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APPLICATION DES MÉTHODES STATISTIQUES AU CALCUL DES CHAMPS THERMIQUES
TURBULENTS NON HOMOGÈNES
J.-P. Maye
To cite this version:
J.-P. Maye. APPLICATION DES MÉTHODES STATISTIQUES AU CALCUL DES CHAMPS THERMIQUES TURBULENTS NON HOMOGÈNES. Journal de Physique Colloques, 1976, 37 (C1), pp.C1-131-C1-135. �10.1051/jphyscol:1976118�. �jpa-00216445�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C l , supplément au n° 1, Tome 37, Janvier 1976, page Cl-131
APPLICATION DES MÉTHODES STATISTIQUES
AU CALCUL DES CHAMPS THERMIQUES TURBULENTS NON HOMOGÈNES
J.-P. MAYE
Laboratoire d'Etudes Aérodynamiques et Thermiques (*) Section Dynamique des Fluides, Université de Poitiers, France
Résumé. — On propose un modèle statistique de calcul des champs thermiques turbulents à pro- priétés physiques constantes utilisant les équations spectrales des corrélations vitesse-température en plusieurs points ; la fermeture du système est réalisée par troncature simple d'ordre n.
Ce modèle théorique est testé numériquement, avec n = 2, pour calculer le champ thermique turbulent établi entre deux plans parallèles infinis chauffés à densité de flux thermique constante ; les résultats obtenus montrent que la validité du modèle est limitée aux faibles nombres de Péclet.
Abstract. — A statistical model for calculating turbulent thermal fields with constant physical properties is proposed ; this model uses spectral equations for correlations between velocity and temperature ; it is closed at order n by neglecting correlations of ordre (n + 1).
This theoretical model has been tested numerically with n = 2, for calculating the turbulent established thermal field between parallel infinite walls heated with a constant heat flux ; the nume- rical results show that the validity of the model is limited to weak Peclet numbers.
Nomenclature. — GRANDEURS DIMENSIONNELLES.
xt coordonnées cartésiennes (/ = 1, 2, 3) du point P,
Xt coordonnées cartésiennes du point P(J), U vitesse moyenne,
Uz vitesse de frottement,
U-, composante de la vitesse moyenne,
«i fluctuation de vitesse, T température moyenne, t fluctuation de température, Tp température de paroi, Tz température de frottement,
H demi-distance entre les parois du tunnel, rU) distance entre les points P(A:;) et PW )(JCP),
T]U) nombre d'onde associé à ru\ q densité de flux thermique de paroi,
qm débit masse par unité de largeur du tunnel, Cp chaleur spécifique à pression constante, a diffusivité thermique,
T temps.
GRANDEURS ADIMENSIONNELLES
y distance du point P à la paroi (y = x2/H), 0 température (G = (Tp - T)/T,),
Pet nombre de Péclet défini avec U% (Pet = Uz H/à).
SYMBOLES GÉNÉRAUX
k indice de sommation,
w(i) fluctuation w (w = u-, ou t) considérée au point P(-" corrélation,
< > spectre.
(*) Associé au C. N. R. S., n° 191. 40, avenue du Recteur- Pineau, 86022 Poitiers, France.
1. Introduction. — L'idée d'appliquer les méthodes statistiques à l'étude de la vurbulence n'est pas nouvelle.
Chou [1] propose déjà, en 1945, de recheicher les solu- tions des problèmes turbulents dans le système des équations caractérisant le mouvement moyen et les cor- rélations. Cette voie se heurte cependant, dans le cas général, à de multiples difficultés concernant notam- ment la formation d'équations différentielles pour les corrélations, le choix d'une hypothèse de fermeture pour le modèle mathématique obtenu et enfin la résolu- tion pratique de ce dernier.
