Inférence dans le Stochastic Block Model pour les grands graphes

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Inférence dans le Stochastic Block Model pour les grands graphes

Antoine Channarond, Jean-Jacques Daudin, Stephane Robin

To cite this version:

Antoine Channarond, Jean-Jacques Daudin, Stephane Robin. Inférence dans le Stochastic Block

Model pour les grands graphes. JFGG’10 : Journée thématique Fouille de grands graphes, Oct 2010,

Toulouse, France. 20 p. �hal-01197533�

Inf´ erence dans le Stochastic Block Model pour les grands graphes

Antoine Channarond, Jean-Jacques Daudin, St´ ephane Robin

AgroParisTech

FGG’10

1

Stochastic Block Model (SBM)

2

Classification et inf´ erence consistantes

3

Simulations

4

Conclusion

Stochastic Block Model (SBM)

Pr´ esentation du Stochastic Block Model

Les graphes sont non orient´ es binaires. Ils sont d´ esign´ es par leur nombre de sommets n et leur matrice d’adjacence X = (X

)

.

Variables cach´ ees :

(Z

)

une suite i.i.d. de variables multinomiales ` a Q

´ etats, de param` etre

α = (α

, . . . , α

)

Variables observ´ ees :

(X

)

une matrice de variables ind´ ependantes conditionnellement ` a Z . Sachant Z

= q et Z

= r , X

suit une loi de Bernoulli de param` etre π

. On appelle matrice de connectivit´ e la matrice sym´ etrique :

π = (π

)

Loi des degr´ es : D

|Z

= q ∼ B(n − 1, π

), o` u π

=

Q

P

r=1

α

π

.

Stochastic Block Model (SBM)

Pr´ esentation du Stochastic Block Model

Les graphes sont non orient´ es binaires. Ils sont d´ esign´ es par leur nombre de sommets n et leur matrice d’adjacence X = (X

)

.

Variables cach´ ees :

(Z

)

une suite i.i.d. de variables multinomiales ` a Q

´ etats, de param` etre

α = (α

, . . . , α

)

Variables observ´ ees :

(X

)

une matrice de variables ind´ ependantes conditionnellement ` a Z . Sachant Z

= q et Z

= r , X

suit une loi de Bernoulli de param` etre π

. On appelle matrice de connectivit´ e la matrice sym´ etrique :

π = (π

)

Loi des degr´ es : D

|Z

= q ∼ B(n − 1, π

), o` u π

=

Q

P

r=1

α

π

.

Stochastic Block Model (SBM)

Pr´ esentation du Stochastic Block Model

Les graphes sont non orient´ es binaires. Ils sont d´ esign´ es par leur nombre de sommets n et leur matrice d’adjacence X = (X

)

.

Variables cach´ ees :

(Z

)

une suite i.i.d. de variables multinomiales ` a Q

´ etats, de param` etre

α = (α

, . . . , α

)

Variables observ´ ees :

(X

)

une matrice de variables ind´ ependantes conditionnellement ` a Z . Sachant Z

= q et Z

= r , X

suit une loi de Bernoulli de param` etre π

. On appelle matrice de connectivit´ e la matrice sym´ etrique :

π = (π

)

Loi des degr´ es : D

|Z

= q ∼ B(n − 1, π

), o` u π

=

Q

P

r=1

α

π

.

Stochastic Block Model (SBM)

Pr´ esentation du Stochastic Block Model

Les graphes sont non orient´ es binaires. Ils sont d´ esign´ es par leur nombre de sommets n et leur matrice d’adjacence X = (X

)

.

Variables cach´ ees : (Z

)

une suite i.i.d. de variables multinomiales ` a Q

´ etats, de param` etre

α = (α

, . . . , α

)

Variables observ´ ees : (X

)

une matrice de variables ind´ ependantes conditionnellement ` a Z . Sachant Z

= q et Z

= r , X

suit une loi de Bernoulli de param` etre π

. On appelle matrice de connectivit´ e la matrice sym´ etrique :

π = (π

)

Loi des degr´ es : D

|Z

= q ∼ B(n − 1, π

), o` u π

=

Q

P

r=1

α

π

.

