Analyse modale pour les coques minces en révolution

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Analyse modale pour les coques minces en révolution

Marie Beaudouin

To cite this version:

Marie Beaudouin. Analyse modale pour les coques minces en révolution. Mathématiques [math].

Université Rennes 1, 2010. Français. �tel-00541467�

N ^o d’ordre : 4260 ANN´ EE 2010

TH` ESE / UNIVERSIT´ E DE RENNES 1

sous le sceau de l’Universit´e Europ´eenne de Bretagne pour le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E DE RENNES 1

Mention : Math´ematiques et Applications Ecole doctorale Matisse

pr´esent´ee par

Marie Beaudouin

pr´epar´ee `a l’UMR 6625 CNRS-IRMAR Institut de Recherche Math´ematique de Rennes

U.F.R de Math´ematiques

Analyse modale

pour les coques minces en r´ evolution

Th` ese soutenue ` a Rennes le 29 Novembre 2010 devant le jury compos´e de : Marc DAMBRINE

Professeur IPRA Pau / rapporteur Carlo LOVADINA

Associate Professor Pavie / rapporteur Adel BLOUZA

Maˆıtre de conf´erences Rouen / examinateur Marc BRIANE

Professeur INSA Rennes / examinateur Monique DAUGE

DR CNRS / directeur de th`ese Erwan FAOU

DR INRIA / co-directeur de th`ese

2

Remerciements

≪ La reconnaissance est la m´ emoire du coeur. ≫

Hans Christian Andersen

En ´ecrivant ces remerciements j’ai refait mon parcours universitaire et je remercie Michel Crouzeix qui m’a fait aimer l’analyse num´erique avec son cours de licence d’anep durant lequel il a su transmettre sa passion. Cette branche des math´ematiques m’a plu grˆace `a son aspect proche de la r´ealit´e et la possibilit´e de la simuler. Les nombreux travaux pratiques sous matlab avec Gr´egory Vial ont confirm´e mon envie d’approfondir mes connaissances dans ce domaine.

Je remercie ensuite Florian M´ehats qui lors de mon master 2 m’a mis relation avec Monique et Erwan pour faire une th`ese ensemble et aussi Virginie Bonnaillie-No¨el qui m’a encourag´ee dans cette voie.

Je souhaite adresser un grand merci `a mes directeurs Monique et Erwan pour leur disponibilit´e et leur confiance qui m’ont permis d’avancer. Leur compl´ementarit´e a

´et´e tr`es b´en´efique lors des ´echanges `a trois ou en binˆome. Leur enthousiasme toujours pr´esent ´etait contagieux et moteur. Je leur suis aussi tr`es reconnaissante de leur in- vestissement dans la derni`ere ligne droite. Je remercie Monique pour l’organisation des repas d’´equipe et Erwan pour son radiateur qui m’a permis de travailler dans de meilleures conditions lors des journ´ees d’hiver.

J’adresse mes sinc`eres remerciements `a mes rapporteurs Marc Dambrine et Carlo Lovadina qui ont pris soin de relire mon manuscrit malgr´e les nombreux calculs et la barri`ere de la langue et d’y avoir apport´e des corrections utiles. Je remercie aussi vivement Marc Briane et Adel Blouza d’avoir accept´e de participer `a mon jury de sou- tenance.

Je tiens ´egalement `a remercier toute l’´equipe d’analyse num´erique dans laquelle je me suis sentie bien int´egr´ee avec plus particuli`erement Martin Costabel qui fut mon tuteur de monitorat et Eric Darrigrand, Ludovic Gouden`ege, Daniel Martin et Gr´egory Vial que j’ai souvent sollicit´es pour des questions sur Melina et qui ´etaient toujours disponibles. Je remercie aussi les professeurs de l’ENSAI o` u j’ai fait la majorit´e de mon monitorat : Guillaume Chauvet, Fran¸cois Coquet, Marine Guillerm et Jocelyn

3

4

Julienne.

Mes remerciements vont aussi `a tout le personnel administratif, informatique, de la biblioth`eque et de l’entretien de l’IRMAR qui sont toujours accueillants.

Je salue les autres doctorants du laboratoire avec lesquels j’ai pu ´echanger sur la vie de th´esard. Je pense notamment `a mes coll`egues de bureau : Sten avec qui les ´echanges o` u l’on s’extasiait sur nos probl`emes ´etaient interminables sans pour autant aboutir et Gr´egory qui commence juste l’aventure de la th`ese et avec qui les discussions sont toujours plaisantes. Ensuite je remercie mes amis Cl´ement, Damian, Emilie, Gweltaz, Mathilde ainsi que Aur´elien et S´ebastien qui ont su institutionnaliser le goˆ uter sans oublier les aˆın´es Fanny, Richard, Victor et tous ceux que j’ai pu oublier.

Et puis comment devrais-je remercier internet qui `a la fois m’a permis de trouver des ressources bibliographiques utiles et m’a aussi d´etourn´ee plus d’une fois du travail.

Je remercie mon fr`ere et mes soeurs, mes parents et mes grands-parents ainsi que toute ma famille pour leurs encouragements mˆeme si je sais que ma th`ese a pu leur paraˆıtre incompr´ehensible. Ils m’ont donn´e le goˆ ut de l’apprentissage et m’ont aid´e `a me surpasser. Leur amour et leur soutien me sont tr`es pr´ecieux.

Enfin Lionel, cette th`ese te doit beaucoup. Tu fus mon plus grand supporter et tes

encouragements me sont tr`es chers. Je te remercie pour la beaut´e de la vie `a tes cˆot´es

et pour ton amour et ta confiance.

Table des mati` eres

1 Rappels d’´ el´ ements de th´ eorie des coques 13

1.1 Introduction . . . . 13

1.2 El´ements de g´eom´etrie . . . . 14

1.2.1 Les coordonn´ees normales . . . . 14

1.2.2 D´eriv´ee covariante . . . . 18

1.3 El´ements de th´eorie des coques . . . . 20

1.4 Le mod`ele de Koiter . . . . 27

1.4.1 D´efinitions . . . . 27

1.4.2 Ecriture sous forme matricielle . . . . 28

1.5 Spectre de l’op´erateur de Koiter . . . . 35

2 La membrane dans le cas d’une coque axisym´ etrique 37 2.1 Introduction . . . . 37

2.2 L’axisym´etrique . . . . 37

2.2.1 Les coordonn´ees cylindriques . . . . 37

2.2.2 Coque axisym´etrique . . . . 38

2.3 L’op´erateur de membrane en axisym´etrique . . . . 40

2.3.1 Tenseurs m´etriques et de courbure . . . . 40

2.3.2 La membrane . . . . 42

2.4 Spectre essentiel de la membrane . . . . 42

2.4.1 Th´eorie spectrale . . . . 42

2.4.2 Rappels th´eoriques . . . . 43

2.4.3 Spectre essentiel de la membrane . . . . 45

2.4.4 Spectre essentiel de la membrane d’une coque axisym´etrique . . 49

2.5 Transformation de Fourier angulaire . . . . 51

2.6 La membrane `a fr´equence k . . . . 52

2.7 Spectre essentiel de la membrane `a fr´equence k . . . . 54

3 D´ eveloppement ` a haute fr´ equence de la membrane 57 3.1 R´eduction formelle sans conditions aux limites . . . . 59

3.2 Calcul des op´erateurs . . . . 63

5

6 TABLE DES MATI ` ERES

4 La membrane du cylindre 69

4.1 D´eveloppement pour k grand de la membrane pour le cylindre . . . . . 70

4.1.1 R´eduction formelle sans conditions aux limites . . . . 70

4.1.2 R´esolution du probl`eme scalaire . . . . 73

4.2 Valeurs propres du bilaplacien . . . . 78

4.3 Quasimodes . . . . 80

4.3.1 D´efinition . . . . 80

4.3.2 R´esultat . . . . 80

4.4 Estimation d’´energie . . . . 81

4.5 R´esultats num´eriques . . . . 84

5 L’op´ erateur de Koiter pour le cylindre 95 5.1 Introduction . . . . 95

5.2 L’op´erateur de flexion . . . . 95

5.3 Ansatz . . . . 96

5.4 R´eduction formelle sans conditions aux limites . . . . 99

5.5 R´esolution du probl`eme scalaire . . . 105

5.6 Couches limites . . . 110

5.6.1 Mise en place . . . 110

5.6.2 L’op´erateur K ^± 0 . . . 114

5.6.3 Th´eor`eme . . . 116

5.7 Quasimodes . . . 118

5.8 Estimation d’´energie . . . 124

5.9 Fenˆetre spectrale . . . 125

5.9.1 Comparaison avec la plus petite valeur propre de la membrane . 125 5.9.2 D´etermination de C . . . 126

6 Le probl` eme de Lam´ e aux valeurs propres 127 6.1 Le probl`eme de Lam´e . . . 127

6.1.1 Les coordonn´ees cylindriques . . . 128

6.1.2 La r´eduction de la dimension du probl`eme . . . 130

6.2 Coques axisym´etriques . . . 130

7 R´ esultats num´ eriques pour le syst` eme de Lam´ e 133 7.1 Spectre de Lam´e . . . 133

7.2 Valeurs propres . . . 134

7.3 Vecteurs propres . . . 139

Introduction

Pour des raisons ´economiques dans plusieurs domaines (coˆ ut de mat´eriau, stockage, production), on recherche `a utiliser des structures tridimensionnelles dont l’une des grandeurs est plus petite par rapport aux autres. Cette ´economie ne devant pas se faire au d´etriment de la r´esistance de la structure, il apparaˆıt alors n´ecessaire de mener une

´etude approfondie de ces coques minces. Elles peuvent se repr´esenter g´eom´etriquement comme une surface moyenne qui est ´epaissie le long de sa normale.

