 1

Rapporteur : Smail BENISSAAD M.CA Université Constantine 1

Examinateurs : Mahfoud KADJA Prof. Université Constantine 1

Cherif BOUGRIOU Prof. Univ. Hadj Lakhdar Batna

(2)

DÉDICACES

À mes très chers parents À ma femme À mes enfants À mes frères À ma famille

(3)

REMERCIEMENTS

Je remercie mon encadreur Monsieur Smail BENISSAAD, Maître de conférences à l’université Constantine 1, pour son soutient et son aide permanente durant la période de réalisation de cette thèse.

Je remercie également Monsieur Said ABBOUDI, Professeur à l’université technologique de Belfort France, pour sa disponibilité permanente durant mon stage longue durée, pour ses idées, ses commentaires et sa contribution majeur à la réalisation de cette thèse.

Je tiens à exprimer mes remerciements à monsieur Kamel TALBI, Professeur à l’université Constantine 1, qui me fait l’honneur de présides le jury de cette thèse.

J’exprime mes remerciements aussi à Monsieur Mahfoud KADJA, Professeur à l’université Constantine 1, Monsieur Cherif BOUGRIOU, Professeur à l’université Hadj Lakhdar Batna et Monsieur Rabia KHELIF, Maitre de conférences à l’université Badji MOKHTAR Annaba, pour avoir accepté de participer à mon jury.

Enfin, je remercie le Bon Dieu qui nous a donné du courage, de l’endurance et de la volonté jusqu’à l’accomplissement de ce travail.

(4)

RÉSUMÉ

Le transfert de chaleur et de masse est fréquemment rencontré aussi bien dans la nature que dans l’industrie : la métallurgie, les procédés de séchage, l’isolation thermique, le stockage de l’énergie solaire sont quelques exemples.

Dans cette thèse, les transferts de chaleur et de masse par convection naturelle en milieu fluide confiné ont été étudiés numériquement par la méthode des volumes finis. La géométrie considérée est une cavité carrée à paroi horizontales adiabatique et imperméables. Les parois verticales actives sont maintenues à des températures et des concentrations constantes.

En premier lieu nous avons considéré la convection naturelle conjuguée dans une enceinte carrée avec et sans présence d’un champ magnétique. La paroi verticale gauche est épaisse avec une conductivité thermique finie. Les autres parois sont considérées à zéro épaisseur. L’enceinte est soumise à un gradient de température horizontal. Le problème physique dépend de sept nombres adimensionnels : le nombre de Rayleigh Ra, le nombre de Prandtl Pr, le rapport des conductivités thermiques Kr, l’épaisseur de la couche solide D, le

rapport des diffusivités thermiques α*, l’intensité du champ magnétique Ha et son angle

d’inclinaison φ.

Dans le cas de l’absence du champ magnétique, le but de l’étude est d’examiner l’effet du nombre de Raleigh, du rapport des conductivités thermiques et l’épaisseur de la paroi solide sur la convection naturelle conjuguée. La comparaison avec le cas particulier d’une paroi isotherme est également étudiée. Les résultats obtenus montrent que la convection naturelle peut être intensifiée en augmentent le nombre de Rayleigh et le rapport des conductivités thermiques. Cela est dû à la croissance de la différence de température effective qui entraine le fluide. Pour un faible Ra et un faible Kr (Kr=0.1), où la couche solide est un matériau isolant et la résistance thermique est plus grande, le nombre de Nusselt moyen est approximativement constant et faible relativement aux cas de Kr=1 et Kr=10. Cela indique

que la plupart du transfert de chaleur se fait par conduction. Pour Ra>104 et Kr >0.5, la

température de l’interface solide liquide est non uniforme. Ce qui rend la structure d’écoulement asymétrique dans l’enceinte.

Dans le cas de la présence du champ magnétique, le fluide utilisé est le gallium liquide. Le but dans ce cas est d’examiner l’effet de l’intensité du champ magnétique et de son inclinaison sur l’écoulement du fluide et le transfert de chaleur. Les résultats obtenus

(5)

montrent que pour un Ra donné, quand la valeur du nombre Ha augmente, la convection est décélérée progressivement et le taux du transfert de chaleur est réduit dans l’enceinte. Le mécanisme de convection est aussi affecté par l’angle d’orientation du champ magnétique. La réduction du taux du transfert de chaleur est plus importante dans le cas d’un champ magnétique orienté dans la direction x (angle d’inclinaison φ =0°). En plus, pour une paroi à faible conductivité thermique (Kr=0.1) où la convection est dominée par le transfert conductif, l’effet de la présence du champ magnétique est négligeable.

En second lieu, nous avons étudié la convection naturelle thermosolutale dans une enceinte carrée à paroi partiellement active avec la présence d’un champ magnétique. L’enceinte est soumise à des gradients de température et de concentration horizontaux. L’écoulement est entrainé par des poussées thermique et solutale coopérantes ou opposantes. La portion active dans la paroi gauche prend trois positions : en haut (T), au milieu (M) et en

bas (B). Le problème dépend de quatre paramètres : le nombre de Rayleigh thermique Rat, le

nombre de Prandtl Pr, le nombre de Schmidt Sc et Le rapport des poussées thermique et solutale N.

Dans un premier cas, nous examinons l’effet du nombre Rat et le nombre de Hartmann

sur l’écoulement du fluide et le transfert de chaleur et de masse dans le cas coopérant. En

absence du champ magnétique, les résultats obtenus montrent que l’augmentation du Rat

entraine une augmentation des taux du transfert de chaleur et de masse. En plus, pour un nombre de Rayleigh donné, la présence du champ magnétique réduit la vitesse de l’écoulement et le transfert thermique et massique.

Dans un deuxième cas, nous étudions l’effet du nombre de Rayleigh thermique sur la convection naturelle thermosolutale dans le cas opposant. Les résultats obtenus montrent que

l’augmentation de Rat entraine une augmentation dans le transfert de chaleur et de masse.

L’écoulement est stable quand Rat<7.104 pour la position (T) et Rat<6.105 pour la position

(M). L’écoulement instable, oscillatoire et périodique, apparait quand Rat=7.104 pour (T) et

Rat=6.105 pour (M). Par contre, dans le cas de la position (B) l’écoulement est stable pour un

grand nombre de Rayleigh (Rat=108). La période dominante des oscillations pour chaque cas

est déterminée par la transformation de fourrier rapide. Ces périodes sont (1/20) pour (T) et (1/7.43) pour (M).

(6)

ABSTRACT

Heat and mass transfer are frequented in nature and industry: metallurgy, drying process, thermal isolation, and solar energy storage.

In this study, convection heat and mass transfer in fluid medium are numerically studied with finite volume method. The geometry considered is a square enclosure with insulated and impermeable horizontal walls. The active vertical walls are maintained at constant temperature and concentration.

