Notes de lecture de l'article "Partial sums of the Möbius function" de Kannan Soundararajan

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Notes de lecture de l’article ”Partial sums of the Möbius function” de Kannan Soundararajan

Michel Balazard, Anne de Roton

To cite this version:

Michel Balazard, Anne de Roton. Notes de lecture de l’article ”Partial sums of the Möbius function”

de Kannan Soundararajan. 2008. �hal-00331871�

Notes de lecture de l’article

« Partial sums of the M¨ obius function » de Kannan Soundararajan

Michel Balazard et Anne de Roton 19 octobre 2008

Dans ce document, nous exposons la d´emonstration du th´eor`eme suivant.

Th´ eor` eme (Soundararajan [4]) (HR) Pour tout ε > 0, on a

M (N ) = X

n6N

µ(n) ≪

ε

√ N exp (log N )

^1/2

(log log N )

^5/2+ε

.

Les lettres (HR) indiquent que l’on suppose l’hypoth`ese de Riemann v´erifi´ee.

La m´ethode de d´emonstration a ´et´e invent´ee par Maier et Montgomery dans l’article [3]. Ils y d´emontrent que

M (N ) ≪ √

N exp (log N )

^39/61

sous l’hypoth`ese de Riemann. Leur approche a ´et´e ensuite perfectionn´ee par Soundararajan (cf. [4]), qui a obtenu l’estimation

M (N) ≪ √

N exp (log N )

^1/2

(log log N)

¹⁴

,

toujours sous l’hypoth`ese de Riemann. Dans ce qui suit, nous suivons la d´emonstration de Soundararajan dans [4], en y incorporant les quelques pr´ecisions qui permettent de remplacer 14 par n’importe quel nombre > 5/2.

Un mot sur la locution « T assez grand » , que nous emploierons librement. Elle signifie T > T

0

, o` u T

0

est une constante absolue et effectivement calculable (mais certainement tr`es grande) telle que

• toutes les quantit´es dont nous parlons sont bien d´efinies ;

• toutes les in´egalit´es que nous ´ecrivons sont v´erifi´ees.

Par exemple, pour T assez grand on a log log log V

^′

log log V

^′

6 log log log V

log log V (V

^′

> V > (log log T )

²

).

Nous remercions Kannan Soundararajan pour de nombreux ´eclaircissements concernant son article

[4].

Table des mati` eres

1 Ordonn´ ees V -typiques de taille T 3

2 Le logarithme de la fonction ζ 3

2.1 Estimations de

^ζ_ζ^′

. . . . 3

2.2 Estimations de log | ζ | : d´emonstration de la proposition 1 . . . . 5

3 Majoration de | x

^z

ζ(z)

⁻¹

| 9 4 Pr´ ealables ` a l’estimation de la fr´ equence des ordonn´ ees atypiques 10 4.1 Encadrement de la fonction indicatrice d’un intervalle . . . . 10

4.2 Z´eros de la fonction ζ et nombres premiers : la formule explicite de Guinand-Weil . . . . . 11

4.3 Moments de polynˆ omes de Dirichlet . . . . 11

4.4 Un calcul auxiliaire . . . . 11

5 Sur le nombre de z´ eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique 12 5.1 Encadrement param´etrique de l’´ecart ` a sa moyenne du nombre de z´eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique . . . . 12

5.2 Majoration de l’´ecart ` a sa moyenne du nombre de z´eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique . . . . 14

5.3 Fr´equence des d´eviations du nombre de z´eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique . . . . 14

6 Valeurs de V pour lesquelles toutes les ordonn´ ees sont V -typiques 16 6.1 Minoration du logarithme du module de la fonction ζ . . . . 17

7 Majoration du nombre d’ordonn´ ees atypiques bien espac´ ees dans un intervalle 17 8 D´ emonstration du th´ eor` eme 19 8.1 Application de la formule de Perron . . . . 19

8.2 D´eformation du chemin d’int´egration . . . . 20

8.3 Majorations des contributions ` a A

N

des diff´erents segments de S

^N

. . . . 20

8.4 Etude de la somme ´ B

N

. . . . 22

8.5 Conclusion . . . . 25

1 Ordonn´ ees V -typiques de taille T

Nous allons ´evaluer M (N) grˆ ace ` a la formule de Perron en utilisant un contour d’int´egration sur lequel les grandes valeurs de | ζ(z) |

⁻¹

seront aussi rares que possible. Pour quantifier cette raret´e, Soundararajan a introduit la notion suivante.

On se donne un param`etre δ, tel que 0 < δ 6 1. Soit T assez grand

^∗

et V tel que (log log T )

²

6 V 6 log T / log log T . Un nombre r´eel t est appel´e une ordonn´ ee V -typique de taille T si

• T 6 t 6 2T ;

(i) pour tout σ > 1/2, on a

X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n) log x

6 2V, o` u x = T

^1/V

;

(ii) tout sous-intervalle de [t − 1, t + 1] de longueur 2δπV / log T contient au plus (1 + δ)V ordonn´ees de z´eros de ζ ;

(iii) tout sous-intervalle de [t − 1, t + 1] de longueur 2πV / (log V ) log T

contient au plus V ordonn´ees de z´eros de ζ.

Si t ∈ [T, 2T ] ne v´erifie pas l’une des assertions (i), (ii), (iii), on dira que t est une ordonn´ ee V -atypique de taille T .

La pertinence de cette d´efinition

^†

quant ` a la taille de | ζ(s) | est fournie par l’´enonc´e suivant.

Proposition 1 (HR) Soit T assez grand et V tel que (log log T )

²

6 V 6 log T / log log T . Soit t une ordonn´ee V -typique de taille T . On a

log | ζ(σ + it) | > − V log V / log T σ − 1/2

− 2(1 + δ)V log log V + O(V δ

⁻²

) si 1

2 < σ 6 1 2 + V

log T , et

log | ζ(σ + it) | > O(V δ

⁻¹

) si 1 2 + V

log T 6 σ 6 2.

Cette proposition d´ecoule des propositions 7 et 8, d´emontr´ees ci-dessous apr`es une ´etude pr´eliminaire de la d´eriv´ee logarithmique de la fonction ζ.

2 Le logarithme de la fonction ζ

2.1 Estimations de

^ζ_ζ^′

Notons ψ = Γ

^′

/Γ la d´eriv´ee logarithmique de la fonction Γ. On a (cf. [1], chapter 12, (8), (11)) ζ

^′

ζ (s) = − 1 s − 1

s − 1 + 1

2 log π − 1

2 ψ(s/2) + X

ρ

1

s − ρ , (1)

o` u la somme porte sur les z´eros non triviaux ρ = β + iγ de la fonction ζ, et est calcul´ee par la formule P

ρ

= lim

T→∞

P

|γ|6T

.

On en d´eduit d’abord la proposition suivante.

∗En termes absolus, ind´ependamment deδ.

