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Submitted on 8 Jul 2011
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String Theory and Applications to Phenomenology and Cosmology
Ioannis Florakis
To cite this version:
Ioannis Florakis. String Theory and Applications to Phenomenology and Cosmology. Mathematical
Physics [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. English. �tel-00607408�
LABORATOIRE DE PHYSIQUE TH´ EORIQUE ECOLE NORMALE SUP´ ´ ERIEURE
TH` ESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSIT´ E PARIS VI Specialit´ e : Physique Th´ eorique
Present´ ee par :
Ioannis G. Florakis 1
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universit´ e Paris VI
Titre :
Th´ eorie de Cordes et Applications Ph´ enom´ enologiques et Cosmologiques
7 Juillet 2011 Jury
Costas Bachas
Massimo Bianchi (Rapporteur) Pierre Binetruy
Costas Kounnas (Directeur de th` ese) Augusto Sagnotti
Gabriele Veneziano (Rapporteur)
1. florakis@cern.ch , florakis@lpt.ens.fr
Remerciements
Now that this manuscript has been completed and the four-year journey has reached its end, I would like to take this opportunity to thank the people who have been instrumental for the accomplishment of this task.
First and foremost, I would like to thank my thesis advisor, Costas Kounnas, for in- troducing me to the world of research and for playing a central role in the formation of my
‘research personality’. His unparalleled enthusiasm and love for theoretical physics have been a unique source of inspiration for me. His teachings have, at times, surpassed the mere form of equations on his blackboard 2 and have been influential and beneficial to me in ways that I would never be able to adequately describe in words, shaping my perception of scientific integrity. Working with him for four years has been an adventure, a journey into the realm of theoretical physics. For this and many other things, I would like to thank him here.
I would also like to thank Ioannis Iliopoulos for his enormous support, in particular, during my first years in France. It is true that without his influence and guidance, this work would never have been possible. Similarly, I would like to thank Marumi Kado, for his warm support and advice at that early stage of my doctoral studies.
My sincere thanks extend to the former director of the Laboratoire de Physique Th´ eorique de l’Ecole Normale Sup´ erieure, Bernard Julia, for welcoming me to the laboratory, as well as to the secretaries, Nicole Ribet, Mireille Jouet, Beatrice Fixois and Christine Trecul for their constant administrative support. At the same time I would like to acknowledge the help of Marc-Thierry Jeakel and Bernard Massot for their assistance with technical matters.
I would like to express my gratitude to Augusto Sagnotti, Costas Bachas, Massimo Bian- chi, Pierre Binetruy and Gabriele Veneziano for agreeing to become members of my jury.
In addition, throughout my years at ENS, I have greatly benefitted from discussions with Costas Bachas and Jan Troost. I would like to thank them both.
During my doctoral work I have had the pleasure to collaborate with Nicolas Toumbas, Herv´ e Partouche, Thomas Mohaupt, Mirian Tsulaia, John Rizos and Alon Faraggi. It is difficult to underestimate the influence they have had on my perception of string theory and I have benefitted a great deal by working with them. In addition, I would like to thank Nicolas Toumbas for inviting me to the University of Cyprus several times during our collaboration.
The discussions we shared during those visits have been characterized by his deep physical intuition and working with him has been a unique creative experience as well as a true pleasure.
In addition, I would like to thank Dieter L¨ ust, Carlo Angelantonj, Costas Skenderis, Massimo Bianchi, Chris Hull, Alon Faraggi, for inviting me to present my work at the string theory groups of the Universities of M¨ unchen, Torino, Amsterdam, Roma “Tor Vergata”, Imperial College in London and Liverpool, respectively, and to Emmanuel Floratos and George Savvidis for inviting me to present a talk to the National Centre of Scientific Research
‘Demokritos’ in Athens. Their questions and comments during the talks and subsequent
2. Which has become, by now, legendary to all those that have discussed physics with him.
discussions have been invaluable to me and have lead to a deeper understanding of certain notions. I would, further, like to thank George Zoupanos and the organizers of the Corfu Summer Institute for inviting me to present my work in September 2009 and 2010 and especially Ifigeneia Moraiti for her outstanding logistic support.
I am indebted to Ignatios Antoniadis for welcoming me to the CERN Theory Division as an associate, during the last six months of my doctorate. My stay at CERN has been an invaluable experience for me, placing me in the heart of the european high energy physics community, in an environment fostering strong ties between theory and experiment. I have greatly benefitted from my stay there and from the discussions with staff members, postdocs and visitors. I am grateful especially to Michelle Connor, Elena Gianolio, Nanie Perrin and Jeanne Rostant for their exceptional exceptional administrative support.