Steady, conjugate natural convection flow in a square enclosure is considered. The left vertical wall of the enclosure is thick with a finite thermal conductivity, while the other three walls are taken to be of zero thickness. The enclosure is subjected to horizontal temperature gradient. The physical problem depends on seven parameters: the Rayleigh number Ra, the Prandtl number Pr, the wall to fluid thermal conductivity ratio Kr, wall thickness D, the wall

to fluid thermal diffusivity ratio α*, Hartmann number Ha and its inclination angle φ .

In the case where the magnetic field is neglected, the main focus is on examining the effect Rayleigh number, conductivity ratio and wall thickness on conjugate natural convection. A comparison with the particular isothermal wall case is also studied. The obtained results show that natural convection can be strength by the increase of both Rayleigh number and conductivity ratio, because of the increase of the effective temperature difference driving the flow. For low Rayleigh number and poor conducting wall (Kr=0.1), where the solid part is an insulated material and the thermal resistance is more important the average Nusselt number is approximately constant and having low values comparing with equal (Kr=1) and high (Kr=10) conducting wall, indicating that most of heat transfer is by heat

conduction. For Ra>104 and Kr >0.5, the wall-fluid interface temperature is found to be quite

non- uniform. This non uniformity tends to make the flow pattern in the enclosure asymmetric.

In the case where the magnetic field is present, the enclosure is filled with liquid gallium. The main focus in this case is on examining the effect of both inclination angle and Hartmann numbers on fluid flow and heat transfer. The results show that for a given Ra, as the value of Hartmann number increases, convection is suppressed progressively and the rate of heat transfer is reduced in the enclosure. Convection mechanism is also affected by the direction of the magnetic field. It is found that the rate of convection heat transfer is more

(7)

reduced with the x-direction of the magnetic field (inclination angle φ =0°). Also the results show that for poor conducting wall (Kr=0.1) where the convection is dominated by heat conduction, that the presence of a magnetic field is not important and its effect in this case can be neglected.

Steady, double diffusion natural convection flow in the presence of a magnetic field in a square enclosure with partially active vertical wall and subjected to horizontal temperature and concentration gradients are also considered. The flow is driven by cooperating or opposite thermal and solutal buoyancies. The active location takes three positions in the left wall: top (T), middle (M) and bottom (B). The physical problem depends on five parameters: thermal Rayleigh number, Prandtl number, Schmidt number and buoyancy forces ratio (N=1).

In the first case the main focus is on examining the effect of both Rayleigh and Hartmann numbers on fluid flow and heat and mass transfer. In the absence of a magnetic

field the obtained results show that the increase of Rayleigh number (Rat)leads to enhance

heat and mass transfer rates. Furthermore it is found that for a given Rat, the presence of a

magnetic field suppresses convection mechanism by reducing flow velocity and the rate of heat transfer.

In the second case, the main focus of the study is on examining the effect of Rayleigh number on thermosolutal natural convection flow. The obtained results show that the increase

of Rat leads to enhance heat and mass transfer rates. The flow is steady at: Rat<7.104 for (T)

and Rat<6.105 for (M). The unsteady flow appears by the formation of regular (periodic)

oscillations of particles in the flow when Rat=7.104 for top and Rat=6.105 for middle. While

for case bottom, the flow is steady for high Rayleigh number (Rat=108). The fast Fourier

transformation has been used to determine the dominant period of oscillations. Which is (1/20) for (T) and (1/7.43) for (M).

(8)

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(9)

TABLE DES MATIÈRES

DÉDICACES………...………i REMERCIEMENTS………...………ii RÉSUME………...……...………….…iii ABSTRACT………..………...……….…..…v RÉSUMÉ EN ARABE……….………...……….…vii

TABLE DES MATIÈRES………...…..…..…viii

NOMENCLATURE………...……….……xi

INTRODUCTION GÉNÉRALE…….………...……….…1

1ère PARTIE : CONVECTION NATURELLE CONJUGUÉE DANS UNE ENCEINTE CARRÉE ………...………4

CHAPITRE I : TRAVAUX ANTÉRIEURS……….……...……….……….5

CHAPITRE ІІ : DESCRIPTION, MODÈLE MATHÉMATIQUE ET MÉTHODE NUMÉRIQUE……..……….. 14

2.1 Introduction ………...…….. 14

2.2 Problème 1 : cas de convection naturelle conjuguée convection-conduction …………... 14

2.2.1 Description ………...….…….……… 14 2.2.2 Hypothèses simplificatrices ………...……..……….. 15 2.2.3 Formulation mathématique ………...………...15 2.2.3.1 Partie fluide ………...………..15 2.2.3.2 Partie solide ……….………...………..16 2.2.4 Équations Adimensionnelles ………...…………...……….16

2.3 Problème 2 : cas de la convection naturelle conjuguée sous l’effet magnétique………....17

2.3.1 Écoulement avec champ magnétique ………..…………..………….18

2.3.2 Formulation mathématique ………...………..………....19

2.3.3 Équations adimensionnelles ………...………..………...20

2.4 Nombres adimensionnels ………..……….20

2.5 Conditions aux limites adimensionnelles ………...………21

(10)

CHAPITRE ІІІ : CONVECTION NATURELLE CONJUGUÉE DANS UNE

ENCEINTE CARRÉE SANS EFFET MAGNÉTIQUE ……….23

3.1 Introduction ………...……….23

3.2 Choix du maillage ………..………23

3.3 Validation du code numérique ………..………….24

3.4 Structure d’écoulement ………..…26

3.5 Distribution de la température ………..30

3.6 Température de l’interface solide-liquide ………. 34

3.7 Nombre de Nusselt moyen ……… 35

3.8 Conclusion ………...………. 36

CHAPITRE IV : LA CONVECTION NATURELLE CONJUGUÉE DANS UN ENCEINTE CARRÉE SOUS L’EFFET D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE…………..…38

4.1 Introduction ………...…….38

4.2 Choix du maillage ………..………38

4.3 Validation numérique ………...……..38

4.4 Effet du champ magnétique (Ha ≠ 0) ……….…………..……..39

4.4.1 Effet de l’angle inclination ………...…………...……40

4.4.2 Effet du nombre de Hartmann ………...………...……...41

4.5 Conclusion ………..………...45

2ère PARTIE : CONVECTION NATURELLE THERMOSOLUTALE SOUS L’EFFET MAGNÉTIQUE DANS UNE ENCEINTE CARRÉE A PAROI VERTICALE PARTIELLEMENT ACTIVE ……..……….. 46

CHAPITRE V : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ………...47

CHAPITRE VI : DESCRIPTION, MODÈLE MATHÉMATIQUE ET MÉTHODE NUMÉRIQUE ……….. 51 6.1 Géométrie du problème ……….……….51 6.2 Hypothèses simplificatrices ………...52 6.3 Hypothèse de Boussinesq ……….………..52 6.4 Formulation mathématique ………53 6.4.1 Équation de continuité ………...…….53

6.4.2 Équations de conservation de la quantité de mouvement………...………53

(11)