Proposition 2 Si T est assez grand, on a ℜ ζ

^′

ζ (σ + it) = F (s) − 1

2 log T + O(1) (1/2 6 σ 6 2, T 6 t 6 2T, ζ(σ + it) 6 = 0), o` u

F (s) = X

ρ

ℜ 1

s − ρ = X

ρ

(σ − β)

(σ − β)

²

+ (τ − γ)

²

. (2)

D´ emonstration

Cela r´esulte de l’identit´e (1) et de l’estimation

ψ(s) = log s + O(s

⁻¹

) ( ℜ s > 0). 2 Nous donnons maintenant une autre identit´e concernant la d´eriv´ee logarithmique de la fonction zˆeta.

Proposition 3 Soit x > 1 et z ∈ C . On suppose que z n’est pas un pˆ ole de

^ζ_ζ^′

. Alors X

n6x

Λ(n)

n

^z

log(x/n) = − ζ

^′

ζ (z) log x − ζ

^′

ζ

′

(z) − X

ρ

x

^ρ−z

(ρ − z)

²

+ x

^1−z

(1 − z)

²

− X

n>1

x

^−2n−z

(z + 2n)

²

. D´ emonstration

On peut supposer x > 1 (pour x = 1, l’identit´e se ram`ene `a la d´eriv´ee de (1)).

On constate que les deux membres sont des fonctions holomorphes de z dans C priv´e des pˆ oles de

^ζ_ζ^′

. Il suffit donc de d´emontrer l’´egalit´e pour z r´eel > 1. La m´ethode expos´ee au chapter 12 de [1] s’applique, plus facilement car les int´egrales seront absolument convergentes. On utilise la formule de Perron suivante :

X

n6x

Λ(n)

n

^z

log(x/n) = 1 2πi

Z

c+i∞

c−i∞

− ζ

^′

ζ (z + w)x

^w

dw

w

²

(c > 0).

On d´eplace la droite d’int´egration vers la gauche

^‡

, ` a l’abscisse c

^′

telle que z + c

^′

= − 2N − 1, N entier positif. D’apr`es le th´eor`eme des r´esidus, on obtient

X

n6x

Λ(n)

n

^z

log(x/n) = − ζ

^′

ζ (z) log x − ζ

^′

ζ

′

(z) − X

ρ

x

^ρ−z

(ρ − z)

²

+ x

^1−z

(1 − z)

²

− X

n6N

x

^−2n−z

(z + 2n)

²

+ 1

2πi

Z

c^′+i∞

c^′−i∞

− ζ

^′

ζ (z + w)x

^w

dw w

²

. La derni`ere int´egrale tend vers 0 quand N tend vers l’infini, en vertu de l’estimation

ζ

^′

ζ (s) ≪ log(2 | s | ),

valable uniform´ement dans le demi-plan ℜ s 6 − 1, priv´e des disques de rayon 1/2, centr´es en − 2, − 4, . . . . 2

‡Avec les pr´ecautions d’usage pour passer entre les z´eros deζ, cf. [1], p.108.

Proposition 4 Soit

• T > 1 ;

• z ∈ C tel que ℜ z > 0, T 6 |ℑ z | 6 2T et z n’est pas un pˆ ole de

^ζ_ζ^′

;

• 1 6 x 6 T . Alors

X

n6x

Λ(n)

n

^z

log(x/n) = − ζ

^′

ζ (z) log x − ζ

^′

ζ

′

(z) − X

ρ

x

^ρ−z

(ρ − z)

²

+ O(T

⁻¹

). (3) D´ emonstration

On applique la proposition 3 et on v´erifie que

x

^1−z

(1 − z)

²

6 x

T

²

, et

X

n>1

x

^−2n−z

(z + 2n)

²

6 X

n>1

1 T

²

+ 4n

²

6 1

T . 2

2.2 Estimations de log | ζ | : d´ emonstration de la proposition 1

Proposition 5 (HR) Soit T assez grand et T 6 t 6 2T . On a uniform´ement pour 1/2 < σ 6 2 et 2 6 x 6 T

log | ζ(σ + it) | > ℜ X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n) log x −

1 + x

^12−σ

(σ − 1/2) log x

F(σ + it)

log x + O(1).

D´ emonstration

On int`egre (3) entre z = σ + it et z = 2 + it : X

n6x

Λ(n) log(x/n) n

^−2−it

− log n − n

^−σ−it

− log n

= − log ζ(2 + it) + log ζ(σ + it)

log x − ζ

^′

ζ (2 + it) + ζ

^′

ζ (σ + it)

− X

ρ

Z

2

σ

x

^ρ−u−it

(ρ − u − it)

²

du + O(T

⁻¹

), donc

(log x) log ζ(σ + it) = X

n6x

Λ(n)

n

^σ+it

log n log(x/n) − ζ

^′

ζ (σ + it) + X

ρ

Z

2

σ

x

^ρ−u−it

(ρ − u − it)

²

du + O(log x).

On en d´eduit log | ζ(σ + it) | = ℜ X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n)

log x − (log x)

⁻¹

ℜ ζ

^′

ζ (σ + it) + (log x)

⁻¹

ℜ X

ρ

Z

2

σ

x

^ρ−u−it

(ρ − u − it)

²

du + O(1)

= ℜ X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n)

log x − (log x)

⁻¹

F (σ + it) + log T 2 log x + + (log x)

⁻¹

ℜ X

ρ

Z

2

σ

x

^ρ−u−it

(ρ − u − it)

²

du + O(1).

Pour majorer le module de la somme sur les z´eros, nous utilisons l’hypoth`ese de Riemann :

X

ρ

Z

2

σ

x

^ρ−u−it

(ρ − u − it)

²

du

6 X

ρ

1

| ρ − σ − it |

²

Z

2

σ

x

^12−u

du

6 x

^12−σ

log x

X

ρ

1

| ρ − σ − it |

²

= x

^12−σ

(σ − 1/2) log x F(σ + it),

d’o` u le r´esultat annonc´e. 2

Nous utiliserons dans la suite l’estimation simple suivante.

Proposition 6 Pour a > 0, c > 0 et N ∈ N , on a

N

X

n=0

a

a

²

+ (cn)

²

6 1 a + π

2c . D´ emonstration

On a

N

X

n=0

a

a

²

+ (cn)

²

= 1

a + X

0<n6N

a a

²

+ (cn)

²

6 1

a + Z

∞

0

a a

²

+ (ct)

²

dt

= 1 a + a

c

²

Z

∞

0

1 (a/c)

²

+ t

²

dt

= 1 a + π

2c . Proposition 7 (HR) Soit

• T assez grand ;

• V tel que (log log T )

²

6 V 6 log T / log log T ;

• t une ordonn´ee V -typique de taille T . Alors

log | ζ(σ + it) | > O(V /δ) (1/2 + V / log T 6 σ 6 2).

D´ emonstration

Posons x = T

^1/V

. On a 2 6 x 6 T et x

^12−σ

(σ − 1/2) log x 6 exp( − V log x/ log T )

V log x/ log T (1/2 + V / log T 6 σ)

= e

⁻¹

6 1.

