Modèle simplifié 1D 1 groupe pour étudier les instabilités xénon dans un cœur de réacteur nucléaire.

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Preprint submitted on 7 Sep 2017

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Modèle simplifié 1D 1 groupe pour étudier les

instabilités xénon dans un cœur de réacteur nucléaire.

Bertrand Mercier, Paul Reuss

To cite this version:

Bertrand Mercier, Paul Reuss. Modèle simplifié 1D 1 groupe pour étudier les instabilités xénon dans

un cœur de réacteur nucléaire.. 2017. �hal-01583467�

1 Modèle simplifié 1D 1 groupe pour étudier les instabilités xénon dans un cœur de réacteur nucléaire.

B. Mercier P. Reuss 6/9/17

Résumé

Nous étudions un modèle simplifié, mis au point indépendamment dans 3 et 4, pour étudier les instabilités Xénon.

Ce modèle est intéressant dans le cadre d'une utilisation pédagogique.

Il n'a pas vocation à être aussi prédictif que les modèles à 2 groupes mis au point chez EDF ou au CEA.

Il met en évidence l'existence d'oscillations entre le haut et le bas du réacteur, oscillations dont la période est de l'ordre de 30 heures.

Une hypothèse de base de notre note est que la réactivité est pilotée en mode homogène, comme si on ajustait la concentration en bore du modérateur de façon à maintenir le cœur du réacteur à l'état critique.

Le cas hétérogène qui modélise le pilotage par les barres de contrôle est étudié dans 3.

L'analyse de stabilité par linéarisation est considérée dans [5]

La mise au point de systèmes de pilotage implémentant de méthodes de contrôle efficaces fait l'objet des travaux de Shimazu [6] qui font réference en la matière.

Modèle à 1 groupe

On rappelle que le modèle diffusion à 1 groupe peut s'écrire pour un cœur de réacteur homogénéisé:

(1) −

∆ Φ + Φ =

Φ , ∈ Ω

où Φ est le flux neutronique en ⁄

⁄ ,

l'aire de migration (en

), et

le facteur de multiplication qui serait obtenu en milieu infini.

Cas uniaxial

En réalité, le cœur n'est pas homogène, il est constitué de cellules verticales de pas δ : si le cœur est de hauteur L on peut supposer que chaque cellule est un parallélépipède de volume δ x δ x L contenant un crayon combustible de hauteur L.

Le rapport de modération étant de 2, la section du crayon combustible pourra être choisie égale à

. Le modérateur occupe une surface de section à 2

.

On sait qu'il résulte du phénomène d'autoprotection que le flux neutronique est plus faible dans le combustible que dans le modérateur.

Les simulations MC montrent que le flux thermique est 1,2 fois plus fort dans le modérateur, mais ce qui nous intéresse c'est le flux neutronique thermique dans le combustible car c'est lui qui

conditionne le nombre de fissions par

de combustible par seconde et donc la puissance du cœur.

Dans le cas uniaxial l'équation (1) sera remplacée par (2) −

Φ

+ Φ =

Φ , 0 < < !

et complétée par des conditions aux limites (CL). Dans la suite on choisira les CL de type Dirichlet : (3) Φ "0# = Φ "!# = 0

Neutrons rapides et neutrons thermiques

Conventionnellement, on décrète que les neutrons d'énergie E > 0,625 eV sont rapides et les

neutrons d'énergie E < 0,625 eV sont thermiques.

2 Dans un REP, le flux neutronique thermique est de l'ordre de 3,7 10

n/

⁄ en moyenne dans le combustible (voir 2 p.382).

Le flux rapide est 7 fois plus élevé : il est de l'ordre de 2,7 10

n/

⁄ en moyenne dans le combustible.

A contrario, il y a environ 5 fois plus de fissions dans le domaine thermique que dans le domaine rapide. Sachant que le volume du combustible est de 11,1

sur un REP 1300, il faut compter en moyenne 1,1 10

fissions/cm3/s dans le combustible à la puissance nominale de 3800 MW (1,1 = 0,19 + 9,1).

L'aire de migration est évaluée en tenant compte à la fois des neutrons rapides et des neutrons thermiques.

A contrario, dans l'étude des instabilités Xénon que nous avons en vue, seuls les neutrons thermiques comptent.

Ceci militerait en faveur d'un modèle à 2 groupes plutôt qu'un modèle à 1 groupe.

C'est d'ailleurs ce que fait EDF dans le code Libellule.

