Environnement générique pour la validation de simulations médicales

HAL Id: tel-00793236

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00793236v3

Submitted on 10 Sep 2013

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Aurélien Deram

To cite this version:

Aurélien Deram. Environnement générique pour la validation de simulations médicales. Médecine humaine et pathologie. Université de Grenoble, 2012. Français. �NNT : 2012GRENS022�. �tel- 00793236v3�

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE

Spécialité : Modèles, méthodes et algorithmes pour la Biologie, la Santé et l'environnement

Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par

« Aurélien DERAM »

Thèse dirigée par « Yohan PAYAN » codirigée par « Emmanuel PROMAYON »

préparée au sein du Laboratoire Techniques de l’Ingénierie Médicale et de la Complexité - Informatique, Mathématiques et Applications de Grenoble

dans l'École Doctorale d’Ingénierie pour la Santé, la Cognition et l’Environnement

Environnement Générique pour la Validation de Simulations

Médicales

Thèse soutenue publiquement le « 23 octobre 2012 », devant le jury composé de :

M. François FAURE

Professeur, Université Joseph Fourier, Président M. Stéphane COTIN

Directeur de recherche, INRIA Lille, Rapporteur M. François GOULETTE

Professeur, Mines Paristech, Rapporteur M. Michel ROCHETTE

Docteur, ANSYS, Examinateur M. Yohan, PAYAN

Directeur de recherche, CNRS, Directeur de Thèse M. Emmanuel, PROMAYON

Maître de Conférences, Université Joseph Fourier, Co-Directeur de thèse Université Joseph Fourier / Université Pierre Mendès France /

Université Stendhal / Université de Savoie / Grenoble INP

Je tiens tout d'abord à remercier les membres de mon jury : mes rapporteurs François Goulette et Stéphane Cotin, pour leur lecture approfondie de mon manuscrit et leurs suggestions ; Michel Rochette, pour ses questions pertinentes sur mon travail et François Faure, pour avoir accepté le rôle de président du jury.

Je souhaite également exprimer ma reconnaissance envers mes deux directeurs de thèse, Yohan et Mahnu, qui m'ont accompagné durant ces trois années de thèse.

Merci pour vos conseils, vos idées, et votre disponibilité.

Ce travail n'aurait pas été tout à fait le même sans CamiTK. Merci à tous ceux qui ont contribué au projet et également à ceux qui contribueront à son développement futur.

Je remercie aussi Vincent pour son aide précieuse sur le travail réalisé sur LASTIC.

Je tiens à remercier chaleureusement l'ensemble des membres de l'équipe GMCAO qui participent à sa convivialité légendaire et permettent d'évoluer dans un cadre de travail des plus agréable. Merci donc à tous les permanents, ingénieurs, doctorants, post-doctorants et stagiaires qui se sont succédé ces trois années.

Je remercie en particulier ma co-bureau Adeline pour sa bonne humeur quo- tidienne et je l'encourage pour cette année pleine d'articles, de conférences et de rédaction de thèse.

Je remercie également mes diérents partenaires de coinche. J'espère que, forts de mon instruction, ils continueront à jouer petit coeur pour annoncer la dame de carreau.

Merci à ma famille, à mes amis et bien sûr à Laurie qui a pris le temps de corriger l'orthographe de ce document et de me confectionner plein de petits fours pour le pot.

Enn, je remercie en vrac les PhDcomics pour nous faire toujours autant rire, le don du sang pour ses bâtonnets de chorizo, la correction du bug 147 et bien sur toi lecteur, pour l'intérêt que tu portes à ce travail.

1 Introduction 1

1.1 Simulations médicales . . . 1

1.2 Enjeux de la thèse . . . 2

1.3 Organisation du manuscrit . . . 3

2 Modélisation des tissus mous : vérication, validation et compara- ison de méthodes 5 2.1 Introduction . . . 5

2.1.1 Simulation chirurgicale des tissus mous : vue d'ensemble . . . 5

2.1.2 Cycle de modélisation et méthodes de Vérication et Validation 8 2.1.3 Organisation du chapitre. . . 10

2.2 Les modèles de tissus mous . . . 11

2.2.1 Introduction. . . 11

2.2.2 Modèles physiques continus . . . 12

2.2.3 Modèles physiques discrets. . . 19

2.2.4 Schémas d'intégration temporelle . . . 20

2.2.5 Les plateformes de simulation . . . 21

2.2.6 Conclusion . . . 24

2.3 Vérication et Validation des modèles de tissus mous . . . 25

2.3.1 Verication . . . 25

2.3.2 Validation . . . 29

2.3.3 Analyse de la sensibilité aux paramètres . . . 36

2.3.4 Prise en compte des incertitudes . . . 36

2.3.5 Les métriques de comparaison . . . 42

2.4 Conclusion. . . 50

3 Vers un environnement générique de comparaison 53 3.1 Introduction . . . 53

3.1.1 Objectifs . . . 54

3.1.2 Propositions. . . 55

3.1.3 Organisation du chapitre. . . 56

3.2 Description générique. . . 56

3.2.1 Les descriptions génériques basées sur XML . . . 57

3.2.2 Notre représentation . . . 61

3.3 Environnement de comparaison MML . . . 69

3.3.1 Utilisation des descriptions génériques . . . 69

3.3.2 Plug-ins pour les moteurs de simulation . . . 71

3.3.3 Base de données de références . . . 73

3.3.4 Métriques de comparaison . . . 76

3.3.5 Implémentation . . . 78

3.4 Applications basées sur l'environnement MML. . . 79

3.4.1 Benchmark . . . 80

3.4.2 Benchmark-GUI . . . 80

3.4.3 ParamExplorer . . . 82

3.4.4 Intégration à CamiTK . . . 82

3.5 Conclusion. . . 84

4 Application à des expériences de validation et de comparaison de modèles 87 4.1 Introduction . . . 87

4.2 Expériences de validation . . . 88

4.2.1 Comparaisons avec une expérience de compression d'un cube 88 4.2.2 Comparaison avec des données post-opératoires . . . 94

4.3 Comparaison entre modèles : modélisation du phénomène du brain-shift 99 4.3.1 Le phénomène du brain-shift . . . 99

4.3.2 De l'image IRM au modèle spécique du patient . . . 100

4.3.3 La simulation avec ANSYS comme référence pour la compara- ison . . . 101

4.3.4 Comparaison de modèles implémentés sur des plateformes dif- férentes . . . 103

4.4 Conclusion. . . 107

5 Caractérisation des tissus : analyse et optimisation du modèle d'un dispositif d'aspiration 109 5.1 Introduction . . . 110