Stochastic Block Model (SBM)

Pr´ esentation du Stochastic Block Model

Les graphes sont non orient´ es binaires. Ils sont d´ esign´ es par leur nombre de sommets n et leur matrice d’adjacence X = (X

)

.

Variables cach´ ees : (Z

)

une suite i.i.d. de variables multinomiales ` a Q

´ etats, de param` etre

α = (α

, . . . , α

)

Variables observ´ ees : (X

)

une matrice de variables ind´ ependantes conditionnellement ` a Z . Sachant Z

= q et Z

= r , X

suit une loi de Bernoulli de param` etre π

. On appelle matrice de connectivit´ e la matrice sym´ etrique :

π = (π

)

Loi des degr´ es : D

|Z

= q ∼ B(n − 1, π

), o` u π

=

Q

P

r=1

α

π

.

Stochastic Block Model (SBM)

Cadre statistique

Mod` ele g´ en´ eratif statistique ` a param` etres dont on veut faire l’inf´ erence en d´ eterminant des estimateurs consistants. La classification n’est pas un but en soi, mais un sous-produit de la m´ ethode d’inf´ erence.

Mod` ele ` a classes cach´ ees : introduction d’une structure sous-jacente non observ´ ee ⇒ mod` ele plus riche qu’Erd˝ os-R´ enyi par exemple.

Table : Exemples de mod` eles

Q = 1 Q = 3 Q = 4 Q = 5

π = 0.4 π =

1 ε ε 1

π =









0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0









π =













0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0













Stochastic Block Model (SBM)

Cadre statistique

Mod` ele g´ en´ eratif statistique ` a param` etres dont on veut faire l’inf´ erence en d´ eterminant des estimateurs consistants. La classification n’est pas un but en soi, mais un sous-produit de la m´ ethode d’inf´ erence.

Mod` ele ` a classes cach´ ees : introduction d’une structure sous-jacente non observ´ ee ⇒ mod` ele plus riche qu’Erd˝ os-R´ enyi par exemple.

Table : Exemples de mod` eles

Q = 1 Q = 3 Q = 4 Q = 5

π = 0.4 π =

1 ε ε 1

π =









0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0









π =













0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0













Stochastic Block Model (SBM)

Cadre statistique

Mod` ele g´ en´ eratif statistique ` a param` etres dont on veut faire l’inf´ erence en d´ eterminant des estimateurs consistants. La classification n’est pas un but en soi, mais un sous-produit de la m´ ethode d’inf´ erence.

Mod` ele ` a classes cach´ ees : introduction d’une structure sous-jacente non observ´ ee ⇒ mod` ele plus riche qu’Erd˝ os-R´ enyi par exemple.

Table : Exemples de mod` eles

Q = 1 Q = 3 Q = 4 Q = 5

π = 0.4 π =

1 ε ε 1

π =









0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0









π =













0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0













Stochastic Block Model (SBM)

Enjeux de l’inf´ erence dans le SBM

Maximum de vraisemblance trop complexe algorithmiquement. M´ ethodes d’inf´ erence alternatives existantes :

Algorithme EM : aussi complexe que le maximum de vraisemblance.

MCMC (Snijders et Nowicki, 2001) : jusqu’` a quelques centaines de sommets. Variationnel (Daudin, Picard, Robin, 2008) : jusqu’` a quelques milliers de sommets.

Point commun de ces m´ ethodes : elles mettent ` a jour alternativement la classification des sommets et les estimateurs des param` etres.

La classification est un sous-produit de l’inf´ erence, mais reste l’obstacle principal ` a l’inf´ erence. Si les classes ´ etaient r´ ev´ el´ ees, il suffirait d’utiliser les estimateurs des moments usuels.