Mais dans le cadre de ce papier consacré au modèle à 1 groupe, la solution de l'équation (1) sera conventionnellement le flux neutronique thermique dans le combustible.

Rappelons que le flux Φ apparaissant dans (2) est défini à un facteur multiplicatif près.

Dans un modèle à 1 groupe, le flux rapide et le flux neutronique sont supposés avoir la même forme.

On peut ajuster ce facteur de telle sorte que, à la puissance de fonctionnement du réacteur, Φ soit égal au flux thermique.

Par contre il faudra remplacer la section efficace macroscopique (thermique) de fission (

dans le combustible par (

pour que (

Ф soit égal au nombre de fissions(rapides + thermiques)/cm3/s.

Les résultats donnés par Serge Marguet (2 p.382) montrent que si (

= 0,246

il faut prendre (

= 0,297

.

Introduction de l'iode et du xénon

On rappelle les équations d’évolution de l’Iode et du Xénon : (4)

= 1(

Ф − 23

(5)

= 1

(

Ф + 23 − "5 + 6Ф#7

où 6 est la section efficace de capture du Xénon dans le domaine thermique (évaluée en barn).

Pour les raisons évoquées ci-dessus, Ф est le flux neutronique thermique.

Par ailleurs, on va négliger 1

car 1

≪ 1.

Dans ces équations 7 et 3 sont exprimés en 9: ⁄

, (

en

et Φ en ⁄

⁄ .

Evidemment on aura 3 = 3" , :# , 7 = 7" , :# et Φ = Φ" , :# ; 3" , :# (resp. 7" , :#) désigne le nombre d'atomes d'iode (resp. de Xénon) par

de combustible à l'élévation , et Φ" , :# le flux neutronique (thermique) à l'élévation dans le combustible.

Pour tenir compte de la (grande) section efficace de capture du

7; , il faut modifier l'équation (2) et la remplacer par (cf Mathonnière)

(6) −

Φ + "1 + ?7#Φ =

Φ, 0 < < !

où le paramètre ? doit être évalué de telle sorte que, au flux nominal Φ = Φ

, l'anti-réactivité

apportée par le Xénon soit de l'ordre de A = 0, 03, ce qui correspond à 3000 pcm.

3 Evaluation du paramètre B.

En faisant Φ " , :# = Φ

" # dans les équations (4) et (5) et en passant à la limite pour : → ∞, on trouve :

0 = 1(

Φ

" # − 23" #

0 = 23" # − "5 + 6Φ

" ##7" # d'où

7" # =

H">#

Au vu de l'équation (6) il faut qu'en moyenne ? . 7" # soit égal à A.

Soit Φ

=

O

Φ

" #P , on peut assimiler grossièrement la moyenne 7

de 7" # à 7

=

R

ce qui conduit au choix

? = A

GGΦR

∎

Adimensionalisation

Nous allons procéder comme Paul Reuss 4 dans son logiciel pédagogique Oscillex.

Dans (4)(5)(6) on va poser Φ " , :# = Φ

U" , :#

7" , :# = 7

" , :#

3" , :# = 3

V" , :#

on va également poser W = λ : où λ est la constante de décroissance A de l'isotope

X de sorte que l'on obtient

(7) −

U + "1 + ?7

#U =

U, 0 < < ! (8) λ 3

= 1(

Φ

U − 23

V

(9) λ 7

= 23

V − "5 + 6 Φ

U#7

En choisissant 3

= 7

on obtient

(10) λ

=

4_∗

1(

Φ

U − 2 V (11) λ

= 2 V − "5 + 6 Φ

U#

En posant

Φ

= 2/6 9 = 5 2 ⁄ et

7

=

=

on obtient

(12)

.Z

= U − V (13)

.Z

= V − "9 + U#

Finalement on pose ?

= ?7

et on obtient

(14) −

U + "1 + ?

#U =

U, 0 < < !

7

correspond à une valeur limite du Xénon à l'équilibre lorsque le flux neutronique est infiniment

grand.

4 C'est donc le système (12)(13)(14) complété par les CL de Dirichlet que nous nous proposons de résoudre.

Nous discrétisons le temps W de la façon suivante.

A l'instant W

connaissant U" , W

# nous faisons évoluer l'iode et le Xénon en résolvant (12) et (13) entre W

et W

.

Puis nous recalculons le flux U à l'instant W

en résolvant (14)

Remarquons au passage que (14) est un problème de valeur propre qui ne définit U qu'à une constante multiplicative près. Celle-ci est ajustée pour que la puissance soit la puissance nominale.

