HAL Id: jpa-00245558
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00245558
Submitted on 1 Jan 1987
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Détermination de caractéristiques thermophysiques de matériaux de construction par la méthode de la source
plane en régimes transitoire et asymptotique
G. Bastian
To cite this version:
G. Bastian. Détermination de caractéristiques thermophysiques de matériaux de construction par la méthode de la source plane en régimes transitoire et asymptotique. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1987, 22 (6), pp.431-444. �10.1051/rphysap:01987002206043100�.
�jpa-00245558�
Détermination de caractéristiques thermophysiques de matériaux
de construction par la méthode de la source plane en régimes transitoire et asymptotique
G. Bastian (*)
Département Génie Civil, I.U.T. de Saint-Nazaire, B.P. 420, 44606 Saint-Nazaire Cedex, France
(Reçu le 8 décembre 1986, accepté le 2 mars 1987)
Résumé. - La méthode de mesure, due à Vernotte, des caractéristiques thermophysiques d’une plaque d’un
matériau donné par application d’un film chauffant sur une face de la plaque et enregistrement en fonction du temps de l’évolution des températures de la face opposée, et éventuellement de la face chauffée, a été souvent
mise en application. On précise ici quelles conditions doivent être remplies et quelles sont les incidences de divers défauts éventuels du montage quand on applique la variante due à Krischer de cette méthode. Un
dispositif expérimental très simple a permis de corroborer ces considérations théoriques.
Abstract. - Vernotte’s method of measurement of the thermophysical properties of a plate of a given material by applying a heating sheet on one face of the plate and recording the temperature evolution on the opposite
face and, possibly, on the heated face, has been often used. We are going to define the conditions that must be fulfilled and the incidence of some possible defects in the device when applying Krischer’s variant of the method. A very simple experimental apparatus has enabled us to confirm these theoretical conjectures.
Classification
Physics Abstracts
44.50 - 07.20
1. Introduction.
La plupart des matériaux de construction - ainsi que les sols - sont des matériaux poreux contenant de l’eau en phases liquide et vapeur ; il y a couplage
entre les transferts de chaleur et de masse en leur sein. La connaissance du comportement hygrother- mique de ces matériaux passe par la détermination de leurs caractéristiques thermophysiques, et ce par des méthodes ne perturbant que faiblement les distributions de teneur en eau et par suite les
caractéristiques en question.
Les méthodes de type transitoire sont particulière-
ment adaptées à ce genre d’études : la brièveté des durées de génération de flux thermiques, intéres-
sante déjà en soi, est un gage de non-perturbation du
milieu. Par ailleurs, un choix judicieux de la géomé-
trie de la source de chaleur permet d’accéder à la
mesure locale des caractéristiques thermophysiques.
Dans un précédent article [1], nous avions décrit deux variantes de la méthode dite « du fil chaud » aboutissant à la détermination d’une conductivité
(*) Chercheur rattaché au Laboratoire de Génie Civil de l’E.N.S.M. de Nantes.
thermique locale ou de sa valeur moyenne le long
d’un axe.
Nous nous proposons d’analyser ici la méthode dite « du film chaud » qui permet d’obtenir locale- ment, d’une part l’effusivité d’un matériau, d’autre part sa conductivité, sa chaleur volumique, sa diffusi-
vité.
Une fois rappelé le principe de cette méthode classique, nous nous sommes attaché à analyser l’aspect théorique et en particulier l’étendue du domaine temporel de validité des solutions appro- chées utilisées de l’équation de la chaleur. Nous
avons tenté aussi de distinguer les difficultés inhéren- tes au procédé et les corrections concomitantes nécessaires. Un montage expérimental a permis de
corroborer les conclusions théoriques ; il a été appliqué à l’étude d’un mortier après mise au point
sur un matériau de caractéristiques thermiques sta-
bles et voisines de celles des mortiers : le verre.
2. La méthode du film chaud.
On trouve chez Pratt [2] des éléments de bibliogra- phie sur cette méthode appliquée à la détermination
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01987002206043100
de la conductivité À, de la chaleur volumique
pc, et de la diffusivité a d’un matériau.
