Variance optimal hedging for PII and applications.

Variance optimal hedging for PII and applications.

Goutte St´ephane

LAGA Paris 13 - LUISS Rome - LPMA Paris 7

May 4, 2010

Joint work with F.Russo and N.Oudjane

Neuvi`eme Colloque ”Jeunes Probabilistes et Statisticiens”

Le Mont-Dore, 3-7 mai 2010

Introduction

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction Motivations R´esultats ant´erieurs

F¨ollmer-Schweizer Structure Condition Le probl`eme

D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer 2 F¨ollmer Schweizer decomposition

Classe d’option Etapes

Structure Condition FS D´ecomposition

3 Solution du probl`eme de minimisation Mean-Variance Hedging

Application au cas de l’electricit´e

4 Simulations

R´esultat en fonction deN R´esultat en fonction de Λ

Introduction Motivations

Introduction Motivations

Introduction Motivations

Electricit´e non stockable ⇒ Instruments de couverture utilis´e sont les contrats `a termes ou future F<sub>t</sub><sup>Td</sup> sur les prix spot (S<sub>t</sub>). F<sub>t</sub><sup>Td</sup> repr´esente le prix future `a l’instantt ≤Td de la livraison de 1MWh d’´electricit´e sur la p´eriode [T_d,T_d+θ].

Le mod`ele utilis´e est:

F_t^Td =F₀^Tdexp(m_t^Td+ Z t

0

σ_Se^{−λ(Td−s)}dΛs

| {z }

facteur court terme

+ σ_LWt

| {z }

facteur long terme

), ∀t∈[0,T_d],

m est une tendance r´eelle d´eterministe, Λ un processus de L´evy r´eel

W un mouvement Brownien r´eel

La dynamique des prix futurs F_t^Td est donc mod´elis´ee par une exponentielle de processus `a accroissements ind´ependants.

Introduction R´esultats ant´erieurs

Soit T >0 un instant de maturit´e fix´e, (Ω,F,(F_t)t∈[0,T],P) un espace de probabilit´e etX = (Xt)_t∈[0,T] un processus stochastique r´eelle.

Definition: cumulant generating function

La cumulant generating functionde (la loi de)X_t est la fonction z 7→Log(E[e^zXt]). En particulier nous avons que

κ_Xt :D→C with e^κXt(z)=E[e^zXt], o`uD :={z ∈C|E[e^Re(z)Xt]<∞, ∀t∈[0,T]}.

Dans la suite nous utiliserons la notation simplifi´eeκ_t pour κ_Xt.

Introduction R´esultats ant´erieurs

Definition: PII

X = (X_t)_t∈[0,T] est unprocessus r´eel `a accroissement ind´ependant (PII) ssi

1 X est `a trajectoire C`adl`ag.

2 X₀ = 0.

3 X_t−X_s est ind´ependant deF_s pour 0≤s <t≤T o`u (F<sub>t</sub>) est la fitration canonique classique associ´e `aX.

De plus nous supposons que

4 X est continu en probabilit´e, i.e. X n’a pas de temps fixe de discontinuit´e.

Definition: L´evy process (PIIS)

On ajoute la propri´et´e d’accroissement stationnaire `a la d´efinition d’un PII:

La distribution de X_t−X_s depend seulement det−s pour tout 0≤s ≤t≤T.

Introduction F¨ollmer-Schweizer Structure Condition

Definition: Structure Condition

SoitX = (Xt)t∈[0,T]une semimartingale r´eelle de d´ecomposition canonique X =X₀+M+AΓ

X est dit satisfaisant lastructure condition (SC)si il existe un processus pr´evisible `a valeurs r´eelles α= (αt)t∈[0,T] tel que

1 A_t =R_t

0 α_sdhMi_s , for all t ∈[0,T],donc que dAdhMi.

2

Z T

0

α²_sdhMi_s <∞ , P−a.s.

D´efinition: Mean-Variance Tradeoff Process On note par K = (K_t)_t∈[0,T] la processus C`adl`ag

Kt = Z t

0

α²_sdhMi_s , pour toutt ∈[0,T].

Ce processus est appel´e processus mean-variance tradeoff (MVT).

Introduction Le probl`eme

Soit Θ l’espace des processus pr´evisibles (vt)_t∈[0,T] pour lequel l’int´egrale stochastique

Gt(v) :=

Z t

0

vsdXs = Z t

0

vsdMs+ Z t

0

vsdAs, pour tout t∈[0,T], est une semimartingale de carr´ee int´egrable.