Le sujet de cette th`ese est l’´etude du spectre de coques minces axisym´etriques dans le cadre de l’´elasticit´e lin´eaire tridimensionnelle de Lam´e introduit par Ciarlet [13]. On suppose que le mat´eriau constituant la coque est isotrope et homog`ene et que son ´epaisseur est le petit param`etre ε. L’op´erateur associ´e au syst`eme de Lam´e agit entre espaces de Sobolev sur la coque et d´epend de ε. Dans le cas o` u la coque poss`ede une courbure non identiquement nulle, des ph´enom`enes appel´es sensitifs ont

´et´e mis en ´evidence par Sanchez-Hubert et Sanchez-Palencia [39] et dans les exp´eriences num´eriques de Chapelle et Bathe [12] et de Dauge, Faou et Yosibash [19].

Il existe peu de r´esultats concernant le spectre de l’op´erateur de Lam´e en fonction de ε et le comportement de la plus petite valeur propre. Le cas des plaques o` u la surface moyenne est plane a ´et´e ´etudi´e par Dauge, Djurdjevic, Faou et R¨ossle [17].

Le probl`eme tridimensionnel de Lam´e ´etant d´elicat `a ´etudier, on s’int´eresse au mod`ele bidimensionnel de Koiter [32] obtenu par homog´en´eisations formelles dans la variable transverse `a la coque. Celui-ci est un mod`ele de perturbation singuli`ere et s’´ecrit pour une coque S de demi-´epaisseur ε sous forme matricielle comme somme de deux op´erateurs :

K(ε) = M + ε ² 3 B.

o` u M est l’op´erateur de membrane d’ordre 2 et K l’op´erateur de flexion d’ordre 4.

On d´ecompose le d´eplacement selon les coordonn´ees normales en deux composantes tangentes `a la surface moyenne et l’autre normale `a celle-ci. Nous ne consid´ererons ici que le cas de coques enti`erement encastr´ees le long de leurs bords.

La justification et la convergence du mod`ele de Koiter vers la solution du probl`eme de Lam´e ont ´et´e etudi´ees par Ciarlet et Lods [16] et Dauge et Faou [18]. Dans le cas

7

8 TABLE DES MATI ` ERES

des plaques, le spectre de K(ε) se d´ecompose en le spectre de M ind´ependant de ε et le spectre de B. Dans le cas g´en´eral, le spectre de K(ε) est discret comme op´erateur elliptique alors que le spectre de M contient du spectre essentiel [39]. Si la coque est elliptique c’est-`a-dire que sa courbure est strictement positive, le spectre essentiel de M est de la forme [a, b] avec a > 0 et il est de la forme [0, b] avec b ≥ 0 dans les autres cas.

Dans cette th`ese nous nous restreignons au cas d’une coque axisym´etrique obtenue

`a partir de la rotation d’une courbe autour d’un axe et ´epaissie de chaque cot´e de ε selon la normale en chaque point. Cette sym´etrie nous permet de r´eduire la dimension du probl`eme. En notant k ∈ Z la variable de Fourier angulaire, l’op´erateur K(ε) se d´ecompose apr`es transformation de Fourier en la famille d’op´erateurs :

K(ε)[k] = M[k] + ε ²

3 B[k], k ∈ Z (1)

o` u M[k] et B[k] sont les op´erateurs M et K apr`es cette transformation de Fourier. Pour k fix´e, on s’int´eresse d’abord `a l’op´erateur M[k] qui est un op´erateur unidimensionnel agissant sur un d´eplacement `a trois composantes. On calcule son spectre essentiel qui est en g´en´eral plus haut que le bas du spectre essentiel de l’op´erateur M. On retrouve donc le spectre essentiel de l’op´erateur M uniquement par passage `a la limite du spectre discret des op´erateurs M[k] lorsque | k | → + ∞ . Les op´erateurs mis en jeu ´etant des polynˆomes en ik `a coefficients r´eels, les valeurs propres pour k et − k sont identiques et les vecteurs propres associ´es sont conjugu´es. On se limite alors `a l’´etude du cas k ≥ 0.

L’op´erateur M[k] est assez complexe en pr´esence de courbure dans la direction de l’axe de la coque. En particulier l’´etude de son spectre `a k fix´e est tr`es diff´erente dans le cas o` u la coque est elliptique (un tonneau), hyperbolique (une tour de refroidissement) ou bien cylindrique. Le spectre discret de l’op´erateur M[k] est constitu´e des couples (Λ, u) satisfaisant l’´equation

M[k]u = ΛAu , (2)

o` u A est une matrice diagonale dont les termes d´ependent de la m´etrique de la coque.

Dans une d´emarche constructive suivant celle de Faou [22, 24, 23, 25], on cherche le couple (u, Λ) sous forme de s´eries formelles :

Λ[k] = X

n≥0

k ⁻ⁿ Λ n , Λ n ∈ R et

u [k] = X

n≥0

k ⁻ⁿ u _n ,

o` u u <sub>n</sub> sont des d´eplacements tridimensionnels. On veut que (Λ[k], u[k]) soit solution du probl`eme :

M[k]u[k] = Λ[k]Au[k] . (3)

TABLE DES MATI ` ERES 9

On peut construire des solutions au probl`eme (3) par la r´esolution d’un probl`eme aux valeurs propres (en s´eries formelles) scalaire grˆace au th´eor`eme de r´eduction suivant : il existe

– une s´erie formelle

L[k] = L 0 + 1

k L 1 + 1

k ² L 2 + · · · , (4) o` u les op´erateurs scalaires L n (z, ∂ z ), n ≥ 0 agissent sur la composante transverse

`a la coque et d´ependent de la variable axiale z, et – une s´erie formelle V[k] = X

n≥0

k ⁻ⁿ V n d’op´erateurs de reconstruction qui envoie une fonction scalaire dans l’espace des d´eplacements tridimensionnels. Plus par- ticuli`erement V <sub>0</sub> est l’injection canonique ζ 7→ (0, ζ) envoyant une fonction sur la composante transverse `a la coque en coordonn´ees normales,

v´erifiant l’´equation

M[k]V[k] − Λ[k]AV[k] = V 0 ◦ (L[k] − Λ[k]). (5) Ainsi la r´esolution du probl`eme en s´eries formelles scalaire

L[k]ζ[k] = Λ[k]ζ[k] (6)

o` u ζ[k] = X

n≥0

k ⁻ⁿ ζ n est une s´erie formelle dont les coefficients ζ n sont des fonctions scalaires nous donne des solutions au probl`eme (3) : Si (ζ[k], Λ[k]) satisfait (6) alors u[k] = V[k]ζ[k] satisfait (3) en vertu de (5), et pour la mˆeme s´erie formelle Λ[k].

On effectue alors le calcul des op´erateurs mis en jeu et on montre que l’op´erateur L 0

est une simple multiplication par une fonction d´ependant de z.

On applique ensuite ce th´eor`eme de r´eduction formelle valable pour une g´eom´etrie arbitraire de la coque axisym´etrique au cas d´eg´en´er´e d’une coque cylindrique pour la- quelle la courbure est identiquement nulle dans la direction axiale. Ceci implique l’annu- lation des op´erateurs L 0 , L 1 , L 2 et L 3 construits dans le th´eor`eme pr´ec´edent. L’op´erateur L 4 est lui un bilaplacien dont on calcule le spectre de mani`ere explicite. On obtient alors que pour toute valeur propre de l’op´erateur L 4 muni des conditions au bord de Dirichlet associ´ee au vecteur propre v

L ₄ v = λv

il existe un couple de s´eries formelles (Λ[k], ζ[k]) solution de (6) de la forme ζ[k] = v + 1

k ζ ₁ + · · · et Λ[k] = 1

k ⁴ λ + 1

k ⁵ Λ ₅ + · · ·

Tronquant alors le couple de s´eries formelles (Λ[k], u[k]) avec u[k] = V[k]ζ[k], on

construit des quasimodes `a tout ordre en puissances de k ⁻¹ . D’autre part une estimation

10 TABLE DES MATI ` ERES

d’´energie montre que le bas du spectre de M[k] admet une borne inf´erieure de l’ordre de O (k ⁻⁴ ) lorsque k → + ∞ . Ceci nous montre alors le comportement en k ⁻⁴ des plus petites valeurs propres de l’op´erateur M[k]. Des simulations num´eriques effectu´ees `a l’aide de la librairie d’´el´ements finis M´ elina d´evelopp´ee par Martin [33] ont confirm´e nos r´esultats th´eoriques.