Plus précisément en résolvant (14) on calcule un nombre

tel que (15) −

U + "1 + ?

#U =

bGG

U, 0 < < !

et on ajuste la réactivité du cœur de telle sorte que celui-ci soit juste critique à tout instant.

Semi-discrétisation

On découpe le réacteur en couches horizontales et on introduit les valeurs

" Φ

":##

du flux neutronique

"7

":##

du Xénon

"3

":##

de l'Iode Soit ∆ = ! ⁄

On remplace (14) par (16) −

"∆>#

+ "1 + ?7

# Φ

=

Φ

, j = 1, … , − 1 Φ

= Φ

= 0

et les équations d'évolution de l'iode et du Xénon par

.

.0

3

= 1(

Φ

− 23

.

.0

7

= 23

− "5 + 6 Φ

#7

En passant aux variables adimensionalisées, on obtient

(17) −

+ "1 + ?

#U

=

U

, j = 1, … , − 1 U

= U

= 0

et les équations d'évolution de l'iode et du Xénon : (18)

.Z

= U

− V

(19)

= V

− "9 + U

#

Application numérique : λ = 2,92 10

5 = 2,12 10

donne 9 ≅ 0,725 1 = 0,064

1

= 0 (simplification)

Reste à savoir quelle valeur il faut prendre pour 6.

Nous en avons testé deux

(a) 6 = 3. 10

o9p

(b) 6 = 2. 10

o9p

5 qrs ro:;r

Φ

= 0.972 10

⁄

⁄ , 7

= 6,33 10

9:/

et ?

= 0,0357 dans le cas (a) et

Φ

= 1.459 10

⁄

⁄ , 7

= 9,504 10

9:/

et ?

= 0,0386 dans le cas (b)

Utilisation de la méthode de tir "shooting technique"

pour résoudre le problème aux valeurs propres

Cas continu : La méthode de tir (shooting technique) est utilisable pour résoudre le problème aux valeurs propres :

−U

+ U = λ U ursp ∈]0, ℎ U"0# = U"ℎ# = 0

U ≥ 0 ursp ∈]0, ℎ

La méthode de tir consiste à remarquer que si x > 0 est donné on peut résoudre le problème de Cauchy (voir ton sous-programme diffusion) : trouver ψ

tel que

−ψ

+ ψ

= x ψ

ursp ∈]0, ℎ ψ

"0# = 0

ψ

"0# = 1

Il est clair qu'il n'y a aucune raison que ψ

"ℎ# = 0 sauf si x est valeur propre du problème ci-dessus.

On cherche donc la plus petite racine positive de la fonction x → ψ

"ℎ#

Pour cela on utilise la méthode de la sécante : supposant connues deux valeurs x

et x

telles que

x

< x

V

> 0 > V

où V

= ψ

h

"ℎ# et V

= ψ

"ℎ#

alors on choisit pour nouvelle valeur x =

,Y_h

x

+

h,Y

x

on calcule y = ψ

"ℎ# et

• si V > 0 on remplace x

par x

• si V < 0 on remplace x

par x et on itère.

Cas discret Nous résolvons

(19) −

|

+ ?7

Φ

= x Φ

, j = 1, … , − 1 Φ

= Φ

= 0

où ℎ = ∆ /.

Nous appliquons la méthode de tir en écrivant que pour x donné on se donne Φ

= 0 et Φ

= 1

puis on résout (19) par récurrence et de proche en proche, on arrive à une valeur de Φ

= Φ

"x# qui n'a aucune raison d'être nulle, mais on itère sur x jusqu'à ce que Φ

"x# = 0.

Puis on renormalise les Φ

de telle façon qu'ils soient en moyenne égaux au U

souhaité.

6 Résultats avec 

= ‚‚ ƒ„

et ?

= 0,0357 (cas (a))

En partant d'une solution initiale , V, U à l'équilibre, on la perturbe en multipliant U et par (1+p) sur l'intervalle 0, ! 2 ⁄ et par

&J…

sur l'intervalle ! 2 ⁄ , !. Noter que, ce faisant la solution initiale possède une discontinuité en = !/2.

Dans les simulations ci-dessous nous représentons 11 profils de Xénon à des instants équidistants. Le dernier correspond à W = 4, c'est à dire à : = 38 ℎ.