Une plaque plane d’un matériau homogène d’épaisseur 1, initialement isotherme, reçoit à partir
de l’instant t = 0 une densité de flux constante cp = P ; l’autre face peut être isolée ou maintenue à
température constante. C’est généralement la pre- mière disposition qui est utilisée (Fig. 1) ; un isole-
ment parfait (cp = 0) peut en principe être obtenu
en symétrisant le montage.
Fig. 1. - Montage élémentaire.
[Elementary device.]
L’équation de la chaleur est résolue par la méthode de Fourier avec les conditions aux limites que nous avons indiquées. On obtient pour la
température 0 de la face non chauffée une expression
fonction du temps de la forme : 2013y- = f (mt) avec
Par comparaison du graphe représentatif en coor-
données logarithmiques avec celui obtenu expéri-
mentalement : 8 = g(t) également tracé en coordon-
nées logarithmiques on peut déterminer :1 et m et
par suite À et a. La mesure de P n’est pas nécessaire à l’obtention de a. La méthode que l’on vient
d’exposer succinctement a été proposée par Ver- notte [3] dès 1937. Des variantes dans le dispositif expérimental et dans l’exploitation des résultats ont été décrites ultérieurement :
- Clarke et Kingston [4] désirant appliquer la
méthode à des matériaux isolants ont élaboré un
dispositif plus complexe (Fig. 2) garantissant l’adia-
baticité du montage central. Par ailleurs, on consi-
dère des couples température-temps (03B81, t1), (82, t2 = 2 tl). Ayant tracé des graphes théoriques :
du rapport mesuré on déduit a puis 03BB.
Fig. 2. - Montage de Clarke et Kingston.
[Clarke and Kingston’s device.]
- Pratt et Ball [5] ont utilisé cette même méthode, procédé à des comparaisons, notamment
avec la méthode de la plaque chaude gardée et la
méthode de Krischer dont nous parlerons plus loin,
et enfin analysé des causes d’erreur.
- Hatton [6] utilise une autre condition limite :
la face non chauffée de l’éprouvette d’épaisseur 1
n’est pas isolée mais maintenue à température
constante. C’est l’évolution en fonction du temps de la température à la distance l 2 de chaque face qui est
considérée. Le principe du dépouillement est le
même qu’en [4].
- Anquez [7] utilise montage et dépouillement
décrits en [4]. Il propose également de déterminer À et pc par la « méthode de l’asymptote » : pour
at grand, 03B8 croît quasi linéairement en fonction du temps. Le tracé de l’asymptote dont on connaît par ailleurs l’équation : 03B8 = 2013r t - l 2 fournit p c,
a et par suite À = p ca.
Diverses causes d’erreur et leur correction sont
analysées.
- Harmathy [8] et Steere [9] ont également proposé des améliorations à la méthode de base ; le premier s’est intéressé à la réponse à un créneau de
flux thermique, le second à la réduction de la durée
d’expérimentation.
Dans les travaux cités précédemment, on a consi-
déré l’évolution de la température de la face non
chauffée ou d’un point intérieur [6]. Nous allons
dans ce qui suit nous intéresser à une méthode citée
en analyse bibliographique par Leidenfrost [10] et
due à Krischer [11] : à partir de l’évolution de la
température de la face non chauffée on détermine
l’effusivité b = J Àpc du matériau ; par comparai-
son des températures des deux faces on obtient 03BB,
pc, a et par le fait, b.
3. Etude théorique.
3.1 FILM CHAUFFANT PLAN, INFINIMENT MINCE, DE CAPACITÉ CALORIFIQUE NÉGLIGEABLE. - Le cap- teur de température est placé entre une plaque d’épaisseur 1 du matériau à étudier et le film qui
émet vers la plaque la densité de flux e = P si un
isolant parfait entoure le montage (Fig. 1).