La strat´egie g´en´erale pour ´etudier ensuite le bas du spectre de l’op´erateur K(ε) consiste donc `a ´etudier le spectre de l’op´erateur `a deux param`etres (1) dans un r´egime ε → 0 et k → ∞ . Certaines justifications formelles du comportement spectral de K(ε) ont ´et´e obtenues r´ecemment par Artioli, Beir˜ao da Veiga, Hakula et Lovadina [3, 2] dans les trois cas typiques : elliptique, hyperbolique et cylindrique. Pour chaque

´epaisseur ε, la base du spectre de K(ε) est le minimum sur k des premi`eres valeurs propres des op´erateurs K(ε)[k] (1). On cherche alors `a caract´eriser pour chaque ε la fr´equence k qui r´ealise le minimum afin d’obtenir une asymptotique en ε de la valeur propre correspondante.

Compte-tenu du r´esultat obtenu sur le spectre de la membrane, on peut s’attendre

`a ce que le bas du spectre de l’op´erateur K(ε)[k] se situe dans la zone ´equilibrant le bas du spectre de M[k] en k <sup>−4</sup> avec celui de ε <sup>2</sup> B[k] qui se comporte en ε <sup>2</sup> k <sup>4</sup> dans la composante normale `a la coque. Pour une ´epaisseur ε fix´ee, ce r´egime correspondrait alors `a une fr´equence k ≃ ε ^−1/4 en variable de Fourier angulaire.

Partant de cette id´ee – corrobor´ee par les r´esultats de Artioli, Beir˜ao da Veiga, Hakula et Lovadina [3, 2] – on introduit un param`etre de couplage C et on ´etudie l’op´erateur K(ε)[k] dans le r´egime k = Cε <sup>−1/4</sup> , c’est-`a-dire l’op´erateur

K(ε)[Cε ^−1/4 ]

qui se d´eveloppe en puissances de ε ^1/4 , et d´epend du param`etre C. De la mˆeme mani`ere que pour la membrane, on construit des quasi-modes en puissances de ε ^1/4 , et dont la plus basse valeur propre se comporte en

Λ(C)[ε] = εΛ ₄ (C) + ε ^5/4 Λ ₅ (C) + · · ·

o` u Λ n (C) d´epend du param`etre C. Pour construire ceux-ci, il est n´ecessaire d’intro- duire des termes de couches limites qui n’´etaient pas pr´esents dans le cas de l’´etude de l’op´erateur de membrane M[k], ce qui introduit un niveau de complexit´e suppl´ementaire.

Le r´esultat de cette construction est l’existence de spectre pour K(ε)[Cε ^−1/4 ] dans un voisinage de εΛ 4 (C) modulo ε ^5/4 , et ceci pour toute valeur du param`etre de couplage C.

On calcule ensuite la valeur C min de la constante C telle que la valeur propre Λ 4 (C) soit minimale. Alors finalement

Λ(C _min )[ε] = εΛ ₄ (C _min ) + ε ^5/4 Λ ₅ (C _min ) + · · · (7)

est un bon candidat pour le bas du spectre de l’op´erateur K(ε). De plus k = C min ε ^−1/4

serait la fr´equence `a laquelle ce minimum est atteint. La d´ependance non triviale par

TABLE DES MATI ` ERES 11

rapport `a ε de cette fr´equence fait apparaˆıtre clairement le ph´enom`ene de sensitivit´e dans le cas des coques cylindriques encastr´ees.

Pour compl´eter l’´etude pr´ec´edente, il reste `a prouver que Λ(C min )[ε] correspond bien

`a la premi`ere valeur propre de K(ε). Ceci n’ayant pu ˆetre d´emontr´e th´eoriquement, on a compl´et´e notre investigation dans le cas du cylindre par des simulations num´eriques effectu´ees `a l’aide de la librairie d’´el´ements finis M´ elina d´evelopp´ee par Martin [33].

On a alors pu constater que l’asymptotique (7) obtenue pour le mod`ele de Koiter a

´et´e valid´ee non pas par le calcul du spectre de K(ε) – rendu difficile par la pr´esence d’un terme d’ordre 4 – mais directement sur le mod`ele tridimensionnel de Lam´e d´ecompos´e en variable de Fourier. Il s’agit donc de calculs bidimensionnels sur une ”tranche”

de coque. En particulier, la constante C min obtenue th´eoriquement a ´et´e retrouv´ee

num´eriquement et elle d´ecrit bien la premi`ere valeur propre. Ceci justifie l’approche

pr´ec´edente utilisant le r´egime k = Cε ^−1/4 , et apporte une preuve suppl´ementaire de la

bonne approximation du mod`ele tridimensionnel par le mod`ele de Koiter.

12 TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1

Rappels d’´ el´ ements de th´ eorie des coques

1.1 Introduction

Dans ce chapitre nous revisitons la th´eorie des coques du point de vue de la g´eom´etrie des surfaces.

Le mod`ele tridimensionnel de Lam´e peut ˆetre approch´e par un mod`ele bidimen- sionnel pos´e sur la surface moyenne. Plusieurs mod`eles existent dont ceux de Koiter (1959-1970) [32], John [30], Naghdi (1963) [34], Budianski et Sanders (1967) [10] et Novozhilov [37] et s’´ecrivent sous la forme :

K(ε) = M + ε ² B.

Les auteurs cit´es sont unanimes pour l’expression de la membrane ; mais celle de l’op´erateur de flexion porte `a controverse. Dans [12], diff´erents mod`eles hi´erarchiques de coques et leur traitement num´erique par les ´el´ements finis sont d´etaill´es. D’un point de vue g´eom´etrique et m´ecanique c’est le mod`ele de Koiter [32] qui paraˆıt le plus na- turel. Nous ne consid´ererons que ce mod`ele par la suite.

La limite du d´eplacement pour le probl`eme de chargement quand ε tend vers 0 a

´et´e ´etudi´e par Sanchez-Palencia en 1990 [40] et Ciarlet, Lods et Miara en 1996 [16], Ciarlet [14].

D’autre part Faou a effectu´e des d´eveloppements asymptotiques multi-´echelles pour le mod`ele de Koiter dans [24], [23], [25].

Concernant le probl`eme aux valeurs propres, le plus ancien travail est celui de Ciarlet et Kesavan [15] dans le cas des plaques isotropes encastr´ees o` u ils mettent en ´evidence le comportement dominant de la flexion pour les plus petites fr´equences.

Nazarov et Zorin [36], Nazarov [35], Dauge, Djurdjevic, Faou, R¨ossle [17] ´etudient aussi des d´eveloppements asymptotiques des ´el´ements propres dans le cas des plaques.

13

14 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

Dans le cas des coques, l’´ecole de Goldenveizer a ´etudi´e leurs propri´et´es spec- trales dans Aslanian et Lidskii [4], Goldenveizer, Lidskii et Tovstik [28],Vassiliev [41].

Plus tard Sanchez-Hubert et Sanchez-Palencia en 1997 [39] ont montr´e que les valeurs propres de l’op´erateur de Koiter sont attir´ees par celles de la membrane. Dans [19], Dauge, Faou et Yosibash ont fait des exp´eriences num´eriques pour calculer les plus petites valeurs propres de l’´elasticit´e dans le cas de trois types de coques diff´erents.

L’article [2] rassemble les r´esultats de Artioli, Beir˜ao da Veiga, Hakula et Lovadina obtenus en utilisant la th´eorie de l’interpolation. Ils donnent le comportement de la plus petite valeur propre de l’op´erateur de Koiter en fonction de ε pour les 3 types de coques : parabolique, hyperbolique, elliptique. Les articles [2] et [3] font des exp´eriences num´eriques qui valident les r´esultats th´eoriques de [8] et [7]. L’article [6] d´emontre th´eoriquement les r´esultats dans le cas du mod`ele shallow shell du cylindre.

On va explorer la question des valeurs propres dans le cas des coques axisym´etriques et y r´epondre partiellement en utilisant les quasimodes et en s’appuyant sur des r´esultats num´eriques qui corroboreront la th´eorie.

Dans ce chapitre nous rappelons et red´emontrons les propri´et´es de base des co- ordonn´ees normales et d´eriv´ees covariantes pour une surface S de R ³ munie de son param´etrage. On d´emontre les ´equations de Codazzi-Minardi qui servent au calcul pratique par la suite. Ensuite nous rappelons les tenseurs qui interviennent dans la formulation variationnelle de Koiter et nous recalculons apr`es int´egration par parties les matrices d’op´erateurs correspondantes.

