Méthode inverse pour la détermination expérimentale des propriétés thermophysiques des matériaux à changement de phase

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changement de phase

Mohamed Moussa El Idi, Mustapha Karkri

To cite this version:

Mohamed Moussa El Idi, Mustapha Karkri. Méthode inverse pour la détermination expérimentale des propriétés thermophysiques des matériaux à changement de phase. Congrès Français de Thermique, SFT 2018, May 2018, PAU, France. �hal-02402478�

Méthode inverse pour la détermination expérimentale des propriétés thermophysiques des matériaux à changement de phase

M. Moussa EL IDI*, Mustapha KARKRI

Université Paris-Est, CERTES, 61 Avenue du Général de Gaulle, 94010 Créteil Cedex, France

*mohamed-moussa.el-idi@u-pec.fr

Résumé : Dans cet article nous développons une méthode de caractérisation des propriétés thermophysiques des matériaux à changement de phase (MCP). La méthode consiste à coupler un nouveau dispositif expérimental avec une méthode inverse. Elle permet de caractériser des échantillons cylindriques d'un rayon de 60 mm et d'une épaisseur de 10mm. La méthode inverse utilisée est la méthode du gradient conjugué. Dans ce travail, nous nous intéresserons uniquement à l’identification de la conductivité thermique en phase solide. Deux composites MCP ont été caractérisés: paraffine/ graphite synthétique (Timrex SFG75) et la paraffine/graphite industriel.

Nomenclature Lettres romaines

M Nombre de thermocouples n Normale à la surface nt Nombre de pas de temps t Temps, s

T Température, K i itération

w Direction de descente

x, y, z Coordonnées cartésiennes Y Température mesurée, K Symboles grec

δ Fonction Dirac

φ Densité de flux thermique, Wm^-2 Ω Domaine

∂Ω Limites Indices et exposants a aluminium exact valeur exact ext extérieur f finale 0 initiale

i indices thermocouples s échantillon

sol solution

Mots-clés : Méthode inverse, matériaux à changement de phase, gradient conjugué, caractérisation.

1. Introduction :

Les matériaux à changement de phase (MCP) sont largement utilisés pour le stockage de l’énergie thermique dans divers domaines (bâtiments, solaire, systèmes de refroidissement…).

La connaissance de leurs propriétés thermophysiques est indispensable pour la simulation numérique du comportement thermique des systèmes faisant intervenir de tels matériaux.

Il existe différentes méthodes permettant la caractérisation thermophysiques des MCP :

l’analyse thermique différentielle, la calorimétrie différentielle à balayage et les méthodes de

calorimétrie conventionnelles [1-4]. Cependant, ces méthodes sont appliquées à des

échantillons de petite taille, 1-100 mg, et qui peuvent être influencées par l’hétérogénéité

locale. Ce travail concerne la mise au point d’un dispositif expérimental couplé avec une

méthode inverse permettant l’estimation des propriétés thermophysiques des échantillons

cylindriques de 60 mm de rayon et d'épaisseur e=10mm. L’article présentera tout d’abord le

dispositif ensuite la méthode inverse et l’algorithme d’optimisation et enfin la caractérisation

de la conductivité thermique de deux type de composites MCP, les résultats seront présentés et discutés.

2. Dispositif expérimental

Le dispositif que nous avons conçu, figure 1, représente deux versions. Une configuration pour laquelle nous contrôlons les échanges dans les 3 directions (modèle 3D), et une configuration dans laquelle les échanges de chaleur sont orientés selon une seule direction en vue de simplifier le contrôle de l’état de fusion de la paraffine dans la cavité (modèle 1D). Le chauffage s’effectue à l’aide des résistances chauffantes Type captec® couplées à un échangeur de chaleur dans la partie inférieure, figure 1a, dans lequel on fait circuler de l’huile H10 dont la température est régulée par un bain thermostaté (modèle Julabo MF32) afin de limiter les pertes thermiques. Sept thermocouples et deux fluxmètres sont fixés à la paroi inférieure du piston ainsi que dans la cavité cylindrique. Ils permettent de mesurer l’évolution de la densité de flux, et des températures sur la face inférieure et supérieure de l’échantillon.