Les équations du problème sont :
D’après Carslaw et Jaeger [12] les méthodes de
Fourier et Laplace amènent aux solutions suivantes :
La pratique habituelle consiste à utiliser une
approximation de (1) pour les temps longs et une approximation de (2) pour les temps courts. C’est ce
point que nous nous proposons d’étudier plus en
détail.
3.1.1 A la surface du film, (1) et (2) donnent respectivement :
quand t - oo, (3) donne :
quand t - 0, (4) donne :
(6) constitue l’approximation dite du milieu semi- infini.
Plutôt que de comparer, d’une part (3) et (5) pour t grand, d’autre part (4) et (6) pour t petit, nous
allons comparer (3) exact pour tout t avec (5) et (6).
Posons :
(3), (5), (6) deviennent respectivement sous forme
adimensionnelle
D’après (7), T apparaît comme la constante de
temps du montage. (7) et (8) montrent que 0 tend
non pas à devenir constante mais à croître linéaire- ment. Ceci n’enlève rien à la signification physique
de T. On a représenté graphiquement (7), (8), (9) ;
la série contenue en (7) converge très rapidement (Fig. 3).
Fig. 3. - Températures des deux faces de l’éprouvette.
[Temperature on both faces of the test-plate.]
On peut aussi former : 03B8*2 - 03B8*1 et 03B8*1 - 03B8*3. Les
conclusions sont alors les suivantes :
- pour t * > 3 : 03B8*2 - 03B8*1 0,001, résultat classi- que : l’approximation des temps longs est considérée
comme valable pour t > 3 T ;
- pour t* 3,5 : 03B8*1 - 03B8*3 0,01, ce qui consti-
tue un résultat beaucoup plus inhabituel : l’approxi-
mation du milieu semi-infini est donc valable pour des temps inférieurs à trois fois et demie la constante de temps ;
- l’égalité 03B8*2 - 03B8*1 = 03B8*1 - 03B8*3 = 0,0076 est réa- lisée pour t * = 3,3. Aux alentours de cette valeur,
03B8*2 + 03B8*3 2 constituerait une approximation encore
meilleure de 81.
- alors qu’on rencontre fréquemment dans les problèmes de thermique un domaine 0,15 t *
3 pour lequel il n’y a pas d’expression approchée simple de 0 *, au contraire, ici, il y a intersection des deux domaines de validité. En conclusion, l’évolu-
tion de la température de la face chauffée est décrite
successivement et sans discontinuité appréciable par
un arc de parabole puis une droite.
3.1.2 Revenant à (1), on vérifie que :
Par suite, pour t > 3 r on peut faire l’approxima-
tion :
03B8(x,t) est alors de la forme :
On a en particulier :
En résumé, pour t > 3 r les températures 0 (x, t )
croissent linéairement de la même façon en fonction
de t et l’écart 8 0, t - 8 (1, t ) est égal àPl .
Reprenant les formulations de 3.1.1, 03B8(l,t) peut s’écrire pour tout t :
et pour t > 3 T :
d’où les graphes correspondants (Fig. 3).
3.1.3 Notre propos a été de préciser les limites de
validité de la méthode de Krischer :
- pour t 3,5 T on peut d’après (6) accéder à la
détermination de l’effusivité b = 03BB03C1c :
On devra vérifier que 0 varie linéairement en
fonction de J t. Ce point sera développé en 4 ;
- pour t > 3 T on obtient d’après (12) la conduc-
tivité 03BB :
soit encore :
Il conviendra de s’assurer que les températures des
deux faces évoluent parallèlement en fonction du temps. Pendant la durée At la température en tout point de l’éprouvette s’élève selon (10) de :
0394’03B8 = P 0394t 03C1cl d’où l’expression de la chaleur volumi- que :
Choisissons la durée At telle que â’ 8 = A 0 ; de (16)
et (17) et de l’expression de la diffusivité a = 03BB il pc vient :
Enfin, on dispose d’une relation permettant de corroborer la mesure de b obtenue par (15). En effet, b = B/Apc entraîne :
3.2 FILM CHAUFFANT PLAN, TRÈS MINCE, DE CHA- LEUR MASSIQUE C’ ET DE MASSE SURFACIQUE m’. - On a séparé en trois parties 3.2, 3.3, 3.4, les incidences respectives d’une capacité calorifique non
nulle du film, d’une isolation imparfaite du montage (faces latérales non comprises), d’un mauvais
contact film-éprouvette ; il s’agit d’une démarche
légitime tant que ces incidences restent faibles.
