Methodes d'echelles multiples pour la recherche de solutions invariantes par une transformation de R2 et applications

(1)

HETHODES D'ECHELLES HULTIPLES POUR LA RECHERCHE DE SOLUT[ONS INVARIANTES PAR UNE TRANSFORMATION DE ~2 ET APPLICAT]ONS.

M. BELHAO, R.L. CLERC et C. HARTHANN L.A.C.M.E.~*~'" U.F.R. Hath., Untverstt~

Paul Sabatter, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cddex, France

(Received 12 December 1987; accepted for print 22 September 1988)

]ntroduct|on

On d~veloppe une •thode as~ptottque f o m e l l e | deux 6chelles de temps pour cons- trutre des approxtmttons des solutions tnvartantes par une transfomatton ponctuel- le de/R 2 dans ~ 2 vo|stnes d'un potnt ftxe subtssan~ une btfurcat|on de Potncal~ d~- g~n~r~e ou non. On compare les ~ $ u l t a t s asymptottques aux r~sultats obtenus dtrectement par une n,!thode nua~r|que.

On constd~re une t r a n s f o r ~ t t o n ponctuel]e polynomtale T de lR 2 dens lR 2 poss~lant un potnt ftxe N subtssant une bifurcation de Potncal~ que|conque (d~g~n~r~e ou non).

Pour le sysUme 6voluttf

X(") ~ X (n+t) - T(X (n)) . n ~ 0 . (1)

nous voulons contrutre les approxtmttons valables quand n + - . des solutions du probllme aux valeurs |ntttales (pour n - O) prtses dens un volstnege d ' o r d r e , de H.

Pour c e l l nous d~veloppons une~thode asy!ptottque f o m e l l e d'4chelles m l t t p l e ~ n e t T(n). qut est une extension naturelle aux syst~es dynaltques | dvolut|on dts- cr~te, de la ,~thode de Potncar~ pour los ~qu~ttons d t f f S r e n t t e l l e s .

prtnctpe de la ~thode as~ptottque d'~chelles multiples On constdtre les transformttons

~(z.z-). ~_ " ~ - t . t

o~0 J~O avec

(z - x ÷ | y , z - x - | y ) , (2)

(*)

Laboratotre Analyse et Calcul des ModEles Evoluttfs.

361

(2)

c~ )'c(°)o! " 0 ' c(°)to " s •exp t~. o .

Four tout U> Oo cos t.~nsfomJ¢tons (2) r~priisentan¢ los p'Clr'tJJrbll~'[OrlS 1is plus gdn4rlleS (dens 1 'espaca ~ des coefficients de T) de Tolu votstnage de H s O.

Ls ~J'ansfom&¢~on non per~rb~e T O correspond i la rome "p~lnomale"

To(Z.Z")" SZ ~' J~,IE ¢(o),1..t.t zj..t ~,t (3)

~J

• T&Clutlle on Foul: ~u,tours se r u s h e r qmmd 1'application 1 1 n ~ I r ~ taflgen~

OTo(M) es~ dttgonallsable, cs ClUe nous supposerons ~¢t. On enntr~ Rue pour tou~

w o - Z ~ / k , avec r et k ent~en pmsters en~rm eux et k t 4 ( r ts~ le hombre de /~tatJon at: k l'ord~e de Nso~tnce), l ' t ~ r k e k-tree de T O est une f o r m normle

( ~ sons de DD

. ,.ZL_-n,k-I, (zE.rZ)(4)

Obsorvons clue Im ml!thodo ClUe nous proposons na n¢icesstgo pas Tm m~se iu pr~i- 1able de T sous f o r m normle.

Un dJveloppen|n~ asywptottque usuel clu type

z ( . ) . : ,%(n) ~z~" (o)) • z(o) . ~ v , a ~=-(°1 . (e~ c.c.). (s)

o,t! a

ne permit pts d'ob~mtr l ' l n s m b l e dos solutions tnvtr~antes s ~ 4 e s dans le votstnags de 1'origins.