5.2 Dispositifs existants pour la caractérisation in-vivo . . . 110

5.2.1 Méthodes d'indentation . . . 111

5.2.2 Méthodes d'aspiration . . . 113

5.2.3 Élastographie . . . 114

5.2.4 Conclusion sur les dispositifs de caractérisation . . . 115

5.3 Le dispositif LASTIC. . . 118

5.3.1 Présentation du dispositif . . . 118

5.3.2 Modélisation de l'aspiration et récupération des paramètres du tissu . . . 118

5.3.3 Performances . . . 119

5.3.4 Amélioration du modèle éléments nis . . . 120

5.4 Utilisation de l'environnement MML . . . 122

5.4.1 Description générique . . . 122

5.4.2 Automatisation des analyses de sensibilité . . . 122

5.5 Tests sur la géométrie . . . 123

5.5.1 Inuence du maillage . . . 123

5.5.2 Épaisseur et conditions sur la base du tissu . . . 128

5.5.3 Comparaisons avec un modèle 3D . . . 136

5.5.4 Arrondi de la pipette . . . 136

5.6 Tests sur les conditions aux limites et chargements . . . 138

5.6.1 Conditions sur les n÷uds de la base . . . 140

5.6.2 Inuence du dispositif sur le tissu . . . 140

5.6.3 Frottements entre le dispositif et le tissu . . . 141

5.6.4 Poids du tissu . . . 141

5.7 Conclusion. . . 148

6 Conclusion et perspectives 151 6.1 Récapitulatif des contributions . . . 151

6.1.1 Vérication et validation des modèles de tissus mous . . . 151

6.1.2 Descriptions génériques . . . 151

6.1.3 Environnement de comparaison MML . . . 152

6.1.4 Caractérisation in-vivo des propriétés mécaniques des tissus mous . . . 153

6.2 Perspectives . . . 153

6.2.1 Descriptions génériques . . . 153

6.2.2 Environnement de comparaison MML . . . 154

6.2.3 Caractérisation in-vivo des propriétés mécaniques des tissus mous . . . 155

6.3 Publications associées à cette thèse . . . 156

A Diagramme de classes UML 157 A.1 UML . . . 157

A.2 Diagramme de classes UML . . . 157

A.2.1 Classes et objets . . . 157

A.2.2 Associations. . . 158

A.2.3 Héritage et classes abstraites . . . 159

Bibliographie 161

Introduction

Sommaire

1.1 Simulations médicales . . . . 1 1.2 Enjeux de la thèse . . . . 2 1.3 Organisation du manuscrit . . . . 3

L'utilisation de l'outil informatique dans le domaine médical a conduit à un grand nombre d'avancées permettant de réduire le traumatisme des opérations, la durée d'hospitalisation et les risques d'erreurs. On peut citer, par exemple, les systèmes de guidage d'instruments qui aident le chirurgien à atteindre une cible précise. Une autre application intéressante est l'usage de bras robotisés pouvant assister la main humaine voire palier ses éventuelles imprécisions. La simulation a fait également son entrée au plus près du champ opératoire. L'adaptation des méthodes de l'ingénierie mécanique traditionnelle à la simulation médicale et l'augmentation de la puissance des ordinateurs ont permis l'élaboration de nombreux modèles complexes tentant de décrire le comportement mécanique des structures anatomiques.

1.1 Simulations médicales

Les simulations peuvent aider les praticiens de diverses manières.

A l'instar des simulateurs de vols pour les pilotes, les simulateurs pour l'ap- prentissage en chirurgie permettent aux praticiens de s'entraîner sur des opérations requérant des gestes complexes. Ils orent ainsi une alternative intéressante aux tech- niques classiques d'entraînement sur animal, cadavre ou dispositifs synthétiques. De nombreuses entreprises commercialisant ce type de simulateurs sont apparues ces dernières années. On peut citer par exemple Simsurgery¹, Virtamed², ou Digital Trainers³.

Les simulateurs pour l'aide à la planication du geste chirurgical permet- tent de visualiser, de manière virtuelle, l'eet d'une opération avant qu'elle ait lieu.

Il est ainsi possible d'envisager plusieurs stratégies opératoires et de vérier si l'acte permettra d'obtenir l'eet escompté.

1. http://www.simsurgery.com/

2. http://www.virtamed.com/

3. http://www.digital-trainers.com/

Les simulateurs per-opératoires fournissent des informations supplémen- taires au praticien pendant la chirurgie. Ils peuvent permettre, par exemple, de compenser la déformation d'un organe par rapport à la conguration qu'il avait dans des images prises avant l'opération.

En pratique, pour être utilisés dans un contexte chirurgical, ces simulateurs né- cessitent une modélisation précise des structures anatomiques humaines, avec un enjeu particulier pour le cas des tissus mous. En eet, la modélisation biomécanique est dans ce cas très complexe du fait du comportement non-linéaire, anisotropique et inhomogène des tissus. Cette thèse s'inscrit dans cette problématique de modéli- sation et de simulation des tissus mous pour des applications médicales.

1.2 Enjeux de la thèse

Les modèles de tissus mous existants dièrent de par leurs fondements mathéma- tiques, les hypothèses simplicatrices choisies et leurs méthodes d'implémentation.

Le choix d'une technique de modélisation, d'une hypothèse ou d'une implémenta- tion particulière dépend de l'application médicale visée et du compromis nécessaire entre vitesse de calcul et précision des résultats. Par exemple, un simulateur pour l'apprentissage peut faire des concessions vis à vis de la précision (à condition que le comportement reste réaliste) mais doit répondre en temps réel aux interactions avec l'utilisateur. Un simulateur pour la planication, au contraire, nécessite des calculs de déformations très précis et spéciques au patient, mais n'est pas handicapé par un temps d'attente de plusieurs minutes. Il est donc nécessaire de pouvoir com- parer ces diérentes approches de modélisation en termes d'ecacité calculatoire et de précision. Or, il se trouve que cette comparaison entre modèles est rendue très dicile par l'hétérogénéité des techniques de modélisation et implémentations disponibles.

Si l'on souhaite que les cliniciens basent une partie de leurs décisions (diagnostic et/ou traitement) sur des résultats fournis par des modèles biomécaniques, il devient impératif de s'assurer que ces modèles sont proches de la réalité. De ce fait, la val- idation des modèles, c'est-à-dire la certication que les résultats des simulations seront susamment proches de la réalité, est une étape cruciale dans un contexte d'application clinique. La validation est un processus complexe nécessitant un nom- bre important de tests de comparaisons, notamment avec d'autres simulations voire avec des expériences sur de véritables tissus. La diculté de ces comparaisons entre données hétérogènes couplée à la diculté de réaliser concrètement des expériences sur tissus humains font que les validations de modèles ne sont souvent que partielles.

Dans le cadre des simulations pour l'aide à la planication du geste ou pour des simulations per-opératoires, on ne peut a priori garantir que le modèle décrira correctement le comportement des tissus. En eet, les modèles se doivent dans ces cas d'être patient-spéciques car il est reconnu que les propriétés mécaniques des

tissus varient d'un individu à l'autre. Il apparaît alors nécessaire de pouvoir carac- tériser les propriétés mécaniques spéciques aux tissus du patient. En parti- culier, l'usage de simulations pendant l'acte chirurgical implique de devoir réaliser des estimations in-vivo de la mécanique des organes, ce qui amène de nouvelles contraintes comme la nécessité de stériliser le dispositif utilisé pour la sollicitation des tissus ou le besoin d'une estimation très rapide des lois de comportements de ces tissus.

1.3 Organisation du manuscrit

Le manuscrit commence par la description du contexte de travail. Le chapitre 2 présente d'abord une vision d'ensemble des méthodes de la littérature utilisées pour modéliser la déformation des tissus mous. Il décrit ensuite les principes inhérents à une démarche rigoureuse de vérication et de validation. Les principes généraux de cette démarche sont illustrés d'exemples de la littérature focalisés sur les modèles de tissus mous.

Le chapitre 3 regroupe nos contributions sur les problématiques de comparaison et de validation de modèles. Nous y présentons une description générique pour les éléments constitutifs d'une simulation ainsi que pour les résultats (données suivies pendant une simulation ou mesures expérimentales). Ces descriptions permettent d'unier les entrées et sorties des algorithmes de déformations des tissus et facilitent leurs comparaisons. Elles sont utilisées au sein d'un environnement de comparaison facilitant l'automatisation des tâches et dont les fondements sont détaillés dans la deuxième partie de ce chapitre.

La pertinence des solutions proposées est illustrée dans le chapitre 4 sur une série d'expériences de validations et de comparaisons de modèles.

Le chapitre 5 présente nos contributions concernant la caractérisation des tis- sus. Il débute par un état de l'art des dispositifs qui permettent la caractérisa- tion in-vivo des propriétés mécaniques des tissus. L'environnement de comparaison présenté au chapitre 3 est ensuite utilisé pour étudier l'inuence des paramètres et hypothèses de modélisation d'un modèle d'aspiration de tissu utilisé dans un disposi- tif de caractérisation. Cette étude permet une validation quantitative des hypothèses de modélisation et propose de nouvelles pistes pour l'amélioration des prédictions du dispositif.

Le chapitre 6, faisant oce de conclusion, récapitule les contributions et propose des perspectives de travail futur.