6.4.4 Équation de conservation de l’espèce ………...…………..54

6.4.5 Conditions initiales et aux limites ………...………54

6.5 Équations gouvernantes adimensionnelles ……….………55

6.6 Équations de base adimensionnelles ……….……….56

6.7 Conditions aux frontières adimensionnalisées ……….………..57

6.8 Transferts thermique et massique ………. 57

6.9 Méthode Numérique ………..58

CHAPITRE VII : RÉSULTATS ET DISCUSSIONS ………...……….59

7.1 Introduction ………..……….…59

7.2 Choix du maillage ……….……….59

7.3 Validation du code calcul………...……….60

7.4 Cas coopérant ……….61

7.4.1 Effet du nombre de Rayleigh (Ha=0) ………...……..61

7.4.2 Effet du champ magnétique (Ha≠0, Rat=105) ………..…..65

7.5 Cas opposant ……….…….68

7.5.1 Évolution de l’écoulement ………...…...68

7.5.2 Effet du nombre de Rayleigh ………...……...71

7.5.3 Écoulement stable ………..…………74

7.5.3 Écoulement instable ………...………….75

7.6 Conclusion ……….78

CONCLUSION GÉNÉRALE ……….. 80

(12)

NOMENCLATURE

A rapport de forme de la cavité, L/H B champ magnétique, [T]

Bx composante du champ magnétique suivant la direction x, [T]

By composante du champ magnétique suivant la direction y, [T]

B0 champ magnétique de référence, [T]

c concentration, [g.mol.l-1] C concentration adimensionnelle, c c c C ∆ − = 0

c0 concentration de référence, c0=cmin [g.mol.l-1]

d épaisseur de la paroi solide, [m]

D épaisseur adimensionnelle de la paroi solide D=d H

D’ coefficient de diffusivité solutale, [m2.s-1]

E énergie des oscillations, E’ champ électrique, [V]

F’ vecteur de la force de Lorentz F fréquence des oscillations, [Hz]

FX composante adimensionnelle de la force de Lorentz suivant la direction X FY composante adimensionnelle de la force de Lorentz suivant la direction Y J vecteur densité du courant électrique, [A.m-2]

g accélération de la pesanteur, [m.s-2]

H hauteur de la cavité, [m]

h hauteur de la portion active, H/2 L longueur de la cavité, [m]

kf conductivité thermique du fluide, [W.m-1.K-1]

kw conductivité thermique du solide, [W.m-1.K-1]

Kr rapport des conductivités thermique Kr=k_w k_f Nu nombre de Nusselt moyen

p pression caractéristique, [Pa] P pression adimensionnelle, p

(

α H

)

2

(13)

SΦ source évaluée au centre du volume de contrôle

t* temps, [s]

t temps adimensionnel, t*

( )

H2 α

T température, [K]

T0 température de référence, Tmin [K]

Tmax température de la paroi chaude [K]

Tmin température de la paroi froide, [K]

u, v composantes vitesse, [m.s-1]

U, V composantes vitesse adimensionnelle (U, V)= (u,v)/(α H)

V vitesse adimensionnelle de l’écoulement, V = U2+V2 x, y coordonnées cartésiennes du système, [m]

X, Y coordonnées cartésiennes adimensionnelles du système, (x,y)/H

Symboles grecques

αf coefficient de diffusivité thermique du fluide, αf =k/(ρc)f, [m2.s-1]

αw coefficient de diffusivité thermique du solide, αs=k/(ρc)w, [m2.s-1]

*

α rapport des diffusivités thermiques, α =αw αf

*

βT coefficient d’expansion thermique, [K-1]

βS coefficient d’expansion solutale, [m3.kg-1]

υ viscosité cinématique du fluide, [m2

.s-1]

µ viscosité dynamique du fluide, [kg.m-1.s-1]

ρ masse volumique, [kg.m-1 ] θ température adimensionnelle, T T T ∆ − = 0 θ

φ angle d’inclinaison du champ magnétique [°]

φ’

le potentiel électrique

∆T différence de température entre les parois, ∆T=Tmax-Tmi,, [K]

∆c différence de concentration entre les parois, ∆c=cmax-cmin, [g.mol.l-1]

(ρc)f capacité calorifique du fluide, [j/m3.k]

(ρc)w capacité calorifique du solide, [j/m3.k]

(14)

ψ fonction de courant adimensionnelle, ψ= ψ/α

∆X dimension d’un volume de contrôle dans la direction X ∆Y dimension d’un volume de contrôle dans la direction Y

Groupe adimensionnels

Ha nombre de Hartmann, Ha=B0.H. σ ρ0.υ

Rat nombre de Rayleigh thermique, g.βT. T.H

( )

υ.αf

3

∆

Ras nombre de Rayleigh solutal, g.βS.∆c.H

(

υ.D

)

=N.Le.Rat

3

RM nombre de Reynoldz magnétique,

Sc nombre de Schmidt, υ D

Pr nombre de Prandtl, υ α_f

Le nombre de Lewis, α_f D=Sc Pr

N rapport des forces de volume solutale et thermique, N=

(

βS.∆c

) (

βT.∆T

)

Sh nombre de Sherwood

Sh nombre de Sherwood moyen Nu nombre de Nusselt

Nu nombre de Nusselt moyen

Indices * valeur dimensionnelle max maximum min minimum 0 référence S solutale T thermique w solide

(15)

Introduction générale

INTRODUCTION GÉNÉRALE

Le phénomène de transfert de chaleur et de masse par la convection naturelle dans des espaces confinés est généralement dû à la présence des gradients de température et de concentration. Ces gradients causent une distribution non uniforme de la densité du fluide qui provoque à son tour un mouvement convectif sous l’effet de la gravité. Lorsque les forces volumiques au sein du fluide sont d’origine thermique, la convection est dite thermique ou thermoconvective ; elle est à double diffusion (cas d’un fluide binaire), ou thermosolutale (cas d’un fluide composé de deux ou plusieurs constituants) si les effets thermique et solutal coexistent. Dans ce dernier cas, si les forces de volume agissent dans le même sens, la convection thermosolutale est dite coopérante, et dans le cas contraire elle est dite opposante. De plus, le fait de soumettre un mélange fluide constitué d’au moins deux composants à un gradient permanant de température, peut dans certains cas, conduire à des transferts de matière au sein du mélange. Ces transferts sont dus à la formation d’un gradient de concentration induit par un gradient thermique, processus connus sous le nom de thermodiffusion ou l’effet Soret. Ce phénomène, peut jouer un rôle important dans certains processus naturels ou configurations industrielles tels que le domaine de l’exploration et la production pétrolière et les opérations de dessalement de l’eau de mer.

La convection naturelle thermique est présente principalement dans le domaine des bâtiments (chauffage et climatisation des locaux et isolation thermique des parois), dans les systèmes de refroidissement des équipements électroniques et dans les systèmes de collection de l’énergie solaire.