Pour ces différentes raisons, le domaine d'application le plus fécond pour ces méthodes statistiques, s'est fina- lement limité, jusqu'à présent, aux études structurales d'écoulements très particuliers (isotropes, homogènes, à gradients constants, etc.). Très peu d'auteurs ont abordé les problèmes plus complexes liés aux écoule- ments de cisaillement généraux ; parmi ceux-ci on citera cependant Kolovandin et Valutin [2] et Cowan [3] qui ont récemment proposé des modèles statistiques pour turbulence non homogène.
La présente étude constitue un prolongement des travaux précédemment mentionnés dans la mesure où elle considère le problème dynamique déjà résolu et donc indépendant du problème thermique, ce qui sup- pose un transfert de chaleur peu élevé. En fait, la méthode théorique proposée ici s'apparente plus parti- culièrement à celle de Cowan par le choix identique de l'hypothèse de fermeture et l'utilisation systématique de la transformation de Fourier. Cette méthode, bien qu'apparemment moins élaborée que celle proposée par Kolovandin et Valutin, a le mérite de pouvoir être testée numériquement et relativement facilement sur des écoulements de cisaillement simples, ce qui ne
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1976118
CI-132 J.-P. MAYE semble pas être vrai pour la précédente et en limite donc l'intérêt dans l'immédiat.
2. Construction du modele théorique. - 2. 1 Pour un écoulement turbulent incompressible, à propriétés phy- siques constantes et sans dissipation, les équations locales traduisant l'équilibre thermique des mou- vements moyen et fluctuant s'écrivent respective- ment :
Cowan [2], les éq. (1) et (2) contiennent encore, dans le cas général, les 4 inconnues :
La démarche théorique devant conduire à la détermi- nation du champ thermique turbulent, va consister, en premier lieu, à construire un système d'équations diffé- rentielles pour les corrélations vitesse-température inconnues.
a 2 . 2 Selon une technique déjà bien éprouvée (cf. [l],
- (Uk T) = - - - uk t
axk axk axk [3], [4], [ 5 ] , etc...), on forme alors, à partir de (2), une équation générale pour les corrélations spatiales at at ÔT a -- a2t d'ordre (n + 1) en (n + 1) points ; cette équation
- + Uk- + uk- + - ( u k t - u k t ) = a -
aT axk BX, dx, ax; ' s'écrit ici, après application de l'approximation de Taylor (cf. [6], 171, [8], 191) reliant dérivées temporelles (2) et spatiales par la relation
Le champ dynamique étant supposé déterminé, par a
alaz = u, - ,
exemple au moyen du modèle théorique proposé par 8x1
où chaque w") représente l'une quelconque des fluctuations instantanées u,, u,, u, où t considérée en un point p")(xl") distinct du point P(xi) auquel correspondent (1) et (2).
2 . 3 Afin de faire apparaître les distances relatives entre les (n + 1) points l'(xi), P(') (xi1)), P ( ~ ) ( x ~ ~ ) ) , ..., p(")(xln)) considérés, on introduit un nouveau système de coordonnées (x, r"), d2), ..., dn)) pour remplacer l'ancien (x, x('), x ( ~ ) , ...: x(")) avec la correspondance :
On a supposé ici que les (n + 1) points P, P('), ..., P("' sont alignés sur la même direction x, (a = 1 , 2 OU 3), ce qui n'altère pas la validité de la mCthode théorique dans la mesure où l'introduction des corrélations spatiales ne constitue qu'un artifice momentané de calcul. Ce choix conditionne cependant la mise en œuvre pratique de la méthode, ce qui limite cette dernière aux écoulements possédant au moins une direction privilégiée (conduite, jet, couche limite, etc.).
2.4 On applique à la nouvelle équation différentielle ainsi obtenue une transformation de Fourier à n dimen- sions définie par (2) :
(1) Ce terme étant nul si (3) ne fait intervenir que les corrélations spatiales en 2 points.
(2) Les w ( j ) intervenant dans la notation spectrale n'ont kvidemment qu'un rôle d'identification sans signification physique
propre.