Modélisation des tissus mous : vérication, validation et comparaison de méthodes

Sommaire

2.1 Introduction . . . . 5

2.1.1 Simulation chirurgicale des tissus mous : vue d'ensemble . . . 5

2.1.2 Cycle de modélisation et méthodes de Vérication et Validation 8 2.1.3 Organisation du chapitre . . . . 10

2.2 Les modèles de tissus mous . . . 11

2.2.1 Introduction . . . . 11

2.2.2 Modèles physiques continus . . . . 12

2.2.3 Modèles physiques discrets . . . . 19

2.2.4 Schémas d'intégration temporelle . . . . 20

2.2.5 Les plateformes de simulation . . . . 21

2.2.6 Conclusion . . . . 24

2.3 Vérication et Validation des modèles de tissus mous . . . 25

2.3.1 Verication . . . . 25

2.3.2 Validation . . . . 29

2.3.3 Analyse de la sensibilité aux paramètres . . . . 36

2.3.4 Prise en compte des incertitudes . . . . 36

2.3.5 Les métriques de comparaison. . . . 42

2.4 Conclusion . . . 50

2.1 Introduction

2.1.1 Simulation chirurgicale des tissus mous : vue d'ensemble Selon l'application choisie, une simulation chirurgicale peut être basée sur les données d'un patient ou sur des données génériques ou moyennes. Par exemple, un simulateur pour l'apprentissage d'un geste peut utiliser des données qui ne représen- tent pas un patient en particulier alors qu'un simulateur utilisé pour le diagnostic, le

planning ou durant une opération devra utiliser les données spéciques du patient.

De manière générale, simuler une opération chirurgicale spécique à un patient peut se répartir selon les étapes suivantes (Figure 2.1) :

(a) l'acquisition de la géométrie du patient, (b) la segmentation de ces données,

(c) la reconstruction en 3 dimensions de la géométrie segmentée,

(d) la mesure ou l'estimation des paramètres mécaniques des tissus concernés, (e) l'application d'un algorithme de déformation (utilisant les paramètres mé-

caniques estimés) à la géométrie obtenue,

(f) la gestion éventuelle des interactions (collisions entre organes, eet des outils dans le cadre d'un simulateur pour l'apprentissage par exemple),

(g) la gestion éventuelle du retour de force,

(h) la simulation avec suivi des quantités d'intérêt.

Dans le cas d'une application non spécique à un patient les étapes (a) à (d) peuvent être remplacées par l'utilisation de données génériques pouvant provenir d'un atlas.

L' acquisition de la géométrie du patient se fait le plus souvent, via des examens d'imagerie médicale. Il existe diérents types d'imageries permettant d'ac- quérir des données. On peut citer par exemple les ultrasons, la médecine nucléaire, le CT-scan (Computed tomography, aussi appelé communément scanner) et l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Chaque modalité d'imagerie a sa résolution spé- cique et impactera donc directement la précision du modèle généré. Les méthodes d'imagerie les plus utilisées sont le CT-scan et l'IRM. Ces deux techniques permet- tent d'obtenir des images qui ont chacune leurs particularités, rendant ainsi les deux méthodes complémentaires. Le CT-scan permet de repérer facilement les matériaux durs (comme les os) par rapport aux tissus mous car le contraste est fort entre les deux. De façon complémentaire, l'IRM permet d'obtenir un bon contraste entre les diérents types de tissus mous (Figure 2.1.a).

La segmentation des données consiste en la récupération et la classication des voxels de l'image faisant partie des structures d'intérêt (Figure 2.1.b). Il existe diérents moyens de parvenir à ce résultat. Les méthodes les plus courantes se basent entre autres sur le seuillage des niveaux de gris de l'image, sur les régions, ou encore sur la classication des voxels.

La reconstruction en 3 dimensions permet d'obtenir un modèle géométrique 3D visualisable dans une application de réalité virtuelle. Ce modèle géométrique est en général un maillage surfacique, c'est-à-dire une discrétisation de la surface en triangles ou quadrangles (Figure 2.1.c). Pour parvenir à un tel résultat on peut par exemple utiliser l'algorithme marching cubes [Lorensen & Cline 1987].

Si l'on veut que les déformations prédites par la simulation soient conformes à la réalité du patient, il est nécessaire d'appliquer les paramètres mécaniques des

Figure 2.1 Simulation chirurgicale des tissus mous

tissus du patient au modèle de déformation (Figure 2.1.d). La mesure ou l'estima- tion des paramètres mécaniques pendant l'opération restent des problèmes ouverts (voir section 5.2).

L'objectif étant de prédire les déformations des tissus, un algorithme de dé- formation est appliqué à la géométrie obtenue. Ces algorithmes sont nombreux et en constante évolution (voir section2.2). Les méthodes les plus courantes (méthode masse-ressorts et méthodes basées sur les équations de la mécanique des milieux continus résolues numériquement par la méthode des éléments nis) nécessitent la conversion du maillage surfacique en un maillage volumique (Figure2.1.e).

Si le tissu suivi n'est pas seul dans la simulation, il est nécessaire de gérer les interactions de ce tissu avec les organes environnants ou les outils manipulés par l'utilisateur (dans le cas d'une simulation interactive où l'utilisateur peut directe- ment agir sur la simulation). Les collisions doivent alors être détectées et traduites de façon adéquate pour le modèle, par exemple en appliquant une force ou en pra- tiquant une découpe du tissu (Figure 2.1.f).

Dans le cas d'une simulation interactive, il est intéressant d'inclure un retour de force an de renforcer le réalisme. Le retour de force consiste à non seulement prendre en compte l'eet de l'utilisateur sur le modèle déformable mais aussi à transmettre la force exercée par le tissu simulé sur l'utilisateur (Figure2.1.g). Cette transmission se fait par le biais de moteurs situés sur le manipulateur manié par l'utilisateur. Le retour de force permet, par exemple, à l'utilisateur de ressentir le fait de toucher un organe ou de s'enfoncer dans un matériau plus ou moins élastique.

La boucle de simulation consiste à déterminer les nouvelles valeurs des quantités d'intérêt (par exemple, positions des n÷uds du maillage ou forces) à chaque pas de temps, en fonction des interactions mises en jeu, des modèles de déformation choisis et des conditions aux limites (Figure 2.1.h).

2.1.2 Cycle de modélisation et méthodes de Vérication et Vali- dation

L'adaptation des méthodes de l'ingénierie mécanique traditionnelle vers la sim- ulation médicale a permis l'élaboration de nombreux modèles qui tentent de décrire le comportement mécanique des tissus. Le processus permettant d'obtenir un pro- gramme informatique capable de prédire le comportement des tissus est appelé cycle de modélisation. La première phase de tout processus de modélisation consiste en l'étude de la réalité d'intérêt pour tenter de la décrire sous forme d'équations math- ématiques (Figure 2.2). Le modèle ainsi obtenu est appelé modèle mathématique.

Ce modèle mathématique contient toutes les hypothèses nécessaires pour décrire le modèle de déformation, les conditions initiales et les conditions aux limites.

Le but étant de simuler les comportements de tissus sur un ordinateur, le modèle mathématique est ensuite converti en un modèle numérique exécutable. Le modèle numérique est l'implémentation du modèle mathématique. Par exemple, en biomé-

Figure 2.2 Cycle de modélisation

canique, la manière la plus naturelle d'obtenir une description mathématique est d'utiliser les lois de la mécanique des milieux continus (voir section 2.2.2.1). On peut ensuite utiliser une méthode de résolution numérique dont l'une des plus pop- ulaires est la méthode des éléments nis (voir section2.2.2.2). Le modèle numérique n'étant que l'implémentation du modèle mathématique, il contient lui-même toutes les hypothèses de modélisation de ce dernier. Le terme modèle utilisé seul dans la suite du manuscrit désignera le modèle numérique, c'est-à-dire l'ensemble des hy- pothèses de modélisation, les équations mathématiques, leur résolution numérique et le code exécutable correspondant.

Des erreurs peuvent apparaître à chaque étape du processus de modélisation.

Lors de l'écriture du modèle mathématique, il est nécessaire de faire des hypothèses.

De plus, selon l'application désirée, le temps de résolution du modèle numérique peut être un critère important. La réduction de ce temps de résolution peut en- trainer une nécessité de simplication du modèle mathématique sous-jacent et donc être source d'erreurs supplémentaires. Le passage du modèle mathématique au mod- èle numérique introduit également des sources potentielles d'erreurs (discrétisation spatiale et temporelle ou erreurs de code).