3.2.1 Plaçons-nous d’abord dans l’hypothèse du
milieu semi-infini. Le film étant placé en x = 0, on a le système d’équations :
Posant : c * =
m’ c’ 03C1cl
il vient pour 03B8 (0, t ) selon [12] :
On retrouve (6) avec un terme correctif qu’on va
évaluer après mise sous forme adimensionnelle de
(20) :
03B8*6 = 2 03C03/2
t* - c* [ 1- e t* 03C02c*2 erfc )] .(21)
Pour y 3 des tables donnent la valeur d’un terme tel que z = ey2 erfc y et pour y > 3 on peut utiliser le
développement :
Notons que quand t* ~ 0, 03B86* ~ 03B8*3 et quand
t* ~ 00, 86* -+ 03B8*7 si l’on pose :
3.2.2 On considère maintenant une éprouvette d’épaisseur 1, le film chauffant étant placé en
x = 0 ; on dispose selon [12] de la solution :
les 03B2n étant racines de l’équation
il existe des tables des valeurs des f3 n pour n E [1, 6].
Finalement, sous forme adimensionnelle et en limi- tant le développement à n = 6 ce qui est très
suffisant :
Il apparaît l’asymptote :
On a représenté sur la même figure (Fig. 4), (7) et (13) correspondant à c * = 0 et (22), (21) pour
préciser 03B8* au voisinage de t* = 0, (24), (25), ainsi
que (voir plus loin) (26) et (27), pour c* = 0,05.
La température de la face non chauffée peut être
exprimée par :
Il apparaît l’asymptote :
Fig. 4. - Températures des deux faces de l’éprouvette ; capacité thermique du film chauffant non négligeable.
[Temperature on both faces of the test-plate ; the thermal
capacity of the heating sheet is not negligible.]
Calcul et résolution graphique amènent aux résul-
tats suivants pour c * = 0,05 :
- pour t* > 3,5,
Enfin, on a représenté (Fig. 5) l’écart de tempéra-
ture 039403B8* entre les deux faces de l’éprouvette en
fonction de t * pour c * = 0 (film de capacité négli- geable) et c * = 0,05.
3.2.3 Pour c * = 0,05 et 0,02 t* 3,5, 03B8* varie linéairement en fonction de t* :
Fig. 5. - Différence de température entre les deux faces de l’éprouvette ; capacité thermique du film chauffant non négligeable.
[Difference of temperature on both faces of the test-plate
the thermal capacity of the heating sheet is not negligible.]
soit :
en notant 0394"(t) et 0394"03B8 les variations concomitan- tes de ces grandeurs dans le domaine de linéarité ;
- pour t * > 3,5 :
d’où :
L’élévation de température de l’éprouvette pendant
le temps At est :
On en déduira :
Choisissant At tel que A’O = 039403B8 il ment : a =
l2 2039403C4.
La formule (18) n’a pas à être corrigée.
Enfin, on peut retrouver l’effusivité b :
3.3 FILM CHAUFFANT PLAN INFINIMENT MINCE DE
CAPACITÉ CALORIFIQUE NÉGLIGEABLE. ISOLATION
IMPARFAITE DES DEUX FACES EXTERNES.
3.3.1 Reprenons le montage initial (Fig. 1). - Iso-
lant et matériau étudié sont supposés semi-infinis.
Ce modèle suffit pour obtenir l’expression corrigée
de l’effusivité du matériau.
On a, côté matériau [12] :
et côté isolant :
avec les densités de flux ~1 et cp 2 telles que :
~1 + ~2 = P. Par ailleurs, 03B81(0,t) = 03B82(0, t ).