Le phénomène de la convection thermosolutale est fréquemment rencontré dans la nature. Les exemples sont multiples : les mouvements convectifs dans les océans qui sont dus, d’une part, à la présence de gradient de température, et d’autre part, à la distribution non uniforme de la concentration du sel ; la dispersion des polluants dans l’atmosphère (gaz nocifs) et dans le sol (déchets nucléaires) et la migration de l’humidité des sels minéraux dans les sols. Les transferts de chaleur et de masse par convection naturelle interviennent aussi : lors des mécanismes de changement de phase des métaux où la convection affecte directement la structure micrographique et les propriétés thermophysiques des alliages ; lors des processus de séchage de différents produits industriels et domestiques ; lors du stockage des gaz

(16)

liquides, dans les pompes à chaleur et dans les réacteurs chimiques et lors de la migration de l’humidité dans les fibres destinées à l’isolation thermique.

L’étude des mouvements des fluides conducteurs d’électricité en présence de champ magnétique est désignée comme étant la magnétohydrodynamique ou (M.H.D). Cette dernière est une branche de la physique, qui s’applique aux métaux liquides (mercure, métaux alcalins fondus), au gaz faiblement ionisés, aux plasmas et aux solutions aqueuses. Lorsqu’un fluide conducteur se déplace dans un champ magnétique, il est le siège d’un champ électrique qui y produit des courants électriques ; ceux-ci modifient le champ magnétique initial ; d’autre part, les forces de Lorentz appliquées à la matière le long des lignes de courant modifient le mouvement du fluide. Ainsi apparait une interaction des effets électromagnétiques et hydrodynamiques qui constituent le domaine de la MHD. L’importance de l’interaction est

caractérisée par un nombre sans dimension RM appelé nombre de Reynolds magnétique ; RM

est proportionnelle à la conductivité électrique du fluide, à sa vitesse et aux dimensions de

l’écoulement. L’interaction est généralement faible (RM < 1) dans les métaux liquides et les

gaz faiblement ionisés et forte (RM > 1) dans les plasmas.

De nombreux travaux expérimentaux et numérique ont été développés sur la convection naturelle quelle soit thermique ou thermosolutale dans les espaces confinés. La majorité de ces études concernent les enceintes à parois non conductrices, avec zéro épaisseur et entièrement actives. Mais dans plusieurs situations et applications industrielles, par exemple, dans les mécanismes de collection de l’énergie solaire et ceux de l’isolation thermique, chaque paroi dans le système peut être partiellement active et peut avoir aussi une épaisseur et une conductivité thermique bien déterminées. En revanche, la configuration géométrique du système et les conditions aux limites imposées à ses frontières ont une influence majeure sur la structure de l’écoulement et sur les taux de transfert de chaleur et de matière résultants. En plus, certaines fluides utilisés dans la pratique sont conducteurs d’électricité et peuvent être affectés par l’effet d’un champ magnétique. Les études dans le domaine de la MHD ont montré que les quantités de tout type de transport (quantité de mouvement, transfert de chaleur et de masse) peuvent êtres contrôlées en imposant un champ magnétique d’intensité constante ou variable.

Le présent travail est consacré, d’une part, à l’étude de la convection naturelle conjuguée conduction-convection dans une cavité carrée remplie d’air et l’effet d’un champ magnétique uniforme sur la convection naturelle conjuguée dans une enceinte carrée remplie d’un métal liquide (le gallium) et d’autre part, à l’étude de la stabilité de la convection

(17)

naturelle d’origine thermosolutale d’un fluide binaire dans une enceinte carrée à paroi partiellement active. Les gradients de température et de concentration sont engendrés par des conditions aux limites thermiques et solutales de type Dirichlet imposées sur les parois verticales actives du système. L’action d’un champ magnétique constant et uniforme est également prise en compte. Ce dernier permit de réduire les vitesses et stabiliser l’écoulement oscillatoire.

Le contenu de cette thèse est constitué de deux parties.

La première est consacrée à l’étude de la convection naturelle conjuguée dans une enceinte carrée. Elle contient quatre chapitres : le premier concerne la revue des travaux déjà réalisés dans ce domaine. Le deuxième est réservé à la définition du problème, à sa modélisation mathématique et à la méthode numérique employée. Le troisième chapitre est consacré à la présentation des résultats obtenus dans le cas de la convection naturelle purement conjuguée dans le cas d’une enceinte carrée remplie d’air. Nous présentons dans le quatrième chapitre les résultats obtenus dans le cas de l’étude de la convection naturelle conjuguée du gallium liquide en présence d’un champ magnétique.

La deuxième partie est consacrée à l’étude de la stabilité de la convection naturelle thermosolutale dans une enceinte à paroi partiellement active sous l’action d’un champ magnétique externe constant et uniforme. Elle se compose de trois chapitres : le cinquième chapitre concerne la revue des travaux déjà réalisés dans ce domaine. Le sixième chapitre est réservé à la définition du problème, à sa formulation mathématique et à la validation de la méthode numérique. Le septième chapitre est réservé à l’étude de la convection naturelle thermosolutale dans une enceinte carrée rempli d’un fluide binaire conducteur d’électricité soumise à des gradients de température et de concentration horizontaux. L’effet d’un champ magnétique uniforme, externe et constant sur l’écoulement et les transferts de chaleur et de massé a été aussi discuté. Dans le cas opposant, nous avons aussi analysé les instabilités trouvées et leurs effets sur l’écoulement du fluide et sur les transferts de chaleur et de masse.

(18)

1ère partie : chapitre I Travaux antérieurs

1

ère

PARTIE

CONVECTION NATURELLE

CONJUGUÉE DANS UNE ENCEINTE

(19)

CHAPITRE І

TRAVAUX ANTÉRIEURS

Le transfert de chaleur par convection naturelle dans les enceintes fermées est un sujet d’intérêt considérable dans le domaine d’ingénierie. Les applications sont nombreuses : la conception thermique dans le domaine des bâtiments, stockage cryogénique, la conception des fours, réacteurs nucléaires, collecteurs d’énergie solaire, etc.

La convection naturelle dans les cavités ayant diverses formes et à différents types de conditions aux limites a été largement étudiée.

Vahl Davis [1] a présenté une solution numérique de la convection naturelle dans une cavité carrée différentiellement chauffée. Les parois horizontales sont maintenues adiabatiques tandis que les parois verticales sont maintenues à deux températures différentes. Ce problème est généralement utilisé comme une situation de référence pour la validation des codes informatiques.

Jones [2] a publié une comparaison très détaillée des résultats expérimentaux et numériques. Il a constaté que dans tous les cas, l’accord entre les deux résultats est très satisfaisant. Cela valide l’étude de ce type de problèmes par les méthodes numériques.

Dans une enceinte carrée chauffée latéralement, Pesso et Piva [3] ont étudié, théoriquement et numériquement en régime permanent, la convection naturelle à faible nombre de Prandtl causée par des différences importantes de densité. Un paramètre caractérisant les différences de densité du fluide étudié est identifié par le nombre de

Gay-Lussac G (G = 1_β _∆

T , ∆T est la différence de température et β le coefficient

d'augmentation de pression isochore : β = 1

(

∂ _∂

)

V

P T

P ). L’hypothèse de Boussinesq est

atteinte lorsque ce nombre tend vers zéro. Les auteurs ont étudié les effets des nombres de Rayleigh, de Prandtl et de Gay-Lussac sur le nombre de Nusselt moyen.