1.2 El´ ements de g´ eom´ etrie

1.2.1 Les coordonn´ ees normales

On introduit les ´el´ements de la g´eom´etrie Riemannienne et le syst`eme de coor- donn´ees normales non pas dans le cas le plus g´en´eral mais pour une surface S de R ³ munie de son param´etrage.

La pr´esentation suit celle du livre de Do Carmo [21] pour les d´emonstrations et nota- tions.

On consid`ere une surface S de R ³ et son param´etrage local C ^∞ − →

X d´efini sur un atlas de cartes U de R ² :

−

→ X : U ⊂ R ² → S ⊂ R ³ (x ₁ , x ₂ ) 7→ − → X (x ₁ , x ₂ ) . On note les d´eriv´ees partielles :

−

→ X 1 = ∂ − → X

∂x 1

= ∂ 1 − → X , − →

X 2 = ∂ − → X

∂x 2

= ∂ 2 − →

X

1.2. EL ´ EMENTS DE G ´ EOM ´ ETRIE 15

x ₁ x ₂

U ⊂ R ² S ⊂ R ³

X !

Figure 1.1 – Param´etrisation d’une surface.

et dans la suite, les lettres grecques α, β,γ ... repr´esenteront alors 1 ou 2.

La notation suivante sera alors utilis´ee :

−

→ X α = ∂ − → X

∂x α

, − → X αβ = ∂ ² − → X

∂x α ∂x β

.

On d´efinit la normale unitaire `a la surface − → N et sa d´eriv´ee partielle par :

−

→ N =

−

→ X 1 ∧ − → X 2

|| − → X 1 ∧ − →

X 2 || , − →

N α = ∂ − → N

∂x α

. On fait l’hypoth`ese que les vecteurs − →

X 1 et − →

X 2 ne sont pas li´es ; alors le triplet ( − → X 1 , − →

X 2 , − → N ) constitue une base locale. Les vecteurs de R ³ pourront alors ˆetre d´ecompos´es dans cette base.

D´ efinition 1.1. Soit − →

V un vecteur de R ³ , ses composantes dans la base locale ( − → X 1 , − →

X 2 , − → N ) not´ees (V ¹ , V ² , V ³ ) sont appel´ees composantes contravariantes :

−

→ V = V ¹ − →

X 1 + V ² − →

X 2 + V ³ − → N .

Pour simplifier les ´ecritures, on introduit la notation suivante : Notation 1.2. On ´ecrit :

V ¹ − → X ₁ + V ² − → X ₂ = V ^γ − → X _γ

o` u l’indice γ r´ep´et´e en haut et en bas signifie que l’on effectue la somme sur γ = 1, 2.

16 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

D´ efinition 1.3. On d´efinit le tenseur m´etrique par : a αβ = h − → X α , − → X β i et on note a ^αβ son inverse, c’est-`a-dire que :

a αβ a ^βγ = δ _α ^γ o` u δ ^γ _α d´esigne le symbole de Kronecker.

Le d´eterminant du tenseur m´etrique est | a | = det(a _αβ ) = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁ . On a les formules suivantes :

a ¹¹ = a 22

| a | , a ¹² = − a 12

| a | , a ²¹ = − a 21

| a | , a ²² = a 11

| a | .

Les symboles de Christoffel Γ ^γ _αβ et le tenseur de courbure b _αβ sont les composantes contravariantes de − →

X αβ :

−

→ X _αβ = Γ ^γ _αβ − → X _γ + b _αβ − → N .

Notation 1.4. On note les composantes contravariantes du tenseur de courbure : b ^β _α = b αγ a ^γβ

o` u l’indice γ r´ep´et´e indique que l’effectue la somme sur γ=1, 2.

Notation 1.5. On note ( − → X ¹ , − →

X ² , − →

N ) la base duale de la base ( − → X 1 , − →

X 2 , − → N ).

D´ efinition 1.6. Les composantes covariantes d’un vecteur − →

V not´ees (V 1 , V 2 , V 3 ) sont ses composantes dans la base ( − → X ¹ , − → X ² , − → N ) et les composantes covariantes et contrava- riantes sont reli´ees par les ´egalit´es :

V ³ = V 3 , V ^α = a ^αβ V β .

Propri´ et´ e 1.7. Les composantes Γ ^γ _αβ et b αβ et le tenseur m´etrique sont sym´etriques en α et β :

Γ ^γ _αβ = Γ ^γ _βα , b _αβ = b _βα , et a _αβ = a _βα . Preuve. D’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, on a : − →

X 12 = − →

X 21 , les ´egalit´es en d´ecoulent puisque ( − → X ₁ , − → X ₂ , − → N ) constitue une base locale.

Pour le tenseur m´etrique cela provient de la sym´etrie du produit scalaire.

On peut exprimer les symboles de Christoffel uniquement `a partir du tenseur m´etrique :

Proposition 1.8. On a la formule : Γ ^γ _αβ = 1

2 a ^γδ (∂ α a βδ + ∂ β a αδ − ∂ δ a αβ )

o` u l’indice δ indique que l’on fait la somme sur δ = 1, 2.

1.2. EL ´ EMENTS DE G ´ EOM ´ ETRIE 17

Preuve. Comme :

∂ α a βγ = ∂ α h − → X β , − → X γ i = h ∂ α − → X β , − → X γ i + h − → X β , ∂ α − → X γ i = h − → X αβ , − → X γ i + h − → X β , − → X αγ i (1.1) on peut exprimer h − → X _αβ , − → X _γ i en fonction uniquement du tenseur m´etrique :

h − → X 11 , − →

X 1 i = ¹ ₂ ∂ 1 a 11 h − → X 11 , − →

X 2 i = ∂ 1 a 12 − ¹ ₂ ∂ 2 a 11

h − → X 12 , − →

X 1 i = ¹ ₂ ∂ 2 a 11 h − → X 12 , − →

X 2 i = ¹ ₂ ∂ 1 a 22

h − → X ₂₂ , − → X ₁ i = ∂ ₂ a ₁₂ − ¹ ₂ ∂ ₁ a ₂₂ h − → X ₂₂ , − → X ₂ i = ¹ ₂ ∂ ₂ a ₂₂ . D’autre part, puisque

−

→ X αβ = Γ ^γ _αβ − →

X γ + b αβ − →

N et − → X α ⊥ − →

N , il s’en suit :

h − → X αβ , − →

X γ i = h Γ ^δ _αβ − →

X δ + b αβ − → N , − →

X γ i = Γ ^δ _αβ a δγ .

En inversant le syst`eme d’´equations obtenu , on obtient les coefficients Γ ^γ _αβ en fonction du tenseur m´etrique. Par exemple pour Γ ¹ ₁₁ , on obtient :

Γ ¹ ₁₁ = 1

| a | ( 1

2 a 22 ∂ 1 a 11 − a 12 ∂ 1 a 12 + 1

2 a 12 ∂ 2 a 11 ).

On ne d´emontre la proposition que pour Γ ¹ ₁₁ mais le principe est le mˆeme pour les autres quantit´es. Posons :

d ^γ _αβ = 1

2 a ^γδ (∂ α a βδ + ∂ β a αδ − ∂ δ a αβ ), et d´eveloppons d ¹ ₁₁ :

d ¹ ₁₁ = 1

2 a ^1δ (∂ 1 a 1δ + ∂ 1 a 1δ − ∂ δ a 11 )

= 1

2 a ¹¹ (∂ 1 a 11 + ∂ 1 a 11 − ∂ 1 a 11 ) + 1

2 a ¹² (∂ 1 a 12 + ∂ 1 a 12 − ∂ 2 a 11 ).

Par d´efinition de l’inverse du tenseur m´etrique, on obtient : d ¹ ₁₁ = 1

| a | ( 1

2 a ₂₂ ∂ ₁ a ₁₁ − a ₁₂ ∂ ₁ a ₁₂ + 1

2 a ₁₂ ∂ ₂ a ₁₁ ) = Γ ¹ ₁₁ . On montre alors :

∀ α, β, γ, Γ ^γ _αβ = d ^γ _αβ .

Proposition 1.9. La d´ecomposition de − → N α selon la base locale ( − → X 1 , − → X 2 , − → N ) est donn´ee par :

−

→ N α = − b ^β _α − →

X β

18 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

Preuve. Par d´efinition du tenseur de courbure, on a : b αβ = h − → N , − → X αβ i . Mais puisque − →

N et − →

X α sont orthogonaux, on peut ´ecrire :

0 = ∂ _β h − → N , − → X _α i = h −→ N _β , − → X _α i + h − → N , − → X _αβ i = h −→ N _β , − → X _α i + b _αβ . Donc :

h −→

N β , − →

X α i = − b αβ . Notons (h ^γ _α , h ³ ) les composantes contravariantes de − →

N α :

−

→ N α = h ^γ _α − →

X γ + h ³ − → N , on a :

h − → N α , − →

X β i = h ^γ _α h − → X γ , − →

X β i .