D’où :
ou encore : ~1 = P 1 + b*. Par conséquent, la densité
de flux effectivement appliquée au matériau sera :
p = P 1 + b*, P étant la puissance totale délivrée par le film chauffant, et (15) devient :
Ceci suppose connue l’effusivité b2 de l’isolant utilisé. L’effusivité du matériau est alors :
dans le domaine de linéarité entre 0 (1, t ) et
.
3.3.2 Précédemment, on a supposé semi-infini le matériau étudié ce qui a permis d’évaluer l’incidence de l’imperfection de l’isolant sur la détermination de l’effusivité bl. Un modèle plus complexe est néces-
saire pour les autres paramètres thermophysiques :
le matériau d’épaisseur 1 est placé entre deux isolants
identiques semi-infinis ; d’où le système d’équa-
tions :
Effectuant la transformation de Laplace, on cher-
che des solutions de la forme :
L’écriture des transformées des conditions aux
limites amène à un système de quatre équations à quatre inconnues A1, Bi, B2, A3. La résolution de ce
système donne les expressions suivantes pour les transformées 6o et 03B8l aux abscisses x = 0 et x = 1 en
posant :
Les transformées inverses mises sous forme adi- mensionnelle sont respectivement :
A partir de tables [12] donnant 2 i erfc x en
fonction de x on constate que pour 1 t* 10 on
peut limiter les séries précédentes à leurs deux premiers termes. On a représenté (Fig. 6) 03B8*12 et 03B8*13 en fonction de t * ainsi que (Fig. 7) la différence
de température 039403B8 * entre les faces de l’éprouvette
pour
b2 b1 = b * = 0
2013 cas de l’isolant parfait 2013 et
REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE. - T. 22, N. 6, JUIN 1987
0 2 4 6 8 t.
Fig. 6. - Température des deux faces de l’éprouvette ;
isolation imparfaite.
[Temperature on both faces of the test-plate ; defective insulation.]
Fig. 7. - Différence de température entre les deux faces de l’éprouvette ; isolation imparfaite.
[Difference of temperature on the both faces of the test-
plate ; defective insulation.]
31
b * = 0,02, b * = 0,2. Dès que b ~ 0 les graphes de 03B8*12 et 03B8*13 en fonction de t * n’admettent plus d’asymptote. On peut toutefois montrer que sur un certain domaine de t * les températures des deux
faces croissent quasi linéairement avec une pente
1 03C02 1 (1 + b*)2.
A partir des figures 6 et 7 on formera des rapports
Pour tout t * E [4, 10] et b * = 0,02, ces rapports
sont égaux à 1 à moins de un pour cent près. Plus généralement on écrira :
La correction des valeurs expérimentales, faible
pour un mortier placé entre deux plaques d’un bon isolant, ne deviendrait plus négligeable dans le cas
d’un béton cellulaire par exemple.
3.4 CONTACT IMPARFAIT ENTRE FILM CHAUFFANT DE CAPACITÉ CALORIFIQUE NÉGLIGEABLE ET
MATÉRIAU ÉTUDIÉ. - Supposons qu’il existe une
fine lame d’air purement résistive entre film et éprouvette. On a le système d’équations :
La transformation de Laplace amène pour les abscisses x = - e et x = 0 aux solutions :
Soit en revenant aux transformées inverses adimen- sionnelles :
On a représenté (Fig. 8) les températures de
surface du film et de l’éprouvette séparées par l’écart constant :
Fig. 8. - Températures de surface du film et de l’éprou-
vette.
[Sheet and test-plate superficial temperatures.]
En première analyse, il faudra donc s’assurer que l’on mesure bien la température superficielle de l’éprouvette et non celle du film.