Quel que soit le domaine d'application d'un modèle, il est nécessaire d'avoir un certain degré de conance vis-à-vis des résultats numériques de simulation. Pour ce faire, il faut des méthodes permettant de quantier les erreurs commises. Ces méthodes, reprises dans un certain nombre d'articles [Roache 1998, ASME 2006, Oberkampf et al. 2004, Cafeo & Thacker 2004, Sargent 2005] sont connues sous le nom de méthodes de Vérication et Validation (V&V). La vérication est le processus permettant de déterminer si le modèle numérique résout précisément le modèle mathématique choisi tandis que la validation est le processus permettant de déterminer à quel point le modèle numérique est une représentation précise du prob- lème réel simulé. En résumé la vérication permet de vérier si le modèle numérique résout correctement les équations ( solving the equations right [Roache 1998])

Figure 2.3 Cout et valeur ajoutée du modèle en fonction du degré de conance [Sargent 2005]

et la validation vérie s'il est basé sur les bonnes équations ( solving the right equations [Roache 1998]). La V&V ne peut pas prouver qu'un modèle est correct et précis pour toutes les conditions et applications possibles, notamment pour les simulations concernant les sciences naturelles [Oreskes et al. 1994]. La V&V fournit des preuves que le modèle a atteint un certain niveau de précision. C'est donc un processus qui s'exécute en boucle jusqu'à ce que la précision voulue soit atteinte [Thacker 2003, Sargent 2005]. La V&V peut donc être très coûteuse en termes de temps et d'argent, notamment pour les applications nécessitant un très haut degré de précision comme la simulation médicale [Sargent 2005] (gure2.3).

Or, dans ce domaine, la V&V est cruciale. En eet, il faut atteindre un très haut degré de certication des modèles si l'on souhaite que les cliniciens se basent sur des résultats de simulation pour proposer un diagnostic ou un traite- ment. La quantication et la prise en compte des erreurs dans les simulations sont devenues incontournables en biomécanique comme le montre le nombre crois- sant de journaux scientiques qui demandent un certain degré de vérication et de validation (voir par exemple l'éditorial de [Viceconti et al. 2005] dans Clin- ical Biomechanics) ainsi que par l'apparition de récents états de l'art concer- nant ce problème [Anderson et al. 2007, Auer & Luther 2008, Schmidt et al. 2009, Henninger et al. 2010,Erdemir et al. 2012].

2.1.3 Organisation du chapitre

La section2.2décrit les principaux modèles utilisés pour la simulation des tissus mous. Elle montre les modèles mathématiques et les techniques les plus courantes pour passer au modèle numérique. Diérentes plateformes de simulation où le code de ces modèles peut être trouvé sont ensuite présentées.

Les principes généraux de Vérication et Validation sont ensuite présentés à la section 2.3 ainsi que les méthodes eectives utilisées dans le cadre des modèles de tissus mous.

2.2 Les modèles de tissus mous

2.2.1 Introduction

Cette section présente les modèles mathématiques les plus utilisés pour décrire le comportement des tissus mous dans le domaine de la simulation médicale. Elle présente également les techniques les plus utilisées pour passer au modèle numérique exécutable sur un ordinateur. Cette présentation se veut non exhaustive mais est utile pour la compréhension de la suite du document. Pour une vision plus large des modèles existants et de leurs applications en simulation médicale, le lecteur pourra se reporter par exemple aux articles bibliographiques [Nealen et al. 2006]

et [Meier et al. 2005] ainsi qu'au chapitre 3 de [Schill 2001] et au chapitre 2 de [Marchal 2006].

2.2.1.1 Logique physique ou descriptive

Les modèles de déformation peuvent être basés sur une logique physique ou descriptive.

Les modèles physiques sont basés sur les équations de la physique et tentent de décrire le fonctionnement interne du phénomène modélisé. Si ce fonctionnement est bien compris et modélisé, alors le comportement du modèle sera proche de la réalité. La précision de ces modèles repose donc sur la compréhension du phénomène et la précision de la résolution.

Les modèles descriptifs, quant à eux, tentent de reproduire directement le com- portement du phénomène. Ils ne nécessitent pas une compréhension du fonction- nement du phénomène modélisé. Leur précision dépend des compétences du con- cepteur et de l'optimisation des paramètres du modèle pour se rapprocher le plus possible de la réalité.

Dans le contexte de la simulation médicale, les modèles physiques sont les plus utilisés. En eet, même si un modèle descriptif a été testé sur un ensemble d'ex- périences de validation, rien ne peut armer que leurs prédictions seront correctes en dehors de ce champ d'expériences, le modèle ne reposant pas sur un processus physique reproductible.

Nous faisons le choix de ne présenter dans cette section que des modèles physiques.

2.2.1.2 Représentation Lagrangienne ou Eulérienne

Deux représentations sont envisageables pour décrire un objet déformable : La représentation Lagrangienne identie les particules par leur position à un

instant donné, c'est-à-dire qu'on suit les mêmes particules au court du temps.

La représentation Eulérienne caractérise la particule qui est à une position donnée à un instant donné : au lieu de suivre l'évolution des particules in-

dépendamment, le champ d'observation est xe et on observe les particules qui passent par ce champ au cours du temps.

La représentation Eulérienne est peu adaptée à l'étude des tissus mous mais est employée pour la description des uides. Dans la suite, nous utilisons uniquement la représentation Lagrangienne.

2.2.1.3 Type de modèles

Pour la simulation des tissus mous, la plupart des modèles physiques utilisés peuvent être regroupés en deux catégories :

Les modèles physiques continus. Ils sont purement basés sur la logique physique, c'est-à-dire que leur modèle mathématique repose sur la connais- sance des processus physiques de déformation des milieux continus. Le passage des équations de la mécanique des milieux continus à un modèle numérique se fait par une méthode de résolution, la plus connue étant la méthode des éléments nis (voir section2.2.2.2).

Les modèles physiques discrets. Ils reposent sur une discrétisation du mod- èle dès la formulation mathématique. Ces modèles, bien que toujours basés sur des processus physiques reproductibles, sont plus descriptifs que les modèles continus.

2.2.2 Modèles physiques continus

2.2.2.1 Notions de mécanique des milieux continus

Cette section a pour but de présenter brièvement les principes et notations qui sont utilisés par la suite. Pour une présentation plus approfondie des principes de la mécanique des milieux continus, le lecteur pourra se reporter à un des nombreux ouvrage sur le sujet, par exemple [Reddy 2008].

Déplacements

Lors d'une déformation d'un corps, chaque point dont la position initiale est donnée par le vecteur x0 se retrouve à une position x. Le déplacement u(x) pour ce point correspond au vecteur entre la position déformée et la position au repos, u(x) =x−x0 (Figure 2.4).

Déformation

Un corps qui est juste translaté, c'est-à-dire dont le déplacement est le même en tout point, ne subit pas de déformation. Les déformations en un point sont dues aux variations du champ des déplacements autour de ce point ; on peut donc les caractériser en utilisant le gradient du champ des déplacements. Le choix classique pour caractériser les déformations en un point est le tenseur de Green-Lagrange

Figure 2.4 Champ des déplacements lors de la déformation.

déni par :

ε_G= 1

2(∇u+ [∇u]^T + [∇u]^T∇u) (2.1) et sa version linéaire, aussi appelée tenseur de déformation de Cauchy :

ε_C = 1

2(∇u+ [∇u]^T) (2.2)

Pour des déplacements faibles, le terme [∇u]^T∇u peut en eet être négligé (hy- pothèse de linéarité géométrique), ce qui permet de réduire la diculté du calcul.

Contraintes

La contrainte est une variable homogène à une pression qui caractérise les actions mécaniques exercées sur la matière pour un point donné et une direction donnée.

Les contraintes en un point sont en général caractérisées par un tenseur d'ordre 2 (matrice 3 ×3) appelé tenseur des contraintes et notéσ.