Une nouvelle technique est développée afin de pouvoir mesurer les températures dans l’échantillon sans perturber le champ thermique en phase solide ou liquide. Les mesures au sien de l’échantillon sont assurées par trois thermocouples, (

,

,

), introduits dans l’épaisseur de l’échantillon, figure 1. Les surfaces latérales ont été isolées avec de la laine minérale afin de réduire les pertes thermiques. Les thermocouples, l’élément chauffant et les fluxmètres sont connectés au système d’acquisition de données piloté par un micro- ordinateur. La régulation et l’enregistrement des mesures sont contrôlées par une application LabView.

Échangeur (a), pistion (b)

Figure 1. Dispositif expérimental

3. Méthode inverse

La méthode inverse utilisée dans cette étude est la méthode du gradient conjugué. Cette méthode est une technique itérative pour résoudre les problèmes inverses linéaires et non linéaires. L'application de la méthode du gradient conjugué pour estimer les propriétés

Piston instrumenté

Cavité instrumentée

Thermocouples (Yi)

a

b

Fluxmètre

Échangeur

thermophysiques nécessite la résolution du problème direct, du problème adjoint et du problème de sensibilité [5-9].

3.1. Le problème direct

La figure 2 montre la géométrie utilisée sur COMSOL multiphysiques pour la modélisation du problème physique. Le problème direct est formulé comme suit:

Dans l'échantillon : (𝜌𝐶

)

𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡 = ∇ ⃗⃗ (𝑘

(𝑇)∇ ⃗⃗ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω

, ∀𝑡 ∈ ⌈0, 𝑡⌉ (1) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑇(𝑡) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒) ∈ Ω

(2)

−𝑘

(𝑇)∇ ⃗⃗ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). 𝑛⃗ = 𝜑

(𝑡) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜕Ω

(3) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑇

(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω

, 𝑡 = 0 (4)

Dans l’aluminium : (𝜌𝐶

)

𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡 = ∇ ⃗⃗ . (𝑘

(𝑇)∇ ⃗⃗ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω

∀𝑡 ∈ [0, 𝑡

] (5)

−𝑘

(𝑇)∇ ⃗⃗ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). 𝑛⃗ = ℎ

(𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) − 𝑇

) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω

(6)



,

,

,



0

∀(x, y, z) ∈ ∂Ω

(7)

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑇

(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω

, 𝑡 = 0 (8) Aux interfaces aluminium/échantillon, la continuité des températures et des flux a été supposée. Le coefficient d’échange convectif h

est égal choisi constant égale à 8Wm

s'agit d'une valeur commune arbitraire pour tester l’effet de la convection naturelle.

est supposée constante pendant la durée de la simulation et elle est réglée à 22°C. La température initiale est supposée uniforme :

(

,

,

)

(

,

,

)

Figure 2. Géométrie du modèle

La solution du problème inverse est obtenue lorsque la fonctionnelle J est minimale :

23 24 25 26 27 28 29 30 31

0 500 1000 1500 2000 2500

Temperature ( C)

Time (s)

T1 T2 Y1 Y2

𝐽(𝑘) = ∑ ∫ [𝑇(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑘, 𝑡) − 𝑌

(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑘, 𝑡)]

𝑑𝑡

𝑡_𝑓 0 𝑀

𝑖=1

(9) 3.2. Etude de sensibilité et problème adjoint

La résolution du problème inverse a pour but de donner les équations permettant d’obtenir la fonction de sensibilité en fonction de la conductivité thermique et ainsi de calculer la profondeur de descente α [9].

𝛼 = ∫ ∑

[𝑇(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡) − 𝑌

(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡)]𝛿𝑇(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡)𝑑𝑡

∫ ∑

[𝛿𝑇(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡)]

𝑑𝑡 (10) L’objectif du problème adjoint est de déterminer le gradient

(équation 11) de la fonctionnelle

Pour ce faire, le Lagrangien associé au problème a été introduit. La détermination de la fonction « adjoint »

10].

∇𝐽 = − ∫ ∫ ∇

⃗⃗ 𝑇. ∇ ⃗⃗ 𝜓𝑑Ω𝑑𝑡

Ω 𝑡𝑓 0

(11) 3.4. Validation du problème direct

Cette étude préliminaire vise à valider le problème direct Eq. (2) - (9) en utilisant le matériau de référence (Tableau 1) et les conditions aux limites

et

mesurées à l'intérieur du matériau de référence. La figure 3 représente les évolutions des températures calculées et mesurées. Nous constatons que le modèle mathématique choisi est adapté aux phénomènes de transfert de chaleur qui se produisent à l'intérieur du dispositif expérimental.