During those last four years in Paris and my semester at CERN, I was lucky enough to have met and interacted with many young researchers and fellow students. Discussing physics with them has been a real pleasure, giving me the opportunity to gain insight into a variety of different subjects, from string theory to phenomenology and cosmology. To this end, I would like to thank my colleagues and friends at the LPT-ENS and CPHT, Fran¸cois Bourliot, Sebastien Leurent, Tristan Catelin-Jullien, Vitor Sessak and especially to Cezar Condeescu and Konstantinos Siampos. Among the many people I have had the pleasure to discuss with and learn from at CERN, I will mention, in particular, Ahmad Zein Assi, Андрей Khmelnitski (and his precious HP computer for the lovely ‘jet’ sound it would make in the office we shared at CERN), Emanuele Castorina, Sandeepan Gupta and Marius Wiesemann.
Going back to my undergraduate years, it is only fair for me to acknowledge the ins- trumental influence of Fokion Hadjioannou, Harris Apostolatos and Petros Ioannou. These were the people that first sparkled my interest in theoretical physics during my ‘young and innocent’ years at the University of Athens. This thesis would never have been written were it not for them. Furthermore, I would like to thank Konstantinos Sfetsos, for his mysteriously motivating remarks during some of our discussions, which have been highly beneficial to me in the longterm.
I would also like to thank ‘Max’ for invaluable lessons of life, which this margin would be too small to contain...
I am grateful to Mouly and Angelica for generously offering the most precious of smiles, and to Evi and Yanni for the relaxing music compilations that kept me company during those endless nights in Geneva, while I was typing this thesis. Finally, a big thank you goes to Ioanna, Michelle, Анастасия, Татьяна and Ольга for adding some colour charge into my life spectrum...
Last but certainly not least, I would like to thank my parents and sister, for their support
and understanding for all these years, without which this endeavor would never have been
completed. This thesis is dedicated to them.
Abstract
This thesis treats applications of String Theory to problems of cosmology and high energy phenomenology. In particular, we investigate problems related to the description of the ini- tial state of the universe, using the methods of perturbative String Theory. After a review of the string-theoretic tools that will be employed, we discuss a novel degeneracy symme- try between the bosonic and fermionic massive towers of states (MSDS symmetry), living at particular points of moduli space. We study the marginal deformations of MSDS vacua and exhibit their natural thermal interpretation, in connection with the resolution of the Hagedorn divergences of string thermodynamics. The cosmological evolution of a special, 2d thermal ‘Hybrid’ model is presented and the correct implementation of the full stringy degrees of freedom leads to the absence of gravitational singularities, within a fully pertur- bative treatment.
Keywords : String Theory, Conformal Field Theory, Orbifold Compactifications, String Thermodynamics, Hagedorn Phase Transition, Non-Singular String Cosmology.
R´ esum´ e
Cette th` ese traite des applications de la Th´ eorie des Cordes aux probl` emes de la cosmo- logie et de la ph´ enom´ enologie. En particulier, nous ´ etudions des probl` emes li´ es ` a la descrip- tion de l’´ etat initial de l’Univers, en utilisant les m´ ethodes perturbatives de la Th´ eorie des Cordes. Apr` es une pr´ esentation des outils n´ ecessaires, nous pr´ esentons une nouvelle sym´ etrie de d´ eg´ en´ erescence spectrale entre les ´ etats massifs bosoniques et fermioniques (appel´ ee sym´ etrie MSDS), se trouvant aux points particuliers de l’espace des modules. Nous ´ etudions les d´ eformations marginales des vides MSDS et mettons en ´ evidence leur interpr´ etation ther- mique, et leur lien avec la r´ esolution des divergences de Hagedorn de la thermodynamique des cordes. L’´ evolution cosmologique d’un vide thermique bidimensionnel est pr´ esent´ ee. On d´ emontre que la prise en compte des tous les degr´ es de libert´ e au niveau des cordes m` ene ` a l’absence des singularit´ es gravitationnelles, dans un traitement enti` erement perturbatif.
Mots-cl´ es : Th´ eorie des Cordes, Th´ eorie Conforme des Champs, Compactification sur des
Orbifolds, Thermodynamique des Cordes, Transition de Phase de Hagedorn, Cosmologie des
Cordes sans Singularit´ e.