Loi de comportement

La loi de comportement d'un matériau caractérise sa réponse aux sollicitations extérieures. Cette loi est une relation reliant les contraintesσ aux déformations ε:

σ =f(ε) (2.3)

Nous traitons ici principalement les comportements élastiques. Pour des informa- tions supplémentaires sur d'autres comportements, le lecteur pourra se reporter par exemple sur [Fung 1993].

L'élasticité (Figure 2.5) est un comportement beaucoup utilisé car il corre- spond à celui de beaucoup de matériaux déformables. Par dénition, un matériau élastique qui a été déformé regagne la conguration initiale une fois les forces ex- térieures disparues. De plus sa forme ne dépend pas de l'historique des déformations, chaque point revient à sa conguration initiale en suivant le même chemin que lors de la déformation initiale.

Figure 2.5 Loi de comportement élastique. L'approximation linéaire (en rouge) est valable pour les petites déformations.

L'élasticité linéaire est une simplication de l'élasticité. Dans un tel matériau les contraintes évoluent linéairement avec les déformations. L'approxima- tion linéaire est en général assez proche de la réalité pour un matériau élastique si les déformations restes petites (Figure2.5).

Du fait de sa simplicité, la loi de Hooke est une loi de comportement souvent util- isée pour décrire les matériaux linéaires. Pour pouvoir utiliser cette loi, le matériau doit également être considéré comme isotrope (même comportement dans toutes les directions). La loi de Hooke est donnée par :

[σ] = 2µ[ε] +λT r([ε])[I] (2.4) [I]est la matrice identité etT r l'opérateur de trace.λetµsont appelés coecients de Lamé. Une autre écriture fait intervenir deux paramètres plus souvent utilisés en mécanique car plus simples à interpréter : le module d'Young E et le coecient de Poisson ν.E, exprimé en Pascal caractérise la rigidité du matériau : plusE est élevé plus le matériau est rigide. ν, sans unité, caractérise la compressibilité. ν est toujours inférieur à 0,5 : plus ce coecient est proche de 0,5 et plus le comportement du matériau se rapproche de l'incompressibilité. La loi de Hooke avec ces paramètres s'écrit :

[σ] = E 1 +ν

[ε] + ν

1−2νT r([ε])[I]

(2.5)

L'hyper-élasticité : Dans le cas général de l'élasticité non linéaire, on ne sait pas trouver la relation entre déformation et contrainte. On peut alors faire l'hy- pothèse de l'hyperélasticité. Un matériau est hyperélastique s'il existe une fonction d'énergie potentielle W telle que le tenseur de contraintes dérive de cette énergie :

σ = ∂W

∂ε (2.6)

Figure 2.6 Comportement visco-élastique.

La loi Neo-Hooke est une loi de comportement hyper-élastique simple qui suppose la fonction d'énergie potentielle élastique suivante :

W =C10( ¯I1−3) +D1(J−1)² (2.7) avecC₁₀= _1+ν^E ,D₁= ₆₍₁^E_−2ν),I¯₁= 2T r([ε]) + 3etJ =p

det(2[ε] +I).J = 1 pour un matériau incompressible. D'autres lois hyper-élastiques peuvent être utilisées.

Par exemple, une autre loi souvent utilisée pour les matériaux du vivant est la loi Mooney-Rivlin [Mooney 1940].

La visco-élasticité (Figure2.6) est caractérisée par le fait que la relation entre contraintes et déformations est dépendante du temps. La réponse à une contrainte dépend de la vitesse à laquelle celle-ci est appliquée. Une particularité des matériaux visco-élastiques est que ceux-ci reviennent à leur état de repos en suivant un chemin diérent de celui de la phase de chargement (Phénomène d'hystérésis).

La plasticité (Figure 2.7) décrit la déformation irréversible d'un matériau.

Après une déformation trop importante, un matériau plastique revient à une autre position d'équilibre que l'état initial.

Modèle mathématique

Le modèle mathématique permettant de déterminer les déplacements est donné par l'ensemble d'équations suivant :

Loi de comportement : σ =f(ε)

La relation entre déformations et déplacements : ε =g(u) correspondant au choix du tenseur de déformation (linéaire ou non).

Équation d'équilibre local :div([σ]) +fextv =ρu¨

avec fextv le champ des forces volumiques extérieures et ρ la masse volumique. Le second terme de l'équation d'équilibre est nul dans le cas statique. Dans la plupart des cas, il n'est pas possible de trouver de solution analytique du problème. C'est

Figure 2.7 Comportement plastique

pour cela que des méthodes de résolution numérique sont utilisées an de passer de ce modèle mathématique à un modèle numérique exécutable sur un ordinateur. La méthode de résolution la plus utilisée pour la simulation des tissus mous, la méthode des éléments nis, est présentée à la section suivante. Les modèles de déformations basés sur la mécanique des milieux continus et une méthode de résolution sont souvent désignés uniquement par le nom de cette méthode par abus de langage. Par exemple, on utilise le terme modèles éléments nis pour désigner les modèles de déformations résolvant les équations mécaniques par la méthode des éléments nis. Par souci de concision, nous utilisons également ce vocabulaire dans la suite du manuscrit.

2.2.2.2 Méthodes des éléments nis Principe

La méthode des éléments nis (MEF) permet d'obtenir une solution approchée d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode utilisée sur les équations de la mécanique des milieux continus permet d'obtenir une solution approchée des dé- placements du milieu continu considéré. L'idée de la méthode des éléments nis est de discrétiser l'objet en un nombre ni d'éléments sur lesquels les équations aux dérivées partielles pourront être résolues. Cette discrétisation constitue générale- ment un maillage. Les éléments sont des formes géométriques simples (par exemple, triangles ou quadrangles pour les problèmes 2D, tétraèdres ou hexaèdres pour les problèmes 3D) dont les sommets sont appelés n÷uds. Les propriétés physiques sont continument interpolées sur chaque élément en fonction des valeurs aux n÷uds. La précision de la résolution est donc dépendante du maillage et des fonctions d'inter- polations choisies.

Une fois le maillage et les fonctions d'interpolations choisies, une résolution par éléments nis suit les étapes suivantes :

1. Approximation du déplacement des points de chaque élémenteen fonction du déplacement u^e de ses n÷uds.

2. Calcul des déformations en fonction des variables nodales.

3. Calcul des contraintes en fonction des variables nodales à l'aide de la loi de comportement.

4. Utilisation du théorème des travaux virtuels. On obtient, pour chaque élément une relation de la forme :

F^e = [K^e]u^e (2.8)

F^e représente les forces exercées sur les n÷uds de l'élément.[K^e]est appelée matrice de rigidité de l'élémente.

5. Assemblage. Cette étape consiste à sommer globalement la contribution de chaque élément de la structure.

Au nal on obtient dans le cas statique un système du type :

F= [K]u (2.9)

avec u vecteur inconnu contenant le déplacement de tous les n÷uds, K la matrice de rigidité globale obtenue à partir de l'assemblage des matrices élémentairesK^e et F l'ensemble des forces appliquées aux n÷uds du maillage.

Dans le cas dynamique le système obtenu est :

[M]¨u+ [D] ˙u+ [K]u=F (2.10) avec M matrice de masse et D la matrice d'amortissement.

La solution calculée sur les n÷uds peut ensuite être interpolée sur chaque point de l'objet.

Résolution

Dans le cas statique, si la matriceK ne dépend pas deU (linéarité géométrique), alors la résolution peut se faire par inversion de cette matrice. Les techniques d'in- versions classiques incluent la décomposition LU, QR ou de Cholesky. Des méthodes itératives peuvent aussi être utilisées comme le gradient conjugué. SiK dépend deU (non linéarité géométrique), le système est en général résolu par la méthode itérative de Newton-Raphson.

Dans le cas dynamique, le système peut être résolu à l'aide d'un schéma d'inté- gration temporelle (voir section2.2.4).

2.2.2.3 Masse-tenseurs

La méthode masse-tenseurs [Cotin et al. 2000], permet de résoudre de manière approchée un problème d'élasticité linéaire. Elle a été introduite notamment pour répondre aux problèmes des modèles éléments nis vis à vis du changement de topologie inhérent à la simulation de la découpe.