Amaresh et Manab [4] ont étudié numériquement la convection naturelle laminaire dans une cavité bidimensionnelle inclinée dont l’une des parois planes est soumise à une température variable dans l’espace. Une paroi ondulée avec les deux autres parois planes sont maintenus à une température froide. Les calculs sont effectués en fonction de différentes

(20)

Rayleigh. Tandis que le nombre de Prandtl a été maintenu constant. Les résultats obtenus montrent que l'angle d'inclinaison affecte le débit et le taux de transfert de chaleur dans la cavité. Avec l’augmentation de l’amplitude, le nombre de Nusselt moyen sur la paroi ondulée est sensiblement élevé à faible nombre de Rayleigh. L'augmentation du nombre d'ondulations au-delà de deux n'est pas bénéfique. La tendance du nombre de Nusselt local est ondulée.

L’effet des conditions aux limites thermiques sur la convection naturelle laminaire dans une cavité carrée a été étudié numériquement par Basak et al [5]. La paroi horizontale inférieure est soumise à une température uniforme ou non uniforme. Plusieurs nombre de Rayleigh et de Prandtl ont été étudié par rapport aux conditions aux limites de type Dirichlet continus et discontinus.

Chang et Tsay [6] ont réalisé une analyse numérique pour étudier de la convection naturelle laminaire dans une enceinte induite par une portion-arrière chauffée. Les effets du nombre de Rayleigh Ra, le nombre de Prandtl Pr et de la taille géométrique de l'enceinte sur la structure de l'écoulement et des caractéristiques de transfert de chaleur sont étudiés en détail. Les résultats montrent que la présence de la portion-arrière peut améliorer le coefficient de transfert de chaleur d'environ 32%. L’ampleur de l'amélioration de transfert de chaleur augmente avec la diminution de Ra. L’influence de la distance adimensionnelle entre la portion-arrière chauffée et la plaque refroidie sur le nombre de Nusselt moyen est plus importante pour le système avec un plus petit Ra.

Gong et Mujumdar [7] ont simulé numériquement l’écoulement en fusion d’un matériau pur (Phase Change Material) dans une cavité rectangulaire bidimensionnelle chauffée par le bas. La méthode des lignes de courant Upwind/Petrov et la méthode Galerkin des éléments finis combinée avec la méthode de la grille fixe ont été utilisées par ces auteurs. Des modèles d'écoulement pour une large gamme de nombres de Rayleigh sont présentés. L'instabilité des flux de convection libre pendant le processus de fusion est découvert et discuté.

Braunsfurth et al. [8] ont présenté les résultats d’une étude combinée numérique et expérimentale d’un écoulement convectif dans un échantillon de gallium chauffé par l’une des parois verticales et refroidi par l’autre. La mesure du champ de température dans l’écoulement a été comparée avec la solution standard de la cellule de Hadley (Hadley-cell). Des modèles d'écoulement pour une large gamme de nombres de Rayleigh sont présentés. L'instabilité des flux de convection libre pendant le processus de fusion est découvert et discuté. Un bon

(21)

accord a été trouvé entre les mesures et les simulations numériques pour les faibles valeurs du nombre de Grashof.

Dans les études citées ci-dessus, les parois de l’enceinte sont supposées être à épaisseur nulle. Aussi la conductivité thermique n’est pas prise en compte. Cependant dans plusieurs situation pratiques, en particulier ceux concernant les systèmes d’isolation thermique, la conduction dans les parois peut avoir un effet important sur l’écoulement de la convection naturelle. De nombreux chercheurs ont montré que le couplage de la conduction dans les parois avec la convection naturelle dans les enceintes a une influence significative sur l’écoulement de fluide et les caractéristiques de transfert de chaleur en comparaison avec les travaux rapportées sur les parois minces et isothermes. Ainsi, plusieurs travaux sur la convection naturelle conjuguée ont été réalisés.

Kaminski et Prakash [9] ont analysé l’écoulement laminaire stable de la convection naturelle conjuguée dans une enceinte carrée. L’une des parois verticales est épaisse tandis que les autres parois sont supposées à zéro épaisseur. L’objectif principal de l’étude est d’examiner l’effet de la conduction dans la paroi épaisse sur l’écoulement de la convection naturelle dans l’enceinte. Pour tenir compte de la conduction dans cette paroi, trois modèles distingues sont étudiés : (i) le cas complètement conjugué dans lequel la conduction dans la paroi verticale épaisse est supposée être entièrement bidimensionnel ; (ii) le modèle unidimensionnel dans lequel la conduction dans la paroi épaisse est supposée être seulement dans la direction horizontale ; (iii) la température d’interface solide-liquide est supposée être uniforme. Leurs résultats étaient en bon accord avec ceux obtenus à partir des méthodes approximatives et avec les corrélations empiriques. Pour le nombre de Grashof supérieur à

105, la distribution de température dans la paroi épaisse montre des effets bidimensionnels

importants et la température de l’interface solide-liquide est tout à fait non-uniforme. Cette non-uniformité tend à rendre la structure d’écoulement dans l’enceinte asymétrique. Pour les valeurs des paramètres d’étude utilisés, tous les trois modèles prédisent à peu près la même valeur du transfert de chaleur global. Cette étude a été utilisée pour valider le présent travail (§ 3.1). Un bon accord entre les deux résultats a été obtenu.

Liaqat et Baytas [10] ont étudié l’écoulement produit par la convection naturelle laminaire dans une enceinte carrée à parois épaisses conductrices de chaleur. La température du milieu ambiant a été supposée constante. La cavité est remplie d’air et contenant des

(22)

résultats montrent un changement significatif dans les paramètres de l’écoulement par comparaison avec ceux de la convection naturelle non-conjuguée.

Utilisant la méthode de la fonction de courant-vorticité, Dong et Li [11] ont étudié le problème conjugué convection-conduction dans une cavité à géométrie complexe. L’influence du matériau utilisé, de la forme géométrique et du nombre de Rayleigh sur le transfert de chaleur ont été étudiés. Pour le régime stable, le début d’écoulement et le transfert de chaleur augmentent avec l’accroissement de la conductivité thermique dans la région solide. La forme géométrique et le nombre de Rayleigh affectent largement l’écoulement et le transfert global de chaleur.

Manab et Reddy [12] ont présenté une étude numérique de l’écoulement de la convection naturelle dans une enceinte carrée. Un bloc interne conducteur de chaleur de forme carrée est placé au centre de l’enceinte. Les deux géométries présentent un angle

d’inclinaison. Les calculs ont été effectués pour un nombre de Rayleigh variant de 103 à 106,

un angle d’inclinaison qui varie de 15° à 90° avec un pas de 15° et un rapport de conductivités thermiques qui prend les valeurs 0.2 et 5.