La proposition 5 donne log | ζ(σ + it) | > ℜ X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n) log x −

1 + x

^12−σ

(σ − 1/2) log x

F (σ + it)

log x + O(1)

> ℜ X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n)

log x − 2 F (σ + it)

(log T )/V + O(1)

> − 2V − 2 V

log T F (σ + it) + O(1)

(cartestV-typique ; on utilise(i)page 3).

Pour majorer F (σ + it), nous consid´erons diff´erents domaines de sommation :

• 2πnδV / log T 6 | t − γ | 6 2π(n + 1)δV / log T (0 6 n 6 N = ⌊ (log T )/4πδV ⌋ ),

• le domaine compl´ementaire, qui est inclus dans { γ, | t − γ | > 1/2 } . La contribution de la premi`ere cat´egorie de z´eros est

6 2(1 + δ)V

N

X

n=0

(σ − 1/2)

(σ − 1/2)

²

+ (2πδnV / log T )

^{2 (cartestV}-typique ; on utilise(ii))

≪ V 1

σ − 1/2 + 1 δV / log T

(proposition 6)

≪ δ

⁻¹

log T.

La contribution de la seconde cat´egorie de z´eros est

6 X

|t−γ|>1/2

(σ − 1/2) (σ − 1/2)

²

+ (t − γ)

²

≪ log T

(cf. [1], p.98).

Cela d´emontre l’estimation annonc´ee. 2

Proposition 8 (HR) Soit

• T assez grand ;

• V tel que (log log T )

²

6 V 6 log T / log log T ;

• t une ordonn´ee V -typique de taille T .

Alors, pour

¹₂

< σ 6 σ

0

(= 1/2 + V / log T ), on a

log | ζ(σ + it) | > log | ζ(σ

0

+ it) | − V log (σ

0

− 1/2)

(σ − 1/2) − 2(1 + δ)V log log V + O(V δ

⁻²

).

D´ emonstration On a

log | ζ(σ

0

+ it) | − log | ζ(σ + it) | = Z

σ0

σ

ℜ ζ

^′

ζ (u + it)du 6

Z

σ0

σ

F (u + it)du

= X

γ

Z

σ0

σ

(u − 1/2)

(u − 1/2)

²

+ (t − γ)

²

du

= 1 2

X

γ

log (σ

0

− 1/2)

²

+ (t − γ)

²

(σ − 1/2)

²

+ (t − γ)

²

. (4) Pour commencer, observons que

(σ

0

− 1/2)

²

+ (t − γ)

²

(σ − 1/2)

²

+ (t − γ)

²

est une fonction d´ecroissante de | t − γ | si 1/2 < σ 6 σ

0

.

Pour majorer la somme (4), nous consid´erons diff´erents domaines de sommation :

• | t − γ | 6 πV / (log V ) log T

;

• (2πδn+π/ log V )V / log T 6 | t − γ | 6 2πδ(n+1)+π/ log V

V / log T (0 6 n 6 N = ⌊ (log T )/4πδV ⌋ ) ;

• le domaine compl´ementaire, qui est inclus dans { γ, | t − γ | > 1/2 } . Comme on a

(σ

0

− 1/2)

²

+ (t − γ)

²

(σ − 1/2)

²

+ (t − γ)

²

6 (σ

0

− 1/2)

²

(σ − 1/2)

²

,

et comme t est V -typique, la condition (iii) (page 3) nous permet de dire que la contribution de la premi`ere cat´egorie de z´eros est

6 V log σ

0

− 1/2 σ − 1/2

.

La contribution de la deuxi`eme cat´egorie de z´eros est, d’apr`es (ii) (page 3) 6 2(1 + δ)V · 1

2

N

X

n=0

log 1 + (2πδn + π/ log V )

²

(2πδn + π/ log V )

²

= (1 + δ)V log 1 + (π

⁻¹

log V )

²

+ (1 + δ)V

N

X

n=1

log

1 + 1

(2πδn + π/ log V )

²

6 2(1 + δ)V log log V + O(δ

⁻²

V ).

Enfin, la contribution de la troisi`eme cat´egorie de z´eros est 6 1

2 X

|t−γ|>1/2

log

1 + (σ

0

− 1/2)

²

(t − γ)

²

6 1 2

X

|t−γ|>1/2

(σ

0

− 1/2)

²

(t − γ)

²

≪ (V / log T )

²

log T

≪ V / log log T.

Ces trois estimations d´emontrent le r´esultat annonc´e. 2

3 Majoration de | x ^z ζ ( z ) ^{− 1} |

C’est la proposition suivante qui sera utilis´ee lors de l’application de la formule de Perron.

Proposition 9 (HR) Soit

• t assez grand ;

• x > t ;

• V

^′

tel que (log log t)

²

6 V

^′

6 (log t/2)/(log log t/2) ;

• V > V

^′

.

On suppose que t est une ordonn´ee V

^′

-typique (de taille T

^′

).

Alors

| x

^z

ζ(z)

⁻¹

| 6 √

x exp V log(log x/ log t)+2(1+δ)V log log V +O(V δ

⁻²

)

(V

^′

6 ( ℜ z − 1/2) log x 6 V, |ℑ z | = t).

D´ emonstration On a

log | x

^z

ζ(z)

⁻¹

| = ℜ z log x − log | ζ(z) | 6 1

2 log x + V − log | ζ(z) | , car ( ℜ z − 1/2) log x 6 V . Distinguons maintenant deux cas.

• Si ℜ z − 1/2 6 V

^′

/ log T

^′

, la proposition 1 permet d’affirmer que

− log | ζ(z) | 6 V

^′

log V

^′

/ log T

^′

ℜ z − 1/2 + 2(1 + δ)V

^′

log log V

^′

+ O(V

^′

δ

⁻²

) 6 V

^′

log V

^′

/ log T

^′

V

^′

/ log x + 2(1 + δ)V

^′

log log V

^′

+ O(V

^′

δ

⁻²

)

= V

^′

log log x

log T

^′

+ 2(1 + δ)V

^′

log log V

^′

+ O(V

^′

δ

⁻²

).

• Si ℜ z − 1/2 > V

^′

/ log T

^′

, on aura grˆ ace ` a la proposition 1

− log | ζ(z) | 6 O(V

^′

δ

⁻¹

) 6 V

^′

log log x

log T

^′

+ 2(1 + δ)V

^′

log log V

^′

+ O(V

^′

δ

⁻²

).

Ainsi

log | x

^z

ζ(z)

⁻¹

| 6 1

2 log x + V − log | ζ(z) | 6 1

2 log x + V

^′

log log x

log t + 2(1 + δ)V

^′

log log V

^′

+ O(V

^′

δ

⁻²

) + V + V

^′

log log t log T

^′

6 1

2 log x + V log(log x/ log t) + 2(1 + δ)V log log V + O(V δ

⁻²

). 2

4 Pr´ ealables ` a l’estimation de la fr´ equence des ordonn´ ees atyp- iques

Pour la commodit´e du lecteur, nous rassemblons ici des r´esultats auxiliaires, essentiellement issus du § 2 de [4], que nous utiliserons au § 5.1 ci-dessous. Nous renvoyons ` a [4] pour des r´ef´erences et des indications de d´emonstrations.