Definition: Mean-variance Hedging

Soit H une v.a. de carr´e int´egrable, le couple (V0, ϕ) sera appel´e optimal si (c,v) = (V₀, ϕ) minimise le risque quadratique globale de couverture

E[(H−c−G_T(v))²], (1) pour tout les couples (c,v)∈R×Θ.

En termes financiers, V₀ est la valeur du capital initial optimale etϕest la strat´egie optimale d’achat et de vente sur le march´e de l’actifH `a chaque instant de couverture.

Introduction D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer

Definition: d´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer

Une variable al´eatoireH ∈ L²(Ω,F,P) admet uned´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer (FS), si elle peut s’´ecrire sous la forme

H =H₀+ Z _T

0

ξ_s^HdX_s+L^H_T , P −a.s. , (2) o`uH₀ ∈Rest une constante, ξ^H ∈Θ et L^H = (L^H_t)_t∈[0,T] est une

martingale de carr´ee int´egrable telle queE[L^H₀] = 0 et fortement orthogonale `aM.

Remarque

Si (Xt) est une martingale de carr´ee int´egrable alors la FS d´ecomposition coincide avec la d´ecomposition de Kunita-Watanabe.

Introduction D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer

Hypoth`ese 1

Pour tout t >0,Xt n’est jamais d´eterminsite.

Hypoth`ese 2

On suppose que X satisfait (SC) et que le processus MVT K est uniform´ement born´e ent et ω

Th´eor`eme: Th´eor`eme 3.4 de Monat, P. and Stricker, C. (1995)

Sous l’hypot`ese 2, toute variable al´eatoire H∈ L²(Ω,F,P) admet une FS d´ecomposition et le sous espace G(Θ) est ferm´e dansL²(Ω,F,P).

Corollaire

Le probl`eme de mean-variance hedging admet une unique solution (V₀, ϕ)).

Introduction D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer

Th´eoreme: Th´eeoreme 3 de Schweizer, M. (1994)

Supposons que X satisfasse (SC) et que le processus MVTKde X est deterministe. SiH∈ L² ademet une FS d´ecomposition de type (2), alors le probl`eme de mean variance hedging admet une solutionϕ^(c)∈Θ pour toutc∈R, tel que

ϕ^(c)_t =ξ_t^H+ αt

1 + ∆Kt

(Ht−−c−Gt−(ϕ^(c))), for allt∈[0,T] (3)

o`u les processus (Ht)t∈[0,T]sont d´efinis par

Ht:=H0+ Z t

0

ξ_s^HdXs+L^H_t , (4)

et le processsusαest celui apparaissant dans la D´efinition de (SC).

Corollaire: Corollaire 10 de Schweizer, M. (1994)

Sous les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent, la silution du probl`eme mean variance hedging est donn´ee par la paire (H0, ϕ^(H0)).

F¨ollmer Schweizer decomposition

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction Motivations R´esultats ant´erieurs

F¨ollmer-Schweizer Structure Condition Le probl`eme

D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer 2 F¨ollmer Schweizer decomposition

Classe d’option Etapes

Structure Condition FS D´ecomposition

3 Solution du probl`eme de minimisation Mean-Variance Hedging

Application au cas de l’electricit´e

4 Simulations

R´esultat en fonction deN R´esultat en fonction de Λ

F¨ollmer Schweizer decomposition Classe d’option

Nous nous interessons aux options H qui s’expriment de la fa¸con suivante:

H =f(ST) with f(s) = Z

C

s^zΠ(dz) , (5)

o`u Π est une mesure finie complexe au sens de Rudin (1987), Section 6.1.

Call et Put europ´een

Soit K >0, un Call europ´een H= (ST−K)+ admet une repr´esentation de la forme (5), soitR >1 ets >0, nous avons

(s−K)+= 1 2πi

Z R+i∞

R−i∞

s^z K^1−z z(z−1)dz .

Soit K >0, un Put europ´eenH = (K −S_T)₊ admet une repr´esentation de la forme (5), soitR <0 ets >0, nous avons

(K −s)₊= 1 2πi

Z R+i∞

R−i∞

s^z K^1−z z(z−1)dz .

F¨ollmer Schweizer decomposition Classe d’option

B´ en´ efice sur un Call europ´ een

F¨ollmer Schweizer decomposition Classe d’option

Hypoth`ese 3

1 (X_t) n’a pas d’accroissement d´eterministe.

2 2∈D.