R´ esum´ e D´ etaill´ e
Cosmologie des Cordes et S´ election du Vide Initial
Certains des probl` emes les plus difficiles ouverts de la cosmologie moderne sont directe- ment li´ es ` a l’´ ere primordiale de notre Univers, o` u les notions de la th´ eorie des champs ne sont plus valides, ` a cause des effets quantiques de la gravit´ e, qui dominent la phase chaude et fortement courb´ ee de l’Univers. Actuellement, la th´ eorie des cordes ainsi que son extension non-perturbative, la th´ eorie-M, sont les candidates les plus prometteuses pour formuler une th´ eorie coh´ erente de la gravitation quantique. Par cons´ equent, une profonde compr´ ehension de la physique ` a l’´ echelle de Planck n´ ecessite un traitement purement cordique, ce qui peut aider ` a d´ ecouvrir les implications de cette phase initiale pour la ph´ enom´ enologie et la cos- mologie aux basses ´ energies et pour les grands temps cosmologiques.
Des solutions cosmologiques peuvent ˆ etre construites naturellement dans le cadre de la th´ eorie des cordes perturbatives, comme des instabilit´ es quantiques (ou thermiques) d’un fond qui est suppos´ e initialement plat. En particulier, dans les vides de la th´ eorie des cordes o` u la supersym´ etrie est spontan´ ement bris´ ee, un potentiel effectif de genre 1 non- nul, V eff (µ I ) 6= 0, induira une backr´ eaction sur le fond initial.
Une correction du fond au niveau des arbres est alors n´ ecessaire afin d’annuler le tadpole du dilaton et de restaurer l’invariance conforme au niveau d’une boucle (genre 1). Le mˆ eme m´ ecanisme peut aussi ˆ etre appliqu´ e dans le cas des vides thermiques, o` u la densit´ e d’´ energie libre finie, F(β) induit une backr´ eaction similaire, avec des modules µ I et, en particulier, la temp´ erature T = β −1 , ayant acquis une d´ ependance temporelle.
Lorsque l’amplitude ` a une boucle (´ energie libre) est finie, l’´ evolution induite peut ˆ etre
´
etudi´ ee dans le cadre de la th´ eorie des cordes perturbative et, ainsi, ce m´ ecanisme est ` a la base de la cosmologie des cordes. Cependant, les tentatives na¨ıves pour r´ ealiser ce programme attrayant rencontrent typiquement deux obstacles majeurs :
– (i) les divergences du type Hagedorn, qui correspondent ` a une backr´ eaction infinie et qui am` enent la th´ eorie vers un r´ egime non-perturbatif
– (ii) Le probl` eme de la singularit´ e initiale, traditionnellement rencontr´ e dans la cosmo- logie standard.
En outre, il existe des complications suppl´ ementaires, associ´ ees au m´ ecanisme de s´ election du vide initial. Hors les exigences g´ en´ erales pour l’absence des divergences du type Hage- dorn/tachyoniques et des singularit´ es gravitationnelles, ainsi que la tra¸cabilit´ e perturbative de la th´ eorie tout au long de l’´ evolution cosmologique, il y a d’autres questions ` a se poser.
Ces questions concernent principalement l’arbitraire du m´ ecanisme de brisure de la super-
sym´ etrie. On peut naturellement se demander s’il existe un principe fondamental pour briser
la supersym´ etrie. Id´ ealement, ce m´ ecanisme serait dict´ e par des principes de sym´ etrie.
Evidemment, des contraintes suppl´ ementaires devront ˆ etre impos´ ees sur le vide initial, afin d’assurer la compatibilit´ e avec les donn´ ees d’observation aux grands temps cosmolo- giques. En particulier, le plus grand soin doit ˆ etre apport´ e ` a la pr´ eparation de cet ´ etat initial, de sorte qu’il se decompactifie dynamiquement aux grands temps cosmologiques vers un espace-temps de Minkowski 3+1, avec brisure spontan´ ee du spectre supersym´ etrique N = 1, 3 g´ en´ erations de fermions chiraux et un groupe de jauge semi-r´ ealiste GUT, tels que le SO(10).