4.1 Encadrement de la fonction indicatrice d’un intervalle

La proposition suivante r´esume la construction de Selberg de bonnes approximations analytiques de la fonction caract´eristique d’un intervalle. On d´efinit la transformation de Fourier de f ∈ L

¹

( R ) par la formule

f ˆ (x) = Z

+∞

−∞

f (t)e

^−2iπtx

dt.

Proposition 10 Soit h > 0, ∆ > 0. Soit χ

h

= 1

[−h,h]

la fonction caract´eristique de l’intervalle [ − h, h].

Il existe des fonctions enti`eres paires F

+

et F

−

ayant les propri´et´es suivantes.

(i) F

−

(u) 6 χ

h

(u) 6 F

+

(u) pour tout r´eel u ; (ii) R

+∞

−∞

| F

±

(u) − χ

h

(u) | du = 1/∆, c’est-` a-dire F ˆ

±

(0) = 2h ± 1/∆ ;

(iii) F ˆ

±

est r´eelle et paire, F ˆ

±

(x) = 0 pour | x | > ∆ et | x F ˆ

±

(x) | 6 2 pour tout x ; (iv) Pour z ∈ C , | z | > 2h, on a

| F

±

(z) | ≪ e

^2π|ℑz|

(∆ | z | )

²

. D´ emonstration

Contentons-nous d’une indication pour (iii). On a

| x F ˆ

±

(x) | 6 | xˆ χ

h

(x) | + | x | Z

+∞

−∞

| F

±

(u) − χ

h

(u) | du

=

sin 2πhx π

+ | x |

∆ 6 1

π + 1, si | x | 6 ∆.

D’autre part | x F ˆ

±

(x) | = 0 si | x | > ∆. 2

4.2 Z´ eros de la fonction ζ et nombres premiers : la formule explicite de Guinand-Weil

Nous donnons une version de la formule explicite de Guinand-Weil, reliant les nombres premiers (repr´esent´es par la fonction Λ de von Mangoldt) aux z´eros non triviaux ρ = β + iγ de la fonction ζ.

Proposition 11 Soit ε > 0, δ > 0, et h(s) une fonction analytique dans la bande |ℑ s | 6

¹₂

+ε, y v´erifiant h(s) ≪ (1 + | s | )

^−1−δ

, et r´eelle sur la droite r´eelle. Alors

X

ρ

h (ρ − i)/2)

= h 1 2i

+ h

− 1 2i

+ 1 2π

Z

+∞

−∞

h(u) ℜ ψ 1 4 + iu

2 du

− log π

2π ˆ h(0) − 1 2π

X

n

Λ(n) √ n

ˆ h log n 2π

+ ˆ h

− log n 2π

.

Signalons tout de suite la formule (2.3) de l’article de Goldston et Gonek [2]. C’est une ´evaluation de l’int´egrale figurant dans la formule explicite, appliqu´ee aux translat´ees des fonctions F

±

.

Proposition 12 Soit t > 4, ∆ > 1, 0 < h 6 √

t, et F

±

les fonctions de la proposition 10. On a Z

+∞

−∞

F

±

(u − t) ℜ ψ 1 4 + iu

2

du = (2h ± 1/∆) log t

2 + O(1).

4.3 Moments de polynˆ omes de Dirichlet

Dans la proposition suivante, une in´egalit´e de type « grand crible » , nous reprenons en partie la formulation originale de Maier et Montgomery (Lemma 5 de [3]).

Proposition 13 Soit P (s) = P

p6N

a(p)p

^−s

un polynˆ ome de Dirichlet (la variable de sommation p est un nombre premier).

Soit s

1

, . . . , s

R

∈ C , α ∈ R et T > 3 tels que

• 1 6 |ℑ (s

i

− s

j

) | 6 T , i 6 = j ;

• ℜ s

i

> α, 1 6 i 6 R.

Alors, pour tout entier positif k tel que N

^k

6 T , on a

R

X

r=1

| P(s

r

) |

^2k

≪ T (log T )

²

k! X

p6N

| a(p) |

²

p

^−2α

k

.

4.4 Un calcul auxiliaire

Cette proposition est un simple calcul auxiliaire, faisant intervenir quatre param`etres li´es par diverses relations.

Proposition 14 Soit :

• T assez grand ;

• (log log T )

²

6 V 6 log T / log log T ;

• η = 1/ log V ;

• k = ⌊ V /(1 + η) ⌋ . Alors

k log(k log log T ) − 2 log(ηV )

6 − V log(V / log log T ) + 2V log log V + V.

D´ emonstration On a k 6 V donc

log(k log log T ) − 2 log(ηV ) 6 − log(V / log log T ) + 2 log log V 6 0.

D’autre part,

k > V /(1 + η) − 1

> V (1 − η).

Par cons´equent

k log(k log log T ) − 2 log(ηV )

6 V (1 − η) − log(V / log log T ) + 2 log log V 6 − V log(V / log log T ) + 2V log log V + ηV log V

= − V log(V / log log T ) + 2V log log V + V. 2

5 Sur le nombre de z´ eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique

5.1 Encadrement param´ etrique de l’´ ecart ` a sa moyenne du nombre de z´ eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique

La proposition suivante donne un encadrement du nombre d’ordonn´ees de z´eros de ζ dans l’intervalle ]t − h, t + h], centr´e par rapport ` a sa valeur moyenne (h/π) log(t/2π). Cet encadrement est exprim´e au moyen d’un param`etre ∆, et met notamment en jeu un polynˆ ome de Dirichlet de longueur exp 2π∆.

Proposition 15 (HR) Soit t > 4, ∆ > 2 et 0 < h 6 √ t. On a N (t + h) − N (t − h) − 2h log t/2π

2π 6 log t 2π∆ − 1

π ℜ X

p6e^2π∆

log p p

^12+it

F ˆ

+

log p 2π

+ O(log ∆),

et

N (t + h) − N (t − h) − 2h log t/2π

2π > − log t 2π∆ − 1

π ℜ X

p6e^2π∆

log p p

^12+it

F ˆ

−

log p 2π

+ O(log ∆), o` u F

+

et F

−

sont les fonctions de la proposition 10. De plus, on a pour tout nombre premier p :

log p π F ˆ

±

log p 2π

6 4.