CHAMPS THERMIQUES TURBULENTS Cl-133
D'après les propriétés de dérivation bien connues de cette transformation et la relation (4) reliant les systèmes de coordonnées ancien ( ), et nouveau ( ),, l'équivalence entre opérateurs différentiels dans l'espace de Fourier se traduit par (k étant l'indice de sommation) :
(5))
=(&12
- i j = i i vu) ':8x2, 2 j = i ilx, 2 j = i
(!Ell = (K) - 2 i i v(j)(L) - (i v(j))2
i
\âx',
2 . 5 L'équation déduite de (3) par application de la transformation de Fourier s'écrit finalement, en notant symboliquement O,, = w(') w ( ~ ' ... w("),
avec
Dans le cas général, (7) est donc une équation aux dérivées partielles du second ordre pour l'inconnue
< O, r > définie comme un spectre à n dimensions.
Cette équation est couplée avec (1) par l'intermédiaire des facteurs aT/ax, et
et avec les équations spectrales à (n - 1) dimensions par des intégrations en fonction de q ; de plus, la pré- sence du spectre < uk à, t > dans le second membre nécessite l'introduction d'une hypothèse de fermeture.
2.6 Pour .cette dernière, le choix de Cowan [3] pour une troncature simple à l'ordre n (corrélations d'ordre ( n + 1) négligées) a finalement été retenu de préférence à l'hypothèse quasi normale de Millionschikov 1101 également utilisée par Kolovandin et Valutin [2]. Ce choix résulte essentiellement de la meilleure intégration pratique de cette hypothèse dans l'éq. (7) qui est quasi linéaire et garde la méme forme quel que soit l'ordre de troncature retenu. D'un point de vue physique, il semble que les deux types de fermeture précédents soient également susceptibles de conduire à des incom- patibilités, énergie négative par exemple [Il], ce qui ne contribue pas, actuellement, à mettre en évidence la supériorité de l'une par rapport à l'autre.
La valeur numérique de l'ordre n de troncature reste cependant à préciser en fonction du type d'écoulement considéré et du degré d'approximation désiré. Dans l'état actuel des connaissances sur les champs de cisail- lement fluctuants, ce point reste cependant assez obscur et ne pourra être discuté utilement que sur la base d'investigations expérimentales plus approfondies.
2.7 CONDITIONS AUX LIMITES. - La conclusion précédente s'applique également au choix des condi- tions aux limites vérifiées par les équations aux dérivées partielles du second ordre (7). Ces conditions doivent en effet être établies dans l'espace de Fourier, ce qui rend actuellenient leur évaluation très difficile, même dans les cas d'écoulements à configurations géomé- triques particulièrement simples (cf. $ 3.2).
3. Application à un écoulement thermiquement établi entre deux plans parall6les infinis chauffés à densité de flux thermique constante. - 3.1 ÉQUATIONS DU MODÈLE POUR UNE TRONCATURE DU le' ORDRE. - On s'ezt limité, dans cette application numérique, à une approximation du ler ordre (corrélations triples négli- gées) par suite du manque total d'informations sur les corrélations spatiales triples de vitesse ; pour les corré- lations doubles, on a utilisé les résultats expérimentaux de Comte-Bellot [12] qui sont apparus plus complets et crédibles que ceux obtenus théoriquement par Cowan [3], avec une approximation limitée au
l e t ordre.
Pour le type d'écoulement étudié ici, on montre aisé- ment que (1) se réduit à :
d'où on déduit, après deux intégrations successives et compte tenu des conditions aux limites thermiques
(3) Ce terme étant nul pour a # 1, d'après (1 1).
Cl-1 34 J.-P. MAYE où la corrélation adimensionnelle UT+ vérifie le système (10)
3 . 2 CONDITIONS AUX LIMITES. - L'équation diffé- rentielle (10) étant du second ordre nécessite pour sa résolution deux types de conditions limites, qui, d'après la géométrie de l'écoulement, concernent les valeurs prises par < u:') t > + sur la paroi (y = O) et au centre du tunnel ( y = 1).