Si (C

)

est la partition en classes : α b

= |C

|

n et π b

= 1

|C

||C

| X

(i,j)∈Cq×Cr

X

Stochastic Block Model (SBM)

Enjeux de l’inf´ erence dans le SBM

Maximum de vraisemblance trop complexe algorithmiquement. M´ ethodes d’inf´ erence alternatives existantes :

Algorithme EM : aussi complexe que le maximum de vraisemblance.

MCMC (Snijders et Nowicki, 2001) : jusqu’` a quelques centaines de sommets.

Variationnel (Daudin, Picard, Robin, 2008) : jusqu’` a quelques milliers de sommets.

Point commun de ces m´ ethodes : elles mettent ` a jour alternativement la classification des sommets et les estimateurs des param` etres.

La classification est un sous-produit de l’inf´ erence, mais reste l’obstacle principal ` a l’inf´ erence. Si les classes ´ etaient r´ ev´ el´ ees, il suffirait d’utiliser les estimateurs des moments usuels.

Si (C

)

est la partition en classes : α b

= |C

|

n et π b

= 1

|C

||C

| X

(i,j)∈Cq×Cr

X

Stochastic Block Model (SBM)

Enjeux de l’inf´ erence dans le SBM

Maximum de vraisemblance trop complexe algorithmiquement. M´ ethodes d’inf´ erence alternatives existantes :

Algorithme EM : aussi complexe que le maximum de vraisemblance.

MCMC (Snijders et Nowicki, 2001) : jusqu’` a quelques centaines de sommets.

Variationnel (Daudin, Picard, Robin, 2008) : jusqu’` a quelques milliers de sommets.

Point commun de ces m´ ethodes : elles mettent ` a jour alternativement la classification des sommets et les estimateurs des param` etres.

La classification est un sous-produit de l’inf´ erence, mais reste l’obstacle principal ` a l’inf´ erence. Si les classes ´ etaient r´ ev´ el´ ees, il suffirait d’utiliser les estimateurs des moments usuels.

Si (C

)

est la partition en classes : α b

= |C

|

n et π b

= 1

|C

||C

| X

(i,j)∈Cq×Cr

X

Stochastic Block Model (SBM)

Enjeux de l’inf´ erence dans le SBM

Maximum de vraisemblance trop complexe algorithmiquement. M´ ethodes d’inf´ erence alternatives existantes :

Algorithme EM : aussi complexe que le maximum de vraisemblance.

MCMC (Snijders et Nowicki, 2001) : jusqu’` a quelques centaines de sommets.

Variationnel (Daudin, Picard, Robin, 2008) : jusqu’` a quelques milliers de sommets.

Point commun de ces m´ ethodes : elles mettent ` a jour alternativement la classification des sommets et les estimateurs des param` etres.

La classification est un sous-produit de l’inf´ erence, mais reste l’obstacle principal ` a l’inf´ erence. Si les classes ´ etaient r´ ev´ el´ ees, il suffirait d’utiliser les estimateurs des moments usuels.

Si (C

)

est la partition en classes : α b

= |C

|

n et π b

= 1

|C

||C

| X

(i,j)∈Cq×Cr

X

Stochastic Block Model (SBM)

Enjeux de l’inf´ erence dans le SBM

Maximum de vraisemblance trop complexe algorithmiquement. M´ ethodes d’inf´ erence alternatives existantes :

Algorithme EM : aussi complexe que le maximum de vraisemblance.

MCMC (Snijders et Nowicki, 2001) : jusqu’` a quelques centaines de sommets.

Variationnel (Daudin, Picard, Robin, 2008) : jusqu’` a quelques milliers de sommets.

Point commun de ces m´ ethodes : elles mettent ` a jour alternativement la classification des sommets et les estimateurs des param` etres.

La classification est un sous-produit de l’inf´ erence, mais reste l’obstacle principal ` a l’inf´ erence. Si les classes ´ etaient r´ ev´ el´ ees, il suffirait d’utiliser les estimateurs des moments usuels.