D´ emonstration

On a

N (t + h) − N(t − h) = X

ρ

1

]−h,h]

(γ − t)

6 X

ρ

χ

h

(γ − t)

6 X

ρ

F

+

(γ − t)

(d’apr`es la proposition 10,(i))

= X

ρ

f (γ)

(avecf(u) =F+(u−t))

= f 1 2i

+ f

− 1 2i

+ 1 2π

Z

+∞

−∞

f (u) ℜ ψ 1 4 + iu

2 du

− log π

2π f ˆ (0) − 1 2π

X

n

Λ(n) √ n

f ˆ log n 2π

+ ˆ f

− log n 2π

(carfv´erifie les hypoth`eses de la proposition 11)

= F

+

1 2i − t

+ F

+

− 1 2i − t

+ 1 2π

Z

+∞

−∞

F

+

(u − t) ℜ ψ 1 4 + iu

2 du

− log π

2π F ˆ

+

(0) − 1 2π

X

n

Λ(n) √ n

n

^−it

F ˆ

+

log n 2π

+ n

^it

F ˆ

+

− log n 2π

(car ˆf(x) =e^−2iπtxFˆ+(x))

. Examinons successivement les diff´erents termes de cette somme. Nous avons :

F

+

1 2i − t

+ F

+

− 1 2i − t

≪ (∆t)

⁻² (d’apr`es la proposition 10(iv), qui s’applique cart>2h)

≪ 1

(car ∆>2 ett>4)

; 1

2π Z

+∞

−∞

F

+

(u − t) ℜ ψ 1 4 + iu

2

du − log π

2π F ˆ

+

(0) = (2h + 1/∆) log t/2π

2π + O(1)

(propositions 12 et 10(ii))

1 2π

X

n

Λ(n) √ n

n

^−it

F ˆ

+

log n 2π

+ n

^it

F ˆ

+

− log n 2π

= 1 π ℜ X

n

Λ(n) n

^12+it

F ˆ

+

log n 2π

(car ˆF+ est r´eelle et paire)

= 1 π ℜ X

n6e^2π∆

Λ(n) n

^12+it

F ˆ

+

log n 2π

(car ˆF+(x) = 0 pourx>∆)

= 1 π ℜ X

p6e^2π∆

log p p

^12+it

F ˆ

+

log p 2π

+ 1 π ℜ X

p6e^π∆

log p p

^1+2it

F ˆ

+

log p π

+ O(1)

(car Λ(n) ˆF+(logn/2π)≪1 ; la contribution desn=p^kaveck>3 est doncO(1))

= 1 π ℜ X

p6e^2π∆

log p p

^12+it

F ˆ

+

log p 2π

+ O(log ∆).

Finalement, nous avons ´etabli la majoration N (t + h) − N (t − h) − 2h log t/2π

2π 6 log t 2π∆ − 1

π ℜ X

p6e^2π∆

log p p

^12+it

F ˆ

+

log p 2π

+ O(log ∆).

La d´emonstration de la minoration est analogue. 2

5.2 Majoration de l’´ ecart ` a sa moyenne du nombre de z´ eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique

Lorsqu’on majore trivialement les polynˆ omes de Dirichlet qui interviennent dans la proposition 15, on obtient le r´esultat suivant, dˆ u ` a Goldston et Gonek (cf. [2]). Notre ´enonc´e est l´eg`erement plus pr´ecis que celui de [2].

Proposition 16 Soit t assez grand et 0 < h 6 √ t. On a

| N(t + h) − N (t − h) − (h/π) log(t/2π) | 6 (log t)/2 log log t + 1/2 + o(1)

log t log log log t/(log log t)

²

. D´ emonstration

On a

1 π

X

p6e^2π∆

log p p

^12+it

F ˆ

±

log p 2π

≪ X

p6e^2π∆

√ 1 p

≪ e

^π∆

∆ . On choisit ∆ =

_π¹

log(log t/ log log t) et on v´erifie alors que

log t

2π∆ + O(e

^π∆

/∆) + O(log ∆) = (log t)/2 log log t + 1/2 + o(1)

log t log log log t/(log log t)

²

. 2

5.3 Fr´ equence des d´ eviations du nombre de z´ eros de la fonction ζ dans un intervalle de la droite critique

Nous donnons maintenant une majoration du nombre de points t « bien espac´es » de l’intervalle [T, 2T ] pour lesquels le nombre d’ordonn´ees de z´eros de ζ dans l’intervalle ]t − h, t+h] d´epasse sa moyenne (h/π) log(t/2π) d’une quantit´e V . On a une majoration analogue pour la fr´equence des d´eviations dans l’autre direction, mais nous n’en aurons pas l’usage.

Proposition 17 Soit :

• T assez grand ;

• 0 < h 6 √ T ;

• (log log T )

²

6 V 6 log T / log log T ;

• T 6 t

1

< t

2

< · · · < t

R

6 2T tels que t

r+1

− t

r

> 1, 1 6 r < R.

On suppose que

N (t

r

+ h) − N (t

r

− h) − h log t

r

/2π

π > V, 1 6 r 6 R.

Alors

R ≪ T exp − V log(V / log log T ) + 2V log log V + O(V ) . D´ emonstration

La majoration de N(t

r

+ h) − N (t

r

− h) − (h/π) log(t

r

/2π) fournie par la proposition 15 montre que pour ∆ > 2, on a

X

p6e^2π∆

a(p) p

^12+itr

> V − log 2T

2π∆ + O(log ∆), 1 6 r 6 R,

o` u a(p) = a(p, ∆, h) = π

⁻¹

log p F ˆ

+

(log p)/2π

v´erifie | a(p) | 6 4, d’apr`es la proposition 10, (iii).

On choisit

∆ = (1 + η) log T

2πV avec η = 1/ log V , de sorte que

exp 2π∆ = T

^(1+η)/V

, log ∆ ≪ log log T ≪ √

V , et

V − log 2T

2π∆ + O(log ∆) = η V

1 + η + O( √ V )

> 1 2 ηV Par cons´equent,

X

p6T^(1+η)/V

a(p) p

^12+itr

> 1

2 ηV, 1 6 r 6 R.

En ´elevant cette in´egalit´e ` a la puissance 2k et en sommant pour r = 1, . . . , R, on obtient R(ηV /2)

^2k

6

R

X

r=1

X

p6T^(1+η)/V

a(p) p

^12+itr

2k

≪ T (log T )

²

k! X

p6T^(1+η)/V

| a(p) |

²

p

⁻¹

k

,

d’apr`es la proposition 13, pourvu que T

^k(1+η)/V

6 T . La derni`ere quantit´e est

≪ T (log T )

²

(Ck log log T )

^k

, o` u C est une constante absolue. Ainsi

R ≪ T (log T )

²

(4C)

^k

(k log log T )/η

²

V

²

k

. On choisit k = ⌊ V /(1 + η) ⌋ . La proposition 14 s’applique :

((k log log T )/η

²

V

²

k

6 exp − V log(V / log log T ) + 2V log log V + V . Enfin,

(log T )

²

(4C)

^k

= exp(k log 4C + 2 log log T )

= exp O(V ),

d’o` u le r´esultat. 2

6 Valeurs de V pour lesquelles toutes les ordonn´ ees sont V - typiques

Nous donnons une variante un peu plus pr´ecise de la premi`ere assertion de la Proposition 4 de [4].

Proposition 18 Soit T assez grand, et V tel que 1

2 + log log log T / log log T 6 V log log T / log T 6 1.