Malheureusement, il n'existe pas actuellement de résultats théoriques ou expérimentaux permettant de fixer rigoureusement ces conditions. On sait seulement, pour des raisons évidentes (nullité de u, à la paroi et symétrie de Kt par rapport à y au centre du tunnel), que :
-
u , t = O pour
A défaut d'informations plus complètes, on admet- tra, ainsi que Cowan l'a fait pour u , US'), -- que la corré- lation spatiale u:') t (et le spectre résultant < u:') t >) est également identiquement nulle pour y = O et y = 1.
Cette hypothèse se justifie parfaitement pour y = 0, même si les fluctuations t ne sont pas exactement nulles à la paroi. Pour y = 1, la justification physique est moins évidente, bien que la nullité de u, et le niveau peu élevé des intensités de turbulence pour u, et t permette de penser que le maximum de la corrélation - spatiale u:" t reste faible au voisinage du centre du tunnel.
3.3 SOLUTIONS EXPLICITES. - Avec les conditions aux limites définies précédemment, on montre aisément que la solution générale de l'équation différentielle du second ordre (10) s'écrit :
après avoir noté
z étant une variable d'intégration.
4. Résultats numériques. - Le modèle statistique ainsi défini par les éq. (9) à (12) a été programmé sur
IBM 1800 en utilisant, pour les données dynamiques, les résultats expérimentaux de Comte-Bellot [12]
concernant les vitesses moyennes et les corrélations spatiales doubles 2.4, u:') (y) mesurées dans un tunnel
bidimensionnel. -
Les profils théoriques obtenus pour u, t,(y) et û(y) en fonction du nombre de Péclet sont indiqués sur les figures 1 et 2.
Fia. 1. - Profils théoriques =(y).
FIG. 2. - Profils théoriques O(y).
La convergence numérique de la méthode itérative utilisée s'est révélée pratiquement impossible au-delà de Pe, = 50. Cette limitation résulte essentiellement de l'intervention, dans (12), du gradient de température aû/dy estimé à partir de (9). L'efficacité de cette tech- nique itérative est en fait subordonnée à la condition que la densité du flux thermique moléculaire ne soit pas négligeable devant son équivalent turbulent ; cette condition se traduit physiquement par la nécessité d'avoir un écoulement très faiblement turbulent ou un fluide très conducteur, c'est-à-dire dans tous les cas un faible nombre de Péclet.
5. Conclusion. - Le modèle théorique développé dans cet article repose essentiellement sur deux hypo- thèses simplificatrices : celle de Taylor, permettant de relier l'histoire temporelle du champ thermique à soli évolution spatiale et celle de troncature à l'ordre n permettant de lever la sous-détermination du système des équations aux corrélations spatiales vitesse-tempé- rature.
CHAMPS THERMIQUES TURBULENTS Cl-135
Les limitations du modèle statistique proposé sont donc liées à ces deux hypothèses mais aussi et surtout, comme l'a montré la mise en œuvre numérique, à l'utilisation de (9) comme équation complémentaire, ce qui restreint la validité du modèle aux faibles nombres de Péclet.
En contrepartie de ces limitations, la relative simpli- cité de ce modèle statistique a permis de mettre clairement en évidence la dépendance uniquement implicite entre flux de chaleur turbulent et gradient local de température moyenne. L'application numé-
rique de ce modèle à un problème pratique a également permis de mieux situer les difficultés d'utilisation des méthodes statistiques en tukbulence non homogène et confirmé le rôle fondamental de l'investigation expéri- mentale pour les progrès futurs de ces dernières.
Remerciements. - L'auteur remercie le professeur L. Peube du Laboratoire de Dynamique des Fluides de Poitiers pour l'intérêt qu'il a manifesté pour cette étude et les critiques judicieuses qu'il a formulées à son sujet.
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