Si (C

)

est la partition en classes : α b

= |C

|

n et π b

= 1

|C

||C

| X

(i,j)∈Cq×Cr

X

Classification et inf´erence consistantes

Ph´ enom` ene de concentration des degr´ es normalis´ es

Histogrammes des degr´ es normalis´ es T

=

:

Figure : n = 500 Figure : n = 5000 Figure : n = 15000

Plus n est grand, plus la structure en classes se r´ ev` ele d’elle-mˆ eme dans la

distribution des degr´ es, et donc plus l’inf´ erence sera facile. Cependant la

classification n’est pas un but en soi : elle ne servira qu’` a mieux inf´ erer.

Attention, les degr´ es ne sont pas ind´ ependants, et on ne peut pas utiliser

d’algorithme usuel d´ edi´ e aux mod` eles de m´ elanges (type EM) pour faire

l’inf´ erence des param` etres.

Classification et inf´erence consistantes

Ph´ enom` ene de concentration des degr´ es normalis´ es

Histogrammes des degr´ es normalis´ es T

=

:

Figure : n = 500 Figure : n = 5000 Figure : n = 15000

Plus n est grand, plus la structure en classes se r´ ev` ele d’elle-mˆ eme dans la

distribution des degr´ es, et donc plus l’inf´ erence sera facile. Cependant la

classification n’est pas un but en soi : elle ne servira qu’` a mieux inf´ erer.

Attention, les degr´ es ne sont pas ind´ ependants, et on ne peut pas utiliser

d’algorithme usuel d´ edi´ e aux mod` eles de m´ elanges (type EM) pour faire

l’inf´ erence des param` etres.

Classification et inf´erence consistantes

Ph´ enom` ene de concentration des degr´ es normalis´ es

Histogrammes des degr´ es normalis´ es T

=

:

Figure : n = 500 Figure : n = 5000 Figure : n = 15000

Plus n est grand, plus la structure en classes se r´ ev` ele d’elle-mˆ eme dans la

distribution des degr´ es, et donc plus l’inf´ erence sera facile. Cependant la

classification n’est pas un but en soi : elle ne servira qu’` a mieux inf´ erer.

Attention, les degr´ es ne sont pas ind´ ependants, et on ne peut pas utiliser

d’algorithme usuel d´ edi´ e aux mod` eles de m´ elanges (type EM) pour faire

l’inf´ erence des param` etres.

Classification et inf´erence consistantes

Ph´ enom` ene de concentration des degr´ es normalis´ es

Histogrammes des degr´ es normalis´ es T

=

:

Figure : n = 500 Figure : n = 5000 Figure : n = 15000

Plus n est grand, plus la structure en classes se r´ ev` ele d’elle-mˆ eme dans la distribution des degr´ es, et donc plus l’inf´ erence sera facile. Cependant la classification n’est pas un but en soi : elle ne servira qu’` a mieux inf´ erer.

Attention, les degr´ es ne sont pas ind´ ependants, et on ne peut pas utiliser

d’algorithme usuel d´ edi´ e aux mod` eles de m´ elanges (type EM) pour faire

l’inf´ erence des param` etres.

Classification et inf´erence consistantes

Ph´ enom` ene de concentration des degr´ es normalis´ es

Histogrammes des degr´ es normalis´ es T

=

:

Figure : n = 500 Figure : n = 5000 Figure : n = 15000

Plus n est grand, plus la structure en classes se r´ ev` ele d’elle-mˆ eme dans la distribution des degr´ es, et donc plus l’inf´ erence sera facile. Cependant la classification n’est pas un but en soi : elle ne servira qu’` a mieux inf´ erer.

Attention, les degr´ es ne sont pas ind´ ependants, et on ne peut pas utiliser

d’algorithme usuel d´ edi´ e aux mod` eles de m´ elanges (type EM) pour faire

l’inf´ erence des param` etres.

