Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat S La Réunion \ 15 juin 2006
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Partie A f(x)= x
lnx
1. a. Comme lim
x→1lnx=0+, lim
x→1f(x)= +∞. On sait que lim
x→+∞
x
lnx= +∞.
b. f quotient de fonctions dérivables, celle du dénominateur ne s’annulant pas, est dérivable etf′(x)=lnx−x×1
x
(lnx)2 =lnx−1
(lnx)2 qui est du signe de lnx−1.
Des propriétés de la fonction ln, on en déduit que ln e=1 et comme cette fonction est croissante surR+, on en déduit le signe de la dérivée et le tableau de variations suivant :
x 1 e
f′ − 0 +
f
+∞
e
+∞
+∞
Baccalauréat S
2. a.
1 2 3 4 5
2 4
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
C
M0
M1
M2
u1
u2 u0
La suite semble converger « rapidement ».
b. On au0=5>e. Pourn>0,unest une image parf d’un réel. D’après le tableau de variations ci-dessus,f(x)>e=⇒un>e.
c. On calculeun+1−un= un
lnun
−un=un(1−lnun) lnun
.
On vient de voir queun>e>1=⇒lnun>0. La différence est donc du signe de 1−lnun qui est négative d’après la question 1 b.
un+1−un <0 ⇐⇒ (un) est une suite décroissante. C’est une suite dé- croissante et minorée par e : elle converge vers une limiteℓ>e.
Partie B
1. Or l’égalitéun+1=f(un) donne à la limiteℓ=f(ℓ), car la fonctionf est conti- nue sur ]1 ;+∞[.
2. ℓ=f(ℓ)⇐⇒ℓ= ℓ
lnℓ ⇐⇒ (carℓ6=0), 1= 1
lnℓ ⇐⇒lnℓ=1⇐⇒ ℓ=e.
La suite converge vers e.
Corrigé La Réunion 2 15 juin 2006