Or par d´efinition des composantes contravariantes et de l’inverse du tenseur m´etrique, on a :

h − → N α , − →

X β i = h ^γ _α a γβ = h αδ a ^δγ a γβ = h αβ . D’o` u :

h αβ = − b αβ et donc h ^β _α = − b ^β _α . Puisque h − →

N , − →

N i = 1, on peut ´ecrire que : 0 = ∂ β h − →

N , − →

N i = h − → N β , − →

N i + h − → N , − →

N β i = 2 h − → N β , − →

N i = 2h ³ . Les composantes contravariantes de − → N α sont alors ( − b ¹ _α , − b ² _α , 0).

1.2.2 D´ eriv´ ee covariante

On rappelle et d´emontre les propri´et´es de base de la d´eriv´ee covariante.

D´ efinition 1.10. Pour

w ∈ C ^∞ (U, R ), v = (v β ) β∈{1,2} ∈ C ^∞ (U, R ² ) et c = (c βγ ) (β,γ)∈{1,2} ∈ C ^∞ (U, R ⁴ ), on d´efinit les d´eriv´ees covariantes suivantes :

D α w = ∂ α w, D α v β = ∂ α v β − Γ ^δ _αβ v δ

et D α c βγ = ∂ α c βγ − Γ ^δ _αβ c δγ − Γ ^δ _αγ c βδ , ainsi que pour les composantes contravariantes :

D α v ^β = ∂ α v ^β + Γ ^δ _αβ v ^δ

et D _α c ^γ _β = ∂ _α c ^γ _β + Γ ^δ _αβ c ^γ _δ − Γ ^δ _αγ c ^δ _β .

1.2. EL ´ EMENTS DE G ´ EOM ´ ETRIE 19

Notation 1.11. Comme pr´ec´edemment on note : D ^α v β = a ^αγ D γ v β .

Propri´ et´ e 1.12. On a les relations suivantes : pour tout v , v ^′ ∈ C ^∞ (U, R ² ) : i) D _α (v _β v ^′ _γ ) = v _β D _α v _γ ^′ + v _γ ^′ D _α v _β .

ii) D α a βγ = 0.

iii) D α a βη v γ = a βη D α v γ . Preuve.

i) Ceci d´ecoule de la d´efinition 1.10.

ii) On a a αβ a ^βγ = δ _α ^β et en utilisant la proposition 2.1, on obtient : D α a βγ = ∂ α a βγ − Γ ^δ _αβ a δγ − Γ ^δ _αγ a βδ

= ∂ α a βγ − ¹ ₂ a ^δτ (∂ α a βτ + ∂ β a ατ − ∂ τ a αβ )a δγ − ¹ ₂ a ^δτ (∂ α a γτ + ∂ γ a ατ − ∂ τ a αγ )a βδ

= ∂ α a βγ − ¹ ₂ a ^δτ a δγ (∂ α a βτ + ∂ β a ατ − ∂ τ a αβ ) − ¹ ₂ a ^δτ a βδ (∂ α a γτ + ∂ γ a ατ − ∂ τ a αγ )

= ∂ α a βγ − ¹ ₂ a ^δτ a δγ ∂ α a βτ − ¹ ₂ a ^δτ a δγ ∂ β a ατ + ¹ ₂ a ^δτ a δγ ∂ τ a αβ − ¹ ₂ a ^δτ a βδ ∂ α a γτ

− ¹ ₂ a ^δτ a βδ ∂ γ a ατ + ¹ ₂ a ^δτ a βδ ∂ τ a αγ .

Par sym´etrie du tenseur m´etrique et de son inverse, on a :

D α a βγ = ∂ α a βγ − ¹ ₂ δ _γ ^τ ∂ α a βτ − ¹ ₂ δ _γ ^τ ∂ β a ατ + ¹ ₂ δ _γ ^τ ∂ τ a αβ − ¹ ₂ δ _β ^τ ∂ α a γτ − ¹ ₂ δ ^τ _β ∂ γ a ατ + ¹ ₂ δ _β ^τ ∂ τ a αγ

= ∂ α a βγ − ¹ ₂ ∂ α a βγ − ¹ ₂ ∂ β a αγ + ¹ ₂ ∂ γ a αβ − ¹ ₂ ∂ α a γβ − ¹ ₂ ∂ γ a αβ + ¹ ₂ ∂ β a αγ = 0.

iii) D’apr`es la d´efinition 1.10, on a :

D α (c βγ v τ ) = v τ D α c βγ + c βγ D α v τ

En utilisant ii), on obtient :

D α a βη v γ = v γ D α a βη + a βη D α v γ = a βη D α v γ .

Ces propri´et´es nous seront utiles par la suite pour faire des int´egrations par parties dans la formulation variationnelle de Koiter.

Propri´ et´ e 1.13. La d´eriv´ee covariante et le tenseur de courbure v´erifient les ´equations de Codazzi-Mainardi :

D α b βγ = D β b αγ . Preuve. Par d´efinition, on a :

D α b βγ = ∂ α b βγ − Γ ^δ _αβ b δγ − Γ ^δ _αγ b βδ et D β b αγ = ∂ β b αγ − Γ ^δ _βα b δγ − Γ ^δ _βγ b αδ . Par sym´etrie du symbole de Christoffel, on a : Γ ^δ _αβ b _δγ = Γ ^δ _βα b _δγ .

Il s’agit alors de montrer que :

∂ α b βγ − Γ ^δ _αγ b βδ = ∂ β b αγ − Γ ^δ _βγ b αδ . (1.2)

20 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

- Les cas α = β = 1 et α = β = 2 sont triviaux.

- Dans le cas o` u α = γ = 1 et β = 2, il s’agit de montrer l’´egalit´e :

∂ 1 b 21 − Γ ^δ ₁₁ b 2δ = ∂ 2 b 11 − Γ ^δ _β1 b 1δ . (1.3) D’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, on a la relation suivante :

∂ 2 − → X 11 − ∂ 1 − → X 12 = 0.

D´eveloppons alors le membre de gauche avec les composantes contravariantes de − → X αβ :

∂ 2 − → X 11 − ∂ 1 − → X 12 = ∂ 2 (Γ ¹ ₁₁ − → X 1 ) + ∂ 2 (Γ ² ₁₁ − → X 2 + ∂ 2 (b 11 − → N ) − ∂ 1 (Γ ¹ ₁₂ − → X 1 ) − ∂ 1 (Γ ² ₁₂ − → X 2 ) − ∂ 1 (b 12 − → N )

= ∂ 2 Γ ¹ ₁₁ − →

X 1 + Γ ¹ ₁₁ − →

X 12 + ∂ 2 Γ ² ₁₁ ) − →

X 2 + Γ ² ₁₁ − →

X 22 + ∂ 2 b 11 − →

N + b 11 ∂ 2 − → N

− ∂ 1 Γ ¹ ₁₂ − →

X 1 − Γ ¹ ₁₂ − →

X 11 − ∂ 1 Γ ² ₁₂ − →

X 2 − Γ ² ₁₂ − →

X 21 − ∂ 1 b 12 − →

N − b 12 ∂ 1 − → N . Puis recommencons `a nouveau :

∂ 2 − →

X 11 − ∂ 1 − →

X 12 = ∂ 2 Γ ¹ ₁₁ − →

X 1 + Γ ¹ ₁₁ (Γ ¹ ₁₂ − →

X 1 + Γ ² ₁₂ − →

X 2 + b 12 − →

N ) + ∂ 2 Γ ² ₁₁ − → X 2

+ Γ ² ₁₁ (Γ ¹ ₂₂ − →

X 1 + Γ ² ₂₂ − →

X 2 + b 22 − →

N ) + ∂ 2 b 11 − →

N + b 11 ( − b ¹ ₂ − →

X 1 − b ² ₂ − → X 2 )

− ∂ 1 Γ ¹ ₁₂ − → X 1 − Γ ¹ ₁₂ (Γ ¹ ₁₁ − → X 1 + Γ ² ₁₁ − → X 2 + b 11 − → N ) − ∂ 1 Γ ² ₁₂ − → X 2

− Γ ² ₁₂ (Γ ¹ ₂₁ − → X ₁ + Γ ² ₂₁ − → X ₂ + b ₂₁ − → N ) − ∂ ₁ b ₁₂ − → N − b ₁₂ ( − b ¹ ₁ − → X ₁ − b ² ₁ − → X ₂ ).

Puisque ( − → X 1 , − → X 2 , − → N ) forme une base, la composante selon − → N est nulle : Γ ¹ ₁₁ b 12 + Γ ² ₁₁ b 22 + ∂ 2 b 11 − Γ ¹ ₁₂ b 11 − Γ ² ₁₂ b 21 − ∂ 1 b 12 = 0, ce qui montre (1.3).