Le transfert de chaleur conjuguée convection-conduction, dans une enceinte poreuse bidimensionnelle avec paroi épaisse, a été examiné par Saeid [13]. Les parois verticales sont isothermes à des températures différentes, alors que les parois horizontales sont adiabatiques. Le modèle de Darcy est utilisé dans la formulation mathématique pour la couche poreuse. La méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre les équations adimensionnelles gouvernant le phénomène physique. Les résultats obtenus ont montré l’effet du nombre de Rayleigh, le rapport des conductivités thermiques et l’épaisseur adimensionnelle de la paroi sur le transfert de chaleur et les caractéristiques de l’écoulement du fluide. Il a été trouvé dans la plupart des cas que l’augmentation du nombre de Rayleigh et le rapport des conductivités thermiques ou la diminution de l’épaisseur de la paroi peuvent augmenter le nombre de Nusselt moyen. Ce dernier augmente avec l’augmentation de l’épaisseur de la paroi dans le cas particulier à faible nombre de Rayleigh et à grande conductivité de la paroi.

Dans un autre travail [14] le même auteur a étudié numériquement la convection naturelle conjuguée dans une couche poreuse verticale intercalée entre deux parois qui ont les mêmes épaisseurs. Ils ont considéré le chauffage horizontal où les surfaces extérieures des parois verticales sont isothermes à des températures différentes. Les limites horizontales sont considérés adiabatiques. Les résultats montrent l’effet des paramètres (épaisseurs des parois

(23)

solides, rapport des conductivités thermiques et le nombre de Rayleigh) sur l’écoulement du fluide et le transfert de chaleur.

Le transfert de chaleur par convection naturelle conjuguée et rayonnement thermique dans une enceinte à parois épaisses conductrices de chaleur a été étudié numériquement par Kuznetsov et Sheremet [15]. L’échange de chaleur par convection et rayonnement avec le milieu ambiant a été examiné avec l’une des surfaces extérieures. L’effet des paramètres tels que le nombre de Grashof, l’épaisseur et le rapport des conductivités thermiques sur la structure de l’écoulement et le champ de température a été analysé.

Nouanegne et al. [16] ont étudié le problème du transfert de chaleur par convection naturelle conduction et rayonnement dans des cavités ouvertes. Un flux de chaleur uniforme est appliqué sur la surface intérieure de la paroi solide face à l’ouverture. Ils ont constaté que le rayonnement de la surface affecte considérablement l’écoulement et les champs de température. L’influence du rayonnement de surface est de diminuer les flux de chaleur produit par convection naturelle et par conduction, tandis que le flux de chaleur produit par rayonnement augmente avec l’augmentation de l’émissivité de la surface.

Les mêmes auteurs ont étudié le transfert de chaleur conjugué produit par convection naturelle, conduction et rayonnement dans une enceinte carrée inclinée délimitée par une paroi verticale solide épaisse [17]. La deuxième paroi verticale est soumise à un flux de chaleur alors que la température de l’extérieur est constante. Ils ont constaté que l’interaction entre les trois modes de transfert de chaleur a été importante et l’influence du rayonnement de surface sur la convection naturelle est non-négligeable. L’écoulement et les champs de température ainsi que le transfert de chaleur à travers l’enceinte ont été modifiés.

L’effet de la conduction dans les parois horizontales sur le transfert de chaleur par convection naturelle dans une cavité carrée a été numériquement étudié par Moghtada [18]. Les parois verticales sont maintenues à des températures différentes et constantes, tandis que les surfaces extérieures des parois horizontales sont thermiquement isolées. Les auteurs ont analysé l’effet du nombre de Rayleigh et du rapport des conductivités thermiques sur le transfert de chaleur dans la cavité.

Ben-Nakhi et Mahmoud [19] ont présenté des résultats d’une étude numérique bidimensionnelle de la convection naturelle conjuguée et laminaire dans une enceinte de forme rectangulaire à parois fabriquées à partir de matériaux composites. Les conditions aux

(24)

paramètres (rapport d’aspect, nombre de Rayleigh et l’orientation des surfaces extérieures) sur l’écoulement et le transfert de chaleur.

Le procédé de production des matériaux dans l’industrie (par exemple la croissance cristalline utilisant la technique horizontale de Bridgman) implique la présence d’un fluide conducteur d’électricité soumis à un champ magnétique. Dans ce cas le fluide subit une force de Lorentz et son effet et de réduire la vitesse de l’écoulement. Cela affecte le taux des transferts de chaleur et de masse. Le besoin d’un champ magnétique externe pour contrôler l’écoulement et le transfert de chaleur d’un fluide conducteur d’électricité a été reconnu dans de nombreuses applications telles que la croissance des cristaux. De nombreuses études ont été présentées dans le passé sur l’effet d’un champ magnétique sur le phénomène de la convection naturelle d’un fluide, pur ou binaire, électriquement conducteur.

La première investigation qui a été faite par Sparrow et Cess [20]. Ils se sont intéressés à l’interaction entre un champ magnétique externe et la convection naturelle d’un fluide pur. Ils ont étudié le cas d’un écoulement, en régime de type couche limite laminaire, sur une plaque verticale isotherme. Il a été trouvé que, pour les métaux liquides, le transfert de chaleur par convection naturelle peut être notablement affecté par la présence d’un champ magnétique, alors qu’avec d’autres fluides ces effets sont très petits.

Une méthode intégrale a été utilisée par Cheng [21] pour étudier l’effet d’un champ

magnétique sur la convection naturelle d’un fluide binaire sur une plaque verticale bordant un milieu poreux saturé d’un fluide électriquement conducteur et soumise à une température et une concentration constante. Il a démontré que l’application d’un champ magnétique transversale, normale à la direction de l’écoulement, diminue les nombres de Nusselt et de Sherwood. De plus, le rapport entre l’épaisseur de la couche limite thermique et celle de la couche limite de concentration est indépendant de l’intensité du champ magnétique.

Chamkha et Al-Naser [22] ont résolu numériquement par la méthode de différences finies le problème de la convection hydromagnétique doublement diffusive d’un mélange binaire de gaz dans une cavité rectangulaire où les parois supérieure et inférieure sont adiabatiques. Des températures et concentrations constantes sont imposées le long des deux parois verticales. Les forces de poussée thermique et solutale sont opposées et la possibilité d’une génération de chaleur interne est prise en considération. Un champ magnétique uniforme est appliqué dans la direction horizontale. Ils ont montré que l’effet du champ magnétique était de réduire l’intensité du transfert thermique et l’intensité de l’écoulement du

(25)

fluide dans la cavité. En outre, à mesure que le nombre de Lewis augmente, les nombres moyens de Nusselt et de Sherwood augmentent aussi pour la plupart des valeurs du rapport de force de volume considérées dans cette étude.

Hof et al. [23] ont obtenu des résultats expérimentaux concernant l’effet d’un champ magnétique sur la stabilité de la convection dans un métal liquide. Ils ont utilisé un récipient rectangulaire contenant du gallium soumis à un gradient de température horizontal. Un champ magnétique uniforme est appliqué séparément dans les trois directions. Ils ont montré alors que l’efficacité du champ magnétique dépend fortement de son orientation par rapport au gradient de la température. En effet, les champs magnétiques verticaux et transversaux suppriment fortement les oscillations se produisant au début de la convection.