Alors toute ordonn´ee t ∈ [T, 2T ] est V -typique.

D´ emonstration

Il faut v´erifier les crit`eres (i), (ii), (iii) de la d´efinition d’une ordonn´ee V -typique.

Pour (i), on a

f (u) = X

n6u

√ Λ(n) n log n ≪

√ u

log u , u > 2, donc

X

n6x

√ Λ(n) n log n log(x/n) = Z

x

1

f (u) du u

≪

√ x

log x , x > 2.

Or T

^1/V

6 (log T )

²

car V >

¹₂

log T / log log T . Par cons´equent, pour σ > 1/2, t ∈ R , et x = T

^1/V

, on a

X

n6x

Λ(n) n

^σ+it

log n

log(x/n) log x

6 X

n6x

√ Λ(n) n log n

log(x/n) log x

≪

√ x (log x)

²

≪ log T (log log T )

²

= o(V ).

Pour (ii) on a, avec t

^′

∈ [t − 1, t + 1] et h = πδV / log T : 1 + N(t

^′

+ h) − N(t

^′

− h) 6 (h/π) log(t

^′

/2π) + 1

2 log t

^′

/ log log t

^′

+ 1/2 + o(1)

log t

^′

log log log t

^′

/(log log t

^′

)

²

(proposition 16)

6 (h/π) log T + 1

2 log T / log log T + log T log log log T /(log log T )

²

6 (1 + δ)V.

Pour (iii) on a, avec t

^′

∈ [t − 1, t + 1] et h = πV / (log V ) log T : 1 + N(t

^′

+ h) − N(t

^′

− h) 6 (h/π) log(t

^′

/2π) + 1

2 log t

^′

/ log log t

^′

+ 1/2 + o(1)

log t

^′

log log log t

^′

/(log log t

^′

)

²

6 V

log V + 1

2 log T / log log T + 1/2 + o(1)

log T log log log T /(log log T )

²

6 1

2 log T / log log T + log T log log log T /(log log T )

²

6 V. 2

6.1 Minoration du logarithme du module de la fonction ζ

Proposition 19 Pour | t | assez grand et 1/2 < σ 6 2, on a log | ζ(σ + it) | > − log | t |

log log | t | log 1

σ − 1/2 − 3 log | t | log log log | t | log log | t | . D´ emonstration

On applique les propositions 1 et 18 en prenant V = log | t |

log log | t | , δ = 1 2 . L’ordonn´ee | t | est V -typique de taille | t | et

V log V / log | t | σ − 1/2

+ 2(1 + δ)V log log V + O(V δ

⁻²

) = log | t |

log log | t | log 1

σ − 1/2 + 2 log | t | log log log | t |

log log | t | + O(log | t | / log log | t | ) 6 log | t |

log log | t | log 1

σ − 1/2 + 3 log | t | log log log | t | log log | t | . 2

7 Majoration du nombre d’ordonn´ ees atypiques bien espac´ ees dans un intervalle

Nous majorons maintenant le nombre d’ordonn´ees V -atypiques de taille T , bien espac´ees.

Proposition 20 (RH) Soit

• T assez grand ;

• 2(log log T )

²

6 V 6 log T / log log T ;

• T 6 t

1

< t

2

< · · · < t

R

6 2T des ordonn´ees V -atypiques telles que t

r+1

− t

r

> 1, 1 6 r < R.

Alors

R ≪ T exp − V log(V / log log T ) + 2V log log V + O(V ) . D´ emonstration

Observons d’abord que le majorant annonc´e est une fonction d´ecroissante de V et que sa valeur en V = log T / log log T est

> exp(3 log T log log log T / log log T ),

Il suffit de d´emontrer s´epar´ement la majoration pour le nombre R

1

(resp. R

2

, resp. R

3

) (mais nous le noterons encore R) de points (que nous noterons encore t

1

, . . . , t

R

) bien espac´es dans [T, 2T ] infirmant la condition (i) (resp. (ii), resp. (iii)) de la d´efinition page 3.

Commen¸cons par la condition (i). Si elle est en d´efaut pour chaque t

r

, il existe des σ

r

> 1/2 tels que

X

n6x

Λ(n) n

^σr+itr

log n

log(x/n) log x

> 2V, 1 6 r 6 R (x = T

^1/V

).

La contribution des n = p

^α

avec α > 2 est

≪ log log x

≪ log log T

≪ √ V . Par cons´equent,

X

p6x

1 p

^σr+itr

log(x/p) log x

> V, 1 6 r 6 R (x = T

^1/V

).

d’o` u

RV

^2k

6

R

X

r=1

X

p6x

1 p

^σr+itr

log(x/p) log x

2k

≪ T (log T )

²

k! X

p6x

1 p

log

²

(x/p) log

²

x

k

,

pourvu que x

^k

6 T , c’est-` a-dire k 6 V . On a

X

p6x

1 p

log

²

(x/p)

log

²

x ≪ log log x 6 log log T, et donc

R ≪ T (log T )

²

((Ck log log T )/V

²

k

,

o` u C est une constante absolue. Le choix k = ⌊ V ⌋ et un calcul plus simple que celui de la proposition 14 conduisent `a l’estimation

R ≪ T exp − V log(V / log log T ) + O(V ) .

Passons `a la condition (ii). Si t

r

ne la v´erifie pas, il existe t

^′_r

tel que | t

r

− t

^′_r

| 6 1 et N (t

^′_r

+ πδV / log T ) − N (t

^′_r

− πδV / log T ) > (1 + δ)V − 1, d’o` u

N (t

^′_r

+ πδV / log T ) − N (t

^′_r

− πδV / log T ) − (δV / log T ) log(t

^′_r

/2π) > V + O(1).

Choisissons une ordonn´ee t

r

sur trois, de sorte que les t

^′_r

correspondants soient bien espac´es, et gardons uniquement les t

^′_r

de l’intervalle [T, 2T ] (nous en laissons alors au plus deux de cˆ ot´e). Nous pouvons appliquer la proposition 17 :

⌊ (R + 2)/3 ⌋ − 2 ≪ T exp − V log(V / log log T ) + 2V log log V + O(V ) , et on a la mˆeme estimation pour R.

Enfin, si t

r

infirme la condition (iii), il existe t

^′_r

tel que | t

r

− t

^′_r

| 6 1 et N

t

^′_r

+ πV / (log V ) log T

− N

t

^′_r

− πV / (log V ) log T

> V − 1, d’o` u

N

t

^′_r

+πV / (log V ) log T

− N

t

^′_r

− πV / (log V ) log T

− V log(t

^′_r

/2π)/ (log V ) log T

> V +O(V / log V ).

En proc´edant comme pour la condition (ii), nous appliquons de nouveau la proposition 17. Il reste `a observer que, pour V

^′

= V + O(V / log V ), on a

− V

^′

log(V

^′

/ log log T ) + 2V

^′

log log V

^′

+ O(V

^′

) 6 − V log(V / log log T ) + 2V log log V + O(V ).