Constd4rons t l o r s une a41~)de tsymtottque t 4chelles u u l t t p l e s n e t .r(n),

~ ( n ) - . z .aw. , /6)

fonc~tons Z~ (n) sont de la rome oG los

. , . , o . ° . , .

L'tn~roduc~ton du *temps con~Jnu" ~ ( i c~tl~ du "temps dtscrs~" n) peme~ d ' e l t - m~ner los ~ermes "s~cula~res" condu;sant per l i mt~hode classtcus (S) k des so- lur.tons non un~fome~nt valsblez Dour n ~ - * .

(3)

M E T H O D E S D ' E C H E L L E S M U L T I P L E S 363

La form gdndrale (2) des tronsformttons perturbhs et c,11e (7) des solut4ons pemettent d'obtentr on port|cu14er routes les solut4ons.de type ¢¥cles d'ordre k ; ce rdsultat correspond | une extension (| un systllme de deux 4ClUattons al- gdbr~ques) du thdorilm de Putseux [21 expHmant, par des sdr4es de O4r4chlet.

les rac4nes d'un polyn0m clont les coeff4ctents ddpendent analyttqument d'un parandbtre.

$4 les fon¢t4ons (7) sont sufftsamment ddrtvables on T on peut k:r4re :

~ z l ~ t )

z(n+l)(T(n~l)) • z(n*l)(~(n)) ÷ £ (T(n)) (8)

/21 ~& "

On obttent, | l'ordro U :

d0ob

z ~ n ÷ l ) . s z~n) . ¢ ( 1 ) (9)

Z~ n} - s n ( z l ( , ) - z ~ ) • Z~ ; z ~ " {(o~1)/(1-S) , s , 1, Zl('ir,,>zl O) (10) pu4s | l'ordre u 2 :

z(n+l)

^{z~n) +} ;)z~ n÷l) /~2 F~ 2) (Z1,~1) , (il)

2 - s U t T - :C s ~

~ - 2 O~

F(~ ) " " "O?."Co)~ . it(T) • S..! 71 , F ~ 2 ) " S O + { I ~ ) Z l ~1 '

' { ' ) " "o (') ', • ',(" • -,o'(°) ~, • =, " , , ".T ,.,. ,c,). ,{~) ,L~) -

ol z T . 2 z T ,

~o "c~). ~(,) 10 Z~ , 01 ZT + ,(1)- oi~) Z~ Z~ + - °;:) Z~ .,~;) ~1 t2.

**"o (')" ~('),o "~IT)~T "' 4:)*T •**

Les t e r n s sdculatres sont dl~mtnds en tmposant l'dquat|on dlffdrent|elle en T dZ 1

oO

• { L = e , = E [ - 2 . o L T . L'|tdra~ton (11) dev4ent IlOrS

(lz)

s t ' l . 1 } .

(4)

J.-2

1--2 dont 11 solutton s ' 6 c r t t

z~ n) - sn(z2-Z~°)) + Z~ n)(T), z2(T-O) - z~ °) . Z~ n) ~tant. la solut4on par'ttcu11Ire de (13)

t.-2

Z~ n] . L=~.2 s ~ F~2)(11,][1)/(st'-s)

Sl w o F 2wr/k ( r et, kent, ler~ prmlers entre eux), on a R • { I } n'¥ I pIs r~sonance.

$t w o • 2wr/k avec r/k • 1/2, on,a R = {-1,1}

R = { - 2 , I } . . .

(13)

(14)

(;s)

et on dtra qu'11

; avec r / k = 113 ou 2•3, on a

Oans t o u s l e s e.as non ~sonants (w o # 2+r/k) ou r~sonants d'ordre I 4 (w 0 • 2wr/k. k ~ 4), l'4kluatton' (12) s'6crtt;

dZl . a~ 1)

s~ 1 ~ Z 1 ; (;6)

st ~1 # O, (16) donne l'approxtmtton | l ' o r d r e u du potnt ffxe i t de son 11eu de bifurcation de Pofncar11. $t u 1 - O. seul le chotx a~ 1). - 0 pemet d'obtentr d'autr~s solutions stattonnatres que le potnt ftxe.