Krakov et Nikiforov [24] ont considéré l’influence d’un champ magnétique externe sur

la convection naturelle dans une cavité carré remplie d’un fluide électriquement conducteur. La solution numérique de ce problème a été faite par la méthode des éléments finis. Ils ont montré que la structure de la convection et que l’intensité du flux de chaleur dépendent de l’orientation de l’angle entre les directions des gradients de température et du champ magnétique appliqué. La géométrie de la cavité remplie de fluide a également une influence sur la distribution du champ magnétique dans la cavité. Pour le cas de la convection non gravitationnelle, où le nombre de Grashof est nul, le mouvement convectif du fluide est seulement causé par le champ magnétique externe. Par conséquent, le changement de l’orientation d’un champ magnétique peut causer un changement du flux de la chaleur dans la cavité.

Rudraiah et al. [25] ont fait une étude sur la convection naturelle dans une cavité

rectangulaire verticale remplie d’un fluide pur électriquement conducteur en présence d’un champ magnétique. Les deux parois verticales sont chauffées avec des températures constantes tandis que les parois horizontales sont maintenues adiabatiques. Ils ont conclu que l’effet principal de l’imposition d’un champ magnétique est de diminuer le taux global de transfert thermique entre les parois chaudes et froides. L’augmentation de l’intensité du champ magnétique aplatit le pic de la vitesse près des parois, pour un nombre élevé du nombre de Grashof. Le champ magnétique réduit légèrement le nombre de Nusselt.

Sayed-Ahmed et Attia [26] ont étudié l’écoulement MHD complètement développé avec transfert de chaleur à travers une conduite à section rectangulaire. Le fluide utilisé est

(26)

considéré visqueux, incompressible et conducteur d’électricité. L’effet du terme de Hall et la viscosité variable du fluide sur la vitesse et le champ de température a été examiné.

Weier et al. [27] ont discuté l’influence des forces de Lorentz générées par les courants faradiques et les champs magnétiques à partir des aimants permanents sur la dynamique et le transfert de masse lors de la convection naturelle du cuivre électrolysé. La structure de l’écoulement, ainsi que le transfert de masse dépend fortement de la direction de la force de Lorentz par rapport à celle de la convection naturelle.

Sivasankaran et Ho [28] ont étudié numériquement la convection naturelle de l’eau au voisinage de son maximum de densité en présence d’un champ magnétique dans une cavité avec des propriétés dépendantes de la température. Il a été remarqué que le nombre de Nusselt moyen diminue avec l’augmentation du nombre de Hartmann. La direction du champ magnétique externe affecte également l’écoulement de fluide et le transfert de chaleur.

Kahveci et Oztuna [29] ont étudié l’écoulement et le transfert de chaleur de la convection naturelle MHD dans une enceinte chauffé latéralement. Ils ont constaté que le champ magnétique supprime sensiblement l’écoulement et donc le transfert de chaleur, en particulier pour les valeurs élevées du nombre de Rayleigh. Aussi le champ magnétique de direction X est plus efficace pour amortir la convection que le champ de direction Y.

Pirmohammadi et Ghassemi [30] ont étudié l’effet du champ magnétique sur l’écoulement de la convection naturelle laminaire en présence d’un champ magnétique dans une enceinte inclinée chauffée par le bas et refroidie par le haut. Ils ont constaté que pour un angle d’inclinaison donné de l’enceinte, quand les valeurs du nombre de Hartmann augmentent, le transfert de chaleur par convection est réduit.

Récemment, Lo [31] a employé la méthode des différences quadratiques (DQ) pour simuler l’effet d’un champ magnétique transversal sur l’écoulement magnétohydrodynamique (MHD) dans une enceinte fermée. Les équations de Navier-stockes sont présentées en deux dimensions sous la formulation mathématique vorticité-fonction de courant. L’auteur a trouvé dans le cas de l’absence de l’effet MHD, que le taux du transfert de chaleur est maximal pour le plus grand nombre de Prandtl. Avec l’augmentation de l’intensité du champ magnétique externe, le taux de transfert de chaleur est plus faible pour les faibles valeurs du nombre de Prandtl.

(27)

Ces travaux montrent l’effet magnétique sur la convection naturelle purement thermique sans tenir compte du couplage convection-conduction. Il est très intéressant donc d’étudier la convection naturelle conjuguée sous l’effet d’un champ magnétique.

Dans cette partie nous présentons une étude numérique sur la convection naturelle laminaire conjuguée dans une enceinte carrée. Deux problèmes ont été étudies. Le premier concerne la convection purement conjuguée de l’air. Dans ce cas l’objectif de l’étude est d’examiner l’effet de l’épaisseur de la paroi verticale solide et du rapport des conductivités thermiques sur l’écoulement du fluide et le transfert de chaleur. L’effet du nombre de Rayleigh est également étudié. Dans le deuxième problème nous étudions l’effet de l’orientation et de l’intensité d’un champ magnétique uniforme et constant sur la convection naturelle conjuguée. Le fluide utilisé dans ce cas est le gallium liquide. Les résultats obtenus dans les deux problèmes, sont présentés sous forme de lignes de courant, d’isothermes, de profils de température à l’interface solide liquide et de profils du nombre de Nusselt moyen.

(28)

1ère partie : chapitre II Description de la géométrie, modèle mathématique et méthode numérique

CHAPITRE ІІ

DESCRIPTION DE LA GÉOMÉTRIE, MODÈLE MATHÉMATIQUE ET

MÉTHODE NUMÉRIQUE

2.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons décrire la géométrie considérée des deux problèmes étudiés, les différentes équations mathématiques modélisantes et la méthode numérique employée pour leur résolution. Le premier problème concerne le couplage convection-conduction dans une enceinte carrée à paroi verticale épaisse. Le deuxième problème montre l’effet d’un champ magnétique externe uniforme et constant sur la convection naturelle conjuguée dans une géométrie carrée.

2.2 Problème 1 : cas de la convection naturelle conjuguée convection-conduction 2.2.1 Description

La géométrie du problème 1 est montrée sur la figure 2.1. Il s’agit d’une enceinte carrée de dimensions (L x H) tel que (L = H). Trois parois sont supposées être d’épaisseurs nulles. La quatrième paroi verticale gauche présente une épaisseur (d). Les limites horizontales sont maintenues adiabatiques, alors que Les surfaces verticales gauche et droite sont

respectivement chauffée et refroidie à deux températures différentes T_h et T_c. Le fluide utilisé

est l’air avec un nombre de Prandtl Pr = 0.71.

Figure 2.1 : Configuration physique et conditions aux limites du probleme1.

Adiabatique Adiabatique y x H L 0 d g Air Th Tc

(29)

2.2.2 Hypothèses simplificatrices

Nous adoptons les hypothèses simplificatrices couramment utilisées et on suppose que : • L’écoulement dans l’enceinte est supposé être laminaire et bidimensionnel (la

troisième dimension a un effet négligeable sur l’écoulement et le transfert de chaleur. • Le fluide est incompressible est Newtonien.