- Dans le cas o` u α = 1 et β = γ = 2, il s’agit de montrer l’´egalit´e :

∂ 1 b 22 − Γ ^δ ₁₂ b 2δ = ∂ 2 b 12 − Γ ^δ ₂₂ b 1δ . D’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, on a la relation suivante :

∂ 1 − → X 22 − ∂ 2 − → X 21 = 0.

En proc´edant alors comme pr´ec´edemment on montre l’´egalit´e voulue.

- Les cas α = 2, β = γ = 1 et α = γ = 2, β = 1 sont aussi vrais par sym´etrie en α, β.

Remarque 1.14. Les propri´et´es 1.12 et 1.13 sont aussi vraies lorsque l’on monte les indices en multipliant par la m´etrique.

1.3 El´ ements de th´ eorie des coques

On ´etudie la d´eformation de la surface comme dans le livre de Sanchez-Hubert, Sanchez-Palencia [39] page 115 et le cours de Garrigues [26] .

On consid`ere un point P de la surface S index´e par sa position X(x ~ 1 , x 2 ) et qui subit

1.3. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES 21

un d´eplacement u . On note sa nouvelle position X ~ ^u : X ~ ^u = X ~ + u.

Le tenseur m´etrique subit alors lui aussi une modification et devient a ^u _αβ . On peut faire un d´eveloppement limit´e du tenseur m´etrique pour un d´eplacement u infinit´esimal : D´ efinition 1.15. Le tenseur de changement de m´etrique ou tenseur du taux de d´eformation de la surface γ αβ est d´efini par l’´equation :

a ^u _αβ = a αβ + 2γ αβ (u) + O( || u || ² ).

Nous allons essayer de trouver une autre expression pour ce tenseur. Pour cela nous utiliserons le lemme suivant.

Lemme 1.16. On a la relation suivante :

a βδ ∂ α (a ^βτ ) = − a ^βτ Γ ^γ _βα a γδ − Γ ^τ _δα .

Preuve. En utilisant la d´efinition de l’inverse du tenseur m´etrique, on peut ´ecrire : a βδ ∂ α (a ^βτ ) = ∂ α (a βδ a ^βτ ) − a ^βτ ∂ α a βδ = − a ^βτ ∂ α a βδ .

or par d´efinition du tenseur m´etrique et des symboles de Christoffel :

∂ α a βδ = ∂ α h X ~ β , ~ X δ i = h X ~ βα , ~ X δ i + h X ~ β , ~ X δα i = Γ ^γ _βα a γδ + Γ ^γ _δα a γβ . Donc :

a βδ ∂ α (a ^βτ ) = − a ^βτ (Γ ^γ _βα a γδ + Γ ^γ _δα a γβ ) = − a ^βτ Γ ^γ _βα a γδ − Γ ^τ _δα .

Proposition 1.17. Le tenseur du taux de d´eformation de la surface a pour expression : γ αβ ( u ) = 1

2 (D α u β + D β u α ) − b αβ u 3 . Preuve. Par d´efinition, on a :

a ^u _αβ = h ∂ _α X ~ ^u , ∂ _β X ~ ^u i . D’o` u :

a ^u _αβ = h X ~ α + ∂ α u, ~ X β + ∂ β u i

= h X ~ α , ~ X β i + h X ~ α , ∂ β u i + h ∂ α u, ~ X β i + O( || u || ² )

= a αβ + h X ~ α , ∂ β u i + h ∂ α u, ~ X β i + O( || u || ² ).

Il s’en suit :

γ _αβ (u) = 1

2 ( h X ~ _α , ∂ _β u i + h ∂ _α u, ~ X _β i ).

22 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

En utilisant les composantes contravariantes de u, on obtient :

∂ α u = ∂ α (u ^γ X ~ γ + u ³ N) = ~ ∂ α u ^γ X ~ γ + u ^γ X ~ γα + ∂ α u ³ N ~ + u ³ N ~ α . Or on a :

X ~ _γα = Γ ^β _γα X ~ _β + b _γα N ~ et N ~ _α = − b ^β _α X ~ _β . Donc :

∂ _α u = ∂ _α u ^γ X ~ _γ + u ^γ (Γ ^β _γα X ~ _β + b _γα N ~ ) + ∂ _α u ³ N ~ − u ³ b ^β _α X ~ _β . Au final :

∂ _α u = (∂ _α u ^β + u ^γ Γ ^β _γα − b ^β _α u ₃ ) X ~ _β + (u ^γ b _γα + ∂ _α u ₃ ) N . ~ (1.4) Puisque X ~ δ et N ~ sont orthogonaux et en revenant aux composantes covariantes, on a :

h ∂ α u, ~ X δ i = (∂ α u ^β + u ^γ Γ ^β _γα − b ^β _α u 3 )a βδ = (∂ α (a ^βτ u τ ) + a ^γτ u τ Γ ^β _γα − b ^β _α u 3 )a βδ

= a βδ ∂ α (a ^βτ u τ ) + a βδ a ^γτ u τ Γ ^β _γα − a βδ b αγ a ^γβ u 3

= a βδ u τ ∂ α a ^βτ + a βδ a ^βτ ∂ α u τ + a βδ a ^γτ u τ Γ ^β _γα − b αδ u 3 . Mais comme :

a βδ a ^γβ = δ _δ ^γ , ceci nous donne :

h ∂ α u, ~ X δ i = a βδ u τ ∂ α a ^βτ + ∂ α u δ + a βδ a ^γτ u τ Γ ^β _γα − b αδ u 3 . D’apr`es le lemme 1.16 :

h ∂ α u, ~ X δ i = ( − a ^βτ Γ ^γ _βα a γδ − Γ ^τ _δα )u τ + ∂ α u δ + a βδ a ^γτ u τ Γ ^β _γα − b αδ u 3

= − Γ ^τ _δα u τ + ∂ α u δ − b αδ u 3

= D α u δ − b αδ u 3 .

Le tenseur du taux de d´eformation s’´ecrit alors : γ αβ (u) = 1

2 ( h X ~ α , ∂ β u i + h ∂ α u, ~ X β i )

= 1

2 (D β u α − b βα u 3 + D α u β − b αβ u 3 )

= 1

2 (D α u β + D β u α − 2b αβ u 3 ).

On obtient bien la proposition.

Le tenseur de courbure devient b ^u _αβ suite au d´eplacement du point P . On peut faire un d´eveloppement limit´e du tenseur m´etrique pour un d´eplacement u infinit´esimal : D´ efinition 1.18. Le tenseur des variations de courbure ρ αβ est d´efini par :

b ^u _αβ = b _αβ + ρ _αβ (u) + O( || u || ² ).

De mˆeme on peut obtenir une expression plus explicite.

1.3. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES 23

Proposition 1.19. Le tenseur des variations de courbure a pour expression : ρ αβ (u) = D α D β u 3 + D α (b ^η _β u η ) + b ^η _α D β u η − b ^η _α b βη u 3 .

Preuve. En utilisant les formules du produit mixte et du double produit vectoriel, on a :

|| X ~ 1 ∧ X ~ 2 || ² = h X ~ 1 ∧ X ~ 2 , ~ X 1 ∧ X ~ 2 i = [ X ~ 1 , ~ X 2 , ~ X 1 ∧ X ~ 2 ]

= h X ~ 1 , ~ X 2 ∧ ( X ~ 1 ∧ X ~ 2 ) i

= h X ~ 1 , h X ~ 2 , ~ X 2 i X ~ 1 − h X ~ 2 , ~ X 1 i X ~ 2 i

= a 11 a 22 − a 12 a 21 = | a | . On a de mˆeme :

|| X ~ ₁ ^u ∧ X ~ ₂ ^u || ² = | a ^u | . Mais d’apr`es ce qui pr´ec`ede,

a ^u _αβ = a _αβ + 2γ _αβ (u) + O( || u || ² ), donc on montre facilement que :

| a ^u | = | a | + 2a 11 γ 22 (u) + 2a 22 γ 11 (u) − 4a 12 γ 12 (u) + O( || u || ² ).

Il s’ensuit que : 1

| a ^u | ^1/2 = 1

| a | ^1/2 (1 − 1

| a | (a 11 γ 22 (u) + a 22 γ 11 (u) − 2a 12 γ 12 (u) + O( || u || ² )), 1

| a ^u | ^1/2 = 1

| a | ^1/2 (1 − (a ²² γ 22 (u) + a ¹¹ γ 11 (u) + 2a ¹² γ 12 (u)) + O( || u || ² ).

Par d´efinition,

N ~ ^u = X ~ ₁ ^u ∧ X ~ ₂ ^u

|| X ~ ₁ ^u ∧ X ~ ₂ ^u || = X ~ ₁ ^u ∧ X ~ ₂ ^u

| a ^u | ^1/2 , et

X ~ ₁ ^u ∧ X ~ ₂ ^u = ( X ~ ₁ + ∂ ₁ u) ∧ ( X ~ ₂ + ∂ ₂ u) = X ~ ₁ ∧ X ~ ₂ + ∂ ₁ u ∧ X ~ ₂ + X ~ ₁ ∧ ∂ ₂ u + O( || u || ² ).