D´efinition

Pour tout t ∈[0,T], posonsρ_t la fonction complexe qui `az ∈D

ρt(z,y) =κt(z+y)−κt(z)−κt(y) . (6) ρt(z) =ρt(z,z) =κt(2Re(z))−2Re(κt(z)). (7) Proposition:

Sous l’hypoth`ese 3

d(κt(z))dρt(z) , pour toutz ∈D . (8)

F¨ollmer Schweizer decomposition Etapes

Nous avons donc

S_t =s₀exp(X_t), pour toutt ∈[0,T]

o`us0 est une constante stricement positive et X est une semimartingale sp´eciale `a accroissement ind´ependant (PII). Nous nous interessons aux options de la forme:

H = Z

C

S_T^zΠ(dz) Les ´etapes de la r´esolution du probl`eme:

1 V´erification de la condition de structure (SC) deS et du fait que le processus MVTK deS soit uniform´ement born´ee.

2 FS D´ecomposition deH=S_T^z,z ∈C

3 FS D´ecomposition deH=R

CS_T^zΠ(dz)

F¨ollmer Schweizer decomposition Structure Condition

Proposition:

Soit y,z ∈D tel quey+z,2Re(y),Re(y) + 1,2Re(z) etRe(z) + 1∈D.

alors S^z est une semimartingale sp´eciale de d´ecomposition S_t^z =M(z)_t+A(z)_t satisfaisant

A(z)t= Z t

0

S_u−^z κ_du(z) hM(y),M(z)i_t =

Z t

0

S_u−^y+z(κ_du(y+z)−κ_du(y)−κ_du(z)) o`udρ_u(z) est d´efinit par l’´equation (3).

Pour y =z = 1, on obtientAt =R_t

0 Su−κ_du(1) et hM,Mi_t =

Z t

0

S_u−² (κ_du(2)−2κ_du(1)) = Z t

0

S_u−² ρ_du .

F¨ollmer Schweizer decomposition Structure Condition

Proposition:

Sous l’hypoth`ese 3, nous avons A_t =

Z t

0

α_sdhMi_s , (9)

avec α donn´e par αu := λu

Su−

avec λu:= dκu(1)

dρ_u , pour tout u∈[0,T]. (10) De plus le processus (MVT) est donn´e par

Kt = Z t

0

d(κu(1)) dρ_u

2

dρu . (11)

F¨ollmer Schweizer decomposition Structure Condition

Corollaire:

Sous l’hypoth`ese 3, la condition de structure (SC) est v´erifi´ee ssi

KT= Z T

0

d(κu(1)) dρu

2

dρu<∞.

On note parDl’ensemble desz∈D tel que Z T

0

dκu(z) dρu

2

dρu<∞. (12)

Nous formulons donc une hypoth`ese qui vaudra pour toute la pr´esentation Assumption 4

1∈ D.

F¨ollmer Schweizer decomposition FS D´ecomposition

Proposition: FS D´ecomposition deS^z Soit z ∈ D avecz + 1∈ D et 2Re(z)∈D.

1 S_T^z ∈ L²(Ω,F_T).

2 Nous admettons les hypoth`eses 3 et 4 et nous d´efinissons γ(z,t) := d(ρt(z,1))

dρt

, t ∈[0,T]. (13)

RT

0 |γ(z,t)|²ρ_dt <∞ et

η(z,t) := κt(z)− Z t

0

γ(z,s)κ_ds(1)

(14)

= κ_t(z)− Z t

0

γ(z,s)dκ_s(1) dρs

ρ_ds

est bien d´efini etη(z,·) est absolument continu par rapport `a ρ_ds et donc born´e.

F¨ollmer Schweizer decomposition FS D´ecomposition

Proposition (suite):

1 Sous les memes hypoth`eses H(z) =S_T^z admet la FS d´ecomposition H(z) =H(z)₀+RT

0 ξ(z)_tdS_t+L(z)_T o`u H(z)t := e

RT

t η(z,ds)S_t^z , (15)

ξ(z)t := γ(z,t)e

RT

t η(z,ds)S_t−^z−1 , (16)

L(z)t := H(z)t−H(z)0− Z t

0

ξ(z)udSu . (17) Preuve: Nous devons montrer:

1 L(z) est une martingale de carr´e int´egrable.

2 sup_t≤TE[|ξ(z)_t|²]<∞

3 hL,Mi= 0.

F¨ollmer Schweizer decomposition FS D´ecomposition

Hypoth`ese 5

Soit I₀ =suppΠ∩R. Nous notons I := [infI0∧2 infI0,2 supI0∨supI0+ 1].