Une premi` ere ´ etape cruciale dans la lutte contre ces probl` emes a ´ et´ e la d´ ecouverte d’une nouvelle sym´ etrie de d´ eg´ en´ erescence de Bose-Fermi dans tous les modes massifs de la th´ eorie, pr´ esente aux points de sym´ etrie ´ etendue dans l’espace des modules de certaines compactifica- tions sp´ eciales ` a deux dimensions. Cette sym´ etrie a ´ et´ e appel´ ee “Sym´ etrie Massive bose-fermi de d´ eg´ en´ erescence spectrale” (MSDS) et peut ˆ etre consid´ er´ ee comme une alg` ebre des cou- rants ´ elargie, diff´ erente de la supersym´ etrie ordinaire. Dans le cas le plus simple des mod` eles avec sym´ etrie maximale, cette structure de d´ eg´ en´ erescence se manifeste en terme des iden- tit´ es “g´ en´ eralis´ ees” entre des fonctions-θ de Jacobi, ou en termes des identit´ es entre des caract` eres de Kac-Moody SO(24), par exemple :
V 24 − S 24 = 24 .
En particulier, la structure de d´ eg´ en´ erescence du type ‘supersym´ etrique’ aux niveaux massifs garantit l’absence d’excitations tachyoniques aux points MSDS de l’espace des modules.
Compte tenu des remarques ci-dessus, il est tr` es naturel de consid´ erer la possibilit´ e que l’univers se trouvait initialement dans un ´ etat chaud, comme un espace compact (d ≤ 2) avec une courbure tr` es proche de l’´ echelle des cordes. On pourrait envisager un sc´ enario o` u la dynamique induit la d´ ecompactification de certaines des ces dimensions spatiales de sorte que, finalement, on obtienne un univers quadri-dimensionel.
Il est clair que l’´ epoque cosmologique initiale va ˆ etre caract´ eris´ ee par une structure non- g´ eom´ etrique de l’espace-temps, exigeant un traitement qui prend correctement en compte la totalit´ e des degr´ es de libert´ e de la th´ eorie des cordes. ` A cet ´ egard, le haut degr´ e de sym´ etrie des vides MSDS nous invite ` a les consid´ erer comme des candidats naturels pour d´ ecrire cette
`
ere initiale.
Divergences du type Hagedorn
Afin de r´ ealiser la connexion des vides MSDS d´ efinis aux basses dimensions (d ≤ 2),
avec les vides supersym´ etriques aux dimensions sup´ erieures, il est important d’analyser leur
espace des modules et d’´ etudier leurs d´ eformations marginales adiabatiques ` a l’´ echelle des arbres (avant de prendre en compte la back-r´ eaction). Nous consid´ erons ici des d´ eformations du mod` ele-σ par des op´ erateurs du type courant-courant :
Z
d 2 z λ µν J µ (z)J ν (¯ z) . Une ´ etude minutieuse des d´ eformations :
SO(8, 8) SO(8) × SO(8) ,
du r´ eseau de compactification dans les mod` eles MSDS de sym´ etrie maximale indique la pr´ esence de 2 modules ind´ ependants qui contrˆ olent la brisure des supersym´ etries ‘gauches’
et ’droites’. Elles correspondent aux modules radiaux de K¨ ahler associ´ ees ` a deux cycles toro¨ıdaux sp´ ecifiques, X 0 , X 1 .
Dans la limite de d´ ecompactification, le couplage aux charges de la R-sym´ etrie est effecti- vement elimin´ e et on r´ ecup` ere un vide 4d, N = 8 de type II et avec une description effective de supergravit´ e jauge, la jauge ´ etant induite par des flux g´ eom´ etriques bien-d´ efinis qui sont responsables pour la brisure de la supersym´ etrie.
On consid` ere les deux autres grandes dimensions comme ´ emergeantes par ces d´ eformations.
Dans le cadre cosmologique, o` u les modules de d´ eformation acqui` erent une d´ ependance tem- porelle, il est naturel de consid´ erer notre espace cosmologique (4d) comme ´ etant cr´ e´ e dyna- miquement d’un tel vide initial MSDS de deux dimensions. Bien sˆ ur, une condition n´ ecessaire pour cela est que le vide initial soit libre de divergences tachyoniques/Hagedorn, sous des d´ eformations arbitraires des modules dynamiques.
Les tentatives visant ` a d´ ecrire la phase initiale de haute temp´ erature (et/ou de haute courbure) de l’univers, R ∼ ` s , butent g´ en´ eralement sur le probl` eme des instabilit´ es du type Hagedorn (/ tachyonique), ce qui empˆ eche un traitement perturbatif de la back-r´ eaction.
Dans la description standard d’un syst` eme thermique en terme d’une trace thermique, ces divergences se produisent ` a cause de la croissance exponentielle en fonction des masses de la densit´ e des ´ etats ` a une particule.