Il s’en suit alors que : N ~ ^u = 1

| a | ^1/2 [1 − (a ²² γ 22 (u) + a ¹¹ γ 11 (u) + 2a ¹² γ 12 (u))][ X ~ 1 ∧ X ~ 2 + ∂ 1 u ∧ X ~ 2 + X ~ 1 ∧ ∂ 2 u]

+ O( || u || ² )

= 1

| a | ^1/2 [ X ~ 1 ∧ X ~ 2 + ∂ 1 u ∧ X ~ 2 + X ~ 1 ∧ ∂ 2 u − (a ²² γ 22 (u) + a ¹¹ γ 11 (u) + 2a ¹² γ 12 (u)) X ~ 1 ∧ X ~ 2 ] + O( || u || ² )

= N ~ + 1

| a | ^1/2 (∂ 1 u ∧ X ~ 2 + X ~ 1 ∧ ∂ 2 u) − (a ²² γ 22 (u) + a ¹¹ γ 11 (u) + 2a ¹² γ 12 (u)) N ~ + O( || u || ² ).

24 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

Les composantes contravariantes de ∂ β u sont :

∂ β u = h ∂ β u, ~ X ^γ i X ~ γ + h ∂ β u, ~ N i N , ~ donc

∂ β u ∧ X ~ α = h ∂ β u , ~ X ^γ i X ~ γ ∧ X ~ α + h ∂ β u , ~ N i N ~ ∧ X ~ α . En rempla¸cant les α, β on a :

∂ 1 u ∧ X ~ 2 + X ~ 1 ∧ ∂ 2 u = h ∂ 1 u, ~ X ^γ i X ~ γ ∧ X ~ 2 + h ∂ 1 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 2 − h ∂ 2 u, ~ X ^γ i X ~ γ ∧ X ~ 1

− h ∂ 2 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 1

= h ∂ 1 u, ~ X ¹ i| a | ^1/2 N ~ + h ∂ 1 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 2 + h ∂ 2 u, ~ X ² i| a | ^1/2 N ~

− h ∂ 2 u , ~ N i N ~ ∧ X ~ 1 , d’o` u :

∂ 1 u ∧ X ~ 2 + X ~ 1 ∧ ∂ 2 u = h ∂ α u, ~ X ^α i| a | ^1/2 N ~ + h ∂ 1 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 2 − h ∂ 2 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 1 . Mais

h ∂ _α u, ~ X ^α i = h ∂ _α u, a ^αβ X ~ _β i = h ∂ ₁ u, a ¹¹ X ~ ₁ i + h ∂ ₁ u, a ¹² X ~ ₂ i + h ∂ ₂ u, a ²¹ X ~ ₁ i + h ∂ ₂ u, a ²² X ~ ₂ i

= a ¹¹ γ 11 ( u ) + 2a ¹² γ 12 ( u ) + a ²² γ 22 ( u ), d’o` u au final :

N ~ ^u = N ~ + 1

| a | ^1/2 ( h ∂ 1 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 2 − h ∂ 2 u, ~ N i N ~ ∧ X ~ 1 ) + O( || u || ² ).

D’autre part, les composantes covariantes de N ~ ∧ X ~ α sont en utilisant le produit mixte : N ~ ∧ X ~ α = h N ~ ∧ X ~ α , ~ X γ i X ~ ^γ + h N ~ ∧ X ~ α , ~ N i N ~

= [ N , ~ ~ X α , ~ X γ ] X ~ ^γ + [ N , ~ ~ X α , ~ N ] N ~

= [ X ~ α , ~ X γ , ~ N ] X ~ ^γ + [ N , ~ ~ N , ~ X α ] N ~

= h X ~ _α ∧ X ~ _γ , ~ N i X ~ ^γ , donc

h ∂ ₁ u, ~ N i N ~ ∧ X ~ ₂ − h ∂ ₂ u, ~ N i N ~ ∧ X ~ ₁ = −h ∂ ₁ u, ~ N i| a | ^1/2 X ~ ¹ − h ∂ ₂ u, ~ N i| a | ^1/2 X ~ ² . En rempla¸cant, on obtient :

N ~ ^u = N ~ + 1

| a | ^1/2 ( −h ∂ 1 u, ~ N i| a | ^1/2 X ~ ¹ − h ∂ 2 u, ~ N i| a | ^1/2 X ~ ² ) + O( || u || ² )

= N ~ − h ∂ α u, ~ N i X ~ ^α + O( || u || ² ).

Par ailleurs, d’apr`es l’´equation (1.4)

∂ _β u = (∂ _β u ^δ + u ^γ Γ ^δ _γβ − b ^δ _β u ₃ ) X ~ _δ + (u ^γ b _γβ + ∂ _β u ₃ ) N , ~ donc

h ∂ β u, ~ N i = (u ^γ b γβ + ∂ β u 3 ),

1.3. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES 25

et au final :

N ~ ^u = N ~ − (∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ . Par d´efinition du tenseur de courbure, on a :

b _αβ = h N , ~ ~ X _αβ i = −h N ~ _α , ~ X _β i car ∂ _α h N , ~ ~ X _β i = 0, et de mˆeme :

b ^u _αβ = −h N ~ _α ^u , ~ X _β ^u i , d’autre part,

X ~ _β ^u = X ~ β + ∂ β u.

Donc :

h N ~ _α ^u , ~ X _β ^u i = h N ~ α − ∂ α ((∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X β + ∂ β u i

= h N ~ α , ~ X β i + h N ~ α , ∂ β u i − h ∂ α ((∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X β + ∂ β u i . Il s’ensuit que :

b ^u _αβ = b αβ − h N ~ α , ∂ β u i + h ∂ α ((∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X β + ∂ β u i , et que

ρ _αβ (u) = −h N ~ _α , ∂ _β u i + h ∂ _α ((∂ _δ u ₃ + b _δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X _β i . D’une part, d’apr`es l’´equation (1.4)

∂ β u = (∂ β u ^δ + u ^γ Γ ^δ _γβ − b ^δ _β u 3 ) X ~ δ + (u ^γ b γβ + ∂ β u 3 ) N , ~ et d’apr`es la proposition 1.9

N ~ α = − b ^θ _α X ~ θ , d’o` u :

h N ~ α , ∂ β u i = − b ^θ _α (∂ β u ^δ + u ^γ Γ ^δ _γβ − b ^δ _β u 3 )a δθ . Revenons aux composantes covariantes :

h N ~ α , ∂ β u i = − b ^θ _α (∂ β (a ^δτ u τ ) + a ^γτ u τ Γ ^δ _γβ − b ^δ _β u 3 )

= − b ^θ _α (a _δθ ∂ _β (a ^δτ )u _τ + a _δθ a ^δτ ∂ _β u _τ + a _δθ a ^γτ u _τ Γ ^δ _γβ − a _δθ b ^δ _β u ₃ ).

Puis on utilise le lemme 1.16 :

h N ~ α , ∂ β u i = − b ^θ _α ( − a ^{τ δ} Γ ^γ _δβ a γθ u τ − Γ ^τ _θβ u τ + ∂ β u θ + a δθ a ^γτ u τ Γ ^δ _γβ − a δθ b ^δ _β u 3 )

= − b ^θ _α ( − Γ ^τ _θβ u τ + ∂ β u θ − a δθ b ^δ _β u 3 )

= b ^θ _α Γ ^τ _θβ u _τ − b ^θ _α ∂ _β u _θ + b ^θ _α a _δθ b ^δ _β u ₃ , d’o` u :

h N ~ α , ∂ β u i = b ^θ _α Γ ^τ _θβ u τ − b ^θ _α ∂ β u θ + b ^θ _α b βθ u 3 . (1.5) D’autre part :

∂ _α ((∂ _δ u ₃ + b _δγ u ^γ ) X ~ ^δ ) = ∂ _α (∂ _δ u ₃ + b _δγ u ^γ ) X ~ ^δ + (∂ _δ u ₃ + b _δγ u ^γ )∂ _α X ~ ^δ

= (∂ αδ u 3 + ∂ α (b δγ u ^γ )) X ~ ^δ + (∂ δ u 3 + b δγ u ^γ )∂ α X ~ ^δ ,

26 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

et en revenant aux composantes covariantes :

∂ α ((∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ ) = (∂ αδ u 3 + ∂ α (b δγ a ^γη u η ))a ^δθ X ~ θ + (∂ δ u 3 + b δγ a ^γη u η )∂ α (a ^δθ X ~ θ )

= (∂ αδ u 3 + ∂ α (b ^η _δ u η ))a ^δθ X ~ θ + (∂ δ u 3 + b ^η _δ u η )[∂ α (a ^δθ ) X ~ θ + a ^δθ ∂ α X ~ θ ]

= (∂ _αδ u ₃ + ∂ _α (b ^η _δ u _η ))a ^δθ X ~ _θ + (∂ _δ u ₃ + b ^η _δ u _η )[∂ _α (a ^δθ ) X ~ _θ + a ^δθ X ~ _θα ]

= (∂ αδ u 3 + ∂ α (b ^η _δ u η ))a ^δθ X ~ θ + (∂ δ u 3 + b ^η _δ u η )[∂ α (a ^δθ ) X ~ θ + a ^δθ (Γ ^γ _θα X ~ γ + b θα N ~ )].