1 I₀ est compact.

2 ∀z ∈suppΠ, z,z+ 1∈ D.

3 I ⊂D et sup_{x∈I∪{1},t≤T}

d(κt(x)) dρt

_∞<∞.

Remarques:

1 Point 2. de l’hypoth`ese 5 implique sup_z∈I+iRkκ_dt(Re(z))k_T <∞.

2 Sous l’hypoth`ese 5, H=f(S_T) est de carr´e int´egrable. En particulier elle admet une FS d´ecomposition.

3 Parce que (8), la d´eriv´ee de Radon-Nykodim du point 3 de l’hypoth`ese 5 existe toujours.

F¨ollmer Schweizer decomposition FS D´ecomposition

Th´eor`eme:

Supposons les hypoth`eses 3,4 et 5. Toutes options complexes de type H =f(S<sub>T</sub>), o`u f est de la forme (5), etH ∈ L², admet une unique FS d´ecomposition H=H0+RT

0 ξtdSt+LT avec les propri´et´es suivantes:

1 H ∈ L² et Ht =R

H(z)tΠ(dz), ξt =R

ξ(z)tΠ(dz), Lt =R

L(z)tΠ(dz),

Pour tout z ∈supp(Π),H(z), ξ(z) etL(z) sont les memes que ceux introduits pr´ecedement et s’annulent par convention siz ∈/supp(Π).

2 Cette d´ecomposition est r´eelle si f est `a valeur r´eelle.

Solution du probl`eme de minimisation

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction Motivations R´esultats ant´erieurs

F¨ollmer-Schweizer Structure Condition Le probl`eme

D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer

2 F¨ollmer Schweizer decomposition Classe d’option

Etapes

Structure Condition FS D´ecomposition

3 Solution du probl`eme de minimisation Mean-Variance Hedging

Application au cas de l’electricit´e 4 Simulations

R´esultat en fonction deN R´esultat en fonction de Λ

Solution du probl`eme de minimisation Mean-Variance Hedging

Th´eor`eme:

SoitX = (Xt)t∈[0,T]un processus `a accroissements ind´ependants de fonction cumulativeκ. Soit H=f(e<sup>XT</sup>) o`uf est de la forme (5). Nous admettons les hypoth`eses 3, 4 et 5. Le capital initial optimalV0et la strat´egie de couverture optimaleϕ, solution du probl`eme de minimisation (1), sont donn´es par

V0=H0 (18)

et l’expression explicite

ϕt=ξt+ λt

St−

(Ht−−V0− Z t

0

ϕsdSs), (19)

o`u les processus (Ht), (ξt) et (λt) sont d´efinis par

γ(z,t) :=dρt(z,1) dρt

avec ρt(z,y) =κt(z+y)−κt(z)−κt(y), (20)

Solution du probl`eme de minimisation Mean-Variance Hedging

Th´eor`eme (suite):

η(z,dt) :=κdt(z)−γ(z,t)κdt(1), (21)

λt:= d(κt(1)) dρt

, (22)

Ht:=

Z

C

e

R_T

t η(z,ds)S_t^zΠ(dz), (23)

ξt:=

Z

C

γ(z,t)e^RtTη(z,ds)S_t−^z−1Π(dz). (24)

Solution du probl`eme de minimisation Application au cas de l’electricit´e

Nous avons donc le mod`ele suivant

St=s0exp(mt+X_t¹+X_t²) , pour tout t∈[0,T_d] (25) o`u

m est une fonction r´eelle d´eterministe suppos´e absolument continu par rapport `a la mesure de Lebesgue.

X_t¹ =Rt

0 σse^{−λ(Td−u)}dΛu, o`u Λ est un processus de L´evy.

X² =σ_lW o`u W est un mouvement brownien standard.

Λ etW sont ind´ependants.

σs et σ_l repr´esentent la volatilit´e court terme et long terme.