C’est un calcul facile, qui termine la d´emonstration. 2

8 D´ emonstration du th´ eor` eme

8.1 Application de la formule de Perron

Rappelons dans l’´enonc´e suivant la forme classique de la formule de Perron que nous allons utiliser (pour une d´emonstration, voir [5], II.3).

Proposition 21 Soit

F (z) =

+∞

X

n=1

a

n

n

^z

,

une s´erie de Dirichlet, absolument convergente pour ℜ z > 1. On suppose que | a

n

| 6 1 pour tout n. Alors, pour N > T > 3, N entier, on a

X

n6N

a

n

= 1 2πi

Z

c+iT

c−iT

F (z) N

^z

z dz + O(N log T /T ), o` u c = 1 + 1/ log N . La constante implicite dans le O est absolue.

On a donc

M (N) = A

N

+ O(log N ) (N > 3), o` u

A

N

= 1 2πi

Z

1+1/logN+i2^{⌊logN/log 2⌋}

1+1/logN−i2^{⌊logN/log 2⌋}

ζ(z)

⁻¹

N

^z

z dz.

8.2 D´ eformation du chemin d’int´ egration

Pour majorer | A

N

| , nous allons remplacer le segment d’int´egration [1 + 1/ log N − i2

^{⌊logN/log 2⌋}

, 1 + 1/ log N + i2

^{⌊logN/log 2⌋}

] par une variante S

^N

du chemin d´efini par Soundararajan dans [4]. Nous com- men¸cons par une description de S

^N

. On suppose N assez grand. Nous posons

κ = ⌊ (log N )

^1/2

(log log N )

^c

⌋ , K = ⌊ log N/ log 2 ⌋ ,

o` u c est une constante positive, fix´ee ult´erieurement. Nous posons ´egalement T

k

= 2

^k

pour κ 6 k 6 K.

Le chemin S

N

est sym´etrique par rapport ` a l’axe r´eel, et constitu´e de segments verticaux et horizon- taux. Nous d´ecrivons seulement la partie de S

N

situ´ee dans le demi-plan ℑ z > 0.

• Il y a d’abord un segment vertical [1/2 + 1/ log N, 1/2 + 1/ log N + iT

κ

].

• Pour chaque k tel que κ 6 k < K , on consid`ere les entiers n de l’intervalle [T

k

, 2T

k

[. On d´efinit alors V

n

comme le plus petit entier de l’intervalle [(log log T

k

)

²

, log T

k

/ log log T

k

] tel que tous les points de [n, n + 1] soient V

n

-typiques de taille T

k

. L’existence de V

n

est garantie par la proposition 18. On a mˆeme

V

n

6 1

2 log n/ log log n + log n(log log log n)/(log log n)

²

+ 1.

On inclut alors dans S

^N

le segment vertical [1/2 + V

n

/ log N + in, 1/2 + V

n

/ log N + i(n + 1)]

Il y a enfin des segments horizontaux reliant tous ces segments verticaux :

• le segment [1/2 + 1/ log N + iT

κ

, 1/2 + V

N0

/ log N + iT

κ

] ;

• les segments [1/2 + V

n

/ log N + i(n + 1), 1/2 + V

n+1

/ log N + i(n + 1)], T

κ

6 n 6 T

K

− 2 ;

• le segment [1/2 + V

N−1

/ log N + iT

K

, 1 + 1/ log N + iT

K

].

D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy, on a sous l’hypoth`ese de Riemann A

N

= 1

2iπ Z

SN

ζ(z)

⁻¹

N

^z

z dz.

8.3 Majorations des contributions ` a A

_N

des diff´ erents segments de S

^N

Proposition 22 On a

N

^−1/2

A

N

≪

^δ

exp (log N)

^1/2

(log log N )

^c+δ

+ B

N

, o` u

B

N

=

TK−1

X

n=Tκ

1

n exp V

n

log(log N/ log n) + 2(1 + 2δ)V

n

log log V

n

. D´ emonstration

Pour commencer, nous avons

1 2iπ

Z

SN,|ℑz|6Tκ

ζ(z)

⁻¹

N

^z

z dz

≪ N

^1/2

Z

Tκ

−Tκ

| ζ(1/2 + 1/ log N + iτ) |

⁻¹

dτ p 1/4 + τ

²

≪ N

^1/2

log T

κ

max

|τ|6Tκ

| ζ(1/2 + 1/ log N + iτ) |

⁻¹

6 N

^1/2

(log T

κ

) exp (log T

κ

/ log log T

κ

) log log N + 3(log T

κ

/ log log T

κ

) log log log T

κ

(d’apr`es la proposition 19)

6 N

^1/2

T

_κ³ (car logTκ>(logN)^1/2)

.

Pour les autres segments, nous examinons seulement la partie de S

N

situ´ee dans le demi-plan ℑ z > 0.

On aura les mˆemes estimations pour la partie situ´ee dans le demi-plan ℑ z < 0.

La contribution du segment horizontal [1/2 + 1/ log N ± iT

κ

, 1/2 + V

Tκ

/ log N ± iT

κ

] est

≪ N

^1/2

(exp V

Tκ

)T

_κ⁻¹

exp (log T

κ

/ log log T

κ

) log log N + 3(log T

κ

/ log log T

κ

) log log log T

κ

≪ N

^1/2

T

_κ³

.

Pour chaque n, T

κ

6 n 6 T

K

− 1, la contribution du segment vertical [1/2 + V

n

/ log N + in, 1/2 + V

n

/ log N + i(n + 1)] est

≪ 1

n N

^1/2

exp V

n

log(log N/ log n) + 2(1 + δ)V

n

log log V

n

+ DV

n

δ

⁻²

(o` u D est une constante positive absolue), d’apr`es la proposition 9 (avec V = V

^′

= V

n

, n 6 t 6 n + 1, T

^′

= n, x = N).

Pour chaque n, T

κ

6 n 6 T

K

− 2, la contribution du segment horizontal [1/2 + V

n

/ log N + i(n + 1), 1/2 + V

n+1

/ log N + i(n + 1)] est

≪ 1

n N

^1/2

exp

V log log N/ log(n + 1)

+ 2(1 + δ)V log log V + DV δ

⁻²

,

o` u l’on a pos´e V = max(V

n

, V

n+1

), toujours d’apr`es la proposition 9, qui s’applique car n + 1 est `a la fois V

n

-typique et V

n+1

-typique. Observons que la borne obtenue est

≪ 1

n N

^1/2

exp V

n

log(log N/ log n) + 2(1 + δ)V

n

log log V

n

+ DV

n

δ

⁻²

+ 1

n + 1 N

^1/2

exp

V

n+1

log log N/ log(n + 1)

+ 2(1 + δ)V

n+1

log log V

n+1

+ DV

n+1

δ

⁻²

. Enfin, la contribution du segment horizontal [1/2 + V

TK−1

/ log N + iT

K

, 1 + 1/ log N + iT

K

] est

≪ 1

T

K

N exp O(δ

⁻¹

V

TK−1

)

(d’apr`es la proposition 1)

≪

δ

N

^1/2 (carVT_K−16logN/log logN).