• La dissipation visqueuse, génération de chaleur interne et l’effet du rayonnement thermique sont négligeables.

• Toutes les propriétés du fluide sont supposes constantes à l’exception de la masse volumique dans sa contribution dans le terme de gravité. Elle est calculée en utilisant l’approximation de Boussinesq :

( )

T =ρ0

[

1−βT

(

T−T0

)

]

ρ (2.1)

2.2.3 Formulation mathématique

Le problème étudié est modélisé par les équations de continuité, de quantité de mouvement et de l’énergie pour la partie fluide et l’équation de conduction de la chaleur pour la paroi verticale gauche. Tenant compte des hypothèses mentionnées ci-dessus et en appliquant l’approximation de Boussinesq, ces équations peuvent être écrites comme suit :

2.2.3.1 Partie fluide • Équation de continuité y v x u ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.2) • Équation de quantité de mouvement suivant x

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 1 y u x u x p y u v x u u t u _ν ρ * (2.3)

• Équation de quantité de mouvement suivant y

(

0

)

2 2 2 2 1 T T g y v x v y p y v v x v u t v f − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _ν _β ρ * (2.4) • Équation d’énergie ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 T T T T T

(30)

2.2.3.2 Partie solide

• Équation de conduction de la chaleur

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 y T x T t T w w w w α * (2.6)

Où les indices f et w désignent respectivement la partie fluide et la partie solide de l’enceinte.

En ce qui concerne les conditions aux limites, les deux composantes de vitesse (u, v) sont nulles au niveau des parois et à l’interface solide-fluide (condition de non glissement). La

température T est égale à Th et Tc (condition d’une paroi isotherme) respectivement aux

surfaces extérieures des parois verticales gauche et droite. Tandis que ∂T ∂Y=0 dans les

parois horizontales supérieure et inferieure (condition d’une paroi thermiquement isolée). A l’interface solide-fluide la température et le flux de chaleur doivent être continus. Cette dernière condition est exprimée mathématiquement comme suit :

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ = ∂ ∂ = w w f f w f x y d T Kr x y d T et y d T y d T , , , , (2.7)

Où Kr est le rapport des conductivités thermiques k_w k_f

2.2.4 Équations Adimensionnelles

L’adimensionnalisation ou la normalisation des équations consiste à transformer les variables dépendantes et indépendantes en des variables sans dimensions, c'est-à-dire qu’elles seront normalisées par rapport à certaines dimensions caractéristiques. Cela permet de spécifier les conditions d’écoulement avec un nombre restreint de paramètres de façon à rendre la solution plus générale.

Pour mettre le système d’équations précédent (2.2) – (2.6) sous une forme adimensionnelle, nous avons normalisé :

• Les coordonnées par H . • Les vitesses par

H α

(31)

• Le temps par

α

2

H

• La pression relative (P-P0) par

2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ H α ρ

• La température relative

(

T−Tc

)

par T∆ .

En introduisant les grandeurs sans dimensions dans les équations (2.2) – (2.6), le système d’équations différentielles aux dérivées partielles décrivant le problème s’écrit sous la forme adimensionnelle suivante :

• à t=0 ; U =V =0, 0θ_f =θ_w= (2.8) • à t>0_: a- Partie fluide 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ Y V X U (2.9) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Y U X U Pr X P Y U V X U U t U (2.10) θ . Pr . Ra Y V X V Pr Y P Y V V X V U t V 2 2 2 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.11) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Y X Y V X U t f f f f f θ θ θ θ θ (2.12) b- Partie solide ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 Y X t w w w α θ θ θ _* (2.13)

Où α*désigne le rapport des diffusivités thermiques α_w α_f .

2.3 Problème 2 : cas de la convection naturelle conjuguée sous l’effet magnétique

La géométrie du problème 2 est semblable à celle présentée dans le problème 1 (§ 2.2.1). Seulement la longueur de l’enceinte (L’) devient (L+d) comme le montre la figure 2.2.

(32)

Figure 2.2 : Configuration physique et conditions aux limites du problème 2.

2.3.1 Écoulement avec champ magnétique

L’écoulement d’un fluide conducteur d’électricité en convection naturelle peut être exposé à l’action d’un champ magnétique extérieur, uniforme et orienté arbitrairement dans le plan (x, y). Pour cela, on introduit les définitions suivantes à propos du vecteur de courant

électrique J et de la force électromagnétique de Lorentz FEM. Cette dernière prend place

dans l’équation de quantité de mouvement comme terme source.

Le vecteur du champ magnétique B de composantes (Bx, By) est défini par l’équation suivante : y y x xe B e B B= + (2.14)

Où e_xet e sont les vecteurs unitaires respectivement dans les directions x et y. y

Le vecteur de courant électrique J est défini par l’application de la loi d’ohm. Par

ailleurs ce vecteur est conservatif. Les équations de transfert de charge électrique sont données par les relations suivantes :

' 0 J V B div J σ⎡ ϕ ⎤ ⎫ = _⎣−∇ + ∧ _{⎦ ⎪} ⎪ ⎬ ⎪ = _⎪⎭ G JG JG G (2.15) H d g Th Tc y x L’ 0 Adiabatique Adiabatique By Bx φ B

(33)

Où V =uex+vey désigne le vecteur vitesse dans le plan x-y, σ étant la conductivité

électrique, ϕ' et −∇ϕ' représente respectivement le potentiel électrique et le champ

électrique associé.

La force électromagnétique (force de Lorentz) FEM générée par le potentiel électrique

'

ϕ et le champ magnétique est définie par :

B J

FEM = ∧ (2.16)

D’après Garandet et al. [32], dans un écoulement bidimensionnelle 2-D en état

stationnaire, l’équation (2.15) pour le potentiel électrique se réduit à ∇2ϕ'=0. La solution

unique est ∇ϕ'=0 parce qu’il y a toujours quelque part autour de la cavité une isolation

électrique pour tel que ∂ϕ' ∂n=0, ce qui signifie que le champ électrique disparait partout.

(Tant que les frontières de la cavité sont supposées électriquement isolantes, donc le potentiel

électrique ϕ' est constant), Ce qui permet de réécrire les équations (2.15) et (2.16) comme

suit :

(

)

[ ]

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∧ ∧ = ∧ = B B V F B V J EM σ σ (2.17) 2.3.2 Formulation mathématique

Le modèle mathématique gouvernant la convection naturelle sous l’effet d’un champ magnétique s’écrit de la même façon que celui du premier problème (§ 2.2.3). Les équations de quantité de mouvement (2.3) et (2.4) prennent les expressions suivantes :

EMx F y u x u x p y u v x u u t u ₊ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 1 _ν ρ * (2.18)

(

Tf T

)

FEMy g y v x v y p y v v x v u t v + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 2 2 2 2 1 _ν _β ρ * (2.19)

Les composantes de la force de Lorentz suivant les directions x et y sont données par les équations suivantes :