On obttent alors i l'ordMI ,3 :

;iz~n.1) Jl-3 s " F ~ 3)

z~n+l) . S Z~n) .~)2 ~ . T. (Z1~.1) . (17)

L - 3

Les temaes s~culatres sont ~11mtnds en tmposant l'(kluatton d t f f ~ r e n t t e l l e en T S~z ~ - " ~--3

c E R

(5)

oO R ,, (£~1:, £GE3,~3.] , s£-I • 1 } .

L*tl~ratton (17) devient ilors

4~,). ,4,). ~., ,= ,~,,(~.~,).

S-3 ⁽¹⁹⁾

Dins tousles ¢as non r~sonantS ou r~sonants d'ordre Z S, on a R • {1}

s ' I c r t t

ivl¢

i t

r=lZ T.~..dZl* ~'FI3)(ZI.Z,), (a~2)÷ a~ O).RIz)ZI. (Z1Z'I " RI~) ,

,t (is)

(zo)

=~z) . i / c ( Z ) o ~ ,c(1) (o) ""'s-s-')÷ -'z (1)

_{I 10} .tL 01 +C11Zt)/L s/ Z~t C~O + 3¢30

(o))

(21)

÷

c(I)11 ~ . ÷

2¢20 So/(1"s)~c11)~o/(I"E)4¢t2 z I 2¢~1 ZlZ | }

(o) (o (o) ,z÷ (o) ,=,

a~ O) " ~ ) ÷ ¢(°)c(O)/(s2"S)!1 2o . ÷CI?)c-~117)/(1-S -) (22)

.,,~:),I~),(,.,) .,,co)~;)~c,,.~}

₀₂

Gins le cas ~sonlnt d'ordrt 4 (r/k - 114 ou 3/~ on a R • {-3,1}

s ' k : r t t

0¥e¢

,t (le)

,, ,~- ' ~ . ,-,I') (z,.~,) • ~!} ~z,.~,). .,=; (,) ~ (o)_,._ ,1,,,. 'o (o ~, • (z3) So (°) • i ( c ~ ) ÷ c(O)c(O),r~.s~

11 02 " " ' ÷ ='"oZ "20

-.(o)=(o),~.s-)~

"'~" " " " (24) On obttent i l'ordre U 4, en prefllflt po~r s i l ~ l | f i l r Coo _(1) = O,

lz2 "÷1)" , (n) .-(,) (n) .-(,) .(n) .-(n)). (ZS) Z4 n ' l ) " ( SZ4 n)( ÷ =2 T " $ LZl *Zl 'Z2 " 2 " 3

*3

Les temes s6culatres sont dltslnds en tml~sant l'~lUitton dtffdrenttelle (pour les cos non rtsonents ou rlsonants d'ordre k I 6)

=z "~- "

0(I "1'on I

(6)

B(Z)

₀ ^{• =.;o)~}_~ ^(~7)

L'avantage de cette ,~thode est de fourntr, dtrectement dens

|e systk,e de coordonn~es tn~ttales z, Y, les p r a t e r s tames des d~velopp~ents as~aptottques de routes les solutions de 1l fome (7), sans avo4r besotn de l e t - are au pr6alable la transfomatton sous sa f o r m nomale par le changement de coo~lonn~es d~f~n~ par une transfomatton fomelle presque tdenttt~ de type Levt-Ctvtta. El|e donne, pour des perl~rbattons quelconques dens l'espace A des p a r m t r e s (he l l t s s a n t pas .nk:essatrment le potnt ftxe | l ' o r t g t n e ) , le pre- mter teme des d~veloppments esymptottques des solutions par la r/isolutton d'un syst~me dtff6renttel autonom, done le second mmbre est une rome nomale tron- qu6e | ses temes non 11n6atres doutnants, fourntssant son iutplttude lenl~ment

variable ~1 (T).