Classification et inf´erence consistantes

Algorithme consistant des plus grands ´ ecarts (PGE)

Ordonner la suite (T

)

: T

≤ · · · ≤ T

Calculer les ´ ecarts (T

− T

)

Trouver les Q − 1 plus grands ´ ecarts de sorte ` a former Q groupes de points.

Figure : Formation de Q groupes de points s´ epar´ es par les Q − 1 plus grands ´ ecarts

Classification et inf´erence consistantes

Algorithme consistant des plus grands ´ ecarts (PGE)

Ordonner la suite (T

)

: T

≤ · · · ≤ T

Calculer les ´ ecarts (T

− T

)

Trouver les Q − 1 plus grands ´ ecarts de sorte ` a former Q groupes de points.

Figure : Formation de Q groupes de points s´ epar´ es par les Q − 1 plus grands ´ ecarts

Classification et inf´erence consistantes

Algorithme consistant des plus grands ´ ecarts (PGE)

Ordonner la suite (T

)

: T

≤ · · · ≤ T

Calculer les ´ ecarts (T

− T

)

Trouver les Q − 1 plus grands ´ ecarts de sorte ` a former Q groupes de points.

Figure : Formation de Q groupes de points s´ epar´ es par les Q − 1 plus grands ´ ecarts

Classification et inf´erence consistantes

Hypoth` ese et d´ efinitions pr´ eliminaires

Hypoth` ese

On suppose d´ esormais que pour tout q 6= r , π

6= π

.

Classification et inf´erence consistantes

Hypoth` ese et d´ efinitions pr´ eliminaires

Hypoth` ese

On suppose d´ esormais que pour tout q 6= r , π

6= π

.

Definition

On appelle distance minimale caract´ eristique le r´ eel strictement positif δ d´ efini ainsi : δ = min

q6=r

|π

− π

|

Classification et inf´erence consistantes

Hypoth` ese et d´ efinitions pr´ eliminaires

Hypoth` ese

On suppose d´ esormais que pour tout q 6= r , π

6= π

.

Definition

On appelle distance minimale caract´ eristique le r´ eel strictement positif δ d´ efini ainsi : δ = min

q6=r

|π

− π

|

Definition

On appelle distance maximale intraclasse la variable al´ eatoire d d´ efinie ainsi : d = max

1≤q≤Q

sup

i∈Cq

|T

− π

|

Classification et inf´erence consistantes

Hypoth` ese et d´ efinitions pr´ eliminaires

Hypoth` ese

On suppose d´ esormais que pour tout q 6= r , π

6= π

.

Definition

On appelle distance minimale caract´ eristique le r´ eel strictement positif δ d´ efini ainsi : δ = min

q6=r

|π

− π

|

Definition

On appelle distance maximale intraclasse la variable al´ eatoire d d´ efinie ainsi : d = max

1≤q≤Q

sup

i∈Cq

|T

− π

|

On notera de plus α

= min

1≤q≤Q

α

la plus petite des proportions du mod` ele.

Classification et inf´erence consistantes

Un heureux ´ ev´ enement pour l’algorithme PGE

Si les T

sont suffisamment concentr´ es autour de leur π

respectif, la

classification selon les plus grands ´ ecarts est sans erreur ; suffisamment faisant r´ ef´ erence ` a la distance caract´ eristique δ.

Si d ≤

, alors le plus grand ´ ecart entre des sommets de mˆ eme classe est

strictement plus petit que le plus petit ´ ecart entre des sommets de classe

distincte, donc les Q − 1 plus grands ´ ecarts classent bien les sommets.

Classification et inf´erence consistantes

Utilisation d’un argument de concentration

Cet heureux ´ ev´ enement est en fait de forte probabilit´ e pour n assez grand grˆ ace ` a la concentration. Illustration : in´ egalit´ e de concentration issue de l’in´ egalit´ e de Hoeffding.