Masse volumique Capacité thermique Conductivité thermique

)

K

)

m

)

Aluminium 2700 910 230

Paraffine 896 1987 0.233

Tableau 1. Les propriétés de la paraffine et de l'aluminium

3.5. Algorithme d’optimisation

L’algorithme [10-11] est implanté sur Matlab, la résolution du problème direct, du problème de sensibilité et du problème adjoint ont été implémentés sur COMSOL Multiphysiques.

3.6. Validation de la méthodologie

Par souci de validation, des expériences numériques ont été réalisées. Les données de sortie Y

( x

, y

, z

, t ) sont d'abord calculées sur l’intervalle de temps [0, t

] par le problème direct avec une conductivité thermique cible

pour résoudre le problème inverse par l'algorithme d’optimisation afin d’identifier la conductivité thermique. Dans ce travail deux cas cibles ont été considérés:

•

Cas 1 : fonction linéaire k(T)=a+bT

•

Cas 2 : fonction non linéaire k(T)=ae

, avec a, et b sont des constants.

Les coefficients de conductivité sont fixés : a=0.5 et b=0.001. Le critère de convergence de

l'algorithme est fixé ε=10

. La figure 4 montre l’évolution de la fonctionnelle J en fonction des itérations. D’après la figure 5, les températures calculées correspondent parfaitement à celles mesurées. Les valeurs de a et b obtenues après convergence sont a = 0.499 et b = 0.001.

Pour le cas non linéaire, les coefficients cibles sont fixés : a=0.5 et b=20. La figure 6 représente l’évolution de la fonctionnelle

calculées correspondent parfaitement à celles mesurées, figure 7. Les valeurs de

obtenue après convergence est a=0.499 et b=19.99. Les résultats témoignent d’un accord très satisfaisant entre les valeurs de a et b calculées et les valeurs cibles.

Figure 4. Evolution de J en fonction des itérations (cas1)

Figure 6. Evolution de J en fonction des itérations (cas 2)

Figure 8. Evolution de J pour un écart type de 0.05 K

Figure 9. Echantillons composites de paraffine / graphite: (a) paraffine, (b) paraffine / graphite.

Figure 7. Evolution des températures (cas 2) Figure 5. Evolution des températures (cas 1)

3.6.1. Influence des données bruitées

Les données de sortie 

(

),

(

)  sont perturbées par des bruits de mesure. Nous utilisons le principe de régularisation comme critère d'arrêt [10-11]. Les résidus de température sont approximés par:

𝑇(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡) − 𝑌

(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡) ≈ 𝜎 (12) Où σ est l'écart type des mesures, qui est supposé constant. L'expression de

est obtenue par substitution de l’équation (1) dans l’équation (12):

𝜀 = (𝑛𝑡 + 1)𝑀𝜎

(13)

Où

)

, ,

~ (

t y x

Y_{i i i}

peuvent être exprimées comme :

𝑌̃

(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡) = 𝑌

(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

, 𝑡) − 𝜔 (10)

Où ~ ( , , , )

, x y z t

Y_{iexact i i i}

est la solution du problème direct avec la valeur exacte de

1

5 1

.

0 ^{ }

 Wm K

k

et ω est un nombre aléatoire d'une distribution normale avec la moyenne 0 et l'écart-type σ.

La figure 8 présente l'évolution de

0.05K. Nous observons que, l'algorithme du gradient conjugué converge rapidement vers le critère d'arrêt attendu ε (ligne pointillée).

4. Résultats et discussions

Dans le présent travail, le MCP à caractériser est une paraffine de température de fusion 56-58°C. La conductivité thermique est améliorée par l'addition du graphite expansé. Deux types de graphite ont été utilisés dans cette étude. Le premier type est un graphite industriel de masse volumique de 900kgm

avec une taille moyenne de 85 

. Il provient d'échangeurs de chaleur tubulaire endommagés [12]. Le deuxième type de graphite (Timrex SFG75) est fournie par la société Timcal Graphite&Carbon a une masse volumique de

. C'est un graphite synthétique avec une forme sphérique et une taille moyenne de

[12]. La méthode d'élaboration du composite MCP est basée sur la compression uni-axiale à froid [12].