Solution du probl`eme de minimisation Application au cas de l’electricit´e

Th´eor`eme:

Le capital initial optimalV0et la strat´egie de couverture optimaleϕ, solution du probl`eme de minimisation (1), sont donn´es par

V0=H0 (26)

et l’expression explixcite

ϕt=ξt+ λt

St−

(Ht−−V0− Z t

0

ϕsdSs), (27)

o`u les processus (Ht),(ξt) et (λt) sont d´efinis comme

ezt : = σse^{−λ(Td−t)},

γ(z,t) : = zσ²_l +κ^Λ((z+ 1)ez)−κ^Λ(zez)−κ^Λ(ez) σ_l²+κ^Λ(2ez)−2κ^Λ(ez)

Solution du probl`eme de minimisation Application au cas de l’electricit´e

Th´eor`eme (suite):

η(z,t) : =

"

zmt+z²σ²_l

2 +κ^Λ(zez)−γ(z,t) mt+σ_l²

2 +κ^Λ(ez)

# dt

λt = mt+^σ

2 l

2 +κ^Λ(ez) σ²_l +κ^Λ(2ez)−2κ^Λ(ez), Ht =

Z

C

e^RtTη(z,ds)S_t^zΠ(dz), ξt =

Z

C

γ(z,t)e^RtTη(z,ds)S_t−^z−1Π(dz).

κt(z) =zmt+z²σ_l²t

2 +

Z t

0

κ^Λ(zσse^{−λ(Td−u)})du. (28)

Simulations

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction Motivations R´esultats ant´erieurs

F¨ollmer-Schweizer Structure Condition Le probl`eme

D´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer

2 F¨ollmer Schweizer decomposition Classe d’option

Etapes

Structure Condition FS D´ecomposition

3 Solution du probl`eme de minimisation Mean-Variance Hedging

Application au cas de l’electricit´e 4 Simulations

R´esultat en fonction deN R´esultat en fonction de Λ

Simulations

Cas discret

Prenons un call europ´een (F_T^Td −K)₊ de matutit´e T = 0.25 sur 3 mois.

On suppose T =Td. Prenons un mod`ele simplifi´e:

S_t^c =e^Xtc , o`u X_t^c = Z _t

0

σ_se^−λ(T−u)dΛ_u (29) avec Λ un processus NIG tel que Λ₁∼NIG(α, β, δ, µ). On a donc pris m≡0, σl = 0 etσs =σ >0. SoitN+ 1 dates discr`etes

0 =t0 <t1 <· · ·<t_N =T, on consid`ere la processus discr`et X =X^N o`u X_k =X_t^c

k,0≤k ≤N.

Simulations

Les param`etres du mod`ele sont estim´es sur des donn´ees r´eelles du March´e Fran¸cais en 2007

α= 15.81, β=−1.581, δ= 15.57, µ= 1.56,

ce qui correspond `a une distribution centr´e reduite NIG avec une skewness de −0.019 et une excess kurtosis de 0.013. Les estimation annuelle du la volatilit´e court terme et du co´efficient de retour `a la moyenne sont σ_s = 57.47% etλ= 3.

Simulations R´esultat en fonction deN

Simulations R´esultat en fonction deN

Simulations R´esultat en fonction deN

Simulations R´esultat en fonction deN

Bilan de ce test:

1 La m´ethode de BS est plus robuste que ce que l’on pouvait penser.

Cependant dans le cas de sauts plus importants (α plus petit) on observe un apport significatif de la m´ethode variance optimale.

2 Ce sont plutˆot les instants de rebalancement qui apporte le plus. Pour N = 10, le choix d’instants de rebalancement optimaux nous permet de r´eduire de 9% notre ´ecart type de l’erreur de couverture.

Simulations R´esultat en fonction de Λ

R´eduction de 9% quandλ= 3(σ= 57.47%) et de 17.9% quand λ= 9(σ = 88.23%) avecVar(X_T) = ^σ_2λ²(1−e^−2T) fixe.

Simulations R´esultat en fonction de Λ

Bibliography

Goutte, S. (2007)Couverture en march´e incomplet utilisant le mod`ele `a deux facteurs non gaussiens., EDF Research R33 OSIRIS.

Goutte, S., Oudjane, N. and Russo, F. (2009).Variance Optimal Hedging for continuous time processes with independent increments and applications, Preprint HAL

inria-00437984, http://fr.arxiv.org/abs/0912.0372.

Goutte, S., Oudjane, N. and Russo, F. (2010).Variance Optimal Hedging for discrete time processes with independent increments. Application to Electricity Markets, Preprint HAL inria-00473032, http://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00473032/fr/.

Hubalek, F., Kallsen, J. and Krawczyk, L.(2006).Variance-optimal hedging for processes with stationary independent increments, The Annals of Applied Probability, Volume 16, Number 2, 853-885.

Monat, P. and Stricker, C. (1995).F¨ollmer-Schweizer decomposition and mean-variance hedging for general claims, The Annals of Probability, Vol. 23, No.2, 605-628.

Schweizer, M. (1994).Approximating random variables by stochastic integrals. The Annals of Probability Vol. 22, 1536-1575.