∀t > 0 P(|T

− π

| > t|Z

= q) ≤ 2e

Th´ eor` eme

Pour tout t > 0, P(d > t) ≤ 2ne

P(d > t|Z = z ) = P



 [

1≤q≤Q

[

i,z_i=q

{|T

− π

| > t}|Z = z





≤ X

1≤q≤Q

X

i,z_i=q

P(|T

− π

| > t|Z = z )

≤ X

1≤q≤Q

X

i,z_i=q

P(|T

− π

| > t|Z

= q)

≤ 2ne

Classification et inf´erence consistantes

Conclusion

Th´ eor` eme

Soit E l’´ ev´ enement “il existe une erreur de classification”.

P(E) ≤ 2ne

+ Q(1 − α

)

L’algorithme PGE est donc consistant. Notons ( C b

)

la partition de l’ensemble des sommets en classes, produite par l’algorithme.

Estimateurs de α et π : α b

= | C b

|

n et b π

= 1

| C b

|| C b

| X

(i,j)∈Cbq×Cbr

X

Th´ eor` eme

( α, b b π) est un estimateur consistant de (α, π).

Remarque : Efficacit´ e assur´ ee sous la condition δ q

lnn n

.

Simulations

Plan de simulation

Deux volets de simulations avec Q = 3 :

Evaluation de la qualit´ e de classification. Simulation et stockage des degr´ es normalis´ es (T

) uniquement, dans un mod` ele o` u δ = 0.02 jusqu’` a n = 50000.

Evaluation de la qualit´ e de l’estimation, n´ ecessitant le stockage de la matrice X . Mod` ele o` u δ = 0.04, jusqu’` a n = 16000.

Evaluation de l’algorithme sur 500 graphes tir´ es. Crit` eres d’erreur : Taux de mal class´ es sur chaque classe pr´ edite.

Taux de manquants dans la classe pr´ edite par rapport ` a la vraie classe.

Simulations

Plan de simulation

Deux volets de simulations avec Q = 3 :

Evaluation de la qualit´ e de classification. Simulation et stockage des degr´ es normalis´ es (T

) uniquement, dans un mod` ele o` u δ = 0.02 jusqu’` a n = 50000.

Evaluation de la qualit´ e de l’estimation, n´ ecessitant le stockage de la matrice X . Mod` ele o` u δ = 0.04, jusqu’` a n = 16000.

Evaluation de l’algorithme sur 500 graphes tir´ es. Crit` eres d’erreur : Taux de mal class´ es sur chaque classe pr´ edite.

Taux de manquants dans la classe pr´ edite par rapport ` a la vraie classe.

Simulations

Plan de simulation

Deux volets de simulations avec Q = 3 :

Evaluation de la qualit´ e de classification. Simulation et stockage des degr´ es normalis´ es (T

) uniquement, dans un mod` ele o` u δ = 0.02 jusqu’` a n = 50000.

Evaluation de la qualit´ e de l’estimation, n´ ecessitant le stockage de la matrice X . Mod` ele o` u δ = 0.04, jusqu’` a n = 16000.

Evaluation de l’algorithme sur 500 graphes tir´ es. Crit` eres d’erreur :

Taux de mal class´ es sur chaque classe pr´ edite.

Taux de manquants dans la classe pr´ edite par rapport ` a la vraie classe.

Simulations

Plan de simulation

Deux volets de simulations avec Q = 3 :

Evaluation de la qualit´ e de classification. Simulation et stockage des degr´ es normalis´ es (T

) uniquement, dans un mod` ele o` u δ = 0.02 jusqu’` a n = 50000.

Evaluation de la qualit´ e de l’estimation, n´ ecessitant le stockage de la matrice X . Mod` ele o` u δ = 0.04, jusqu’` a n = 16000.

Evaluation de l’algorithme sur 500 graphes tir´ es. Crit` eres d’erreur : Taux de mal class´ es sur chaque classe pr´ edite.

Taux de manquants dans la classe pr´ edite par rapport ` a la vraie classe.

Simulations

Plan de simulation

Deux volets de simulations avec Q = 3 :

Evaluation de la qualit´ e de classification. Simulation et stockage des degr´ es normalis´ es (T

) uniquement, dans un mod` ele o` u δ = 0.02 jusqu’` a n = 50000.