Dans un modèle masse-tenseurs la masse de l'objet discrétisé en tétraèdres est concentrée sur les n÷uds. L'équation dynamique pour l'ensemble du système simi- laire à l'équation2.10peut être découplée (les matrices[M]et[D]étant diagonales) et permet d'écrire l'équation du mouvement pour chaque particule :

m_iu¨i+d_iu˙i =Finti+Fexti (2.11) La force Finti est obtenue par dérivation de l'énergie élastique est s'exprime sous la forme :

Finti = [Kii]ui+ X

j voisin de i

[Kij]uj (2.12)

où [K_ii] représente la somme des contributions du n÷ud i à tous les éléments auxquels il appartient et [K_ij]représente les contributions des n÷uds j voisins dei. L'analogie avec la méthode masses-ressorts (voir section 2.2.3.1) a donné son nom à la méthode masse-tenseurs.

Dans sa première formulation par [Cotin et al. 2000], le modèle masse-tenseurs n'était valable que pour des déplacements faibles. [Picinbono et al. 2001] a modié la méthode pour des grands déplacements en utilisant un tenseur des déformations non linéaire et des matériaux non-linéaires.

2.2.2.4 Autres méthodes

D'autres méthodes de résolution ont été utilisées an de simuler des ob- jets déformables. On peut citer, par exemple, la méthodes des éléments fron- tières [James & Pai 1999] s'appuyant sur une discrétisation uniquement surfacique, la méthode des éléments longs [Costa & Balaniuk 2001] reposant sur une dis- crétisation en parallélépipèdes remplis de uide, la méthode des sphères nies [De & Bathe 2000] ne nécessitant pas de maillage ou la méthode Hyper Elas- tic Mass Links (HEML) [Goulette & Chendeb 2006] dans laquelle le calcul des champs de forces ne dépend que des liaisons du maillage et permettant l'utilisation de lois hyper-élastiques.

2.2.2.5 Conclusion

L'avantage des modèles continus est de se baser sur une théorie rigoureuse qui permet de garantir un certain niveau de précision des déformations simulées par rapport à la réalité. Cependant les calculs nécessaires à la résolution peuvent être très importants notamment pour les modèles faisant les hypothèses les plus faibles (non linéarité géométrique et matériau non linéaire). Ce temps de calcul peut être pénalisant pour une application interactive (simulateur pour l'apprentis- sage ou per-opératoire). Néanmoins, de nombreux travaux ont été proposés pour pallier ce problème en utilisant par exemple des pré-calculs [Cotin et al. 1996], des éléments explicites [Müller et al. 2002] ou des approches multi-résolutions

[Debunne et al. 2001].

2.2.3 Modèles physiques discrets 2.2.3.1 Masse-ressorts

Le modèle masse-ressorts est le modèle discret le plus connu et l'un des plus utilisé pour représenter les objets déformables notamment du fait de sa simplicité d'implémentation et de son ecacité calculatoire.

Dans un système masse-ressorts, la masse de l'objet déformable modélisé est discrétisée ennpoints de massemi qui sont reliés par des ressorts sans masse. À un instant t, chaque pointia une positionx_i. La force Fi en chaque point est calculée en fonction des ressorts issus du point et des autres forces extérieures. Le principe fondamental de la dynamique donne l'équation régissant le mouvement pour chaque pointi :

mix¨i =Fi (2.13)

La force Fi s'exerçant sur un point ipeut être décomposée en :

Fi =Finti+Fexti−d_ix˙i (2.14) Le terme d_ix˙i représente l'amortissement sur le point i dépendant de la vitesse de ce dernier. Fexti représente les forces extérieures au système, par exemple le poids.

Finti est la force appliquée par les autres particules sur le pointi. On a : Finti =

Xn j=1

rij (2.15)

rij est la force exercée sur le point i par le ressort situé entre les pointsi etj. Ce terme est nul si aucun ressort n'est présent entre ces points. Les ressorts les plus communément utilisés réagissent proportionnellement au déplacement par rapport à la position de repos de telle sorte que :

Finti = Xn j=1

rij = Xn j=1

xj −xi

||xj −xi||(kij(||xj−xi|| −lij)) (2.16) k_ij etl_ij sont des constantes du ressort entre les pointsietjappelée respectivement raideur du ressort et longueur à vide.

L'équation2.13représente le mouvement pour un seul point. Le mouvement des n points est donc un système de n équations qui peuvent être rassemblées en une équation :

[M]¨x+ [D] ˙x+ [K]x=Fext (2.17) x est un vecteur de taille3n qui rassemble toutes les positions des points.M,Det K sont des matrices diagonales 3n×3n qui représentent respectivement la masse,

l'amortissement et la raideur.

2.2.3.2 Autres méthodes

Le modèle masse-ressorts se place dans un cadre plus important de méth- odes discrètes appelées réseaux de particules. Dans les réseaux de particules, des énergies de déformations Ed sont dénies an de modéliser les forces élastiques [Marchal 2006, Teschner et al. 2004]. Les forces internes s'exerçant sur les partic- ules sont calculées comme des dérivées de l'énergie par rapport aux positions des particules :

Finti = ∂E_d

∂xi (2.18)

Dans le cas où E_d est liée aux distances aux particules voisines, on retrouve une formulation analogue au modèle masse-ressorts (voir équation 2.16).

2.2.3.3 Conclusion

Le principal avantage des modèles discrets par rapport aux modèles continus est leur ecacité calculatoire. Cependant, n'étant pas basés sur la mécanique des milieux continus, ces modèles sont souvent moins proches de la réalité. En particulier, il n'est pas évident de relier les constantes des modèles discrets (par exemple, la raideur des ressorts) aux propriétés mécaniques des tissus.

2.2.4 Schémas d'intégration temporelle

Le but étant de simuler le comportement des tissus, il est nécessaire d'avoir les coordonnées de chaque point au cours du temps.

Les modèles présentés dans les sections précédentes permettent d'aboutir à une équation où les positions des points au cours du temps ne sont pas données directe- ment mais implicitement :

x¨ =f( ˙x,x, t) (2.19)

où x(t) est un vecteur contenant l'ensemble des positions au temps t et f une fonction dépendant du modèle utilisé. Le plus souvent, cette équation ne peut être résolue analytiquement c'est pourquoi on utilise une intégration numérique.

Un certain pas de tempsdtétant xé, le but est de trouver une valeur approchée pour x(0),x(dt),x(2dt)... L'équation diérentielle du second ordre (2.19) peut être réécrite en un système d'équations du premier ordre :

(x˙ =v

v˙ =f(v,x, t) (2.20)

Pour trouver la valeur dex(t+dt)diérentes méthodes ou schémas d'intégration sont possibles. Si x(t+dt) ne dépend que des données au temps t, le schéma est

dit explicite. Si x(t +dt) dépend des données au temps t+dt, le schéma est dit implicite. Nous présentons ici les méthodes les plus élémentaires ; pour une vision plus large des méthodes d'intégration utilisées pour la simulation des corps déformables, le lecteur pourra se référer par exemple à [Hauth et al. 2003].

2.2.4.1 Schémas d'intégration explicites

Le schéma d'intégration le plus simple, nommé méthode d'Euler est basée sur un développement de Taylor d'ordre 1 :

(x(t+dt) =x(t) +dt v(t)

v(t+dt) =v(t) +dt f(v(t),x(t), t) (2.21) Les méthodes d'intégration explicites sont simples à implémenter et rapides au niveau du temps de calcul mais peuvent devenir instables si le pas d'intégration dt est trop grand. Cette instabilité est due au fait que la position et la vitesse sont extrapolées sans contrôle et peuvent dépasser la position d'équilibre.

D'autres méthodes plus stables que la méthode d'Euler ont été proposées, l'une des plus populaires est la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.

2.2.4.2 Schémas d'intégration implicites

Les méthodes implicites permettent de résoudre les problèmes de stabilité des méthodes explicites. Cependant, en contrepartie, elles nécessitent des calculs sup- plémentaires.