Le deux~kne teme des d6ve|opp~ents asywptottques des solutions est donn~ d'une part, par son *mp|ttude" lentemnt vlrtab|e|J~Z(~) solutton d'un systime d t f f t - rQnttel 11niltre non lutonom non hologlme, d ' l u t r e part, pa~ le r~lsolutton d'une r~currence l | n d l t r e d'ordr~ deux, homog~ne st et seu]ment sl le t r e n l f o r m t t o n non perturb6e T O est |nttta|ement sous form normle (¢e qut est le cls de 1 ' t t 6 - r(ie k-km d e ~ 0 pour route r/lsonance d'ordre k).

Cette technique permt de trouver |es cycles d'ordrt k I 1, |es lpproxtmtton$

de leurs 11eux de bifurcations dens A. etnst que les approximations de route autre solution Invarlante.

(7)

Appl~¢sttons

(rude des ¢as non ~sonants ou r~sonants d'ordre r/k, k • S

On ¢onstdkre la trensfomatton

**"*,(') • c'~'°l'o ))= • °~oC°)"'- =I~)~; ,=~(o . o c;)=,~, ocl=l'). ~,,,.**

L'approxtmtton 1~" li l'ordre U 2 de la solutlon stattonnatrt de tyPe =ourl~ tnva-

rt.nt, s'Gcrtt (sol.tton de (S)-(U)-(~)-(26))

,.,,)., . o~:),,~(,;,). ,(o).,,, ~ ~c,-,) • ,~;);' **/ ~e-s) *o(Icl =) (z9)**

ivec

( < ) >

¢(e) - u r ~ t exp te . - 2)/~ • o 3

• ,,oC; ) ,~I/c,'~:l

_•

=.~). T.c'~

" t o "

L'6Cluatqon "horatre" Sin" ~* list donndle ;mr e'(n) • ( % ~ u % ) n

ivec

On a ftx(! les valeurs des N r e M t r e s de la m n t i r e s u t v n t e :

20 - I m - h = ; m . 2 . ~ - ~ l l " Jr~

Re ¢ ' ° ) • ,m ¢ ~ ) - 1 , Re C (0) ( o ) . . 1

11 21 - Z m ¢

(31)

(32)

Les f t g u r e s ! et 2 comparent cette $olut4on ~* (en potnt|l14s), ou sa tronceture i l'ordrw u ( t t ~ t s ) , evec la cou.rbe |nvertinte ~ ( t r a t t s ple4ns) de (2f~obtenue par t t l r e t t o n ~)our p • .1, ft9. 2, ~ " est "confondue" ive¢~.].

L'express|on de ~2 pemet de caIculer les 11eux ~2 • 0 |ssus des poln:s Pr/k de

(8)

resonance r/k ; dens le plan ( h z , - h l ) , on obttent des drottes de pente -h1/h 2 (-.543880 pour r/k • 116 et .4S1850 pour r/k • i f / ) . Cos drottes correspondent

la tangente commune aux fronttkres des comes de r~sonance (of. [4~

pour le ca$ des s y s t ~ e s d i f f d r e n t t e l s ) , au votstnage desquelles on dott $e placer pour rechercher les potnts de cycles d ' o r d r t k .

Etude du cas resonant d'ordre 1/4

On constdkre la t r a n s f o r m ~ o n

= " V ' ) " c'"'°l: ocs-l=),

(s - exp(2wtr/k), r / k - 1 / 4 ) •

c(2) • hl+lh 2 et on flxe c(~ ) - 1.5 (l*1)s

On _{n o w}

p(O)

10 ' ~03

L'ipproxlmatton | l ' o r d r e un est solutton du systime (23):

• d z 1 .