Dans l’image euclidienne, cependant, o` u le temps est compactifi´ e sur un cycle (toro¨ıdale) X 0 de rayon R 0 = β/2π, le mˆ eme ph´ enom` ene se manifeste de fa¸con diff´ erente : certains
´
etats de corde, qui enroulent le cycle du temps euclidien, deviennent tachyoniques d` es que
le module thermique R 0 d´ epasse sa valeur critique (Hagedorn), R H . De ce point de vue, les
divergences Hagedorn ne doivent pas ˆ etre interpr´ et´ ees comme des vraies pathologies de la
th´ eorie des cordes, mais, plutˆ ot, comme des instabilit´ es IR du fond euclidien et la transition
de phase correspondante est entraˆın´ ee par la condensation des ces tachyons.
La pr´ esence de ces condensats injecte de la charge de winding non-triviale hO n i 6= 0 dans le vide, une propri´ et´ e qui sera cruciale pour nos tentatives pour r´ esoudre ces instabilit´ es.
En effet, le traitement dynamique correct de la transition de phase au niveau des cordes, en condensant le winding tachyon thermal reste un ´ enorme probl` eme ouvert. Cependant, une fa¸con alternative de traiter le probl` eme est de construire directement des vides thermiques stables (non-tachyoniques) avec des nombre de winding non-trivial, qui correspondent aux vides r´ esultants qui d´ ecrivent la nouvelle phase apr` es la transition.
En fait, les mod` eles thermiques MSDS correspondent aux temp´ eratures sup´ erieures ` a la valeur de Hagedorn sans produire de divergences. Cela est possible parce que le cycle du temps euclidien dans ces mod` eles est transperc´ e par des flux “gravito-magn´ etiques”
non-triviaux, associ´ es aux graviphotons et aux champs axio-vectoriels de jauge, U (1). Leur pr´ esence affine l’ensemble thermique et rend l’´ energie libre finie au point MSDS.
Pour illustrer ce point, on peut se d´ erouler le domaine fondamental, pour des valeurs suffisamment 3 grandes de :
R 0 2 ≡ G 00 − G 0I G IJ G J0 ,
et de d´ ecomposer l’int´ egrale ` a ces orbites modulaires. La contribution de l’orbite (0, 0) dans l’espace des windings s’annule (` a cause de la supersym´ etrie effective ` a T = 0) et on obtient l’´ energie libre, donn´ ee par l’int´ egrale suivante sur la bande :
Z
||
d 2 τ
τ 2 2 ( . . . ) R 0
√ τ 2 X
˜ m
06=0
e −
τπ2(R
0m ˜
0)
2(−) (a+¯ a) ˜ m
0X
m
I,n
I∈ Z
q
12P
L2q ¯
12P
R2(−) ¯ bn
1e 2πi m ˜
0(G
0IQ
I(M)−B
0IQ
I(N)) ,
o` u Q I sont les 14 charges des U (1)-transverses associ´ ees aux graviphotons et aux axio- vecteurs de jauge. Rappelons maintenant que la composante temporelle d’un potentiel de jauge du vide (constant) A 0 ne peut ˆ etre ´ elimin´ ee par une transformation de jauge dans la pr´ esence de temp´ erature non-nulle. Sa v.e.v. (valeur moyenne du vide) a une signification physique en tant que param` etre topologique du vide qui caract´ erise le syst` eme thermique.
Dans ce sens, l’amplitude thermique ` a une boucle (´ energie libre) peut ˆ etre r´ e´ exprim´ e comme une trace thermique sur l’espace de Hilbert de la th´ eorie initiale en 3 dimensions, avec supersym´ etrie (4, 0) :
Z(β, µ I , µ ˜ I ) = Tr h
e −βH e 2πi( ˆ G
I0m ˆ
I− B ˆ
0In
I) i
,
avec 2 ˆ m I , n I les charges transversales enti` eres. La trace thermique est ainsi d´ eform´ ee par la pr´ esence des flux thermiques associ´ es aux graviphotons et aux axio-vecteurs. Les param` etres :
G ˆ I 0 ≡ G 0K G KI ,
3. Ceci est n´ ecessaire afin d’assurer la convergence absolue.
B ˆ 0I ≡ B 0I − G ˆ K 0 B KI ,
sont invariants d’´ echelle, non-fluctuants, et constituent des param` etres thermodynamiques du syst` eme thermique. Ces flux (globaux) peuvent ˆ etre d´ ecrits en terme des condensats de champs de jauge, de ‘field strength’ non-nulle (localement), mais avec une valeur non-triviale de ligne de Wilson autour du cycle du temps euclidien.