La méthode d'Euler implicite est donné par : (x(t+dt) =x(t) +dt v(t+dt)

v(t+dt) =v(t) +dt f(v(t+dt),x(t+dt), t) (2.22) 2.2.5 Les plateformes de simulation

An d'eectuer des simulations, les modèles présentés précédemment doivent être implémentés pour être exécutés sur un ordinateur. Les codes correspondants à ces modèles peuvent être trouvés sur diérentes plateformes de simulation : des logiciels commerciaux, des logiciels libres ou des logiciels ad hoc.

2.2.5.1 Logiciels commerciaux

Les logiciels commerciaux de résolution par éléments nis sont souvent utilisés dans le domaine de la simulation des tissus mous. Ils sont notamment pris comme référence pour la comparaison avec d'autres plateformes de simulation car ils s'ap- puient sur un large panel de tests de V&V.

Parmi les nombreux logiciels existants on peut citer Abaqus¹, ANSYS², et Comsol MultiPhysics³. Tous sont largement utilisés pour la simulation des tissus mous.

2.2.5.2 Logiciels libres

Des logiciels libres spécialement conçus pour la simulation biomécanique (et notamment des tissus mous) ont vu le jour ces dernières années. Ils ont l'avantage de pouvoir être modiés, ce qui permet aux chercheurs d'incorporer leurs propres algorithmes et de les comparer plus facilement à ceux déjà existants. Ces logiciels libres contiennent ainsi des algorithmes issus des toutes dernières avancées dans le domaine et encouragent le partage de données. Ils sont également plus versatiles que les logiciels commerciaux et permettent, en général, d'incorporer des algorithmes de structures diérentes (discrets ou continus). Cependant ces logiciels atteignent rarement le degré de vérication de leurs homologues commerciaux, les rendant ainsi moins ables au niveau des résultats.

Diérents logiciels libres ayant pour but la simulation médicale, et en particulier des tissus mous, sont présentés ici par ordre chronologique d'apparition des premiers articles les présentant.

GIPSI

GIPSI⁴ (General Interactive Physical Simulation Interface) [Cavusoglu et al. 2004, Çavusoglu et al. 2006] est une bibliothèque C++ open- source pour la simulation d'organes. Son développement a été motivé par la volonté de promouvoir l'échange de méthodes et la possibilité de faire cohabiter diérentes techniques de modélisation hétérogènes. La dernière mise à jour datant de 2008, il semble que ce projet ne soit plus suivi régulièrement.

ArtiSynth

ArtiSynth⁵ [Fels et al. 2006, Lloyd et al. 2012] (Figure 2.8) est une plateforme de simulation biomécanique 3D open-source développée en Java par l'University of British Columbia de Vancouver au Canada. Les modèles implémentés sont de diérents types : particules, éléments nis avec des lois de comportement linéaires et non linéaires, muscles point à point et gestion des contacts. Une interface graphique permet d'éditer les modèles et de contrôler la simulation. La plupart des applications d'ArtiSynth sont dirigées vers la modélisation de la région de la bouche (mâchoire, langue...) et des voies respiratoires.

1. http://www.3ds.com/products/simulia/portfolio/abaqus/overview/

2. http://www.ansys.com/

3. http://www.comsol.com/products/multiphysics/

4. http://gipsi.case.edu/

5. http://www.magic.ubc.ca/artisynth/

Figure 2.8 Modèle des voies respiratoires dans ArtiSynth SOFA

SOFA⁶ (Simulation Open-source Framework Architecture) [Allard et al. 2007, Faure et al. 2012] (Figure 2.9) est une bibliothèque C++ open-source pour la sim- ulation médicale interactive principalement développée par l'INRIA. Dans cette bibliothèque, les éléments nécessaires à une simulation sont décomposés en com- posants développés indépendamment et organisés dans une structure de graphe de scène. Chaque composant encapsule indépendamment un des aspects de la simula- tion comme les degrés de liberté, les forces, les équations diérentielles, les solveurs, les algorithmes de détection des collisions ou les dispositifs servant à l'interaction.

Un système de mapping permet aux diérentes représentations d'interagir entre elles (modèle déformable, modèle de collision, modèle haptique, rendu visuel). Diérents modèles de déformation sont implémentés tels que les masse-ressorts, les masse- tenseurs ou la résolution par éléments nis de problèmes d'élasticité linéaire. Des implémentations sur GPU sont également disponibles an d'exploiter la puissance des architectures modernes.

FEBio

FEBio⁷ [Maas et al. 2012] est une bibliothèque C++ open-source de résolu- tion par éléments nis spécialement dédiée aux applications biomécaniques. Elle est développée par le Musculoskeletal Research Lab de l'université de l'Utah. FEbio per- met la résolution de problèmes 3D pour les solides et les uides et supporte les anal- yses quasi-statiques et dynamiques. À l'instar des logiciels commerciaux, FEBio pos- sède un panel important de tests de vérication [Maas et al. 2009,Maas et al. 2012]

6. http://www.sofa-framework.org/

7. http://mrl.sci.utah.edu/software/febio/

Figure 2.9 Interaction avec un foie déformable dans SOFA an d'assurer que les résolutions numériques sont précises.

2.2.5.3 Logiciels ad hoc

Certains codes de modèles de tissus peuvent n'être présents que dans un logiciel ad hoc an de montrer leur bon fonctionnement. Il peut également s'agir de logiciels ou bibliothèques développées en interne dans un laboratoire ou une entreprise pour un projet particulier. Cela rend dicile leur utilisation et leur comparaison avec d'autres méthodes car il est nécessaire de porter le code en intégralité vers une autre plateforme.

2.2.6 Conclusion

Il existe de nombreux algorithmes permettant de simuler les déformations des tissus. Ils sont fondés sur des principes et des implémentations distincts ce qui entraîne des résultats diérents au niveau de la précision des simulations et du temps de calcul. Ainsi, les modèles discrets comme les modèles masse-ressorts sont réputés plus rapides au niveau des calculs mais moins précis que les modèles continus discrétisés par la méthode des éléments nis. De plus, diérentes hypothèses peuvent être faites sur les modèles (par exemple, linéarité ou non linéarité géométrique, loi de comportement élastique ou hyper-élastique, raideur des ressorts) et ont alors une inuence sur la précision et la vitesse de résolution.

Il apparait donc nécessaire de pouvoir comparer les modèles issus de diérents logiciels ou bibliothèques, en termes de précision et de temps de calcul, an de déterminer le modèle et les hypothèses les mieux adaptés pour l'application médicale souhaitée.

Figure 2.10 Cycle de modélisation et méthodes de Vérication et Validation

Cependant cette comparaison est rendue dicile part les diérences de structure entre les modèles (ressorts, maillage surfacique, maillage volumique tétraèdrique ou héxaèdrique...) et par le fait que ces modèles peuvent être implémentés sur des plateformes diérentes. C'est notamment le cas si l'on souhaite comparer les résultats de simulations provenant de code ad hoc avec un logiciel commercial.

2.3 Vérication et Validation des modèles de tissus mous

Cette partie présente le problème de V&V commun à tout processus de modéli- sation ainsi que son application dans la modélisation des tissus mous. La vérication est le processus permettant de vérier que la résolution numérique du modèle math- ématique est correcte (Figure 2.10). En particulier la vérication ne garantit en aucune façon que le modèle mathématique établi correspond bien à la réalité mais juste que les équations sont résolues susamment précisément. La validation, quant à elle, consiste à déterminer le degré de précision du modèle par rapport à la réalité.

La validation d'un modèle doit être faite après la phase de vérication. En eet, il est dicile de tester la pertinence des équations elles-mêmes ; on teste donc plutôt les résultats numériques des simulations (Figure2.10). Il faut donc s'assurer que les erreurs dues à la résolution numérique ont été préalablement écartées. Une mauvaise vérication entraîne donc une validation biaisée.

2.3.1 Verication

Solving the equations rigth [Roache 1998]

Le processus de vérication est en général divisé en deux catégories [Oberkampf & Trucano 2002, Thacker et al. 2004, ASME 2006] : la vérication de code et la vérication des calculs.

