1) Vérifier qu’il y a kn répartitions possibles

UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008

Master 1 de Mathématiques Statistiques

Feuille de TD n^o2

Le test du chi-deux

Exercice 1 (loi multinomiale)

On dispose de n boîtes numérotées de 1 à n dans lesquelles on veut répartir des boules de k couleurs différentes. Pour chaque couleur j = 1, . . . , k, on dispose d’un nombre de boules supérieur àn. On ne peut mettre qu’une boule par boîte. Une «répartition» est une manière de remplir les boîtes ; autrement dit une «répartition» est entièrement déterminée par la couleur figurant dans chaque boîte.

Mathématiquement une «répartition» est donc une applicationfde l’ensembleB ={b₁, . . . , b_n} des n boîtes dans l’ensembleC ={1, . . . , k} des k couleurs.

1) Vérifier qu’il y a kⁿ répartitions possibles.

2) On suppose qu’il y ak = 2couleurs et soientn₁ etn₂ des entiers fixés tels quen₁+n₂ =n.

Montrer que le nombre de répartitions avecn1 boules de la couleur1 etn2 boules de la cou- leur 2 est égal à _n^n!

1!n2!.

3) Sikest quelconque et sin₁, . . . , n_ksont des entiers fixés tels quen₁+· · ·+n_k=n, montrer que le nombre de répartitions avec nj boules de la couleurj (j = 1, . . . , k) est égal à

n!

n₁!. . . n_k!.

4) Soit (X1, . . . , Xn) un n-échantillon d’une loi discrète p = (p1, . . . , pk) concentrée sur les entiers 1,2, . . . , k etN = (N₁, . . . , N_k)le vecteur aléatoire tel que

N_j =

n

X

i=1

1_[Xi=j] (nombre d’apparitions de la valeurj dans l’échantillon)

a) Démontrer que N_j est une variable aléatoire binomialeB(n, p_j).

b) Démontrer que la loi du vecteur aléatoire N (loi multinomiale de paramètre n et p) est donnée par

P(N₁ =n₁, . . . , N_k =n_k) = n!

n₁!. . . n_k!pⁿ₁¹. . . pⁿ_k^k, oùn₁, . . . , n_k sont des entiers tels que n₁+· · ·+n_k=n.

Exercice 2 (tester si une pièce est équilibrée)

On peut, bien qu’il y ait des méthodes plus efficaces, utiliser le test du chi-deux pour tester si une pièce est truquée. Par exemple :

On a lancé 200 fois une pièce de monnaie et observé 115 faces et 85 piles. Utiliser le test du chi-deux pour rejeter ou non l’hypothèse que la pièce est équilibrée, au niveau de confiance 1−α= 0,95 puis au niveau de confiance0,99.

Exercice 3 (tester si des dés sont truqués)

Dans la même esprit que l’exercice précédent, on peut en observant seulement certains évé- nements tester si un jeu est est régulier ou non. Par exemple :

Un jeu consiste à lancer une paire de dés (supposés non truqués). Un joueur qui avait parié sur le «sept» et le «onze», a observé que sur 360 lancers, on a eu 74 fois «sept» et 24 fois

«onze». Au niveau de confiance 0,95, peut-on accepter l’hypothèse que les dés ne sont pas truqués ?

Exercice 4 (tester un générateur de nombres au hasard)

Un générateur de nombres au hasard entre 0 et 9 a fourni 250 nombres et on observé les résultats suivants. Etudier si au risque α= 0,05puis0,01, on peut accepter l’hypothèse que le générateur est correct :

nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

fréquence 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36

Exercice 5 (convergence vers la loi de Poisson)

Le test du chi-deux est basé sur le fait que pour tout i = 1, . . . , k la variable aléatoire

Ni−np_i

√npi ≈ N(0,1−p_i)(voir le cours). Pour cela il convient que le produitnp_i ne soit pas trop petit. Les statisticiens conviennent qu’il faut que np_i ≥ 10 sinon les résultats ne sont pas bons. Considérons le vecteur constitué desk−1premières composantesNe = (N₁, . . . , Nk−1) du vecteur multinomial N (noter que la dernière composante est liée aux autres car N_k = n−Pk−1

i=1 N_i).

On suppose que n → +∞ et que np_i = λ_i reste constant et égal à λ_i > 0. Démontrer que le vecteur aléatoire(N₁, . . . , Nk−1) converge en loi vers un vecteur limite(X₁, . . . , Xk−1) où les X_i sont des variables aléatoires indépendantes de Poisson de paramètres respectifs λ₁, . . . , λk−1.

(indication : on montrera que la fonction caractéristique du vecteur Ne est de la forme ϕNe(t₁, . . . , t_k−1) = 1 +p₁(e^it1 −1) +· · ·+p_k−1(e^itk−1 −1)n

,

pour cela on reviendra à la définition de Nj (Exercice 1, 4)) et on écrira Ne comme somme de n vecteurs aléatoires indépendants et de même loi puis on écrira p_i = ^λ_nⁱ et on passera à la limite).

Remarque : Ce résultat de convergence en loi s’interprête concrètement de la manière suivante : si n est grand et les p_i sont très petits de telle sorte que les produits np_i = λ_i soient de taille raisonnable (entre 1 et 9), alors le vecteur Ne a une loi approximativement égale à celle d’un vecteur de lois de Poisson indépendantes et de paramètres respectifs λi, c’est à dire

P(N₁ =n₁, . . . , Nk−1 =nk−1) = e^−λ1λⁿ₁¹

n₁!. . . e^−λk−1λⁿ_k−1^k−1 nk−1!.