(33)

• . 8 ( 1 - t ) .

(34) Los potnts ftxes de (34) apparetssent par une bifurcation no~d-col • l a travor- s4e des 11eux d4ftflts par

dont la trace dans le plan (h2,-h 1) (cf. trt9. 3) reprCsente los f m n t t k r e s

sT s;

^• de 1 'approxtmtton (k 1 'ordr~ un)

x ; .

de la come d'mxlstence des cycles d'ordre k - 4 de T u , J l°~xtGrteur de laquelle l"exTstonce <l'une courbe 4nvartante est assur4e par los ~ s u l t a t s de ~3] .

Le tableau 1 compa~, pour plusteurs velours de u. los coordonnkls (xJu.Yiu) potnt de cycle d'ordre 4 de Tp calculdtes par une Nthode de Newton et c e l l t s ( x * . y * ) du patnt ftxe homologue de (34) (h 1 . -.1 h 2 .1).

1 1 ' °

(9)

METHODES D'ECHELLES M U L T I P L E S 369

.4 k

' ' , x i :: :/:i

~ , I , l =/i :HI . I

ll/A

. h ,

Pie, J

~'t • 0

,-' X/._

t=,e • f ~e .o

TABLEAU I

• . h 1 = - - 1 h 2 - .1

.!

. I t .001 ,0001

.OIlSl=

I / u

.,,117100 . 1 6 7 9 6 . Tr/211 . S ~ l l l

J'/i

.O;4UI

,oidI?am . I . U

(10)

Sott "r le chemt, d l f t n t pit h 2 • .1 dens le plan (h2.-hl). Pour trots valeurs de (-h 1) prtses sur y . on compare les portraits de phase ~1e(34) lit de T

(ftg. 4-5°6 : t r a t t S pletns pour T et po|nttl14s pour (341 avec ~ • .OS) Dans la situation ! (h I - -.06. ftg. 4). l°untque potn: ftxe F 1, foyer tnsta- ble. est en presence d'une unique paire de cycles d'ordre 4, foyer sl;able F 4 et c01 S 4.

Darts la situation I I I (h 1 - -.22, ftg. 6), le potnt ftxe F 1 es~ en pr6senc4 d'une patre de cycles d'ordre 4. noeud stable 114 et col 34 el; d'une courbe tnvartante asymptottquemnt stable ~(comm dins [k~). On remrClUera la bonne concordance entre ~ et son approxtmtton ~* au printer ordre par la l £ - rhode d'4chelles gulttples.

La situation 1I (~h 1 - -.2, ftg. S) prllsente une boucle col 4rt assurll la sttton Z * ZZI qut d~ftnt~ une bifurcation globalll de ~ype Lk)ntavtch d ~ r t - rant la destab|ltsatton de ~ ,

Conclusion

LI JthodI as~ptottque | dichelles m l t t p l e s pour 1 '4rude 4es transformttons (2) permt de c~Sl:ru|re d t ~ C ~ m f l t les printers tanleS des approxtmtton$ des d4veloppemmts formls de solutions tnvartantes dans les problims, rltsonants ou non, de bifurcation de 1Potncarl.

¢es prlmters terms dotvent ~louer un role teportlmt dins les dknonstr4ttons des thiorimes d'extst4nce des solutions tnvsrtantas-

R~f~rences

[1] Y. ARNOLD, Chapttres supplk|enUtres de le th4orle des kluat|ons dtffirlm- t t e l l e s ordtmitrlls, Ed. #tr, (chap. S), 1978

s ~ r t e

V. PUISL~X, Joum. Hath. Pures et App11., (1$), 18S0

Y.H. llAN, Arch. Rat. Hech. Anal., 68, he4, T978, P. 343-3S7.

R.L. CL(RC, C. HARTHN¢N, A. HARAJ-TOUZANI, C.R.Acad.Sc., Parts, t . 303.

nell. 1986° p. 575-S78.