Une démarche identique pour une lame d’air
parasite entre face non chauffée et isolant supposé parfait amènerait à
Il faut remarquer toutefois que la conductivité de l’air ( ~ 0,025 W/m.K) et celle d’un isolant ( ~ 0,04 W/m.K) sont du même ordre ; il convien-
drait d’affiner les résultats précédents en reformulant
l’hypothèse d’un isolant imparfait (voir 3.3) ce qui
amènerait à considérer les transformées ~0 et qsj des flux aux abscisses 0 et 1 (en affectant cette fois
l’indice 2 à l’isolant) :
d’où les chutes de températures dans les lames d’air :
3.5 EXPLOITATION DE RÉSULTATS EXPÉRIMEN- TAUX.
3.5.1 On a vu en 3.1.3 que la détermination de l’effusivité passait par la vérification de la linéarité de l’évolution de la température de la face chauffée
en fonction de J t. A partir d’une courbe expéri-
mentale 0 = f(t) inexploitable directement on
construira un graphe 0 = 9 ( JI).
On a rassemblé (Fig. 9) les évolutions de 03B8* en
fonction de t* selon les modèles envisagés :
3.1 modèle de base, 3.2 film de capacité calorifique
non nulle, 3.3 isolation imparfaite, 3.4 existence d’une lame d’air entre film et éprouvette. On notera
en particulier que lorsque c* ~ 0 le graphe de g ( t * ) n’est pas rectiligne pour t * petit (t * 0,5
par exemple pour c* = 0,05).
Une représentation log 0 = h (log t ) est également envisageable (Fig. 10). On est amené à vérifier que pour t 3,5 T on obtient bien une droite de pente 1/2. Cette représentation met en évidence l’existence éventuelle d’une lame d’air et l’erreur que l’on
0,5 1 1,5 L 2,5 5 y 1
Fig. 9. - Incidence des diverses imperfections sur l’allure
du graphe 03B8 = g(J/).
[Incidence of the various defects on the shape of the graph
0 = g(t).]
Fig. 10. - Représentation logarithmique log 0 = h (log t ).
[Logarithmic representation log 03B8 = h (log t ).]
commet en mesurant la température du film et non
celle de l’éprouvette, décalée de 6 0 .
3.5.2 Comme il a été souligné en [1] et [8], il peut être intéressant de pratiquer un créneau de chauffage
entre les instants 0 et tc et de déduire les caractéristi- ques thermophysiques du matériau de l’évolution des températures après coupure du chauffage
(t > tc).
Un créneau de chauffage est décrit par la superpo- sition à la source de puissance P fonctionnant depuis
l’instant t = 0 d’une source de puissance - P à partir
de l’instant t = tc. Reprenons le modèle de base (7) :
La source - P crée :
d’où par superposition :
On a représenté (Fig. 11, 12) 03B8* en fonction de
t * avec les paramètres t c * et 03B4 03B8 *. On démontre facilement que le terme 8 8 * résultant de la présence
d’une lame d’air disparaît lors de la phase de retour à l’équilibre.
Appliquant la démonstration précédente à 8 3 (9)
Fig. 12. - Créneau de chauffage ; contact imparfait.
[Heating rectangular pulse ; defective connection.]
On pourra représenter
03B8"* soit en fonction de( t * - t - t*c) (Fig. 13), soit en fonction de
(t* - t* - t*c)/t*c (Fig. 14). La partie rectili-
gne oblique des courbes amène à la détermination de l’effusivité. La partie asymptotique horizontale
(Fig. 13) fournit la chaleur volumique pc. On a :
d’où :
formule d’ailleurs prévisible.
3.5.3 Utilisant la méthode décrite en [1] on pourra effectuer des mesures relatives en chauffant simulta- nément avec un même film deux éprouvettes de
même épaisseur, l’une du matériau à étudier, l’autre
Fig. 14. - Créneau ;
[Rectangular pulse ;
d’un matériau de référence bien connu et de caractè-
res thermophysiques stables.
Soient A et B ces matériaux et soient Tm la plus petite des constantes de temps respectives et TM la plus grande. Effectuant un enregistrement
X - Y des températures des faces chauffées 81 A et 03B81 B on obtiendra pour 0 t 3,5 m d’après (15)
De même, pour t > 3 TM on aura d’après (17) en
considérant là encore la seule évolution des tempéra-
tures des faces chauffées :