En notant en outre que

exp(DV δ

⁻²

) ≪

δ

exp(δV log log V ), et

T

_κ³

6 exp 3(log 2)(log N)

^1/2

(log log N )

^c

≪

δ

exp (log N )

^1/2

(log log N )

^c+δ

,

cela termine la d´emonstration de la proposition. 2

8.4 Etude de la somme ´ B

_N

Afin de majorer B

N

, nous allons faire appel au calcul auxiliaire suivant.

Proposition 23 Soit A et C des param`etres positifs tels que A > 4C

⁴

+ 1. On a alors AV − V log V + CV log log V 6 e

^A

A

^C

(V > e

^C

).

D´ emonstration Posons

f (V ) = AV − V log V + CV log log V (V > 1).

On a

f

^′

(V ) = A − log V + C log log V − 1 + C log V , f

^′′

(V ) = − 1

V + C

V log V − C V (log V )

²

. En particulier, on a f

^′′

(V ) < 0 si V > e

^C

. De plus,

f

^′

(e

^C

) = A − C + C log C − 1 + 1

= A − C + C log C

> 4C

⁴

+ 1 − C + C log C

> 0, et f

^′

( ∞ ) = −∞ .

Il existe donc un unique V

0

> e

^C

tel que

• f

^′

(V ) > 0 pour e

^C

6 V < V

0

;

• f

^′

(V ) < 0 pour V > V

0

. On a f

^′

(V

0

) = 0, c’est-` a-dire

A − log V

0

+ C log log V

0

= 1 − C log V

0

. D’autre part,

V

max

>e^C

f (V ) = f (V

0

)

= V

0

(A − log V

0

+ C log log V

0

)

= V

0

(1 − C/ log V

0

)

6 V

0

.

Posons maintenant V

1

= e

^A

A

^C

(> e

^C

). On a

f

^′

(V

1

) = A − log V

1

+ C log log V

1

− 1 + C log V

1

= A − (A + C log A) + C log(A + C log A) − 1 + C A + C log A 6 C log

1 + C log A A

− 1 + C A 6 C log

1 + C A

^1/2

− 1 + C

A

^{( car logA6A}

1/2)

6 C

²

A

^1/2

− 1 + C A 6 0.

On a donc V

0

6 V

1

, d’o` u le r´esultat annonc´e. 2

Proposition 24 On a

B

N

≪

^δ

exp (log N)

^1/2

(log log N )

^5−c+6δ

. D´ emonstration

Nous allons utiliser un d´ecoupage dyadique en consid´erant les sommes B

N

(T

k

) = X

Tk6n<2Tk

1

n exp V

n

log(log N/ log n) + 2(1 + 2δ)V

n

log log V

n

(κ 6 k < K).

On aura en effet

B

N

6 K max

κ6k<K

B

N

(T

k

)

≪ log N max

κ6k<K

B

N

(T

k

).

Posons T

k

= T . Nous r´earrangeons B

N

(T ) suivant les valeurs de V

n

. B

N

(T ) = X

(log logT)²6V V6(logT)/(log logT)

X

T6n<2T Vn=V

1

n exp V log(log N/ log n) + 2(1 + 2δ)V log log V

6 1 T

X

(log logT)²6V V6(logT)/(log logT)

exp V log(log N/ log T ) + 2(1 + 2δ)V log log V

card { n, T 6 n < 2T, V

n

= V } .

Nous majorons d’abord la contribution des V 6 2(log log T )

²

+ 1, en utilisant la majoration triviale card { n, T 6 n < 2T, V

n

= V } 6 T.

Cette contribution est

6 exp

O (log log N )

³

.

Consid´erons maintenant la contribution des V > 2(log log T )

²

+ 1. Si T 6 n < 2T et V

n

= V , la minimalit´e de V

n

entraˆıne l’existence dans l’intervalle [n, n+ 1] de t

n

, ordonn´ee (V

n

− 1)-atypique de taille T . En ´evitant de prendre des nombres cons´ecutifs, on partitionne alors l’ensemble

{ n, T 6 n < 2T, V

n

= V }

en (au plus) deux sous-ensembles, chacun ´etant de mˆeme cardinal qu’un ensemble d’ordonn´ees (V

n

− 1)- atypiques de taille T , bien espac´ees dans [T, 2T ]. La proposition 20 donne alors

card { n, T 6 n < 2T, V

n

= V } ≪ T exp

− (V − 1) log (V − 1)/ log log T

+ 2(V − 1) log log(V − 1) + O(V )

≪ T exp − V log(V / log log T ) + 2V log log V + O(V ) . Par cons´equent,

B

N

(T ) ≪

δ

exp

O (log log N)

³

+ X

2(log logT)²+16V V6(logT)/(log logT)

exp

V log log N (log log T )/ log T

− V log V + (4 + 5δ)V log log V . (5)

Pour majorer la somme intervenant dans (5), on utilise la proposition 23 avec A = log log N (log log T )/ log T

et C = 4 + 5δ (on a bien A > 4C

⁴

+ 1 et V > e

^C

).

Par cons´equent, X

2(log logT)²+16V V6(logT)/(log logT)

exp

V log log N(log log T )/ log T

− V log V + (4 + 5δ)V log log V

6 log T log log T exp

log N log log T log T

log log N log log T log T

4+5δ

. Comme

log log T

log T = log log T

k

log T

k

6 log log T

κ

log T

κ

6 log log N

(log N )

^1/2

(log log N )

^c

, on a finalement

B

N

≪

^δ

exp (log N)

^1/2

(log log N )

^5−c+6δ

. 2

8.5 Conclusion

En r´eunissant les r´esultats des propositions 21, 22 et 24, on obtient N

^−1/2

M (N ) ≪

^δ

exp (log N)

^1/2

(log log N )

^c+δ

+ exp (log N )

^1/2

(log log N )

^5−c+6δ

. On choisit alors c = 5/2 et δ arbitrairement petit pour d´emontrer le th´eor`eme.

R´ ef´ erences

[1] H. Davenport, Multiplicative number theory, 3

^rd

edition revised by H.L. Montgomery, Springer, 2000.

[2] D.A. Goldston et S.M. Gonek, A note on S(t) and the zeros of the Riemann zeta-function, Bull.

London Math. Soc. 39 (2007), 482-486.

[3] H. Maier et H.L. Montgomery, The sum of the M¨ obius function, ` a paraˆıtre dans Journal London Math. Soc.

[4] K. Soundararajan, Partial sums of the M¨ obius function, arXiv :0705.0723v2

[5] G. Tenenbaum, Introduction ` a la th´eorie analytique et probabiliste des nombres, 3

^e

´edition, Belin, 2008.

Michel BALAZARD

C.N.R.S., Institut de Math´ematiques de Luminy Case 907

13288 Marseille Cedex 09 FRANCE

Adresse ´electronique : balazard@iml.univ-mrs.fr Anne de ROTON

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