La paraffine et le graphite sont mélangés et verser dans un moule en acier inoxydable, ensuite soumis à une compression uni-axiale de 80 bars à température ambiante. Cette technique conduit à une structure anisotrope. Deux échantillons d'épaisseur et de diamètre respectivement 10mm et 60mm (figure 9) ont été élaborés par cette méthode.

Dans cette étude, nous supposons que la conductivité thermique

est indépendante de la température. Deux thermocouples

et

ont été insérés à deux endroits différents dans l’épaisseur de l’échantillon (paraffine/graphite 5% en masse) ont été réalisées en utilisant le nouveau dispositif expérimental. La fonctionnelle

Les figures 10 et 11 représentent, respectivement, l’évolution de

itérations. On constate que la conductivité thermique oscille autour d'une valeur moyenne

1

318 1

.

0 ^{ }

 Wm K

k

. L’écart-type des mesures a été évalué à 

0 . 09

. La comparaison des températures calculées et mesurées a montré une bonne concordance (figure 12).

Une autre mesure expérimentale a été réalisée sur l’échantillon (paraffine/graphite SFG75

40% en masse). La fonctionnelle J atteint son minimum après 100 itérations. La conductivité

thermique oscille autour d'une valeur moyenne

. Les évolutions de J et k en fonction des itérations sont présentés respectivement sur les figures 13 et 14. Ensuite nous avons calculé les températures

et

, en prenant en compte la conductivité thermique déterminée par inversion, figure 15. L’écart-type des mesures a été évalué à 

0 . 02

. La comparaison des températures calculées et mesurées a montré une bonne concordance mesures-modèle mais qui reste à améliorer.

Des composites de paraffine/graphite SFG75 avec une fraction massique de 0% à 20% en masse de graphite ont été caractérisé [12-13]. La conductivité thermique déterminée par la méthode expérimentale actuelle suit la tendance établie dans [12], la conductivité thermique du composite augmente avec la fraction massique du graphite. De ces observations, nous

20 20,5 21 21,5 22 22,5 23 23,5 24 24,5 25

0 100 200 300 400 500

Temperature ( C)

Time (s)

T2 Y2 T1 Y1

Figure 15. Evolution des températures mesurées et calculées (paraffine /40% SFG75 graphite)

1.5 2 2.5 3 3.5

0 20 40 60 80 100

iterations

functional J (K²)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 20 40 60 80 100

iterations k (W.m-1.K-1)

Figure 10. Evolution de la fonctionnelle J

en fonction des itérations Figure 11. Evolution de la conductivité thermique k

iterations

functionalJ (K²)

Figure 12. Evolution des températures mesurées et calculées (paraffine / 5%

graphite industriel)

Figure 13. Evolution de la fonctionnelle J en fonction des itérations

k (W.m-1.K-1)

iterations

Figure 14. Evolution de k en fonction des itérations

pouvons conclure la validité des mesures du dispositif expérimental et de la méthode inverse d’identification.

5. Conclusion et perspectives

Un dispositif expérimental couplé avec une méthode inverse permettant de déterminer les propriétés thermophysiques des matériaux à changement de phase a été présenté. Il permet de caractériser des échantillons à grandes dimensions avec changement de phase, sans être affecté par l’hétérogénéité locale. Les échantillons ont une géométrie cylindrique, d’un rayon de 60 mm et d’une épaisseur e=10 mm. Le problème inverse a été résolu par l’algorithme gradient conjugué par couplage entre COMSOL Multiphysiques et MATLAB. Deux composites (paraffine/5% en masse de graphite) et (paraffine/40% en masse de graphite SFG75) ont été caractérisés. Des tests numériques et expérimentaux ont démontré la validité des résultats obtenus. La comparaison des températures calculées et mesurées a montré une bonne concordance mesures-modèle mais qui reste à améliorer. L’objectif par la suite est d’identifier plusieurs propriétés thermophysiques en 3D des matériaux à changement de phase simultanément et de déterminer les propriétés thermophysiques des matériaux à changement de phase anisotropes.

Références:

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