Aux temp´ eratures suffisamment basses, les ´ etats charg´ es sous ces champs U (1) vont acqu´ erir une masse et, effectivement, ils se d´ ecouplent du syst` eme thermique, de sorte qu’on retrouve l’ensemble thermique canonique. Les tachyons ‘potentiels’ peuvent parfois ˆ
etre ´ elimin´ es de cette mˆ eme mani` ere, ´ etant eux-mˆ emes charg´ es sous ces champs U (1).
Par une ´ etude attentive du spectre thermique-BPS de basse ´ energie, il est possible d’obte- nir des conditions qui garantissent l’absence de divergences Hagedorn pour toute d´ eformation des modules transversaux (dynamiques). Si celles-ci sont satisfaites, une rotation discr` ete O(8; Z ) × O(8; Z ) transforme les conditions pour les flux ` a la forme pratique suivante :
G ˆ k 0 = ˆ B 0k = 0 , G ˆ 1 0 = 2 ˆ B 01 = ±1 ,
o` u k = 2, . . . , 7 couvre les directions toro¨ıdales, qui sont transversales au temps euclidien. En fait, ces conditions ont un sens g´ eom´ etrique assez simple : elles correspondent au cas o` u le cycle de la temp´ erature couple de fa¸con chirale aux charges ’gauches’ de la R-sym´ etrie et se factorise compl` etement du r´ eseau toro¨ıdal, qui reste coupl´ e seulement au nombre fermionique
‘droit’, F R . Les mod` eles sans tachyons thermiques, donc, correspondent ` a la factorisation suivante du r´ eseau :
Γ (d,d) [ a , b , ¯ b a ¯ ] = Γ (1,1) [ a b ](R 0 ) ⊗ Γ (d−1,d−1) [ ¯ ¯ a b ](G IJ , B IJ ) .
En outre, dans la phase thermodynamique saturant les conditions ci-dessus, la trace ther- mique d´ eform´ ee se r´ eduit tout simplement ` a l’indice de fermion droit :
Z = ln Tr
e −βH (−) F
R.
Mod` eles Hybrides et Cosmologie Non-Singuli` ere
Il est facile de v´ erifier que les mod` eles de sym´ etrie MSDS maximale ne satisfont pas aux conditions de stabilit´ e pr´ esent´ ees ci-dessus, mˆ eme si des trajectoires sans tachyons 4 peuvent
4. Des classes de mod` eles MSDS sans tachyons peuvent aussi ˆ etre obtenu, en introduisant des orbifolds
asym´ etriques de type Z 2 . Dans ces derniers, les fluctuations des modules ‘dangereux’ sont ´ elimin´ ees par la
structure particuli` ere de l’orbifold.
ˆ
etre construites, les reliant aux vides de plus grande dimension, avec N 4 ≤ 8 supersym´ etrie.
Cependant, une classe tr` es int´ eressante de vides thermiques MSDS sans tachyons sont les mod` eles thermiques hybrides. Dans leur version froide, T = 0, ils sont d´ efinis comme des vides de supersym´ etrie (4, 0), avec les supersym´ etries droites bris´ ees spontan´ ement ` a l’´ echelle des cordes et remplac´ ees par la structure MSDS. Cette structure sp´ eciale (anti-)chirale supporte un groupe de sym´ etrie de jauge ´ etendue, non-ab´ elienne :
U (1) 8 L × SU(2) 8 k=2,R .
La compactification d’une des directions longitudinales sur un cercle S 1 (R 0 ) et son identi- fication avec la direction du temps euclidien n´ ecessite un modding sp´ ecial par l’´ el´ ement de Scherk-Schwarz (−) F
Lδ 0 , conform´ ement ` a la connexion de spin-statistique. L’´ energie libre de ces mod` eles thermiques s’´ ecrit alors :
Z = V 1 8π
Z
F
d 2 τ τ 2 3/2
"
1 2
X
a,b
(−) a+b θ[ a b ] 4 η 4
#
Γ E
8( ¯ V 24 − S ¯ 24 )Γ (1,1) [ a b ](R 0 ) .
o` u :
Γ (1,1) [ a b ](R 0 ) = R 0
√ τ 2 X
˜ m
0,n
0e −
πR2 0
τ2