Exercice N°1 (5pts)

Soit

Exercice N°1 (5pts)

f la fonction définie sur

IR

^∗ _par

( )















+ ≥



 





− ≤ +

=

0 ....

...

1 sin

0 ....

...

1 1

2 3

2

x x si

x x

x x si

x x

f

π

1) Calculer :

^f ( ) ^x

∞

lim

−

2) Montrer que :

( ) = π

∞

+

f x

lim

3) a) Montrer que pour tout

x ≥ 0

; on a :

^f ( ) ^{x ≤ x}

³

b) En déduire la limite de f à droite en 0.

c) f est-elle prolongeable par continuité en 0 ? justifier .

4) a) Montrer que l’équation

^f ( ) ^{x = 1}

admet au moins une solution

α ^∈ ] [ ^{1 ; 2}

b) Vérifier que: 1 1₃

sin

α α α

π

_{= +}



 





5) Calculer : ^+∞

f ^ _ ^ f π ( ) x ^ _ ^

lim

_et





 



 +

∞

−

1

lim .

2 2

x f α x

Soit

Exercice N° 2 (6pts)

[ ] π θ ∈ ^{0 ;}

_. Dans la figure1 .

(Annexe à rendre avec la copie) on donne :

( ) ^{O ; u ; v}

est un repère orthonormé direct.

.

( ) ζ

est un cercle de centre O et de rayon 1.

. E est un point de

( ) ζ

tel que

( ) ^{u ; OE ≡ θ [ ] 2 π}

^.

. D est un point de

( ) ^{O; v}

tel que :

z

_D

= i 1 + 2

1) a) Vérifier que :

OD

²

= 1 + 2

b) Soit A le point d’affixe

z

A

= z

D

. e

^iθ Vérifier que ^

 

 +

= ..

²

θ π i

A

OD e

z

c) Construire alors le point A.

2) On considère l’équation

( )

⁰

2 1

: ² 2 + ² =

+ + e^iθz e ^iθ i

z E

a) Vérifier que

z

_Aest une solution de l’équation

( ) ^E

.

b) On désigne par B le point d’affixe

z

B_où

z

_B est la deuxième solution de l’équation

( ) ^E

.

Lycée Souassi 2018 -2019

Devoir de contrôle N°1 MATHEMATIQUES

Prof :A.AZZOUZ Durée :2h

Classe : 4SC

1

Prouver que : ^

 

 −

= 1

^{i θ π2}

B

e

z OD

_.

3) a) Montrer que : O ; A et B sont alignés.

b) Placer le point C d’affixezC =ODe^iθ 4) a) Montrer que :

( 1 )

2 2 ) (

)

( i

AB Aff

AC

Aff = +

b) En déduire que ABC est un triangle isocèle et que

( ) ^{π [ ]}

²

^π

;AC ≡ 4 AB

c) Construire alors le point B.

1) Déterminer les racines cubiques de l’unité.

Exercice N°3 (5pts)

2) a)Vérifier que

[

^{3 3}

(

^{1+i 3}

) ]

^{2 =−54+54 3i}

b) Résoudre dans C l’équation

( )

E1 ^:2z² +³

(

i− ³

) (

z+⁹¹−i ³

)

=⁰ (On notera

z

1 la solution imaginaire pure et

z

2l’autre solution) c) Ecrire

z

_{1 et}

z

₂sous forme exponentielle.

3) Soit le nombre complexe

z

₃

= − z

₂ Vérifier que ⁶

5

3

3

i π

e z =

4) Montrer que

z

₁

; z

_2et

z

₃sont les racines cubiques de

27 i

5) Résoudre dans C l’équation

( ) E

₂

: z

⁶

− ( 1 + 27 i ) z

³

+ 27 i = 0

Soit la suite

Exercices N°4 (4 pts)

( ) U

n définie sur

IN

par :

 

 



+ +

= −

=

+

n n n

n

U

U U U

U

1

2 2

2 1 0

1) Montrer que pour tout

n ∈ IN

on a :

1 ≤ U

_n

≤ 2

2) a)Montrer que la suite

( ) U

n est décroissante.

b) En déduire que la suite

( ) U

n est convergente et calculer sa limite.

3) a)Montrer que pour tout

n ∈ IN

on a :

(

¹

)

3 1 1

0≤U_n+1− ≤ U_n − b) En déduire que pour tout

n ∈ IN

_{on a :} U_{n n}

3 1 1

0≤ − ≤

c) Retrouver :

U

n

∞

lim

+

NOM ……….PRENOM ………..

ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

D

1

E

θ

-1 1

&1 -1

ᶿ o