Figure 2.11 Tests de vérication 2.3.1.1 Vérication de code

La vérication de code permet de vérier que le code fonctionne comme souhaité.

Par exemple, pour un modèle utilisant la méthode des éléments nis, les sources d'erreurs peuvent être des erreurs de programmation, des approximations de l'or- dinateur ou une méthode de convergence inadaptée [Roache 1998]. La vérication de code se fait, en général, par comparaison des résultats numériques avec des so- lutions connues de problèmes simples. Les comparaisons peuvent être faites avec des solutions analytiques exactes de problèmes connus ou des solutions numériques jugées susamment précises car ayant elles-mêmes subi une longue procédure de vérication (Figure 2.11). Il est important de rappeler que le but ici est seulement de vérier si la résolution numérique est susamment précise. De ce fait, il convient de comparer les résultats numériques du modèle étudié avec un résultat connu à partir des mêmes équations de départ (c'est-à-dire le même modèle mathématique, voir Figure2.11). Dans le contexte de la modélisation des tissus mous, cela revient à comparer les résultats pour la même loi de comportement.

Dans les publications scientiques, les problèmes liés à la vérication de code sont rarement abordés. Pour les études où la résolution numérique est faite par un logiciel commercial, la partie vérication est souvent reléguée aux ingénieurs développant ces logiciels. Il est en eet courant d'utiliser des logiciels commerciaux de résolution par éléments nis (par exemple, ANSYS, Abaqus ou Comsol) qui ont été vériés sur un large panel de tests (voir, par exemple, les manuels de vérication d'ANSYS [DeSalvo 1992] et Abaqus [Hibbitt 1993]). Les bases de données de tests des logiciels commerciaux sont d'ailleurs une source prolique de tests intéressants pour qui veut vérier un code. Elles contiennent de nombreux problèmes ayant une solution analytique ou des problèmes intéressants pour tester la stabilité d'un code de résolution vis-à-vis d'une sollicitation particulière. Cependant, l'usage d'un logiciel commercial ne dispense pas forcément de l'aspect vérication. En eet, comme le souligne [Henninger et al. 2010], les équipes d'ingénieurs de développement de ces logiciels ne peuvent pas assurer que toutes les combinaisons possibles de conditions aux limites et de contraintes entraîneront des résultats précis. Cependant, même

Figure 2.12 Comparaison entre l'algorithme TLED et Abaqus [Miller et al. 2007]

si cette vérication d'un logiciel commercial dans les conditions d'utilisation est souhaitable, elle est dicile à mettre en oeuvre. Une implémentation d'un modèle mathématique devrait ainsi toujours être vériée, d'autant plus si elle se base sur un logiciel ad hoc qui n'a pas été vérié préalablement.

[Miller et al. 2007] ont comparé les résultats de leur algorithme TLED avec ceux du logiciel Abaqus sur des tests de compression et d'étirement d'un cylindre, de cisaillement d'un cube et d'indentation d'une ellipse. [Stavness et al. 2011] ont véri- é les résolutions numériques d'ArtiSynth en comparant avec les résultats du logi- ciel commercial ANSYS sur des tests de poutres encastrées et d'indentations de cubes. Les résolutions par la méthode des éléments nis de Sofa ont aussi été véri- ées par des comparaisons avec ANSYS [Nesme 2008] notamment sur des tests de compression de cylindres. [Paccini 2005] a comparé ses résolutions éléments nis de diérents modèles mathématiques basés sur des lois hypo-élastique et hyper- élastique avec des solutions analytiques. Elle a cherché analytiquement la relation entre contraintes et déformations pour les deux lois de comportement et comparé le résultat trouvé avec celui obtenu par simulation. Le logiciel de résolution par éléments nis FEBio a quant à lui été vérié par diverses comparaisons avec des so- lutions analytiques connues et des comparaisons avec les logiciels Abaqus et Nike3D [Maas et al. 2009, Maas et al. 2012]. Certains des tests utilisés par FEBio ont été extraits de la base de donnée de tests de vérication d'Abaqus [Hibbitt 1993].

(a) (b)

Figure 2.13 Exemple d'étude de la convergence du maillage par [Chung et al. 2008]. (a) modèle du sein utilisé. (b) graphique montrant le dé- placement de certains n÷uds en fonction du nombre de degrés de liberté du modèle.

La partie encadrée correspond au ranement choisi pour leur modèle (3850 degrés de liberté).

2.3.1.2 Vérication des calculs

Pour les modèles biomécaniques, la vérication des calculs se focalise principale- ment sur les erreurs émanant de la discrétisation (mauvaise discrétisation spatiale ou temporelle).

Pour les modèles utilisant un maillage (par exemple, les modèles éléments nis), l'erreur due à la discrétisation de l'espace est en général quantiée à l'aide d'une étude de convergence du maillage. Cette étude consiste à partir d'un maillage grossier et à le raner peu à peu jusqu'à ce qu'il y ait con- vergence de la quantité suivie. En eet, les diérences entre les résultats des simulations sur plusieurs résolutions de maillages ont tendance à diminuer à mesure que la discrétisation se fait plus ne. La convergence de maillage ne per- met pas d'armer que les prédictions du modèle seront précises mais assure qu'une discrétisation plus ne n'entraînerait pas un changement signicatif des résultats. Les vérications de la bonne densité du maillage sont courantes en biomécanique. Des exemples de telles études peuvent être trouvés, par exemple, sur des modèles biomécaniques du cerveau [Yang & King 2011, Miller et al. 2000, Taylor & Miller 2004], du sein [Rajagopal et al. 2006, Chung et al. 2008] (Figure 2.13) ou du foie [Marchesseau et al. 2010]. [Schmidt et al. 2009] soulignent cepen- dant que cette pratique n'est pas encore systématique. Diverses raisons peuvent être la cause de l'absence d'étude de l'inuence du maillage. [Yang & King 2011]

évoquent le fait que cette étude est parfois longue et dicile notamment car le ranement du maillage peut être délicat à opérer. Cependant la plupart des logi- ciels commerciaux fournissent des outils de ranement automatique. Toujours selon [Yang & King 2011], certains auteurs sont parfois tentés de réutiliser pour une nou-

Figure 2.14 Tests de validation

velle étude un modèle précédemment vérié et publié, et ceci sans réitérer l'étude du maillage dans les nouvelles conditions.

De même que pour la discrétisation spatiale, il faut s'assurer que la discréti- sation temporelle est susamment ne pour s'aranchir de problèmes de conver- gence. [Miller et al. 2007] ont étudié la stabilité de leur algorithme TLED en faisant varier le pas de temps sur une simulation d'un cube en extension. Ils en ont déduit un pas de temps critique de 0,0013s au-delà duquel l'algorithme devient instable.

[Marchal 2006] a étudié l'inuence du pas de temps sur la stabilisation de son modèle discret et l'a comparé aux résultats du modèle classique de type masse-ressorts.

L'étude des erreurs dues à la discrétisation est particulièrement importante pour les applications nécessitant une vitesse d'exécution élevée (nécessité de temps de cal- cul interactif, par exemple pour les simulateurs interactifs ou per-opératoires). En eet, une discrétisation plus ne, qu'elle soit spatiale ou temporelle, entraine irrémé- diablement une augmentation des calculs nécessaires. Les applications nécessitant le temps interactif ne peuvent donc pas faire l'impasse sur ces études en choisissant d'emblée des discrétisations très nes. C'est justement en étudiant très nement ces discrétisations spatiales et temporelles que l'on pourra régler la question du compromis entre temps de calcul et résolution numérique susamment précise.

2.3.2 Validation

Solving the rigth equations [Roache 1998]

La validation d'un modèle permet de s'assurer que les résultats des simulations sont proches de la réalité et donc que les hypothèses faites sur le modèle mathéma- tique sont justiées. Dans le contexte de la simulation médicale, diverses dicultés s'ajoutent à celles inhérentes à tout processus de validation. Les modèles étant censés prédire les déformations des tissus durant une opération, les données de validation les plus proches de la réalité sont des données per ou post-opératoires. Cependant,