Résultats pour †

=  et ‰ = ‚, 

U

= 1 U

= 2

U

= 3 U

= 4

On observe que le système est stable pour U

Š 2 et qu'il oscille pour U

≥ 3 avec une période de 26,2h, ce qui est plus bas que ce que trouve Mathonnière 1.

Résultats pour †

= ‹ et ‰ = ‚, ‚‹

On observe que l'instabilité met un peu plus de temps à se développer.

Interprétation :Comme on a choisi ?

= 0,0357 cela correspond au cas (a) Φ

= 0.972 10

⁄

⁄ , 7

= 6,33 10

9:/

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 200 400 600

X0 X1 X2 X3 X4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 200 400 600

X0 X1 X2 X3 X4 X5

7 Le cas U

= 4 correspond donc à Φ

= 3,89 10

⁄

⁄ ce qui est le cas d'un REP1300 à 100% PN.

Résultats avec 

= ‚‚ ƒ„

et ?

= 0,0386 (cas (b)) On prend dorénavant u = 0,1

U

= 1 U

= 2

U

= 3 U

= 4

On observe que le système est stable pour U

Š 3 et instable pour U

≥ 3 avec une période qui est maintenant de 26,9h toujours un peu basse par rapport à Mathonnière.

Interprétation : Comme on a choisi ?

= 0,0386 cela correspond au cas (b) Φ

= 1.459 10

⁄

⁄ , 7

= 9,504 10

9:/

Le cas U

= 3 correspond donc à Φ

= 4,38 10

⁄

⁄ ce qui est presque le cas d'un REP1300 à 100% PN.

Résultats avec 

= ‹Œ ƒ„

Les résultats montrent une instabilité un peu plus grande.

Voici les résultats pour U

= 1,5 :

Cas (a) Cas (b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 200 400 600

X0 X1 X2 X3 X4 X5

8 La période est de 30,4h dans le cas (a) et de 31,6h dans le cas (b), ce qui est plus proche des résultats de Mathonnière. Cette aire de migration de 49

est donc plus plausible. On notera que la valeur de U

= 1,5 représentée ici est relativement basse, car correspond à

Φ

= 2,19 10

⁄

⁄ dans le cas (b) et Φ

= 1,46 10

⁄

⁄ dans le cas (a).

Remarque : il est intéressant de noter que le nombre de mailles joue peu : les résultats avec 40 mailles sont quasi-identiques à ceux obtenus avec 100 mailles.

Conclusion

Tout d'abord, notre modèle peut être critiqué dans la mesure où nous n'avons pas pris en compte les contre-réactions. Comme la puissance est constante, l'effet modérateur ne va pas jouer. Par contre le Doppler mériterait d'être pris en compte.

Quoiqu'il en soit, nous constatons que notre modèle est un peu plus instable dans le cas (a) que dans le cas (b).

Nous constatons également que le paramètre "aire de Migration" est sensible. (résultats plus instables avec

= 49

qu'avec

= 100

#, mais c'est logique car tout se passe comme si la hauteur du réacteur était multipliée par 10/7 .

Les résultats obtenus en Monte-Carlo par Wang Jingyi (communication personnelle) montrent que le cas (b) est plus plausible que le cas (a).

Plus le flux neutronique est fort, plus les oscillations sont instables.

Quoiqu'il en soit, la valeur de l'aire de migration

= 49

semble plus plausible que

= 100

.

On voit donc qu'il faut prendre en compte les instabilités Xénon dans le pilotage des REP.

Dans cette étude, nous nous sommes limités à un mode de contrôle homogène de la réactivité qui ne permet pas de réduire les instabilités Xénon.

Le cas hétérogène a été considéré dans [3].

Références

1 Gilles Mathonnière, Etude de problèmes neutroniques liés à la présence du Xénon dans les réacteurs à eau pressurisée, Thèse (1988)

2 Serge Marguet, La Physique des Réacteurs Nucléaires, Lavoisier, 2013.

3 Wang Xuejing, Wang Jingyi et Pei Yang, Un modèle simple pour comprendre les instabilités Xénon, thèse de Bachelor, IFCEN, Mai 2017

4 Paul Reuss, Oscillex, un logiciel pédagogique (juillet 2017)

[5] Justin M. Pounders, Jeffery D. Densmore, A generalization of λ -mode Xenon stability analysis,

PHYSOR 2014 - Kyoto, Japan, September 28 - October 3, 2014.

[6]

Technol., 32[11],1159 (1995).