On a alors

h ∂ _α ((∂ _δ u ₃ + b _δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X _β i = (∂ _αδ u ₃ + ∂ _α (b ^η _δ u _η ))a ^δθ a _θβ + (∂ _δ u ₃ + b ^η _δ u _η )[∂ _α (a ^δθ )a _θβ + a ^δθ Γ ^γ _θα a _γβ ]

= ∂ αβ u 3 + ∂ α (b ^η _β u η ) + (∂ δ u 3 + b ^η _δ u η )[∂ α (a ^δθ )a θβ + a ^δθ Γ ^γ _θα a γβ ].

Or ∂ α (a ^δθ )a θβ = − a ^δθ Γ ^γ _θα a γβ − Γ ^δ _βα d’apr`es le lemme 1.16, d’o` u :

h ∂ α ((∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X β i = ∂ αβ u 3 + ∂ α (b ^η _β u η ) − (∂ β u 3 + b ^η _δ u η )Γ ^δ _βα . (1.6) Au final en rassemblant les ´egalit´es (1.5) et (1.6) on obtient :

ρ αβ (u) = −h N ~ α , ∂ β u i + h ∂ α ((∂ δ u 3 + b δγ u ^γ ) X ~ ^δ ), ~ X β i

= − b ^θ _α Γ ^τ _θβ u τ + b ^θ _α ∂ β u θ − b ^θ _α b βθ u 3 + ∂ αβ u 3 + ∂ α (b ^η _β u η ) − (∂ δ u 3 + b ^η _δ u η )Γ ^δ _βα

= − b ^θ _α Γ ^τ _θβ u τ + b ^θ _α ∂ β u θ − b ^θ _α b βθ u 3 + ∂ αβ u 3 + ∂ α (b ^η _β u η ) − ∂ δ u 3 Γ ^δ _βα − b ^η _δ u η Γ ^δ _βα ρ αβ (u) = ∂ αβ u 3 − Γ ^δ _βα ∂ δ u 3 + ∂ α (b ^η _β u η ) − b ^η _δ u η Γ ^δ _βα + b ^θ _α ∂ β u θ − b ^θ _α Γ ^τ _θβ u τ − b ^θ _α b βθ u 3 . Puisque

D α D β u 3 = ∂ α D β u 3 − Γ ^γ _αβ D γ u 3 = ∂ α ∂ β u 3 − Γ ^γ _αβ ∂ γ u 3 , il vient au final :

ρ _αβ (u) = D _α D _β u ₃ + D _α (b ^η _β u _η ) + b ^θ _α D _β u _θ − b ^θ _α b _βθ u ₃ .

Propri´ et´ e 1.20. Les tenseurs γ αβ et ρ αβ sont sym´etriques : γ αβ (u) = γ βα (u) et ρ αβ (u) = ρ βα (u).

Preuve.

- La premi`ere relation provient de la sym´etrie de b αβ . - Par d´efinition, on a :

ρ αβ (u) = D α D β u 3 − b ^γ _α b γβ u 3 + b ^γ _α D β u γ + D α b ^γ _β u γ

et ρ βα (u) = D β D α u 3 − b ^γ _β b γα u 3 + b ^γ _β D α u γ + D β b ^γ _α u γ . D’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, on a : D _α D _β u ₃ = D _β D _α u ₃ .

Par la sym´etrie du tenseur de courbure et du tenseur m´etrique, on a :

b ^γ _α b γβ = b αδ a ^δγ b γβ = b αδ a ^δγ b βγ = b αδ a ^γδ b βγ = b αδ b ^δ _β = b ^δ _β b δα = b ^γ _β b γα .

1.4. LE MOD ` ELE DE KOITER 27

De plus :

b ^γ _α D β u γ + D α b ^γ _β u γ = b ^γ _α D β u γ + b ^γ _β D α u γ + u γ D α b ^γ _β , et grˆace aux propri´et´es 1.12 iii) et 1.13, on a :

D _α b ^γ _β = D _α b _βδ a ^δγ = a ^δγ D _α b _βδ = a ^δγ D _β b _αδ = D _β b _αδ a ^δγ = D _β b ^γ _α . D’o` u :

b ^γ _α D β u γ + D α b ^γ _β u γ = b ^γ _α D β u γ + b ^γ _β D α u γ + u γ D β b ^γ _α = b ^γ _β D α u γ + b ^γ _α D β u γ + u γ D β b ^γ _α

= b ^γ _β D α u γ + D β b ^γ _α u γ . Ceci nous donne : ρ _αβ (u) = ρ _βα (u).

Notation 1.21. On notera sur le mˆeme principe que pr´ec´edemment : γ _α ^β (u) = γ _αδ (u)a ^δβ et ρ ^β _α (u) = ρ _αδ (u)a ^δβ . Remarque 1.22. γ _α ^β (u) et ρ ^β _α (u) ne sont pas sym´etriques en α, β.

1.4 Le mod` ele de Koiter

1.4.1 D´ efinitions

D’apr`es la loi de Hooke et par r´eduction sur la surface, on peut exprimer le comporte- ment de la coque soumise `a une d´eformation ´elastique de faible amplitude en utilisant la d´efinition suivante.

D´ efinition 1.23. On d´efinit le tenseur de rigidit´e surfacique du mat´eriau isotrope : M ^αβγη = νE

1 − ν ² a ^αβ a ^γη + E

2(1 + ν) (a ^αγ a ^βη + a ^αη a ^βγ ) o` u E et ν sont le module de Young et le coefficient de Poisson.

Les espaces variationnels et les formes bilin´eaires suivants sont introduits dans Koi- ter [32].

D´ efinition 1.24. On d´efinit les espaces variationnels suivants :

H ¹ (S) = { u ∈ L ² (S) tel que ∂ _α u ∈ L ² (S) pour α = 1, 2 }

H ² (S) = { u ∈ L ² (S) tel que ∂ α u ∈ L ² (S), ∂ _αβ ² u ∈ L ² (S) pour α, β = 1, 2 } . W (S) = { u ∈ H ¹ × H ¹ × H ² (S), tel que u _|Γ

= 0 et ∂ _α u _3|Γ

= 0 pour α = 1, 2 }

W m (S) = { u ∈ H ¹ × H ¹ × L ² (S), tel que u α|Γ

= 0 pour α = 1, 2 } .

28 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ ´ EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES COQUES

On d´esigne par dS la 2-forme riemannienne de volume et son expression est : dS = p

| a | dx 1 dx 2 avec | a | = det(a αβ ).

D´ efinition 1.25. On appelle forme bilin´eaire de membrane l’application de W m (S) × W m (S) dans R d´efinie par :

a m (u, v) = Z

S

M ^αβσδ γ αβ (u)γ σδ (v)dS.

La forme bilin´eaire de flexion (ou bending) est l’application de W (S) × W (S) dans R d´efinie par :

a b ( u , v ) = Z

S

M ^αβσδ ρ αβ ( u )ρ σδ ( v )dS.

La forme bilin´eaire de Koiter est l’application de W (S) × W (S) dans R d´efinie par : a K(ε) (u, v) = a m (u, v) + ε ²

3 a b (u, v).

Bernadou et Ciarlet [9] ont montr´e que les formes bilin´eaires a _m et a _b sont continues sym´etriques positives respectivement sur W m (S) et W (S) et que a K(ε) est coercive.

Remarque 1.26. Lorsqu’on ´etudie la forme bilin´eaire de membrane seule, on ne se place pas sur le mˆeme espace fonctionnel que lorsqu’on ´etudie la forme bilin´eaire de Koiter.

La formulation variationnelle du probl`eme aux valeurs propres de Koiter s’´ecrit : On cherche λ ^ε ∈ R et u ^ε ∈ W (S) \ { 0 } tels que :

∀ v ∈ W (S), Z

S

a _K(ε) (u ^ε , v)dS = λ ^ε Z

S

a ^αβ u ^ε _α v _β + u ^ε ₃ v ₃ dS. (1.7) o` u u <sup>ε</sup> = (u <sup>ε</sup> <sub>α</sub> , u <sup>ε</sup> <sub>3</sub> ), v = (v α , v 3 ) sont des d´eplacements bidimensionnels dans le syst`eme de coordonn´ees normales sur S.

1.4.2 Ecriture sous forme matricielle

On va ´ecrire le probl`eme sous forme matricielle en int´egrant par parties grˆace `a la proposition suivante :

Proposition 1.27. Pour v nul au bord, on a : Z

S

D α T ^αβ v _β dS = − Z

S

T ^αβ D α v _β dS.