Evaluation de la qualit´ e de l’estimation, n´ ecessitant le stockage de la matrice X . Mod` ele o` u δ = 0.04, jusqu’` a n = 16000.

Evaluation de l’algorithme sur 500 graphes tir´ es. Crit` eres d’erreur : Taux de mal class´ es sur chaque classe pr´ edite.

Taux de manquants dans la classe pr´ edite par rapport ` a la vraie classe.

Simulations

R´ esultats de classification avec δ = 0.02, n ≤ 50000

Figure : Taux de faux sur les classes pr´ edites

Figure : Taux de manquants sur les

vraies classes

Simulations

R´ esultats de classification avec δ = 0.04, n ≤ 16000

Figure : Taux de faux sur les classes pr´ edites

Figure : Taux de manquants sur les

vraies classes

Simulations

R´ esultats d’estimation avec δ = 0.04, n ≤ 16000

Figure : Estimation des connectivit´ es

π =





0.6 0.3 0.1 0.3 0.2 0.5 0.1 0.5 0.4





Figure : Estimation des proportions

α = (0.2, 0.4, 0.4)

Simulations

R´ esultats d’estimation avec δ = 0.04, n ≤ 16000

Figure : Ecart-type de l’estimateur des connectivit´ es

Figure : Ecart-type de l’estimateur des

proportions

Conclusion

Conclusions et perspectives

M´ ethode d’inf´ erence consistante et permettant le traitement de graphes de plusieurs millions de noeuds.

Algorithme ` a maillage ` a pas constant (d´ ej` a test´ e) : choisir les Q mailles les plus remplies pour les classes, et jeter les autres sommets pour l’inf´ erence. Meilleur aux n petits, mais perd l’avantage dans les grands graphes. M´ ethode d’histogramme ` a pas adaptatif

Utilisation sur des donn´ ees r´ eelles

Figure : Histogramme des degr´ es normalis´ es

Conclusion

Conclusions et perspectives

M´ ethode d’inf´ erence consistante et permettant le traitement de graphes de plusieurs millions de noeuds.

Algorithme ` a maillage ` a pas constant (d´ ej` a test´ e) : choisir les Q mailles les plus remplies pour les classes, et jeter les autres sommets pour l’inf´ erence.

Meilleur aux n petits, mais perd l’avantage dans les grands graphes.

M´ ethode d’histogramme ` a pas adaptatif Utilisation sur des donn´ ees r´ eelles

Figure : Histogramme des degr´ es normalis´ es

Conclusion

Conclusions et perspectives

M´ ethode d’inf´ erence consistante et permettant le traitement de graphes de plusieurs millions de noeuds.

Algorithme ` a maillage ` a pas constant (d´ ej` a test´ e) : choisir les Q mailles les plus remplies pour les classes, et jeter les autres sommets pour l’inf´ erence.

Meilleur aux n petits, mais perd l’avantage dans les grands graphes.

M´ ethode d’histogramme ` a pas adaptatif

Utilisation sur des donn´ ees r´ eelles

Figure : Histogramme des degr´ es normalis´ es

Conclusion

Conclusions et perspectives

M´ ethode d’inf´ erence consistante et permettant le traitement de graphes de plusieurs millions de noeuds.

Algorithme ` a maillage ` a pas constant (d´ ej` a test´ e) : choisir les Q mailles les plus remplies pour les classes, et jeter les autres sommets pour l’inf´ erence.

Meilleur aux n petits, mais perd l’avantage dans les grands graphes.

M´ ethode d’histogramme ` a pas adaptatif Utilisation sur des donn´ ees r´ eelles

Figure : Histogramme des degr´ es normalis´ es

Conclusion

Merci de votre attention !

Conclusion

Algorithme de maillage ` a pas constant

Figure : Taux de faux sur les classes pr´ edites

Figure : Taux de manquants sur les

vraies classes

Conclusion

Figure : Estimation des proportions